904, Récréations métiers, le 5 décembre 2022

01. Tuiles de Francine

Enoncé

Francine prend des tuiles de 1 × 2 centimètres carrés. Elle les place de façon à former le contour d’un carré. Par exemple, elle prend huit tuiles et les place ainsi :
L’aire du carré intérieur est alors de neuf centimètres carrés. Si Francine place 20 tuiles autour d'un carré, quelle sera l’aire de ce carré intérieur ?

Résolution

Dans l'exemple montré qui comporte 2 tuiles par côté, la dimension du carré interne est 1 tuile plus une moitié = 3 cm. La surface est 9 cm²
Si on utilise une tuile par côté, le carré interne a une demi tuile (1 cm) par côté et la surface est 1 cm².
Si on utilise n tuiles, le côté interne est 2(n - 1) + 1 = 2n - 1 et la surface S est (2n - 1)² = 4n² - 4n + 1.
Vérification : si n = 1, S = 1 ; si n = 2, S = 9
Avec 20 tuiles, 20/4 = 5, 5 tuiles par côté, n = 5, S = (10 - 1)² = 81

Résultat

Avec 20 tuiles, l'aire du carré intérieur est 81 cm².

02. Les métiers

Enoncé

Mr Peintre, Mr Maçon et Mr Menuisier sont 3 amis portant le même nom que leurs 3 métiers, mais pas nécessairement respectivement. Sur ces 4 phrases ci-dessous, seule une est vraie :

1. Mr Menuisier n'est pas peintre
2. Mr Maçon n'est pas menuisier
3. Mr Maçon n'est pas peintre
4. Mr Menuisier est menuisier

Qui fait quoi ?

Résolution

(1) Est-ce que M Menuisier n'est pas peintre ? Si oui les affirmations 2, 3 et 4 sont fausses et en particulier 2 et 3 diraient que M Maçon est à la fois menuisier et peintre. Réponse : non.
(2) Est-ce que M Maçon n'est pas menuisier ? Si oui les affirmations 1, 3 et 4 sont fausses et en particulier 1 et 3 citent M Menuisier et M Maçon comme peintres. Réponse : non.
(4) Est-ce que M Menuisier est menuisier ? Si oui les affirmations 1, 2 et 3 sont fausses et en particulier 2 et 3 diraient que M Maçon est à la fois menuisier et peintre. Réponse : non.
(3) Si M Maçon n'est pas peinte (3 vraie), alors, avec 1 fausse, M Menuisier est peintre, avec 2 fausse, M Maçon est menuisier, avec 4 fausse, M Menuisier n'est pas menuisier (d'accord). Il reste M Peintre comme maçon.

Résultat

M Peintre est maçon, M Maçon est menuisier et M Menuisier est peintre.

03. Tennis à trois

Enoncé

Lors d'un entraînement de tennis, Martina a ramassé deux fois plus de balles que Roger et cinq balles de plus de Raphaël. S'ils ont ramassé 70 balles à eux trois, combien de balles Martina a-t-elle ramassées ?

Résolution

Avec x le nombre de balles ramassées par Martina. Roger en a rammassé x/2 et Raphaël x - 5
Nombre total de balles ramassées : x + x/2 + (x - 5) = 70 ; (2x + x + 2x - 10)/2 = 70 ; 5x = 150 ; x = 30

Résultat

Martina a ramassé 30 balles.

04. Tabouret de Daniel

Enoncé

Assis sur son tabouret, Daniel dessine un treillis formé de six cellules.

Placez chacun des nombres de 1 à 6 dans les cellules pour que la somme soit 11 dans chacune des trois rangées de trois cellules reliées par une droite.

Résolution

S1, les 3 rangées font au total : 3 x 11 = 33, dans lequel 3 des nombres de 1 à 6 sont comptés 2 fois.
S2, la somme des 3 nombres de 1 à 6 est : (6 x 7)/2 = 21 ; S1 - S2 = 33 - 21 = 12 ; On peut faire 12 avec 1 + 5 + 6 ou 2 + 4 + 6 ou 3 + 4 + 5
Si on prend 5 et 6 en première ligne, il faut 0 au milieu, cela ne marche pas.
Si on prend 3 et 5 en première ligne, il faut 3 au milieu (déjà pris), cela ne marche pas. Seule la solution 2, 4 et 6 convient.
On peut prendre en première ligne chacun des 3 couples possibles de 2, 4, 6 ; c'est à dire 2,4 ; 2, 6 ou 4, 6. D'où les 6 solutions :

05. Chemin des écoliers

Enoncé

Lucille va à l’école à pied. Comme elle n’aime pas la routine, elle change souvent d’itinéraire. En ne prenant les routes verticales uniquement vers le bas et les routes horizontales vers la droite (soit distance minimum), combien de chemins différents peut-elle prendre ?

Résolution

On n'a guère trouvé que la solution de les tracer pour être sûr de les trouver tous sans faire de doublons.

Résultat

Il y a 13 chemins différents, en passant par les cases. En passant par les traits il y en a 100.

En fait ce n'est pas les cases qu'il fallait suivre mais les traits. Christophe nous a montré une méthode de comptage à chaque croisement, et du coup la réponse est 100.

06. Collection de Gabin

Enoncé

Gabin a décidé d’habiller 15 de ses éléphants. Cinq portent une veste de flanelle, cinq une veste de velours et cinq autres une veste de denim. Le jeune homme place ses éléphants sur trois tablettes, cinq par tablette.

1. La tablette A contient une veste en denim de plus que la B.
2. La tablette B contient une veste de flanelle de plus que la A.
3. La tablette B a le même nombre de vestes de velours que de denim.
4. La tablette C contient au moins une veste de denim.

Comment sont habillés les éléphants de la tablette C ?

Résolution

Résultat

Sur la tablette C il y a 0 flanelle, 3 velours et 2 denim.

07. Une (autre) histoire de casquettes

Enoncé

Jean a 4 casquettes : 2 noires, et 2 blanches.
Il montre ces casquettes à trois de ses amies.
Puis, il leur demande de se mettre en file indienne (l'une derrière l'autre) et de fermer les yeux. Il pose alors une casquette sur chacune des têtes des filles, puis dissimule la dernière casquette et annonce : "Si vous voulez garder la casquette que vous avez sur la tête, l'une d'entre vous devra deviner et me donner la couleur de la casquette qu'elle porte. Vous avez le droit d'ouvrir à nouveau les yeux, mais vous ne pouvez pas vous retourner pour regarder la personne derrière" dit Jean.
"Une seule d'entre vous a le droit de parler et celle qui parlera devra énoncer la couleur exacte de sa casquette."
Chaque fille peut donc uniquement voir soit rien, soit la couleur de la casquette de celle qui est devant elle, ou encore celles des 2 casquettes qui se trouvent devant elle.
Peuvent-elles réussir à deviner la couleur de leur casquette et ainsi gagner le droit de la garder ?

Comment doivent-elles procéder ?

Résolution

Si les casquettes 1 et 2 sont de même couleur, la troisième fille peut répondre.
La 2^ème fille laisse le temps de la réflexion. Si la 3^ème ne répond pas c'est que les 1 et 2 sont de couleur identique.
La 2^ème fille peut alors donner la couleur de sa casquette qui est opposée à celle de la 1^ère.

Résultat

La 3^ème répond une couleur opposée si les 1 et 2 sont égales. Sinon la 2^ème dit la couleur opposée à la première.

08. La nuit est longue

Enoncé

La nuit est longue... Cinq amis se racontent un rêve récent pour chacun. Grâce aux propositions, retrouvez la nuit du rêve et son thème ainsi que l’âge de chacun.

PROPOSITIONS :

1. Samy a 4 ans de plus que la personne qui raconte son rêve de vendredi.
2. Le thème de la fortune ne concerne pas la personne de 28 ans.
3. Dimanche, on n'a pas rêvé de famille.
4. Eric, qui a fait un rêve érotique, a moins de 30 ans.
5. La personne qui raconte son songe de mardi a 34 ans, ce n'est pas Franck
6. Le moment historique a été imaginé 2 jours après que Charlotte a rêvé du travail.
7. Les rêves de Samy et Gloria ont eu lieu le week-end. Aucun des deux n'a 32 ans.

Résolution

Le résolution a été faite en cours.

09. Âge de Xavier

Enoncé

Xavier a calculé le produit de l'âge qu'il avait il y a 55 ans par l'âge qu'il aura dans 55 ans, et a obtenu un nombre premier au cube.

Quel est l'âge de Xavier ?

Résolution

(x - 55)(x + 55) = n³ ; A partir de n³ on peut mettre n dans le facteur (x - 55) et n² dans le facteur (x + 55)
n = x - 55 ; x = n + 55 ; n + 55 + 55 = n + 110 = n² ; n² - n - 110 = 0 ; ∆ = 1 + 440 = 441 ; √∆ = 21
n = ( 1 + 21)/2 = 11 ; 11 est un nombre premier ; x - 55 = 11 ; x = 66 ; x + 55 = 121 ; x = 66

Résultat

Xavier a 66 ans.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. Une galette des rois carrée

Enoncé

J’ai acheté une galette des rois carrée, si bien que la fève se trouve à 99 mm d’un coin, à 198 mm du coin suivant et à 148 mm du troisième coin.

A quelle distance se trouve-t-elle du dernier coin ?

Résolution

Utilisation de la loi du cosinus pour les triangles quelconques : cos A = (AC² + AB² - BC²)/ (2.AC.AB)
Sachant que les angles ABC et CBE sont complémantaires, on a cos ABC = racine(1 - cos²CBE) on aboutit à une équation du 4^ème degrè que je ne sais pas résoudre,
La solution est trouvée à l'aide de "Valeur cible" d'Excel.
Mais avant, si on donne la valeur 198 à BC (entre AC et CE) il n'y a pas de solution. Il y a une solution avec BC = 99.
Résultat : côté du carré = 226,369 ; GB = 48,24 ; GC = 86,45 ; FD = 139,92 ; FC = 178,13 ; DC = 226,51
Remarque : si on donne les valeurs AC = 198 ; BC = 148 ; CE = 99 ; Alors, côté du carré = 209,598 ; GB = 63,53 ; GC = 133,67 ; FD = 75,93 ; FC = 146,07 et DC = 164,62

Après le cours

Michel Bouchoux a fait une résolution bien plus astucieuse avec l'utilisation du théorême de Pythagore.

Résultat

La fève se trouve à 226,51 mm du quatrième point. Dans une autre configuration la distance est 164,62 mm.

12. Triple dont la somme est divisible par 3

Enoncé

Combien existe-t-il de triplets constitués de trois entiers distincts, pris entre 1 et 13 inclus, tels que la somme de ces trois nombres soit divisible par 3 ?

Résolution

La somme est un multiple de 3 et le maxi est 13 + 12 + 11 = 36. On a 11 sommes différentes possibles.

1 + 3 + 7 + 12 + 17 + 18 + 17 + 12 + 7 + 3 + 1 = 98

La solution "Calendrier septembre 2020"

Il existe trois types de nombres vis à vis de la divisibilité par 3 : n₀ = 3k ; n₁ = 3k + 1 ; n₂ = 3k + 2
Différentes associations de 3 de ces nombres permettent d'obtenir une somme divisible par 3 :

n₀ + n₀ + n₀ - Il y en a 4 (3 + 6 + 9 ; 3 + 6 + 12 ; 3 + 9 + 12 ; 6 + 9 + 12)
n₁ + n₁ + n₁ - 3 parmi 5 (1, 4, 7, 10, 13), il y en a 10
n₂ + n₂ + n₂ - 3 parmi 4 (2, 5, 8, 11), il y en a 4
n₀ + n₁ + n₂ - 4.5.4 = 80

Résultat

Il y a 98 triplets.

13. Combien de dialogues distincts

Enoncé

Igor et Pierre se livrent à un dialogue bien particulier : ils doivent dire, chacun à son tour, un entier positif inférieur ou égal à 100, mais en respectant le protocole suivant :
● Igor commence et doit dire à chaque fois un nombre impair ; Pierre répond à chaque fois par un nombre pair.
● Chacun d'eux doit dire un nombre plus grand que le nombre donné juste avant par l'autre (hormis Igor dans son premier choix cela va de soi).
● Bien sûr à un moment le dialogue se termine puisque l'un des deux ne peut plus choisir de nombre.
Par jeu ils recommencent l'expérience plusieurs fois, en prenant soin à chaque fois de ne pas répéter un dialogue déjà prononcé. Ils finissent quand même par se lasser en se demandant combien il peut bien y avoir de dialogues distincts !

Pouvez-vous leur donner la réponse ?

Solution "Ile Math"

Du plus simple au plus compliqué. Igor peut commencer par 99 (99.100 ; 1 solution), ou bien par 97 (97.100 ; 97.98.99.100 ; 2 solutions)
S'il commence par 95, il y a 5 dialogues. Voici quelques séries de dialogues, avec les dupplications :

n = 1, la série 1 qui commence à 99 (101 - 2n) est connue, nombre de dialogues = d₁ = 1.
n = 2, la série 2 qui commence à 97 (101 - 4) est connue, nombre de dialogues = d₂ = 2.
On doit calculer le nombre de dialogues d_n pour chacune des séries avec n = 3 à n = 50 (101 - 2.3 = 95 à 101 - 2.50 = 1).
Nombre de dialogues pour la série n : d_n = 3d_{n - 1} - d_{n - 2}.

Fichier Excel

Résultat

Il y a 354 224 848 179 261 915 075 dialogues différents.