708 (rab), Enigmes de Noël 2020, le 25 décembre 2020

Si vous avez fait suffisamment de math cette année, voici pour changer, une exposition que je vous recommande. : Matisse
Il y a un clin d’œil pour Grenoble, devinez ce que c’est avant de visualiser !

01. Comment repérer une fausse pièce

Enoncé

Ce problème est difficile. Des indices pour une solution sont donnés en fin d’énoncé.
Soient 12 pièces de monnaie ; toutes ont le même poids, sauf une, qui peut être plus lourde ou plus légère que les autres. Il faut identifier la pièce différente et dire si elle est plus lourde ou plus légère, en effectuant au maximum trois pesées sur la balance. La balance en question n’est pas graduée. Elle est constituée d'un fléau et de deux plateaux : soit ceux-ci sont en équilibre, soit le plus lourd descend.

Calcul

Voir 611.13
pdf
xlsm

Vérification de la solution proposée :

Hypothèses (x+ = lourde; x- = légère) a- a+ b- b+ c- c+ d- d+ e- e+ f- f+ g- g+ h- h+ i- i+ j- j+ k- k+ l- l+
Pesée n° 1 : abcd/efgh D G D G D G D G G D G D G D G D E E E E E E E E
Pesée n° 2 : acei/bdjk D G G D D G G D D G E E E E E E D G G D G D E E
Pesée n° 3 : begl/afij G D D G E E E E D G G D D G E E G D G D E E D G
Si GGG GGE GGD GEG GEE GED GDG GDE GDD EGG EGE EGD EEG EEE EED EDG EDE EDD DGG DGE DGD DEG DEE DED DDG DDE DDD
Alors c+ a+ f- h- g- b+ d+ e- j- k- i+ l+ l- i- k+ j+ e+ d- b- g+ h+ f+ a- c-

Résultat

Une solution ; Pesée 1 : abcd/efgh ; Pesée 2 : acei/bdjk ; Pesée 3 : begl/afij.

02. Qui est la dernière ?

Enoncé

A un examen Susie a obtenu moins de points que Marie ; Laurie moins de points que Lucie ; Noémie autant que Rosie ; Susie plus que Sophie ; Laurie autant que Marie et Noémie plus que Lucie.

Qui a obtenu la plus mauvaise note, Et qui la meilleure ?

Calcul

L'inéquation globale est : Sophie < Susie < Marie = Laurie < Lucie < Noémie = Rosie

Résultat

La plus mauvaise note est celle de Sophie et il y a deux ex aequo pour la meilleure note : Noémie et Rosie.

03. Maman et moi

Enoncé

Maman a 96 ans, soit 3 fois l’âge que j’avais quand elle avait mon âge.

Quand je suis né, maman avait … ?

Calcul

Mon âge actuel est x années
Il y a 96 - x années, maman avait mon âge actuel
A ce moment là, j'avais x - (96 - x) = 2x - 96 années
Egalité de l'énoncé 3(2x - 96) = 96 x = 64
Âge de maman quand je suis né 96 - 64 = 32

Résultat

Âge de maman quand je suis né : 32 ans.

04. Prix des bicyclettes

Enoncé

Alphonse achète deux bicyclettes aux prix P1 et P2. Il revend l’une 300 euros et perd 25%. Il revend l’autre 300 euros mais gagne 50%

Finalement, a-t-il un bénéfice ?

Calcul

25 % de perte sur P1 P1 - 300 = 0,25 P1 P1 = 400
50 % de gain sur P2 300 - P2 = 0,5 P2 P2 = 200
400 + 200 = 300 + 300 = 600

Résultat

Finalement il n'y a ni bénéfice ni perte.

05. Le butin

Enoncé

Après la guerre, le roi répartit le butin de 44 100 pièces d’or. Il fait des piles de 1, puis 3, 5, puis 7 … pièces. L’officier qui s’est le moins bravement battu reçoit la première pile. Le deuxième reçoit les deux suivantes, le troisième les trois suivantes etc ;

Combien d’officiers seront ainsi récompensés ?

Calcul

Les piles de pièces représentent la suite des nombres impairs. La somme des n premiers nombres impairs est n2
n2 = 44 100 ; n = 210 ; Nombre de pièces dans chaque pile : P1 = 1 ; P2 = 3 ; P3 = 5 ; Pn = 2n - 1 ; P210 = 420 - 1 = 419
On doit ensuite grouper ces piles suivant la progression des nombres entiers. La somme des n premiers nombres entiers est n(n + 1)/2
Combien peut-on faire de groupes avec 210 piles ? n2 + n = 420 ; n = 20
Vérification par le comptage des piles dans chaque groupe. (nb de pièces en tout = n2(n + 1)2/22).

Groupe n° n (= nb de piles) 1 2 3 4 n 19 20
Nb de piles en tout 1 3 6 10 n(n + 1)/2 190 210
Nb de pièces en tout 1 9 36 100 (n4 + 2n3 + n2)/4 36100 44100

Résultat

Vingt officiers seront récompensés.

06. Nombres à deux chiffres

Enoncé

Si on ajoute à un nombre à deux chiffres le carré de la somme de ses chiffres, on obtient le nombre original dont on a échangé les deux chiffres.

Quelle est la somme de tous les nombres qui vérifient cette propriété ?

Calcul

Soit donc un nombre de deux chiffres égal à 10d + u. Il faut que la transformation aboutisse à un deuxième nombre 10u + d.
Il faut que le 2ème soit supérieur au 1er car on a fait un ajout entre temps. 10u + d - 10d - u > 0 ; 9u - 9d > 0
u - d > 0 donc u > d. Deuxième condition, il faut que la différence 9(u - d) soit un carré. On peut examiner les différentes possibilités de (u - d)

u - d 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9(u - d) 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Racine de 9 = 3. Il faut que u - d = 1 et d + u = 3 ; d = 1 et u = 2 ; 12 est une solution.
Racine de 36 = 6. Il faut que u - d = 4 et d + u = 6 ; d = 1 et u = 5 ; 15 est une solution.
Racine de 81 = 9. Il faut que u - d = 9 et u + d = 9 ; d = 0 et u = 9 ; Mais 09 n'est pas un nombre à deux chiffres
Donc il y a deux solutions, et la somme des deux nombres est : 12 + 15 = 27.

Résultat

La somme des nombres est 27.

07. Les cent segments

Enoncé

J'ai tracé cent segments de droite de 1 cm de longueur, de façon à faire apparaître un certain nombre de carrés.

Combien de carrés d'aire 1 cm2 sont-ils entièrement dessinés, au maximum ? (32, 38, 40, 43 ou 50 carrés)

Calcul

Voir 301.12

Résultat

On peut faire 43 carrés de 1 cm2.

08. Seconde langue

Enoncé

Notre classe de 3ème comporte 13 filles, 15 élèves en espagnol et 7 en allemand (il n’y a pas d’autres seconde langue)

Avez-vous deviné la différence entre le nombre de filles en Espagnol et le nombre de garçons qui font Allemand ?

Calcul

Supposons que espagnol et allemand sont toutes les deux des secondes langue,
et que tout le monde pratique les deux langues.
Nombre total des élèves 15 + 7 = 22
Nombre de garçons 22 - 13 = 9
Nombre de garçons qui pratiquent l'espagnol x
Nombre de filles qui pratiquent l'espagnol 15 - x
Nombre de garçons qui pratiquent l'allemand 9 - x
Différence : filles en espagnol - garçons en allemand 15 - x - (9 - x) = 15 - 9 = 6

Résultat

La différece entre le nombre de filles en Espagnol et le nombre de garçons en Allemand est : 6.

09. Indice pour trouver la fausse pièce

Enoncé

Il existe un ensemble de 3 pesées 4 vs 4 qui permet de toujours trouver.
Ces pesées sont par exemple :
3 2 12 5 / 7 8 10 11
3 11 6 5 / 1 4 8 12
1 2 10 11 / 9 5 8 4
Choisissez une pièce et son poids + ou - et vérifiez que ces trois pesées permettent de l’identifier. Vous pouvez vérifier que ça marche pour toutes les 24 possibilités.

Pouvez-vous trouver un autre ensemble de trois pesées qui permette de trouver la fausse pièce et son poids sans partir de l’exemple de solution ?

Calcul

Hypothèse 1- 1+ 2- 2+ 3- 3+ 4- 4+ 5- 5+ 6- 6+ 7- 7+ 8- 8+ 9- 9+ 10- 10+ 11- 11+ 12- 12+
Pesée n° 1 : 3, 2, 12, 5 / 7, 8, 10, 11 E E D G D G E E D G E E G D G D E E G D G D D G
Pesée n° 2 : 3, 11, 6, 5 / 1, 4, 8, 12 G D E E D G G D D G D G E E G D E E E E D G G D
Pesée n° 3 : 1, 2, 10, 11 / 9, 5, 8, 4 D G D G E E G D G D E E E E G D G D D G D G E E
Si GGG GGE GGD GEG GEE GED GDG GDE GDD EGG EGE EGD EEG EEE EED EDG EDE EDD DGG DGE DGD DEG DEE DED DDG DDE DDD
Alors 8- 3+ 5+ 2+ 7- 10- 12+ 11- 4- 6+ 1- 9- 9+ 1+ 6- 4+ 11+ 12- 10+ 7+ 2- 5- 3- 8+

Résultat

Un autre exemple est donné à l'exercice 1.