611, Récréations logiques, Le 6 avril 2020

La logique a été bien formalisée par les grecs. Aristote donne le célèbre syllogisme "Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme donc Socrate est mortel.". La logique mathématique, comme branche des mathématiques s'est développée au 19ème siècle en particulier avec l'algèbre de Boole qui travaille sur un espace à deux variables : vrai ou faux. Avec l'électronique bien addaptée à traiter des 0 et des 1, la logique a trouvé un champ d'application immense.

Les exercices d'aujourd'hui vont manipuler des propositions vraies ou fausses.

01. Jeux de tables

Enoncé

Brillante, Comique et Crampante sont trois sœurs ayant 12, 13 et 14 ans. Chacune a son jeu préféré : cartes, dames et échecs.

12 13 14 Cartes Dames Echecs
Brillante a, Oui d, Oui
Comique b, Oui e, Oui
Crampante c, Oui c, Oui
Cartes
Dames
Echecs c, Oui
  1. Comique ne joue jamais aux échecs.
  2. L'enfant de 12 ans préfère les échecs.
  3. Brillante n'aime pas jouer aux dames.
  4. Crampante n'a pas 13 ans.
  5. Comique s'amuse parfois avec l'enfant de 13 ans.

Quel est l'âge de chaque enfant et quel est son jeu préféré ?

Calcul

a D'après (4) et (5), l'enfant de 13 ans n'est ni Crampante, ni Comique, c'est donc Brillante.
b D'après (1) et (2), Comique n'a pas 12 ans, et comme 13 ans est déjà affecté, elle a 14 ans.
c Il reste 12 ans pour Crampante, qui de plus, d'après (2), joue aux Echecs.
d D'après (3), Brillante ne joue pas aux Dames, Echecs est déjà affecté, donc ce sont les Cartes pour Brillante.
e Il reste les Dames pour Comique.

Résultat

Brillante Comique Crampante
13 ans, Cartes 14 ans, Dames 12 ans , Echecs

02. En plein air

Enoncé

Clara, Félix et Jacob demeurent sur la même rue. Chacun aime un sport différent et a un hobby préféré.

Patin Soccer Tennis Camping Course Marche 1025 1032 1040
Clara g, Oui h, Oui e, Oui
Félix f, Oui i, Oui e, Oui
Jacob g, Oui i, Oui d, Oui
1025 a, Oui
1032 b, Oui c, Oui
1040 b, Oui
Camping c, Oui
Course
Marche
  1. Félix ne demeure pas au 1032 et joue rarement au tennis.
  2. Clara ne demeure pas au 1040.
  3. Jacob fait rarement de la marche.
  4. L'un des trois préfère le patinage et le camping.
  5. L'ado du 1040 préfère le tennis.
  6. L'ado du 1025 ne sait pas patiner et n'a jamais joué au tennis.

Quel est le sport et le hobby de chaque ado ?

Calcul

a D'après (6), l'ado du 1025 ne patine pas et ne joue pas au tennis. Il est adepte de Soccer.
b D'après (5), l'ado du 1040 joue au tennis, donc celui du 1032 fait du patin.
c D'après (4), Camping et Patin vont ensemble, donc le 1032 fait du camping.
d D'après (2), l'ado du 1040 n'est pas Clara, c'est un joueur de tennis qui n'est pas Félix d'après (1). C'est Jacob.
e Le 1040 a son occupant, d'après (1) Félix n'est pas au 1032, donc il est au 1025 et Clara est au 1032.
f D'après (a) et (e), 1025 et Soccer, puis Félix et 1025. Donc Félix, Soccer.
g D'après (b) et (e), 1032 et Patin, puis Clara et 1032. Donc Clara, Patin. Il reste Jacob, Tennis.
h D'après (b), (c), (e) et (g), on a Patin, Camping, 1032, Clara.
i D'après (3), Jacob ne fait pas de marche, le Camping est pris, donc Jacob fait de la course et c'est Félix qui marche.

Résultat

Clara Félix Jacob
Patin, Camping, 1032 Soccer, Marche, 1025 Tennis, Course, 1040

03. Bon appétit

Enoncé

Six enfants sont assis à une table : trois d'un côté et trois de l'autre. Les enfants sont connus comme étant A, B, C, D, E et F.

Affirmation n° 5 4 3
Enfants E B D
C F A
Affirmation n° 1 2
  1. C est en face de E.
  2. A n'est pas en face de B.
  3. D est à gauche de B.
  4. B est au milieu de son côté.
  5. E et D sont du même côté.

Disposez les six enfants.

Calcul

Les informations sont à utiliser dans l'ordre 4 (qui permet de placer B au milieu), 3 (D à gauche de B), 5 (E à droite de B), 1 (C en face de E) et 2 ( A pas en face de B).

Résultat

On a d'un côté E, B et D, et de l'autre C, F et A.

04. Tournoi amical

Enoncé

Lors d'un tournoi amical, quatre équipes étaient en lice : Les Camarades, Les Futés, Les Gamins et les Poètes. Les capitaines des équipes étaient : Christophe, Dariane, Ignace et Magalie.

  1. L'équipe des Gamins a gagné quatre parties de plus que celle de Magalie.
  2. Magalie n'est ni la capitaine des Camarades ni celle des Poètes.
  3. L'équipe de Dariane et celle des Gamins ont gagné en tout sept parties.
  4. L'équipe de Christophe a gagné cinq parties.
  5. Ignace n'est ni le capitaine des Gamins ni celui des Camarades.
  6. Les gamins ont gagné deux parties de plus que l'équipe d'Ignace.

Trouvez, pour chaque équipe, le nom du capitaine et le nombre de parties gagnées.

Calcul

D'après (1) Magalie n'est pas la capitaine des Gamins.
D'après (2), elle n'est pas non plus la capitaine des Camarades, ni celle des poêtes. Elle est la Capitaine des Futés.
Ignace n'est pas le capitaine des Futés, puisque c'est Magalie. D'après (5), il n'est pas non plus celui des Gamins, ni celui des Camarades.
Donc Ignace est le capitaine des Poêtes.
D'après (3), Dariane n'est pas la capitaine des Gamins. Futés et Poètes sont casés. Dariane est la capitaine des Camarades.
Il reste Christophe qui est le capitaine des Gamins.
Ainsi les équations peuvent être uniformisées aux noms des équipes, avec C pour les Camarades, F pour les Futés, G pour les Gamins et P pour les Poêtes.
Système d'équations : G = F + 4 ; C + G = 7 ; G = 5 ; G = P + 2 ; La résolution est très aisée.
F = 1 ; C = 2 ; G = 5 ; P = 3.

Résultat

Equipe Les Camarades Les Futés Les Gamins Les Poètes
Capitaine Dariane Magalie Christophe Ignace
Nombre de parties gangnées 2 1 5 3

05. Le trésor

Enoncé

Vous entrez dans une pièce du palais des mille et une nuit. Il y a trois coffres devant vous portant chacun une inscription :

Coffre 1 Coffre 2 Coffre 3 Conclusion
Iscription T ici T pas ici T pas en 2
Si coffre 1 faux Pas ici Pas ici Pas en 2 Plausible, le T est en 3
Si coffre 2 faux Ici Ici Pas en 2 Incohérent
Si coffre 3 faux Ici Pas ici T est en 2 Incohérent

Une seule inscription est fausse. Trouvez où est le trésor.

Résultat

Le trésor est dans le coffre 3.

06. Tout plein de peluches

Enoncé

Avec :
   C = nb de chameaux
   P = nb de poules
   G = nb de girafes
1 C + G < 8 C < 8 - G
2 C + P > 7 C > 7 - P
3 P <= 6 P < 7
4 P + G <= 5 P + G < 6 P < 6 - G
5 G >= 2 G > 1

J'adore les peluches. Ainsi,

Ce qui fait en tout ... animaux en peluche toutes les nuits dans mon lit.

1
2
4 		C + G < 8
7 < C + P
P + G < 6
2G < 14 - 7 = 7
G < 4

Calcul

C + P + G = 5 + 3 + 2 = 10

Résultat

Toutes les nuits, j'ai 10 peluches dans mon lit, 5 chameaux, 3 poules et 2 girafes.

07. Sentier pédestre

Enoncé

Huit enfants marchent en file indienne dans un sentier en forêt. Chacun des enfants porte un gilet sur lequel apparaît une des cartes ci-dessous :

2 de ♣ 3 de ♦ 4 de ♠ 5 de ♥ 6 de ♠ 7 de ♣ 8 de ♦ 9 de ♥
  1. L'un des enfants de ♥ est immédiatement en avant du 6 de ♠.
  2. les deux enfants de ♠ sont dans les trois dernières positions et ne sont pas voisins.
  3. L'un des enfants qui est dans les quatre premières positions est entre deux enfants de ♦.
  4. L'un des enfants de ♣ est immédiatement en avant du 3 de ♦.
  5. La somme des numéros des trois premiers gilets est 15.
  6. La somme des numéros des trois derniers gilets est 17.

Quel enfant est en première position ?

Calcul

On a deux ♠ à la fin dont la somme est 4 + 6 = 10. Pour faire 17, la 3ème carte est 7, et c'est le 7 de ♣.
Un ♥ est devant le 6 de ♠. Cela nous donne la position des 4 derniers enfants : un ♥, 6 de ♠, 7 de ♣, et 4 de ♠.
Les chiffres 4, 6 et 7 étant éliminés, il nous reste 2, 3, 5, 8 et 9. Pour avoir une somme de 15 on peut prendre : 2, 5 et 8 ou 2, 4 et 9.
Il nous faut au moins un ♦ dans les trois premières positions. Avec 2, 4 et 9 il n'y a pas de carreau. C'est donc 2, 5 et 8 ; le 2 de ♣, le 5 de ♥ et le 8 de ♦.
Le 8 de ♦ étant dans les 3 premiers, l'autre ♦, le 3 de ♦ est en 4ème position.
Il y a un ♣ le 2 de ♣ devant le 3 de ♦, donc le 5 de ♥ est en première position.
L'ordre des enfants est celui-ci :

5 de ♥ 8 de ♦ 2 de ♣ 3 de ♦ 9 de ♥ 6 de ♠ 7 de ♣ 4 de ♠

Résultat

L'enfant qui porte le 5 de ♥ est en première position.

08. Esprit familial

Enoncé

Denise Je suis la fille de Bernard.
Je suis la fille de Claire. 		A1
A2
Claire Je suis la mère de Denise.
Je suis l'épouse de Barnabé. 		B1
B2
Boule Je suis le père de Denise.
Je suis l'époux de Carmen. 		C1
C2
Carmen Je suis la mère de Didier.
Je suis la mère de Denise. 		D1
D2

Trois familles sont composées chacune de trois personnes : le père, la mère et un enfant.

Chacun des membres suivants fait deux affirmations dont l'une est vraie et l'autre est fausse.

La première affirmation de Denise est vraie. Reconstituez chaque famille.

Calcul

On abrègera avec Be Bo Ba Ca Cl Cé Da De Di
Pour Bernard Boule Barnabé Carmen Claire Céline David Denise Didier

A1 est vraie (Be/De) entraine que C1 (Bo/De) est fausse. C'est donc C2 qui est vraie (Bo/Ca)
Donc A2 est fausse (Cl/De) entraine que B1 est fausse (Cl/De, non). C'est donc B2 qui est vraie (Ba/Cl)
On a deux couples Bo/Ca et Ba/Cl, le troisième est Be/Cé. Du coup De qui est fille de Be est aussi fille de Cé. Donc famille Be/Cé/De.
Donc Ca n'est pas la mère de De, D2 est fausse, c'est D1 qui est vraie : Ca/Di. Ainsi la 2ème famille est Bo/Ca/Di.
Il rest la 3ème famille : Ba/Cl/Da.

Résultat

Les trois familles sont : Bernard/Céline/Denise ; Boule/Carmen/Didier ; Barnabé/Claire/David.

09. Les billes

Enoncé

On dispose d'un grand nombre de billes numérotées dans l'ordre 1, 2, 3, 4 ... et de sept boîtes numérotées 1 à 7. En prenant les billes dans l'ordre de leur numéro, on remplit la boîte 1, puis la deux, jusqu'à la boîte 7, sachant que chaque boîte contient exactement une bille de plus que la précédente. On sait que la bille 26 a été mise dans la boîte 3 et que la bille 55 a été mise dans la boîte 6.

Combien de billes a-t-on mis dans la boîte 7 ?

Calcul

Boîte n° 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de billes x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
N° des billes 1 à x x + 1 à 2x + 1 2x + 2 à 3x + 3 3x + 4 à 4x + 6 4x + 7 à 5x + 10 5x + 11 à 6x + 15 6x + 16 à 7x + 21
Limitations strictes (bornes non comprises) 2x + 1 < 26 < 3x + 4 5x + 10 < 55 < 6x + 16

La limite haute de x est d'une part : 2x < 25 ; x < 12 ; d'autre part 5x < 45 ; x < 9 . Donc x < 9.
La limite basse de x est d'une part : 3x > 22 ; x > 7 ; d'autre part 6x > 39 ; x > 6 . Donc x > 7.
Donc x = 8 ; Nombre de billes dans la boîte n° 7 : x + 6 = 8 + 6 = 14.

Résultat

IL y a 14 billes dans la boîte n° 7.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N° Enoncé Calcul Résultat
Aa
2
1
Un cavalier qui se déplace en L part de la case 1 et va en 2. Combien au minimum doit-il visiter de cases avant d'atteindre la case noire ?
2
b c
1 a d
Le cavalier doit visiter 4 cases.
Le prof a fait un L aplati, 3 cases.
Ab Trois éléphants de collection ont coûté 55 €uros. Le premier a coûté deux fois plus que le deuxième. Le troisième a coûté trois fois moins que le premier. Quel est le coût de chaque éléphant ? 6x + 3x + 2x = 55 ; 11x = 55 ; x = 5 le 1er : 30 € ; le 2ème : 15 € ;
le 3ème : 10 €.
Ac
O N S C
Olivier a écrit la première lettre de cinq nombres. Trouvez le nombre qui devrait logiquement suivre. 		11, 9, 7, 5, Le nombre qui suit est Trois.
Ad A l'aide d'opérations simples, écrivez 60 en utilisant six 5 dont 55 sans utiliser la soustraction. [(55 x 5) + (5 x 5)]/5
Ba Quel est le nombre manquant dans : n x 12 = 168 ? 168/12 = 14 Le nombre manquant est 14.
Bb Le plus grand de trois nombres consécutifs est 27. Quelle est la somme des trois nombres ? 25 + 26 + 27 = 78 La somme des trois nombres est 78.
Bc Comment s'appelle un ensemble de cinq éléments ? C'est un quintuplet.
Bd On additionne -17 et 12. Quel est le résultat ? Le résultat est -5.
Be Combien peut-on tracer de diagonales dans un trapèze rectangle ? On peut tracer deux diagonales.
Bf Quel est le produit de 1,25 et de 8 ? 1,25 x 8 = 10 Le produit est 10.
Bg Combien faut-il de dizaines pour écrire 1000 ? 100 dizaines dans 1000.
Bh Combien de pouces y a-t-il dans un quart de pied ? 1 ft = 30,48 cm ; 1 in = 2,54 cm
30,48/(4 x 2,54) = 3 		Il y a 3 pouces dans 1/4 de pied.
Bi Quel est le rang de la lettre Q dans l'alphabet ? Q est la 17ème lettre.
Bj Un côté d'un polygone régulier mesure 12 cm. Son périmètre est de 60 cm. De quel polygone s'agit-il ? 60/12 = 5 Il s'agit d'un pentagone.

11. Pêche à la truite

Enoncé

Date / Heure 6h à 12h 12h à 18h 18h à 24h
6 juillet 42 41 49
7 juillet
8 juillet

Pierre est responsable d'un club de pêche. Chaque jour, il doit préciser sur un tableau le nombre de truites qui ont été prises. Après trois jours, Pierre a remarqué que le nombre de truites était identique dans chacune des rangées horizontales, verticales et diagonales. Mais en copiant son rapport, il a omis de reporter les nombre de truites prises les 7 et 8 juillet.

Complétez son rapport.

Déjà vu

Cet exercice a déjà été proposé le 5 novembre 2018. Voir 502, exercice 11.

12. Suite de nombres premiers

Enoncé

Différences entre deux nombres premiers
41 37 31 29 23 19 17 13
11 30 26 20 18 12 8 6 2
13 28 24 18 16 10 6 4
17 24 20 14 12 6 2
19 22 18 12 10 4
23 18 14 8 6
29 12 8 2
31 10 6
37 4

Sophie a écrit les neuf nombres premiers à partir de 11 sur 9 cartes. Elle veut placer ces cartes en lignes de sorte que la différence entre deux nombres voisins soit une puissance de deux.

Combien existe-t-il de rangements différents ?

Calcul

Les associations dont la différence est une puissance de 2 : ...

Il y a deux possibilités de faire le parcours complet : 11, 13, 17, 19, 23, 31, 29, 37, 41 et 17, 13, 19, 23, 31, 29, 37, 41 ; plus deux autres symétriques.

Résultat

Quatre rangements : 11, 13, 17, 19, 23, 31, 29, 37 et 41 --- 17, 13, 11, 19, 23, 31, 29, 37 et 41 --- 41, 37, 29, 31, 23, 19, 17, 13, et 11 --- 41, 37, 29, 31, 23, 19, 11, 13 et 17.

13. Les billes et la balance

Enoncé

On dispose de 12 billes indiscernables à l'oeil (c'est à dire de même apparence) dont une est un tout petit peu plus légère que les autres. On dispose aussi d'une balance de précisions, juste et fidèle, suffisamment sensible pour accuser la différence de masse de la bille la plus légère.

Comment feriez-vous pour déterminer (en trois pesées seulement) la bille qui est la plus légère ?
Même problème, mais on ne sait pas si la bille différente des onze autres est plus lourde ou plus légère. (il est possible de déterminer les trois pesées sans connaître les résultats de ces pesées).

Calcul

Ce problème a été abordé le 5 novembre 2018, c'est l'exercice 13 du 502. Cependant la deuxième question est différente.

Rappel succinct de la réponse à la première question

On divise les 12 billes en trois tas A, B et C de quatre billes chacun. On compare la masse totale de A et B
Si A = B on prend le tas C. Si A > B, on prend le tas B, si A < B on prend le tas A
Le tas choisi est divisé en deux tas de deux billes. On compare les masses totales de chacun des deux. On choisit le plus léger.
Il ne reste plus qu'à comparer chacune des deux billes du tas restant choisi.

Deuxième question

Une solution est proposée par le professeur : Pesée 1 : 3 2 12 5 / 7 8 10 11 ; Pesée 2 : 3 11 6 5 / 1 4 8 12 ; Pesée 3 : 1 2 10 11 / 9 5 8 4

En ordonnant la première pesée, les répartitions deviennent : abcd/efgh --- adhi/cfjk --- bghj/dfkl

Résultat

La première question se traite en trois pesées comme pour l'exercice n° 13 de 502. Pour la deuxième question, une des solutions est : Pesée 1 : abcd/efgh ; Pesée 2 : adhi/cfjk ; Pesée 3 : bghj/dfkl.

Voir :
pdf
xlsm