Lucien est ingénieur en ponts et chaussées. Chaque mois, il doit inspecter sommairement chacun des 11 ponts qui relient les deux rives du
fleuve St-Laurent.
Il doit partir d’une rive et y revenir. Il doit passer par chacun des ponts une et une seule fois. Il peut toutefois s’arrêter autant de fois
qu’il veut dans une île ou sur les rives.
Trouvez un chemin qui permet de passer par tous les ponts ou, à défaut, par le plus grand nombre de ponts.
Résolution
Deux stations sont critiques avec un nombre de ponts impairs : la rive nord et l'île Z. Si on était autorisé il faudrait partir de l'une
et arriver à l'autre. Mais l'énoncé ne nous l'autorise pas et donc un des ponts ne pourra pas être visité, le pont rive nord à île Z.
Le circuit sera : RN, W, RS, X, W, Y, X, RS, Z, Y, RN. Il manquera RN, Z.
Résultat
Visite de 10 ponts par : RN, W, RS, X, W, Y, X, RS, Z, Y, RN.
02. Le neuf romain
Enoncé
Dans les cellules, disposez chaque nombre de 1 à 8 pour que la somme soit 13 dans chacune des cinq rangées de
trois cellules reliées par une droite.
Résolution
Il y a une solution qui se duplique en 4 par le jeu des symétries.
5
2
6
1
4
8
5
6
2
1
8
4
7
3
7
3
7
3
7
3
1
4
8
5
2
6
1
8
4
5
6
2
03. Couleurs de Valet
Enoncé
♥
♣
♦
+
♥
♦
♦
+
♠
♥
♣
=
♠
♥
♥
♣
8
4
5
+
8
5
5
+
1
8
4
=
1
8
8
4
Valet a dessiné les quatre couleurs du jeu de cartes et les a disposées comme ceci pour former une addition.
Le cœur vaut 5, 6 ou 8. Le carreau vaut 2, 4 ou 5. Le pique vaut 1, 2 ou 3. Le trèfle vaut 3, 4 ou 5. Un chiffre différent doit être attribué
à chaque couleur.
Le Franc, hélas, s'est effondré, et le ministre des Finances produit au Conseil un projet de budget qui se traduit par un nombre astronomique.
Trouvant la somme abusive, le Président de la République ordonne :
- Réduisez-moi ça au tiers!
- Je vais faire faire l'opération par mes services, dit le financier.
Mais un de ses collègues, qui a des notions d'arithmétique, lui déclare :
- Pas la peine. Prenez donc le 8, le chiffre en tête de votre budget, et faites le passer à gauche, à la fin; le nouveau nombre sera exactement
le tiers du précédent.
La majorité des couples est facile à établir.
Pour Robert, ce sont les activités d'Isabelle et Gisèle qui départagent.
Barbara
Isabelle
Geneviève
Gisèle
Nadine
Rémi
Nicolas
Jacques
Thomas
Robert
La femme de Rémi fait une partie de pétanque avec le mari de Geneviève.
Barbara joue au ping-pong avec son mari Nicolas.
Jacques et sa femme Nadine font la sieste.
Isabelle n'est pas la femme de Thomas.
Geneviève fait une promenade avec Gisèle.
Robert n’est pas marié avec Geneviève.
Qui a épousé Robert ?
Résultat
C'est Gisèle qui a épousé Robert.
06. Sudoku expert
Enoncé
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
4
6
1
A
239
789
5789
29
578
38(9)
B
8
5
2
3
6
B
19
479
17
14(9)
C
7
6
C
139
129
489
4589
29
158
(1)348(9)
D
7
3
5
4
6
D
129
129
89
18
E
5
1
4
6
7
2
E
389
39
89
F
4
6
2
5
3
F
189
789
78
189
G
6
3
4
5
2
1
8
9
7
G
H
5
3
6
2
H
19
19
478
78
478
I
2
7
8
6
9
3
1
4
5
I
Observez les cases comportant la note 9. Vous pouvez éliminer deux possibilités 9 (sur la colonne de gauche)
Résolution
Il se pourrait que les 9 de A9, B9 et C9 ont été éliminé par la pavé D7:F9 dans lequel le 9 est obligatoirement en colonne 7.
Mais pour le 1 de A9 ?
On voit 19 camouflé en B1 et C2, mais ils n'ont ni la même ligne, ni la même colonne.
On voit aussi 19 camouflé en B1 et C1. Est-ce que cela permet d'éliminer tous les 1 et 9 de la colonne 1 ? Réponse non car en F1 il faut 1.
...
Correction
Le but était simplement de montrer qu'en introduisant 9 en E1 puis 1 en C1 on obtient une incohérence sous la forme de deux solutions
uniques 1 et 9 dans la même case F9.
De même, après avoir ajouté 9 en F1 puis 1 en C1 on obtient une incohérence sous la forme de deux solutions uniques 3 et 8 dans la même case E1.
07. Âge de la princesse
Enoncé
Une princesse a l'âge que le prince aura quand la princesse aura le double de l'âge que le prince avait quand l'âge de la princesse était
la moitié de la somme de leur âge actuel.
Quels sont les âges des deux enfants ?
Résolution
Avec x l'âge actuel du prince et y l'âge actuel de la princesse.
La demi somme des âges actuels est (x + y)/2 ; temps écoulé depuis que la princesse avait cet âge : y - (x + y)/2 = (y - x)/2
A ce moment là le prince avait : x - (y - x)/2 = (3x - y)/2. Le double de cet âge passé est 3x - y
Temps nécessaire pour que la princesse atteigne cet âge : 3x - y - y = 3x - 2y
A ce moment là le prince aura : x + 3x - 2y = 4x - 2y
L'âge actuel de la princesse est cette valeur : y = 4x - 2y : 3y = 4x. Il y a plusieurs solutions.
Solution n°
1
2
3
4
5
...
Âge du prince
3
6
9
12
15
...
Âge de la princesse
4
8
12
16
20
...
Correction
x + y doit être pair car on fait à un moment la demi somme. Cela élimine 3 + 4 et 9 + 12 (et 15 + 20).
Il reste 6 + 8 et 12 + 16. Pour ce dernier cas on considère que ce sont des adolescents.
Résultat
La princesse a 8 ans et le prince en a 6.
08. UN + UN + NEUF = ONZE
Enoncé
Tout est dans le titre
Résolution
8
1
+
8
1
+
1
9
8
7
=
2
1
4
9
Résultat
N = 1 ; O = 2 ; E = 9 ; F = 7 ; U = 8 ; Z = 4.
09. Périmètre du triangle
Enoncé
Les longueurs des côtés d’un triangle, exprimées en centimètres, sont les entiers naturels 13, x et y. On sait que xy = 105.
Quel est le périmètre de ce triangle ?
Résolution
105 = 1.3.5.7. Il y a quatre solutions :
13 + 1 + 105 = 119
13 + 3 + 35 = 51
13 + 5 + 21 = 39
13 + 7 + 15 = 35
Correction
Grossière erreur, un grand nombre des triangles ne sont pas réalisables. Il faut que x + y > 13 et |x - y| < 13
Il ne reste qu'une solution : 13 + 7 + 15
Résultat
Le périmètre du rectangle est 35 centimètres.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
Mathieu et Hélène ont joué en tout 35 parties de hockey. Il manque quatre parties à Mathieu pour en avoir le
double d'Hélène. Combien Mathieu a-t-il joué de parties ?
m + h = 35 ; m + 4 = 2h
Mathieu a joué 22 parties.
b
Quelle est la valeur de N dans cette égalité ? N - N/4 = 33
N = 44
c
Je pense à un nombre pair. Je le divise par 2. J’additionne 5. Je divise par 2. J’obtiens 7. Quel est le nombre
auquel j’ai pensé ?
n/2 + 5 = 14 ; n/2 = 9
n = 18
d
Déplacez trois cure-dents pour que l’égalité soit vraie.
Le corrigé est : 8 - 2 = 6.
11. Intersection de bissectrices
Enoncé
Dans le triangle PQR, rectangle en P, les bissectrices des angles aigus se coupent en K. Si la distance de K à l’hypoténuse est racine (8),
quelle est la distance de K à P ?
Corrigé
K, point d’intersection de deux bissectrices, est le centre du cercle inscrit au triangle (la troisième bissectrice passe aussi par K).
Le rayon du cercle inscrit est √(8) et la distance KP est donc la diagonale d’un carré de côté √(8) soit √(16) = 4.
Résultat
KP = 4.
12. Nombre premier
Enoncé
Déterminer tous les nombres premiers p, tel que p-10 et p+10 soient aussi premier.
Résolution
Ca marche avec 3, 13 et 23. Cela ne marche pas avec 7, 17, 27 (27 n'est pas premier). Pas d'autre solution jusqu'à 100 000.
Comment le démontrer ?
Corrigé
Solution Calendrier décembre 2020
p est plus grand que 10 . 13 est solution
Comme p premier, il n’est pas divisible par 3, donc le reste de la division de p par 3 est 1 ou 2
Si le reste est 1, p = 3k + 1 ; p - 10 = 3k - 9 . est donc divisible par 3. Seul 3 est premier
Si le reste est 2, p = 3k + 2 ; p + 10 = 3k + 12 est alors divisible par 3 et n’est pas premier
13 est la seule solution
Il faut remarquer que : (1 + 1/n)[1 - 1/(n + 1)] = [(n + 1)/n](n + 1 - 1)/(n + 1) = 1
Le produit des 998 premiers facteurs est égal à 1. Le produit final est la valeur du dernier facteur : 1 + 1/1000 = 1,001
Résultat
La valeur du produit est : 1,001.
14. L'âge de ces dames
Enoncé
Albert et Bertrand, tous deux amateurs d'énigmes et fins calculateurs, se promènent en discutant lorsqu'ils voient arriver au loin un
groupe de 3 personnes en train de cueillir du muguet. « Tiens, voilà Clémence, Dulcinée et Eugénie. Il faut que je te les présente, dit
Albert. Mais, bien qu'elles aient toutes moins de 40 ans comme nous, il est impoli de mentionner l'âge des dames. Cependant, je suis sûr que
tu peux les deviner si je te dis que le produit de leurs âges est égal à 3510 et que leur somme est le double de ton âge.»
Bertrand réfléchit quelques instants et dit : « Désolé, mais je ne trouve pas. »
« Ah oui, poursuit Albert, j'avais oublié de préciser que, contrairement à toi, je suis plus âgé que chacune des trois. »
« Ça y est, j'ai trouvé ! » s'écrie alors Bertrand.
Précisons que les âges de ces 5 personnes sont tous des nombres entiers. Par ailleurs, Albert et Bertrand connaissent leurs âges respectifs.
Question : Quel est l'âge des 5 protagonistes de cette histoire ?
On supposera que Clémence est la plus jeune des 3 filles et qu'Eugénie est la plus âgée.
Résolution
3510 = 1.2.3.3.3.5.13. Les âges possibles sont :
Âges
39, 30, 3
39, 18, 5
39, 15, 6
39, 10, 9
30, 13, 9
27, 26, 5
27, 13, 10
26, 15, 9
18, 15, 13
Sommes
72
62
60
58
52
58
50
50
46
Âge de Bertrand
26
29
25
25
23
Bertrand et Albert n'ont pas le même âge. Ils ont moins de 40 ans. Bertrand est le plus jeune, il a 38 ans au maximum, le double est 76.
Toutes les sommes sont paires. La plus âgée doit avoir moins de 38 ans ce qui exclut les 4 premières combinaisons. Il en reste 5.
L'âge de Bertrand étant inférieur à celui de la plus âgée, cela élimine 2 possibilités. Il en reste trois, que je ne sais pas départager.
Résultat
Il reste trois solutions à trier
Personne
Albert
Bertrand
Eugénie
Dulcinée
Clémence
Solution n° 1
> 30 et < 40
26
30
13
9
Solution n° 2
> 27 et < 40
25
27
13
10
Solution n° 3
> 26 et < 40
25
26
15
9
Correction
Si Bertrand ne peut pas répondre c'est qu'il y a deux solutions qui donnent son âge, c'est à dire 27, 13, 10 ou 26, 15, 9
Si Albert a 28 ans les deux solutions sont acceptables. Si Albert a 27 ans on élimine la première et avec 25 ans pour Bertrand ça marche.
Résultat
Albert : 27 ans ; Bertrand : 25 ans ; Eugénie : 26 ans ; Dulcinée : 15 ans ; Clémence : 9 ans.
