813, Récréations magiques, le 9 mai 2022

01. Kangourou CM1

Enoncé

Les âges d'un groupe de kangourous sont 2, 4, 5, 6, 8 et 10 ans. La somme des âges de quatre d'entre eux est 22 ans.

Quels sont les âges des deux autres ,

Résolution

Globalement : 2 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 = 35 ; 35 - 22 = 13 ; On peut faire 13 avec : 8 + 5 = 13.

Résultat

Les âges des deux autres sont : 5 et 8 ans.

02. Cubes numérotés

Enoncé

a d e 4 3 7 4 7 3 8 1 5 8 5 1
b f 2 6 2 6 2 6 2 6
c g h 8 1 5 8 5 1 4 3 7 4 7 3

Dorothée dispose huit cubes comme ci-contre. Elle prend huit autocollants numérotés de 1 à 8. Son intention est de poser les collants sur la face visible des cubes. La somme des numéros doit être 14 dans chacune des cinq rangées de trois cubes.

Quel collant Dorothée devra-t-elle apposer sur le cube situé au centre de la colonne de gauche ?

Résolution

Il faut remarquer que seul b n'est pas à un croisement. Dans le total 5 x 14 = 70 ; tous les chiffres de 1 à 8 sont comptés 2 fois, sauf b qui n'est compté qu'une fois.
Par ailleurs on connait la somme 1 + 2 + 3 + ... + 8 = 8.9/2 = 36 ; d'où 2(a + c + d + e + f + g + h) + b = 70
Par différence avec a + b + c + d + e + f + g + h = 36 ; on a : a + c + d + e + f + g + h = 70 - 36 = 34 et b = 36 - 34 = 2.

Résultat

Le cube au centre de la colonne de gauche vaut 2.

Complément de Christophe

Christophe nous fait remarquer qu'on peut aussi calculer la valeur collée au centre de la croix, la valeur f.
En effet on connait a + d + e + c + g + h = 2.14 = 28 = S1 ; f = a + b + c + d + e + f + g + h - S1 - b = 36 - 28 - 2 = 6.

03. Sylvain en avril

Enoncé

Mercredi (p) Jeudi Lundi (p)
Mercredi Vendredi Dimanche
Mardi (p) Samedi Dimanche (p)

Sylvain prend une feuille du calendrier d’un mois d’avril dont le premier jour est un jeudi. Il découpe les quantièmes. Il désire coller dans chaque case d’une grille 3 x 3 un quantième qui correspond au jour de la semaine donné. Le symbole (p) signifie que le quantième est pair. Sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans chaque diagonale, la somme doit être 27.

Dans chaque case, inscrivez un quantième.

Résolution

Dans le calendrier du mois d'avril, il n'y a souvent que 2 possibilités d'avoir un impair ou un pair.

Pairs Impairs
Jeudi 1 8 15 22 29 1, 15, (29)
Vendredi 2 9 16 23 30 9, 23
Samedi 3 10 17 24 3, 17 14 1, 15, 29 12, 26 14 1 12
Dimanche 4 11 18 25 4, 18 11, 25 7, 21 9, 23 11, 25 7 9 11
Lundi 5 12 19 26 12, 26 6, 20 3, 17 4, 18 6 17 4
Mardi 6 13 20 27 6, 20
Mercredi 7 14 21 28 14, (28) 7, 21

Résultat

Voir le résultat ci-dessus à droite.

Complément de Christophe

Il est à remarquer qu'avec un total de 27, on peut éliminer les quantièmes 27 à 30. Du coup, il apparaît une solution unique.

04. Timbres de Mario

Enoncé

a b c 5 8 3
d e f 2 6 10
g h i 9 4 7

Mario trace un carré de neuf cases et veut placer respectivement 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10 timbres dans chacune des cases. Sur les premières rangées horizontales et verticales, il doit y avoir 16 timbres. Sur les deuxièmes rangées horizontales et verticales de même que sur chacune des deux diagonales, il doit y en avoir 18. Sur les troisièmes rangées horizontales et verticales, il doit y en avoir 20. Le 2 est à la gauche du 6.

Disposez les timbres.

Résolution

A : Les 4 égalités médianes d + e + f = b + e + h = a + e + i = c + e + g = 18
B : Somme des 4 égalités a + b + c + d + 4e + f + g + h + i = 4.18 = 72
C : Somme secondaire des timbres utilisés a + b + c + d + e + f + g + h + i = 10.11/2 - 1 = 54
D : Différence B - C 3e = 72 - 54 = 18 e = 6
2 est à gauche du 6 d = 2 f = 10
Pour faire 16 avec 2, on a 2 + 4 + 10 (interdit); 2 + 5 + 9 ; 2 + 6 + 8 (interdit)
a = 9 ne marche pas à cause de la valeur trop forte sur la première horizontale et la première verticale
a = 5 Le reste suit très facilement

Résultat

Voir le résultat en haut à droite.

05. Crayons de Junon

Enoncé

...

Junon prend quatre crayons. Elle les assemble pour qu’une extrémité d’un crayon touche à au moins une extrémité d’un autre. Aucun crayon ne doit être superposé à un autre. Elle a trouvé les trois dispositions ci-contre. Elle montre cela à son professeur. Celui-ci lui dit :
- Il y a deux autres façons de disposer quatre crayons pour qu’une extrémité d’un crayon touche à au moins une extrémité d’un autre.

Trouvez les deux autres façons de disposer quatre crayons. Et avec 5 crayons ?

Résolution

...

Résultat

Voir les deux autres façons sur le dessin ci-dessus. Avec 5 crayons on trouve 9 dispositions.

Complément

En cours, on a trouvé trois autres dispositions avec 5 crayons, ce qui fait un total de 12 . Voir ci-dessus.

06. Voleurs de draps

Enoncé

Des malfaiteurs volent un stock de draps. Ils décident de le partager équitablement entre eux. Si chacun en reçoit six, il en reste six. Et si chacun en reçoit sept, il en manque sept.

Combien de draps ont-ils volés ?

Résolution

Avec v et d les nombres respectifs de voleurs et de draps
On a d = 6v + 6 d = 7v - 7 6v + 6 = 7v - 7 v = 13
d = 13.6 + 6 d = 84
Vérification 84 = 6.13 + 6 84 = 7.13 - 7

Résultat

Les malfaiteurs ont volé 84 draps.

07. Jour d'anniversaire

Enoncé

J'ai écrit sur une feuille le jour de ma naissance et le numéro du mois de ma naissance.
J'ai multiplié mon jour de naissance par 12 et mon mois de naissance par 31.
J'additionne les deux résultats et j’obtiens: 639.

Quelle est ma date d'anniversaire?

Résolution

Avec ; j ; le jour de la naissance et ; m ; le mois de la naissance ; on a ; 12j + 31m = 639
j = (639 - 31m)/12 ; 639 - 31 m est un multiple de 12 ; 639 = 12.53 + 3 ; (31m + 3)/12 est un entier

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
31m - 3 28 59 90 121 152 183 214 245 276 307 338 369
j = (639 - 31m)/12 30

Résultat

Mon anniversaire est le 30 septembre.

Complément

On peut limiter le tatonnement, en cherchant la plus petite valeur qu'on peut donner à m, à partir de la relation 12j + 31 m = 639, dans laquelle on donne la valeur maxi à j (j = 31) ; 31m = 639 - 372 ; m = 8,61 ; Il ne reste plus qu'à essayer les valeurs 9 à 12 de m.
La relation 12j + 31m = 639 est dite diophrantienne. Elle a une infinité de solutions, sauf si on impose des valeurs entières et positives aux variables.

08. Age de l'ainée

Enoncé

Les parents de Tchekhov ont trois filles. La moyenne d'âge des deux brunes est 11 ans ; celle des deux frisées est 12 ans. Et la moyene d'âge des trois est 10 ans.

Quelle est l'âge de l'ainée.

Résolution

Avec a, b, c Les âges des trois filles
On a (a + b)/2 = 11 (b + c)/2 = 12 (a + b + c)/3 = 10
a + b = 22 b + c = 24 a + b + c = 30
b = 24 - c a = 22 - 24 + c = c - 2 a + b + c = 30 c - 2 + 24 - c + c = 30
c = 8 b = 24 - 8 = 16 a = 8 - 2 = 6

Résultat

L'ainée a 16 ans.

Complément

En cours, on s'est amusé à compléter la connaisance : a et b sont brunes ; b et c sont frisées ; Donc b est à la fois brune et frisée ; a est brune et c est frisée.

09. Code à 4 chiffres

Enoncé

Trouvez le code secret à 4 chiffres, sachant que la somme des 4 chiffres est 13, que le chiffre des milliers est 2 fois plus grand que celui des unités, que le chiffre des centaines est 3 fois plus grand que celui des dizaines.

Résolution

Avec ; abcd ; le code ; a = 2d ; b = 3c ; a + b + c + d = 3d + 4c = 13 ; c = (13 - 3d)/4

d 1 2 3 4 5
c = (13 - 3d)/4 5/2 7/4 1 1/4 <0

Résultat

Le code est : 6313

Complément

3d + 4c = 13 est encore une relation diophantienne.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a
=
+ = 3
Dans le tableau, placez, sauf le 3 et le 4, les chiffres de 0 à 9 chacun une seule fois.
Correction en cours : il faut un x à la place du ☐.
8 x 7 = 56 et 21 + 9 = 30 ; ou bien
7 x 8 ou bien 29 + 1
b Paulin a placé dans un bocal un certain nombre de jetons qui valent 5, 10 ou 25 points. Il prend le même nombre de jetons de chaque valeur. Il compte alors 200 points. Combien Paulin a-t-il pris de jetons en tout ? (5 + 10 + 25 )x = 200 x = 5 ; Paulin a pris 15 jetons en tout.
c
...
Dans cette figure, Mathias compte le nombre de carrés qui sont reliés à au moins quatre carrés voisins. Combien y a-t-il de tels carrés ?
4 carrés.
d Quand on élève 3 au carré, le résultat qui est NEUF a quatre lettres. Trouvez un autre nombre dont le carré a quatre lettres. 102 = CENT

11. L'âge des enfants

Enoncé

Pour se débarrasser d'un importun qui vient de l'aborder, une femme le prévient : « Je suis mariée et mère de quatre enfants... ».
L'homme répondit étrangement : « Quels sont le produit et la somme de leurs âges ? »
Interloquée, après un rapide calcul mental, la femme répondit : « 126 et la somme est justement le numéro de la maison en face ! »
L'homme réfléchit un instant avant de répondre : « Je ne trouve pas leurs âges. »
La femme, prise au jeu : « Le plus petit ne parle pas encore. »
L'homme : « Maintenant, je sais. »

Trouvez l’âge des enfants.

Résolution

126 = 1.2.3.3.7 ; Les âges peuvent être : 1 + 2 + 3 + 21 = 27 ; 1 + 2 + 7 + 9 = 19 ; 1 + 3 + 6 + 7 = 17 ; 2 + 3 + 3 + 7 = 15
Un enfant parle à 2 ans, on élimine la solution 4 ; De 3 à 21 cela fait 18 ans d'écart, c'est beaucoup, on élimine la solution n° 1
Comment départager les solutions n° 2 et 3 ? Je ne sais pas.

Résolution faite pendant le cours

La décomposition en facteurs premiers est en effet utile. Vu que le dernier ne parle pas, il a 1 an. Le facteur 1 doit être considéré, et même, pourquoi pas 2 jumeaux de 1 an. La liste des possibilités devient :

Liste des âges 1+1+1+126 1+1+2+63 1+1+3+42 1+1+6+21 1+1+7+18 1+1+9+14 1+2+3+21 1+2+7+9 1+3+3+14 1+3+6+7 2+3+3+7
Somme 129 67 47 29 27 25 27 19 21 17 15

Au premier passage, il connait la somme car il voit la maison d'en face. S'il ne peut pas répondre, c'est que cette somme correspond à deux possibiltés, en l'occurence 1 + 1 + 7 + 18 ou 1 + 2 + 3 + 21. Au deuxième passage, il sait qu'il n'y a qu'un seul enfant qui ne parle pas. La solution est donc : 1, 2, 3, 21

Résultat

Les âges des quatre enfants sont : 1, 2, 3 et 21 ans.

12. Kaluro

27\ 26\ 15\ 24\ 9\
\23 6 8 9 \16 9 7
6\9 1 2 6 13\10 8 2
\11 1 3 7 6\16 9 7
\23 2 8 9 3 1 \28 \6
\12 3 9 18\10 2 3 4 1
8\ 11\6 5 1 21\14 9 5
\23 6 8 9 \17 9 8 15\
\6 2 1 3 \11 4 1 6
\3 2 1 \23 8 6 9

Enoncé

Il s’agit de remplir cette grille avec des chiffres de 1 à 9 sachant que sur chaque ligne ou colonne, tous les chiffres sont différents et la somme des chiffres sur une ligne ou colonne est indiquée. Le carré bleu n’a pas de signification.
Complément : Les chiffres différebtsn ce n'est pas sur toute la ligne ou la colonne, c'est seulement dans la partie avec une somme donnée.

Pour cette grille, essayez de la remplir sans noter d’hypothèse mais en plaçant uniquement les chiffres dont vous êtes sûr (exemple en haut à droite, c’est un 7)

Résultat

Voir le résultat ci-contre.

13. Le navire XYZNPT

Enoncé

Un navire a X cheminées, Y hélices et un équipage de Z hommes. Il a été lancé le jour N du Pème mois de l'année 1900 + T (T étant un nombre entier compris entre 1 et 99). Le produit X Y Z.N.P.T augmenté de la racine cubique de l'âge du capitaine est 4 752 862.

Combien y a-t-il d'hommes à bord ? Quelle est la date de lancement ?

Résolution

Ce problème ressemble à celui du 20 mai 2019, n° 512.05, avec des valeurs différentes.
L'âge du capitaine est une puissance de 3 ; 33 = 27 ; 43 = 64 ; 53 = 125 ; Le capitaine a soit 27, soit 64 ans.
Si l'âge est 27 ; 4 752 862 - 3 = 4 752 859 = 347.13697. Facteurs beaucoup trop grands et pas assez nombreux.
Si l'âge du capitaine est 64 ; 4 752 862 - 4 = 4 752 858 = 2.3.11.23.31.101 ; 2 et 3 sont certainement les nombres d'hélices et de cheminées ; 101 est le nombre d'hommes à bord.
23 et 31 ne peuvent pas être le mois. Le mois est 11 (novembre) qui n'a pas 31 jours ; 31 est l'année et 23 le jour.
Z = 101 ; N = 23 ; P = 11 ; T = 31.

Résultat

Il y a 101 hommes à bord et la date de lancement est le 23 novembre 1931.

14. Jumeaux en classe

Enoncé

Sachant que 3 naissances sur 250 donnent des jumeaux, y a-t-il plus ou moins d’une chance sur deux d’avoir au moins un jumeau dans une classe de 30 élèves ?

Résolution

Donc sur 250 accouchements, il nait 247 enfants simples et 6 jumeaux. Donc 6 jumeaux pour 253 élèves.
Un enfant isolé a 247 chances sur 253 de ne pas être jumeau.
Parmi les 30 élèves de la classe la probabilté de ne pas avoir un enfant jumeau est (247/253)30 = 0,487.
La probabilté d'avoir un enfant jumeau dans la classe de 30 est : 1 - 0,487 = 0,513.

Résultat

La probabilité d'avoir un enfant jumeau dans une classe de 30 est supérieure à 1 sur 2.

Calcul direct

La résolution de ce problème a été l'objet d'échanges très enrichissants avec Christophe et Michel Bouchoux. Il est important d'en garder la trâce.
Nous avons fait un calcul indirect, le calcul de la probabilité de n'avoir aucun jumeau, qui est obtenu à partir de la probabilté qu'un élève isolé ne soit pas jumeau, c'est à dire le rapport 247/253. Ensuite pour que les trente élèves soient tous non jumeaux on fait le produit (30 fois) : (247/253)30. Enfin La probabilité d'avoir au moins un jumeau est 1 - (247/253)30.
Pourquoi faire un calcul indirect ? Réponse : parce que s'est beaucoup plus simple. Pour s'en convaincre, voici deux méthodes du calcul direct de la probabilité d'avoir au moins un jumeau dans la classe de 30.

Méthode 1 communiquée par Christophe

Il s'agit de compter toutes les possibilités d'apparition d'un jumeau sous ses différentes formes : un jumeau tout seul aux rangs 1 à 30, 2 jumeaux sur chacune des possibilités binaires aux différents rangs ...
On appelle p la probabilité d'apparition d'un jumeau isolé, p = 6/253, et n le nombre de jumeaux apparus dans la classe de 30.
La probabilité d'apparition de ces n jumeaux est donc pn, à des positions (des rangs) différentes. Lorsque n = 1, il y a 30 possibilités. Par contre si n = 2, chacune des 30 positions peut être associée aux 29 autres, chaque couple n'étant compté qu'une fois, donc divisé par 2.
Si n = 3, chacune des possibilités pour n = 2 peut être associée aux 28 autres, sans oubier la division par 3.
Prenons l'exemple simplifié d'une classe de 6 au lieu de 30.

n = 1 1 jumeau dans la classe 6 Liste des 6 positions : 1, 2, 3, 4, 5, 6
n = 2 2 jumeaux 6 x 5 / 2 = 15 Liste des 15 positions : 12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56
n = 3 3 jumeaux 15 x 4 / 3 = 20 Liste des 20 positions : 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456
n = 4 4 jumeaux 20 x 3 / 4 = 15 Liste des 15 positions : 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456
n = 5 5 jumeaux 15 x 2 / 5 = 6 Liste des 6 positions : 12345, 12346, 12356, 12456, 13456, 23456
n = 6 6 jumeaux 6 x 1 / 6 = 1 La seule possibilité : 123456

En définitive, kn, le nombre de possibilités de grouper n élèves parmi 30 est kn = k(n - 1) + (31 - n)/n. Voilà pour le coefficient k, et donc la probabilité d'avoir n jumeaux dans la classe qui est knpn. Mais parallèlement (c'est un et), il faut qu'on ait aussi 30 - n autres élèves non jumeau. Cette probabilité partielle est : (1 - p)(30 - n)
La probabilité globale d'avoir n jumeaux dans la classe est : Pn = knpn(1 - p)(30 - n)
On doit ensuite ajouter toutes ces probabilités pour n de 1 à 30 pour connaître la probabilité d'avoir au moins un jumeau dans la classe. Mais on verra que très vite les probabilités partielles deviennent très faibles et il n'est pas forcément nécessaire d'aller jusqu'à n = 30.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(31 - n)/n 30 29/2 28/3 27/4 26/5 25/6 24/7 23/8
kn = k(n - 1) + (31 - n)/n 1 30 435 4 060 27 405 142 506 593 775 2 035 800 5 852 925
pn 1 0,023715 0,562.10-3 1,334.10-5 3,163.10-7 7,502.10-9 1,779.10-10 4,219.10-12 1,001.10-13
(1 - p)(30 - n) 0,486735 0,498559 0,510670 0,523075 0,535781 0,548796 0,562127 0,575782 0,589768
Pn 0,486735 0,354706 0,124937 0,028326 4,645.10-3 5,867.10-4 5,938.10-5 4,946.10-6 3,454.10-7
Somme des Pn (de 0 à n) 0,486735 0,841441 0,966378 0,994704 0,999349 0,999935 0,999995 0,99999963 0,99999998
Somme des Pn (de 1 à n) 0,354706 0,479643 0,507969 0,512613 0,513200 0,513259 0,513264 0,513265

Deuxième méthode non traditionnelle

Plutôt que de compter les probabilités suivant les nombres de jumeaux, on peut se dire que dès qu'on a un jumeau on est dans le cas d'une classe ayant au moins un jumeau. Donc on essaye de dénombrer pour chaque n° d'élève la probabilité de l'apparition du premier jumeau à ce rang n.
Pour réaliser cette condition au rang n, il faut que - 1 - les rangs 1 à (n - 1) soient tous non jumeaux - 2 - le rang n soit jumeau.
La probabilité de n'avoir aucun jumeau sur les (n - 1) premiers rangs est (1 - p)(n - 1), avec p = 6/253.
La probabilité d'avoir 1 jumeau est p = 6/253.
La probabilité d'apparition du 1er jumeau au rang n est le produit des deux : (1 - p)(n - 1)p.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Probabilité 0,023715 0,023153 0,022604 0,022068 0,021545 0,021034 0,020535 0,020048 0,019572 0,019108 0,018655 0,018213 0,017781 0,017359 0,016947
n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Probabilité 0,016545 0,016153 0,015770 0,015396 0,015031 0,014674 0,014326 0,013987 0,013655 0,013331 0,013015 0,012706 0,012405 0,012111 0,011824

La somme des probabilités partielles pour n de 1 à 30 est : 0,513265.
Toutes ces valeurs ont été confrontées à un tirage aléatoire de 1 million de classes de 30. Les écarts obtenus sont inférieurs à 1 % autant pour ces probabilités partielles du nombre de premier jumeau que du nombre de classes ayant n jumeaux.