812, Récréations intimes, le 11 avril 2022

01. Diners intimes

Enoncé

Quand nous dînons tous les deux seuls, ma femme et moi, il nous faut une bouteille de vin tous les cinq jours. Quand je suis seul, il me faut une bouteille de vin par semaine. Cette année, je dois me rendre en Nouvelle-Calédonie pour mes affaires entre le 1er mars et le 13 juin. Combien ma femme va-t-elle boire de bouteilles de vin pendant ce temps, en supposant que mon absence ne la fasse pas sombrer dans l'alcoolisme ?

À vous de jouer

Résolution

L'homme et la femme boivent ensemble 1/5 de bouteille par jour,
L'homme tout seul boit 1/7 de bouteille par jour,
La femme toute seule boit 1/5 - 1/7 = (7 - 5)/35 ) 2/35 de bouteille par jour,
Du 1er mars au 13 juin il y a : 31 + 30 + 31 + 13 = 105 jours,
Pendant les 105 jours, la femme boit : 105.2/35 = 6 bouteilles.

Résultat

Pendant l'absence de son mari la femme va boire 6 bouteilles de vin.

02. Quelle heure est-il ?

Enoncé

Pour le savoir il suffit d’ajouter au temps à passer avant midi, les deux cinquièmes du temps passé depuis minuit.

Résolution

Avec h l'heure recherchée. Après minuit, il y a (h) heures et avant midi il y a (12 - h) heures.
L'équation est : 12 - h + 2h/5 = h ; 60 - 5h + 2h = 5h ; 8h = 60 ; h = 7,5

Résultat

Il est 7 heures 30.

03. Les philosophes présocratiques et leurs croyances ...

Enoncé

A chaque philosophe sa croyance ou sa théorie et la ville qui a joué de l'importance dans sa vie ...
Indices :
Pythagore croyait à la métempsychose. Il n'a pas vécu à Ephèse ni à Milet et n'est pas né en 625 ni en 576 av J.C.

Le philosophe pour qui l'eau était à la base de l'univers n'est pas Héraclite et n'a pas vécu à Ephèse ni le plus longtemps.

Démocrite d'Abdère est mort à priori à 90 ans mais sa théorie n' a rien a voir avec l'eau et le changement perpétuel.

Affecter à chaque philosophe (Héraclite, Thalès, Démocrite, Pythagore),
La ville qui a eu de l'importance (Ephèse, Millet, Crotone, Abdère),
Les dates avant JC (576-480 ; 625-545 ; 580-500 ; 460-370),
La croyance (Métempsychose, Eau, Changement perpétuel, Atome).

Résultat

Héraclite Ephèse 576-480 Changement perpétuel
Thalès Millet 625-545 Eau
Démocrite Abdère 460-370 Atome
Pythagore Crotone 580-500 Métempsychose

04. Léger balance

Enoncé

2A + 2B = A + B + 4C
2A + 2B + C = 3B + 2C

Léger prend deux balances et place des objets sur les plateaux pour qu'ils soient en équilibre. Les objets ayant la même marque ont la même masse.

De A, de B et de C, quel objet a la plus grande masse ?

Résolution

2A + 2B = A + B + 4C ; A + B = 4C ; A = 4C - B ; B = 4C - A ; C = (A + B)/4
2A + 2B + C = 3B + 2C ; 2A = B + C ; 8C - 2B = B + C ; 7C = 3 B ; B > C ; 2A = 4C - A + C ; 3A = 5C ; A > C ; 2A = B + (A + B)/4 ; 7A = 5B ; B > A
B > C et B > A

Résultat

B est l'objet qui a la plus grande masse.

05. Un bal chez Boulé

Enoncé

Dimanche après les Vêpres,
Y'aura bal chez Boulé
Mais il n'ira personne
Que ceux qui savent danser.
Vogue, marinier, vogue, vogue
Beau marinier."
Boulé peut accueillir au plus 40 invités. Malgré la consigne, cinq invités ne savent pas danser. Parmi ceux qui savent danser, le tiers sont des femmes et le quart ont moins de 20 ans.

Combien y a-t-il de personnes présentes au maximum ?

Résolution

Le nombre de danseurs est multiple de 3 et de 4 : 12, 24, 36, 48
36 + 5 = 41 trop grand. 24 + 5 = 29 peut convenir.

Résultat

Il y a 29 personnes présentes. Si on compte les hôtes, cela peut faire 30 ou 31 personnes présentes.

06. Camions d'Alix

Enoncé

2

Alix a dessiné un double X comme ci-contre. Elle a placé huit boîtes circulaires dans lesquelles elle désire conserver ses 41 petits camions. La boîte du bas au centre contient deux camions.

Dans les autres boîtes, placez respectivement 3, 3, 4, 5, 6, 8 et 10 petits camions. Il doit y avoir 16 camions dans chaque rangée de trois boîtes (suivant les branches du double X).

Résolution

4 3 6 6 3 4
10 8 8 10
3 2 5 5 2 3

16 = 10 + 4 + 2 = 10 + 3 + 3 = 8 + 6 + 2 = 8 + 5 + 3
On peut calculer les extérieurs x + y = x' + y' = 41 - 32 = 9 = 4 + 5 = 3 + 6. On a deux formes symétriques.

Résultat

Voir le résultat à droite.

07. Noisettes de Nestor

Enoncé

1
x y

Nestor a ramassé et épluché 28 noisettes. Il dispose sept carrés de papier comme ci-contre. Sur le carré du coin supérieur droit, il dépose une noisette.
Sur les autres carrés de papier, disposez respectivement 2, 3, 4, 5, 6 et 7 noisettes pour qu’il y en ait 12 dans chaque rangée de trois carrés.

Résolution

2 1 3 1
3 4 5 2 4 6
7 6 7 5

12 = 7 + 4 + 1 = 7 + 3 + 2 = 6 + 5 + 1 = 6 + 4 + 2 = 5 + 4 + 3
On peut calculer la valeur centrale : 28 - 24 = 4 ; Par ailleurs, x + y = 3 x 12 - 28 = 8 = 1 + 7 (non 1 est déjà positionné) = 2 + 6 = 3 + 5.

Résultat

On a deux solutions, voir à droite.

08. Monnaie de Théo

Enoncé

Théo s'amuse à regrouper des pièces de monnaie pour former 1025 florins. Les pièces de monnaie sont 5 florins, 10 florins et 25 florins. Si le nombre de pièces pour une valeur est a, celui d’une autre valeur est (a + 1) et celui d’une troisième valeur est (a + 2),

Combien Théo a-t-il utilisé de pièces de chaque valeur ?

Résolution

Nombre a a + 1 a + 2 Equation brute Equation fin a
Répartition 1 5 10 25 5a + 10a + 10 + 25a + 50 = 1025 40a = 965 a = 24,125
Répartition 2 5 25 10 5a + 25 a + 25 + 10a + 20 = 1025 40a = 980 a = 24,5
Répartition 3 10 5 25 10a + 5a + 5 + 25a + 50 = 1025 40a = 970 a = 24,25
Répartition 4 10 25 5 10a + 25a + 25 + 5 a + 10 = 1025 40a = 990 a = 24,75
Répartition 5 25 5 10 25a + 5a + 5 + 10a + 20 = 1025 40a = 1000 a = 25
Répartition 6 25 10 5 25a + 10a + 10 + 5a + 10 = 1025 40a = 1005 a = 25,125
Résultat

Théo a utilisé 25 pièces de 25 Florins, 26 pièces de 5 Florins et 27 pièces de 10 Florins.

09. Le devoir d'Alexandre

Enoncé

Alexandre n’a pas fait ses devoirs. Comme punition, il doit écrire tous les nombres de 1 à 2022.

Combien de fois à t’il écrit le chiffre 1 ?

Résolution

Aux unités 202 fois + celui de 2021 203
Aux dizaines 21 fois 10 210
Aux centaines 2 fois 100 200
Aux milliers 1 fois 1000 1000
Somme 1613

Résultat

Il a écrit 1613 fois le chiffre 1.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Régine a écrit les chiffres de 0 à 4 au moyen de cure-dents. Quel est le plus petit nombre de deux chiffres qui nécessitent 10 cure-dents ?
0 1 2 3 4
nb de cd 6 2 5 5 4
04 ne compte pas.
Le plus petit est 22 (2 x 5 = 10).
b Maxime a écrit 9 ☐ 3 = 2 ☐ 3. Mettez un signe +, –, x ou ÷ à la place des ☐ pour que l’égalité soit vraie. 9 - 3 = 2 x 3
c Trois nombres sont divisibles par 3 et se suivent en ordre croissant. Leur somme est 108. Quel est le plus grand nombre ? 108/3 = 36 ; 33 + 36 + 39 = 108 Le plus grand est 39.
d Dans la fraction suivante, le ∆ est mis pour un signe +, - ou x . Placez 2, 4, 5, 10 dans les ☐ pour que l’égalité soit vraie : (☐ ∆ ☐)/☐ = ☐ (4 x 5))/2 = 10 ou (4 x 5)/10 = 2

11. Quatre pharaons

Enoncé

Retrouver le début et la durée du règne de chacun de ces quatre pharaons, et quels sont les pharaons qui les ont succédé. Bon courage pour l'un des logigrammes les plus durs d'Homeomath.
Indices :
Le pharaon Horemheb a succédé au pharaon Toutankhamon qui a régné en 1346 av J.C. et a eu un règne moins long que celui du pharaon Ahmosis.
Le pharaon Toutmosis III a régné 10 ans de plus que son prédécesseur mais il n'a pas succédé au pharaon Ahmosis.
Aménophis II a régné après Ahmosis mais ce n'est pas son successeur.
On donne le nom des Pharaons : Ahmosis, Hatchepsout, Thoutmosis III, Toutankhamon
Le nom des successeurs : Aménothep I, Toutmosis III, Aménophis II et Horemreb
Les années de début de règne : 1552, 1490, 1468 et 1346 toujours avant JC
Et les durées de règne : 32, 25, 22 et 10 ans

Résolution

Pharaon Ahmosis Hatchepsout Thoutmosis III Toutankhamon
Début du règne -1552 -1490 -1468 -1346
Durée du règne 25 22 32 10
Successeur Aménothep I Toutmosis III Aménophis II Horemreb

12. Nombres entiers sur le front

Enoncé

Zig a rendu visite à Albert (A), Ben (B) et Charles (C).
Il a inscrit sur le front de chacun d’eux un entier positif en leur signalant que l’un des trois entiers est la somme des deux autres. Le dialogue suivant s’établit entre les trois amis :

Déterminez les deux autres nombres.

Solution prise de tête (je ne comprends pas tout)

La réponse est a = 95 ; b = 38 ; c = 57
On sait qu’aucun des 3 protagonistes n’a eu d’information déterminante au premier tour.
Au tour de A, il envisage b + c ou |b - c|. A ne peut conclure donc b + c <> |b - c| (sinon un seul choix pour a). Donc b <> 0 et c <> 0. B et C savent qu’ils n’ont pas 0.
Au tour de B, il envisage a + c ou |a - c|. B ne peut conclure donc a <> 0 (sinon un seul choix pour b), mais surtout a <> c
(sinon a - c = 0, et C qui sait ne pas avoir 0 en aurait déduit b = a + c). A sait que a <> 0 ; A et C savent que c <> a.
Au tour de C, il envisage a + b ou |a - b|. C ne peut conclure donc a <> b (sinon C, qui ne peut avoir 0, en aurait déduit que c = a + b), mais surtout b - a <> a (sinon c = a, ce qui a été exclu). Donc a <> b/2. A sait que a <> b et que a <> b/2.
Quand revient le tour de A, il sait donc que a <> 0, a <> b, a <> c, a <> b/2.
A envisage b + c, b - c ou c - b. Et on sait que A découvre son nombre, donc les informations qu’il a obtenues sont décisives, et lui permettent d’éliminer des hypothèses obligatoirement fausses.
Si une hypothèse éliminée par A était a = 0, cela signifierait que b - c = 0, donc b = c, donc a = 2b, donc a pair. Mais a = 95 => impossible.
Si une hypothèse éliminée par A était a = b ou a = c, cela signifierait éliminer c - b = b ou b - c = c, donc c = 2b ou b = 2c, donc a = 3b ou 3c, ce qui est impossible car 95 n’est pas un multiple de 3.
Reste donc a = b/2. Le seul cas intéressant qui pourrait y conduire serait c - b = b/2 (b + c = b/2 implique c < 0 et b - c = b/2 implique c = b/2 donc a = c ce qui a été exclu) Si c - b = b/2 alors c = 3b/2.
Dans ce cas, A envisage a = b + c = 5b/2 ou a = c - b = b/2, et puisque le second cas a été éliminé, nécessairement a = 5b/2. Donc b = 38 puis c = 57.
C’est la seule configuration permettant à A de trouver son nombre au second tour…

Résultat

Les valeurs inscrites sur les têtes de Albert, Ben et Charles sont respectivement 95, 38 et 57.

13. Nombres à ranger

Enoncé

Rangez par ordre croissant les nombres : 99, 70√2, 13√58 ;
b3" Rangez par ordre croissant leurs différences.
Evidement sans calculette !

Résolution

Dans un premier temps on peut comparer les carrés des valeurs.
992 = 9801 ; 2.702 = 9800 ; 58.132 = 9802 ; L'ordre est donc 70√2 < 99 < 13√58
Pour la différence entre deux nombres a et b dont on connait la différence des carrés (a2 - b2), avec a2 - b2 = (a + b)(a - b) ; a - b = (a2 - b2)/(a + b) ;
Comparaison des (a + b), les dénominateurs : (99 + 13√58) > (70√2 + 99) ; la fraction 1/(99 + 13√58) est < la fraction 1/(70√2 + 99)

On peut aussi faire les extractions manuelles des racines carrées :

5 8 0 0 7 , 6 1 5 7 7 3 2 0 0 1 , 4 1 4 2 1 3
9 0 0 1 4 6 x 6 1 0 0 2 4 x 4
0 2 4 0 0 1 5 2 1 x 1 0 4 0 0 2 8 1 x 1
0 8 7 9 0 0 1 5 2 2 5 x 5 1 1 9 0 0 2 8 2 4 x 4
1 1 7 7 5 0 0 1 5 2 3 0 7 x 7 0 6 0 4 0 0 2 8 2 8 2 x 2
1 1 1 3 5 1 0 0 1 5 2 3 1 4 7 x 7 0 3 8 3 6 0 0 2 8 2 8 4 1 x 1
0 4 7 3 0 7 1 0 0 1 5 2 3 1 5 4 3 x 3 1 0 0 7 5 9 0 0 2 8 2 8 4 2 3 x 3
0 1 6 1 2 4 7 1 1 5 9 0 6 3 1

70√2 = 98,99491 ; 13√58 = 99,00505 ; On confirme l'ordre : 70√2 < 99 < 13√58
De plus 13√58 - 99 = 0,00505 ; 99 - 70√2 = 0,00509 ; on confirme l'ordre : 13√58 - 99 < 99 - 70√2

Résultat

Les ordres sont les suivants : 70√2 < 99 < 13√58 ; 13√58 - 99 < 99 - 70√2

14. Combien de nombres entiers ?

Enoncé

Combien existe-t-il de nombres entiers positifs ou négatifs tels que la fraction (5n-23)/(n-7) soit un nombre entier positif ou négatif ?

Résolution

Le dénominateur s'annule pour n - 7 = 0 ; n = 7 ; De part et d'autre de cette valeur on peut ajouter une valeur a ou - a à 7
En ajoutant a le dénominateur devient a et le numérateur 35 + 5a - 23 = 12 + 5a ; le rapport est : 5 + 12/a
Il faut que le rapport soit un entier, a doit être un diviseur de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

a (dénominateur) -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12
n = 7 + a -5 1 3 4 5 6 8 9 10 11 13 19
Numérateur = 5n - 23 = 12 + 5a -48 -18 -8 -3 2 7 17 22 27 32 42 72
Rapport = 5 + 12/a 4 3 2 1 -1 -7 17 11 9 8 7 6

Résultat

Il existe 12 nombres qui répondent à la question.