811, Récréations logiques (bis), le 28 mars 2022

01. Dans la nature

Enoncé

Cet été là, Blanche, Marguerite et Nora ont participé chacune à une excursion différente et à une cueillette de fruits différents.
Excursions : en forêt, en mer, en montagne
Fruits : bleuets, cerises, fraises

  1. Blanche n'a pas fait d’excursion en montagne.
  2. Marguerite n’a pas cueilli de cerises.
  3. La fille qui a cueilli des bleuets a fait une excursion en mer.
  4. Marguerite n’a pas fait d’excursion en forêt.
  5. Celle qui a fait une excursion en forêt connaît celle qui a cueilli des cerises.

À quel endroit chacune des trois est-elle allée et quels fruits chacune a-t-elle cueilli ?

Faire plusieurs tableaux : Excursions et fruits = f(la fille) ; Excursions = f(fruits).

Résultat

Blanche Marguerite Nora
En forêt A la mer A la montagne
Fraises Bleuets Cerises

02. Lapins de Karina

Enoncé

M D 2 9 1 7
+ B M + 6 2 + 6 1
= D G = 9 1 = 7 8

Karina a acheté MD figurines de lapins. Sa sœur en a acheté BM. Ensemble, ils (elles) possèdent maintenant DG figurines. Chacune des quatre lettres représente un chiffre différent.

Combien Karina et sa sœur ensemble ont-elles de figurines si B = 6 ?

Résolution

S'il y a une retenue : M = D - 7 ; D + M = 10 + G ; 2D = 17 + G ; G impair ; Si G = 1 ; D = 9 ; M = 2 ; Solution 1
S'il n'y a pas de retenue : M = D - 6 ; D + M = G ; 2D = G + 6 ; G est pair ; Si G = 0 ; D = 3 ; M = -3 ; Si G = 8 ; D = 7 ; M = 1 ; Solution 2
G ne peut pas être égal à 6 (déjà pris) et ; Si G = 4 ; D = 5 ; M = -1

Résultat

Il y a deux solutions : 29 + 62 = 91 et 17 + 61 = 78.

03. Famille Destours

Enoncé

Le numéro de compte de la famille Destours chez Vidéogramme contient six chiffres.

  1. Les deux premiers chiffres forment un nombre plus grand que les deux derniers.
  2. Le 7 est le voisin de gauche du 9.
  3. Le 5 est le voisin de droite du 3.
  4. Le 2 est le voisin de gauche du 4.
  5. Le 9 est le quatrième chiffre.

Quel est le numéro de compte ?

Résolution

Les groupes de deux chiffres sont : 79 ; 35 ; 24. Le groupe 79 est au milieu (9 en position 4). Le nombre 35 est > au nombre 24. 35 est le premier ; 24 est le dernier.

Résultat

Le n° de compte est : 357924.

04. Surprise de Lise

Enoncé

D E U X 1 8 6 3
+ N E U F + 7 8 6 5
= O N Z E = 9 7 2 8

Lise savait que 2 + 9 = 11. Mais, elle ne savait pas qu’elle pouvait remplacer les lettres chacune par leur valeur pour que la somme de DEUX et de NEUF donne ONZE. À Justin qui a fait des essais sans succès, elle dit :
- Voici trois indices : E + U = 14, N + E = 15 et F = 5.

Quelle est la valeur de ONZE ?

Résolution

Il y a 4 possibilités pour E et U : 5 + 9 ; 6 + 8 ; 8 + 6 ; 9 + 5
Il y a aussi 4 possibilités pour N et E : 6 + 9 ; 7 + 8 ; 8 + 7 ; 9 + 6
Les valeurs 5 et 7 pour E ne sont pas communes aux deux listes. La combinaison des deux listes donne 3 possibilités pour E, N et U :
Respectivement, E, N, U = 6, 9, 8 ou bien 8, 7, 6 ou bien 9, 6, 5
Avec F = 5, la première combinaison entraine : X = 1 puis Z = 6 qui est déjà pris.
La deuxième combinaison nous donne : X = 3 ; Z = 2 ; D = 1 et O = 9. C'est une solution.
La troisième combinaison conduit à : X = 4 ; mais la suite est incorrecte.

Résultat

La solution est : 1863 + 7865 = 9728

05. Compétition de natation

Enoncé

Paul, Pierre, François, Fabien ont participé a une compétition de natation mais impossible de se rappeler exactement ce qu'ils ont nagé ni le temps qu'ils ont réalisé.
Indices :

Retrouvez les nages et le classement de chaque nageur ainsi que leur chrono.

Faire : Classement, Temps (1:04 ; 1:08 ; 1:10 ; 1:15) et nage (100 mètres papillon, dos, brasse et crawl) en foncton du sportif.
Puis Classement et temps en fonction de la nage et enfin classement en fonction du temps.

Résultat

Paul Pierre François Fabien
4ème 2ème 3ème 1er
100 mètres dos 100 mètres brasse 100 mètres papillon 100 mètres crawl
en 1:10 en 1:04 en 1:15 en 1:08

06. Qui a volé quoi ?

Enoncé

On retrouve Abou, Ibn et Hasib. L'un d'eux vola un cheval, un autre une mule et le dernier un chameau. Ils finirent par être rattrapés, mais ...
-Voilà une bonne chose dit le roi.
Mais on ne savait pas qui avait volé quoi. Voici ce qu'ils déclarèrent lors du procès qu'on leur fit.
Abou : "C'est Ibn qui a volé le cheval."
Hasib : "Ce n'est pas vrai. Ibn a volé la mule."
Ibn : "lls mentent tous les deux. Je n'ai volé ni mule ni cheval."
Il apparut que le voleur du chameau mentait, et que celui du cheval disait la vérité.

Qui a volé quel animal ?

Résolution

Voir 610.11 et 712.09

Résultat

Abou a volé le chameau, Hasib a volé le cheval et Ibn a volé la mule.

07. Vêtements colorés

Enoncé

Chaque personne porte un vêtement dont la couleur a été choisie parmi les quatre.
Personnes : Bonjour, Calembour, Tambour
Vêtements : bas, chemise, pantalon
Couleurs : bleu, brun, gris, rouge

  1. La chemise de Tambour est de même couleur que le pantalon de Calembour.
  2. La chemise de Bonjour est de même couleur que le pantalon de Tambour.
  3. Un vêtement d’une couleur portée par une personne ne peut pas l’être par une autre personne.
  4. Bonjour ne porte pas de pantalon bleu.
  5. Calembour n’a pas de chemise grise.
  6. Tambour ne porte pas de bleu, n’a ni chemise brune ni pantalon gris.
  7. Personne n’a une chemise grise, ni de bas bleus.

Quelle est la couleur des bas de Bonjour ?

Résolution

Bonjour Calembour Tambour
Bas rouges bruns gris
Chemise brune bleue rouge
Pantalon gris rouge brun

On arrive assez facilement à déterminer les couleurs des chemises et pantalons de chacun,
Bonjour a une chemise brune et un pantalon gris, pour Calembour c'est (dans l'ordre) bleu et rouge et pour Tambour, rouge et brun.
Pour déterminer la couleur des bas on est obligé de faire l'hypothèse que chacun des trois vêtements d'une personne est de couleur différente.
Dans ce cas, les bas de Bonjour sont rouges, ceux de Calembour bruns et ceux de Tambour gris.

Résultat

La couleur des bas de Bonjour est rouge.

08. Six cartes

Enoncé

Six cartes sont disposées face contre table (2 lignes de 3 cartes) :

  1. Les deux cartes de cœur sont chacune à gauche d’une carte de carreau.
  2. Le 8 de trèfle et le 6 de cœur sont dans la même rangée verticale.
  3. Le 9 de trèfle est en haut et le 7 de carreau au milieu.
  4. Le 4 de carreau est la plus basse carte ; tandis que le 10 de cœur est la plus haute.
  5. La somme des valeurs numériques des cartes est la même sur chacune des deux rangées horizontales.

Disposez chacune des six cartes.

Résolution

Les six cartes sont énumérées : 10 de coeur, 9 de trèfle, 8 de trèfle, 7 de carreau, 6 de coeur, 4 de carreau.
La somme des valeurs numériques est : 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 4 = 44. Donc il faut 22 par ligne. Il y a une solution : 10 + 8 + 4 = 9 + 7 + 6
Les contraintes énumérées amènent à la disposition suivante :

6 de cœur 7 de carreau 9 de trèfle
8 de trèfle 10 de cœur 4 de carreau

09. Petit Cocktail

Enoncé

Le cocktail se termine. Tout le monde s’en va par couple sauf moi qui suis toujours célibataire. 32 poignées de mains sont ainsi échangées.

Combien étions-nous ?

Résolution

Avec n le nombre de couples. Le célibataire pour sa part serre 2n mains.
Parmi les couples, chacune des deux personnes d'un couple serre la main à 2 fois (n - 1) couples. Donc en tout 2n par 2(n - 1).
En réalité la moitié (AB et BA ne comptent qu'une fois) : 2n(n - 1) = 2n2 - 2n + les 2n du célibataire : 2n2
2n2 = 32 ; n2 = 16 ; n = 4 ; Il y avait donc 4x2 + 1 = 9 personnes.

Résultat

Neuf personnes participaient à ce cocktail.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Rosalie est née un jour de la semaine qui a autant de voyelles que de consonnes. Quel est ce jour ? 3 voyelles et 3 consonnes Samedi.
b Amélie dessine deux hexagones de même forme et de même grandeur. Elle les accole par un côté. Combien la nouvelle figure a-t-elle de côtés ? La nouvelle figure a dix côtés.
c Régine a écrit 6, 7, 8 et 9 au moyen de cure-dents. Quel est le plus grand nombre de trois chiffres qui nécessitent 16 cure-dents ? 6 pour 9 et 4 pour 7 Le plus grand nombre est : 997.
d Distribuez les nombres 3, 5, 7, 8 dans les carrés pour que l’égalité (☐ + ☐)/☐ = ☐ soit vraie. (7 + 8)/3 = 5

11. Briques de Damien

Enoncé

Damien place 15 briques comme ci-contre. Il a écrit un entier plus grand que zéro sur chaque brique. Tout nombre inscrit sur une brique est égal à la somme des deux nombres des deux briques inférieures adjacentes. Sur cette pyramide, Damien a effacé 11 nombres.

Quel est le nombre qui devrait apparaître dans la brique supérieure ?

Résolution

? x 54 2b + c + 47
? 25 x - 25 25 29 25 2b + c + 22 25
18 ? ? 18 x - 43 68 - x 18 11 14 18 2b + c + 4 b + c + 9
? ? ? 9 120 - 2x 2x - 102 59 - x 9 12 6 5 9 b + 4 b + c 9
? 4 ? ? ? 116 - 2x 4 2x - 106 165 - 3x 3x - 156 8 4 2 3 6 4 b c

La mise en équation apparait dans la pyramide du milieu. Chaque valeur doit être supérieure à zéro : 2x > 106 ; x > 53

Solution du prof

Voir la pyramide de droite en fonction des deux variables b et c. On en déduit que 3b + 2c + 13 = 25 ou 3b + 2c = 12
b = 2 ; c = 3 ; Brique du haut : 2b + c + 47 = 4 + 3 + 47 = 54.

Résultat

La valeur de la brique supérieure est : 54.

12. Ces entiers sont des carrés

Enoncé

Combiens d’entiers naturels n vérifient que n-52 et n+52 sont des nombres entiers au carré ?

Résolution

Avec p la racine de (n - 52) ; (n + 52) = (p + q)2 avec q tel que (p + q)2 - p2 = 2x52 = 104
2pq + q2 = q(2p + q) = 104 = 23.13
On peut essayer de donner à q les valeurs : 2, 4, 8, 13, 26 ... et p = (104 - q2)/2q
Avec q = 2 ; p = 25 ; Avec q = 4 ; p = 11 ; Avec q = 8 ; p = 2,5 (décimal) ; Avec q = 13 ; p = -2,5 (décimal et négatif)
n = p2 + 52 ; Il y a donc deux solutions : 1 - Avec p = 25 ; n = 677 ; 2 - Avec p = 11 ; n = 173
Vérification : 677 - 52 = 625 carré de 25 ; 677 + 52 = 729 carré de 27 ; 173 - 52 = 121 carré de 11 ; 173 + 52 = 225 carré de 15

Solution du prof

Produit plus sympa : n + 52 = a2 ; n - 52 = b2 ; a2 - b2 = (a + b)(a - b) = 2.52 = 23.13
Puis on dresse le tableau des différents possibiltés du produit (a + b)(a - b) : 104.1 ; 52.2 ; 26.4 ; 13.8

Résultat

Il y a deux entiers qui répondent aux conditions : 173 et 677.

13. Enigmes du monastère

Enoncé

Dans un grand monastère où les moines ont fait vœu de silence, le chef se lève pendant le dîner et dit :
« Je vous parle exceptionnellement pour vous dire qu’un grand danger plane sur le monastère. Une maladie infecte certains d’entre nous. Je veux que tous les malades partent. » puis se tait définitivement.

On admet que,

Vous devez trouver comment les moines ont su s’ils étaient malades et combien il y a de malades.

Solution prise de tête

Pas convaincu du raisonnement de la solution prise de tête. Dans les différents cas de figures, on a l'impression que les moines raisonnent comme s'ils savaient le nombre de malades. Il y a peut-être une formulation à changer. A réfléchir encore.
Et puis il y a ce 40 qui n'apparaît pas dans l'énoncé. Est-ce un effectif standard ? Mais cette valeur n'intervient pas outre mesure.

Résultat

14. Menez l'enquête !

Enoncé

4
x
4
B
E
R
L
I
N
E
B
R
E
A
K
C
A
B
R
I
O
L
E
T
M
O
N
O
S
P
A
C
E
B
L
E
U
G
R
I
S
N
O
I
R
R
O
U
G
E
V
E
R
T
1
6
0
0
0
1
8
0
0
0
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
2
6
0
0
0
A B C D E F G H I J K L M N O
Claire 1
Fabrice 2
Laurent 3
Monique 4
Vincent 5
16 000 € 6
18 000 € 7
20 000 € 8
22 000 € 9
26 000 € 10
Bleu 11
Gris 12
Noir 13
Rouge 14
Vert 15

Cinq amis se sont rendus à une exposition de véhicules d'occasion. Retrouvez le prénom de chacun(e), le type de véhicule préféré, la couleur et le prix. Remplissez la grille en analysant les indices donnés. Ceux-ci vous fourniront des informations que vous reporterez dans la grille.

Exemple : le véhicule préféré de Vincent est un 4x4 ; alors vous pouvez porter 1 en A5 et 0 en A1, A2, A3, A4, B5, C5, D5, E5 et ainsi de suite jusqu'à compléter la grille pour reporter vos réponses dans le tableau des résultats (type, couleur, prix de chacun).

Les indices

  1. Le 4x4 de Vincent, qui n'est pas bleu, coûte 4 000 € de plus que le véhicule gris, qui n'intéresse pas Claire.
  2. Le break noir de Laurent coûte 4 000 € moins que le monospace, qui n'est ni bleu ni vert.
  3. Le véhicule rouge de Fabrice coûte 2 000 € de moins que le cabriolet, qui n'est pas bleu.

Résolution

A propos des prix, il y a trois possibilités de faire une différence de 4 k€ : 26 - 22 = 22 - 18 = 20 - 16 et trois aussi de faire 2 k€ : 22 - 20 = 20 - 18 = 18 - 16
Cela conduit à 18 hypothèses dont certaines s'annulent à cause du même prix attribué à deux véhicules différents.

Hypothèse H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 H11 H12 H13 H14 H15 H16 H17 H18
Le 4x4 26 26 26 26 26 26 22 22 22 22 22 22 20 20 20 20 20 20
Véhicule gris 22 22 22 22 22 22 18 18 18 18 18 18 16 16 16 16 16 16
Monospace 22 22 22 20 20 20 26 26 26 20 20 20 26 26 26 22 22 22
Break 18 18 18 16 16 16 22 22 22 16 16 16 22 22 22 18 18 18
Cabriolet 22 20 18 22 20 18 22 20 18 22 20 18 22 20 18 22 20 18
Véhicule rouge 20 18 16 20 18 16 20 18 16 20 18 16 20 18 16 20 18 16

Il reste 4 hypothèses, parmi lesquelles (H2, H6, H12) donnent le break non noir,
Seule l'hypothèse H4 est valide.

Résultat

Voici le tableau final :

Claire Fabrice Laurent Monique Vincent
La berline Le monospace Le break Le cabriolet Le 4x4
Bleue Rouge Noir Gris Vert
à 18 k€ à 20 k€ à 16 k€ à 22 k€ à 26 k€