810, Récréations numériques, le 14 mars 2022

01. Studio de yoga

Enoncé

Mon studio de yoga propose une offre sans abonnement, dans laquelle chaque cours coûte 15 euros, et une offre premium, avec un abonnement mensuel de 42 euros, dans laquelle chaque cours coûte 7,50 euros.

À partir de quel nombre de cours mensuel est-il rentable de souscrire à l'offre premium ?.

Résolution

Avec x cours par mois
Coût sans abonnement 15x
Coût avec abonnement 42 + 7,5x
Egalité pour 15x = 42 + 7,5x 7,5x = 42 x = 5,6

Résultat

L'abonnement premium est rentable à partir de 6 cours par mois.

02. Auberge

Enoncé

Si un groupe d'élèves doit être réparti dans une auberge à raison de deux élèves par chambre, il reste deux élèves sans chambre. Par contre si 3 élèves sont placés dans chaque chambre, il reste 2 chambres libres.

Combien y a-t-il de chambres dans cette auberge ?

Résolution

Avec x élèves et n chambres
Première égalité 2n = x - 2 Deuxième égalité 3(n - 2) = x
x = 3n - 6 2n = 3n - 6 - 2 n = 8 x = 18

Résultat

Il y a 18 élèves et 8 chambres.

03. Bienvenue

Enoncé

Dix couples de personnes s'échangent des poignées de mains. Aucune personne ne donne la main à sa conjointe ou à son conjoint.

Combien de poignées de mains seront données ?

Résolution

Appelons h1, h2, h3, h4, ... h9 et h10 les hommes et les dames f1 (épouse de h1), f2, f3, ... f9 et f10 épouse de h10.
Les poignées de mains de h1 vont vers h2 à h10 et f2 à f10 (sauf f1). Cela représente 18 poignées de mains.
Celles de h2 vont vers 8 hommes et 9 femmes : 17 poignées. Celles de h3 vers 7 homme et 9 femmes : 16 poignées.
15 pour h4 ; 14 pour h5 ... et 9 pour h10.
Mais attention, f1 serre aussi 9 mains, puis f2 en serre 8, 7 pour f3, ... 1 pour f9. Pour f10 c'est fini.
Au total : 18 + 17 + 16 + ... 9 + 9 + 8 + 7 + ... 1 = (18 x 19)/2 + 9 = 180.

Résultat

180 poignées de mains seront données.

Complément

On peut aussi compter toutes les poignées de main si tout le monde se serre la main : 19 + 18 + 17 + ... 1 = 19 x 20 / 2 = 190
Puis déduire les 10 poignées de mains des couples : 190 - 10 = 180.
Le prof raisonne par individu. Chacun serre 18 mains, 20 x 18 = 360. Puis on divise par 2 car AB et BA ne comptent qu'une fois. 360/2 = 180.

04. Canards de Prospère

Enoncé

Prospère a sculpté huit petits canards. Derrière chacun, il a écrit un numéro : 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 et 90. Il dit à quatre de ses amis :
Choisissez-vous chacun deux canards et dites-moi la somme des numéros.
Le premier dit : La somme de mes numéros est 150.
Le deuxième : Moi, ça me donne 60.
Le troisième : Ma somme est 100.

Quels sont les deux numéros du quatrième ami ?

Résolution

Il n'y a qu'une possibilité de faire 60 pour le deuxième ami : 20 + 40. Donc 20 et 40 sont pris.
Pour le troisième ami, il y aurait 3 possibilités de faire 100 : 80 + 20 ou 70 + 30 ou 60 + 40. Seul 70 + 30 convient.
Pour le premier ami, il faut vérifier qu'il peut faire 150 : 60 + 90 ou 70 + 80 (non). Il a fait 60 + 90.
Numéros restants pour le 4ème ami : 50 et 80.

Résultat

Les deux muméros du quatrième ami sont : 50 et 80.

05. Etalage de pruneaux

Enoncé

Gisèle vend des pruneaux dans des boîtes ayant la même quantité.

Combien Alberte a-t-elle de pruneaux de plus que Charlotte ?

Résolution

Avec A, B et C Les nombres de pruneaux de, Alberte, Brigitte et Charlotte
Et x Le nombre de pruneaux par boite
Achat de Denise 3x - 7 = 50 x = 19
Premier achat A + B = 57
Deuxième achat B + C = 38 - 4 = 34
La première moins la deuxième A - C = 57 - 34 = 23

Résultat

Alberte a acheté 23 pruneaux de plus que Charlotte.

06. Jeune famille

Enoncé

Une famille est composée des deux parents et de deux enfants : un fils et une fille.

  1. Les parents ont un an de différence.
  2. La mère est cinq fois plus âgée que le fils.
  3. Le père est trois fois plus âgé que la fille.
  4. La mère et son fils ont au total 42 ans.

Quel est l’âge de la fille ?

Résolution

Avec a et b Les âges du fils et de la fille
Age de la mère 5a Age du père 3b
Mère + fils = 42 5a + a = 42 a = 7 Mère : 5a = 35
Père : 35 + 1 = 36 b = 36/3 = 12

Résultat

Âge de la fille : 12 ans.

07. Soldes chocolat

Enoncé

Au moment des soldes, monsieur Gourmand a acheté pour 360 euros de tablettes de chocolat.
Avant les soldes et pour la même somme il aurait acheté 4 tablettes de moins car une tablette coûtait 1 euro de plus.

Combien a-t-il acheté de tablettes de chocolat et à quel prix ?

Résolution

Avec x Le prix unitaire habituel de la tablette de chocolat
Nombre de tablettes 360/x
Pendant les soldes 360/x + 4 tablettes à x - 1
Coût (360/4 + 4)(x - 1) = 360 x - 90/x = 1 x2 - x - 90 = 0
La racine en 1 - racine de delta ne convient pas x = 10 360/x = 36

Résultat

Pendant les soldes il a acheté 40 tablettes de chocolat à 9 €. Cela correspond en temps ordinaire à 36 tablettes à 10 €.

08. Augmente quand on l'inverse

Enoncé

Si l'on écrit à l'envers le nombre 123, on obtient 321, qui est plus grand. En revanche, le nombre 121 ne change pas.

Combien de nombres de trois chiffres ont la propriété qu'ils augmentent (strictement) quand on les écrit à l’envers ?

Résolution

Le chiffre des centaines 1 peut être associé à un chiffre des unités de 2 à 9 ; 8 possibilités.
Le chiffre 2 des centaines ; 7 possibilités, jusqu'au chiffre 8 associé à 9 ; 1 possibilité.
8 + 7 + 6 + 5 + + 3 + 2 + 1 = (8 x 9)/2 = 36.
Chacun de ces couples peut avoir tous les chiffres possibles au dizaines, c'est à dire 10 ; 10 x 36 = 360.

Résultat

Il y a 360 nombres de 3 chiffres qui augmentent par "inversion".

09. Nombre à deux chiffres

Enoncé

Si on ajoute à un nombre à deux chiffres, le carré de la somme de ces deux chiffres, on obtient le nombre original une fois échangés les deux chiffres.

Quelle est la somme de tous les nombres qui vérifient cette condition ?

Résolution

Avec Excel, il n'y a que deux solutions :
12 + (1 + 2)2 = 21
15 + (1 + 5)2 = 51 ; 12 + 15 = 27

Résultat

La somme des nombres qui vérifient la condition est 27.

Solution calendrier 2020

Avec "ab" une solution = 10a + b. La condition est : 10a + b + (a + b)2 = 10b + a
Ce qui est équivalent à : (a + b)2 = 9(b - a) = E, avec E multiple de 9 ; E <= 81 et E un carré parfait.
Avec E = 9 ; a + b = 3 et b - a = 1 ; Cela donne a = 1 et b = 2 ; C'est à dire le nombre 12.
2 x 9 = 18 (pas carré parfait), 27 non plus, 36 oui.
Avec E = 36 ; a + b = 6 et b - a = 4 ; Cela donne a = 1 et b = 5 ; C'est à dire le nombre 15.
Le carré suivant multiple de 9 est 81 ; a + b = 9 ; b - a = 9 ; a = 0 et b = 9 ; le nombre 09 n'est pas un nombre à deux chiffres.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N° Enoncé Calcul Résultat
a
10 3 8
5 7 9
6 ? 4
Trouvez le nombre qui manque dans cette grille. 		La somme des nombres dans les lignes,
colonnes et diagonales est 21 		Le nombre manquant est 11.
b Marcel fait la somme de quatre nombres différents et obtient 18. Combien y a-t-il de façons de réaliser cette somme en excluant le 0 et le 1 ? 2+3+4+9 ; 2+3+5+8 ; 2+3+6+7
2+4+5+7 ; 3+4+5+6 		5 solutions.
c
Combien y a-t-il de carrés de toute grandeur dans cette grille ? 		12 carrés 1x1
6 carrés 2x2
2 carrés 3x3 		20 carrés.
d Chaque lettre est l’initiale d’un nombre. Par exemple, CQ peut être mis pour 104, 114, 115 ou 140. Trouvez la valeur de SCCQ : DCQ + QCQ = SCCQ. Trouvé en plus en cours :
240 + 1414 = 214 + 1440 = 1654 		240 + 414 = 654

11. Age de l'ainée

Enoncé

En écrivant trois fois de suite l'âge de Victor, on obtient un nombre à six chiffres, égal au produit de son âge, de celui de sa femme, et de ceux, tous différents, de leurs quatre filles toutes mineures.

Quel est l'âge de son aînée ?

Résolution

L'âge a de Victor, répété 3 fois peut s'écrire : 10101a = 3.7.13.37.a
Nécessairement l'épouse a 37 ans et les 4 filles ont 13, 7, 3 et 1 an.

Résultat

L'âge de l'ainée est : 13 ans.

12. Fraction de cercle

Enoncé

Une droite est tracée à une distance √2/2 du centre d’un cercle de rayon 1 et divise ce cercle en deux parties.

Quelle est la surface de la plus petite partie ?

Résolution

...

√2/2 est la demi diagonale du carré de côté 1 (le rayon du cercle).
La surface cherchée est le quart de cercle diminué du demi carré : π/4 - 1/2 = 0,2854 cm2.

Résultat

La surface de la patite partie est π/4 - 1/2 = 0,2854 cm2.

13. Un air surprenant

Enoncé

Si (r + 1/r)2 = 3 quelle est la valeur de r3 + 1/r3 ?
Indice : calculer (r + 1/r)3 pour en déduire r3 + 1/r3 , puis mettez (r + 1/r) en facteur .
Commentaire : pouvez vous trouver la valeur de r ?

Résolution

Résultat

14. Récipients

Enoncé

Les quantités de liquide contenues dans trois vases A, B et C sont entre elles comme les nombres 3, 2 et 1 et les prix par litres de ces mêmes liquides sont respectivement entre eux comme 1, 2 et 3.
On prend une certaine quantité du contenu de A et on la verse dans B, la même quantité du mélange contenu alors dans B est enlevée de ce vase et versée dans C; la même quantité est encore prise dans le mélange contenu dans C puis versée dans B; enfin on puise toujours la même quantité de B et on la verse dans A.
La valeur du liquide contenu dans A vaut les 35/27 de ce qu'elle était au début.
On sait également que, si la même opération était reprise mais cette fois-ci en enlevant 1 litre de plus à chaque fois, la valeur finale du liquide contenu dans A serait à sa valeur initiale comme 3 à 2.

Trouver les quantités de liquide contenues dans chaque vase.

Résolution

Voir 716.14 du 17 mai 2021.

Résultat

Le vase A contenait (et contient à la fin), 3 litres, le B en contenait 2 et le C 1 litre.