Cinq enfants ont ensemble 175 billes. Chacun a deux billes de plus que le précédent.
Combien de billes possède celui qui en a le plus ?
| Avec | n | Le nombre de billes détenues par l'enfant n° 3 |
| Le nombre total de billes est | n - 4 + n - 2 + n + n + 2 + n + 4 = 5n = 175 | n = 175/5 = 35 |
| Celui qui en possède le plus en a | 35 + 4 = 39 |
L'enfant n° 5 a 39 billes.
On a rempli les cases vides d'un sudoku avec les possiblités, écrites en petit. On considère une ligne de Sudoku.
Peut-on éliminer des possibilités ? Lesquelles ?
| Cellule n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||||||||||||||||
| 3 | 2 | 3 | 1 | 6 | 2 | 3 | 3 | ||||||||||||||||||||
| 4 | 5 | 4 | 5 | 4 | 4 | 4 | |||||||||||||||||||||
| 8 | 9 | 8 | 8 | 9 | 7 | 8 | 9 | 9 | 7 | 9 | |||||||||||||||||
On doit évidemment raisonner avec les chiffres qui ont un nombre de possibilités le plus faible possible.
Par exemple, le 2 et le 5 ne sont chacun possibles que dans les cellules n° 2 et 6.
Il y a donc le 2 dans l'une et le 5 dans l'autre cellule. On peut éliminer les chiffres 3, 4, 7, 8 de ces cellules n° 2 et 6.
On peut donc éliminer : 3, 4, 8 de la cellule 2 ; 7 et 8 de la cellule 6 ; 4 et 9 de la cellule 9. Cette cellule 9 a la valeur 7.
On a rempli les cases vides d'un sudoku avec les possiblités, écrites en petit. On considère une ligne de Sudoku.
Peut-on éliminer des possibilités ? Lesquelles ?
| Cellule n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||||||||||||||||
| 2 | 3 | 2 | 1 | 3 | 6 | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||
| 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 5 | 5 | |||||||||||||||||||||
| 7 | 8 | 7 | 8 | 9 | 7 | 8 | |||||||||||||||||||||
On remarque que les cellules 2, 6 et 8 ne contiennent que les chiffres du triplet 2, 5, 7.
On peut donc éliminer les 2, 5 et 7 des autres cellules 1, 4 et 9.
Du coup le 9 de la cellule 7 est le seul, donc le bon.
Du coup le 9 reste seul dans la cellule n° 7, ce qui élimine les 4 et 8.
Le 4 de la cellule 1 est seul, le bon. Cela élimine le 3. Et il n'y a plus qu'un 3 dans la cellule 4.
Le 8 de la cellule 4 est à éliminer. Il faut prendre celui de la cellule 9.
Finalement, on connait maintenant : 4 dans 1, 3 dans 4, 9 dans 7, 8 dans 9 et seules les cellues 2, 6 et 8 gardent leurs 2, 5, 7.
Samantha pense à deux fractions. Le numérateur de la première est le double du dénominateur de la seconde. Le dénominateur de la première est le triple du numérateur de la seconde.
Quel est le produit de ces deux fractions ?
On a (2x/3y)(y/x) = 2/3.
Le produit est 2/3.
| C | B | C | 5 | 1 | 5 | |
| J | O | 2 | 3 | |||
| A | A | O | 4 | 4 | 3 |
Jacob a dessiné huit petits carrés reliés entre eux dans lequel chacun d'eux contient une lettre de son prénom, JACOB. Chaque lettre est mise pour un chiffre différent de 1 à 5. De plus, la somme de chacun des quatre côtés est 11.
A quel nombre correspond JACOB ?
| Les diverses façons d'obtenir 11 avec 3 chiffres parmi 1 à 5 : | 1 + 5 + 5 | 2 + 4 + 5 | 3 + 4 + 4 | 3 + 3 + 5 |
Le côté gauche comprend trois lettres différentes qui reçoivent donc les chiffres 2, 4 et 5. C et A doivent être doublés.
2 ne peut pas être doublé. on l'affecte à J. B est une valeur qui n'est pas doublée. On peut lui affecter le chiffre 1, ce qui conduit à prendre 5
pour C
Il reste le 4 pour A et le 3 pour O.
11 est impair. Il est la somme de 3 impairs, ou bien 2 pairs + 1 impair.
Si on fait O pair, on ne peut pas avoir A + A impair. Donc O est impair, et pour faire C + 2O impair, on a C impair. De même B est impair.
Pour A et J il ne reste que des chiffres pairs, ce qui est compatible. A ne peut pas être égal à 2 car il faudrait O = 7 (supérieur à 5).
Donc A = 4 et J = 2. Cela entraine : O = 11 - 8 = 3 ; C = 11 - 6 = 5 ; B = 11 - 10 = 1.
La somme des 5 lettres est A + B + C + J + O = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Par ailleurs, sur le côté gauche on a A + C + J = 11. Par différence des deux : B + O = 15 - 11 = 4
On ne peut obtenir 4 qu'avec 1 + 3. On ne peut pas donner la valeur 1 à O, donc O = 3 et B = 1. Le reste suit très vite.
JACOB correspond au nombre : 24 531.
Soit les chiffres a, b et c.
Que valent a, b et c qui satisfont l'égalité suivante : aa + bb + cc = abc ?
En écriture algébrique on a 11a + 11b + 11c = 100a + 10 b + c ; b + 10c = 89a
Si on prend a = 2 il faut faire : b + 10c = 178, c est supérieur à 10. Donc a = 1 et 10c + b = 89 et c = 8 et b = 9.
Vérification : 11 + 99 + 88 = 198 = 100 + 90 + 8
a = 1 ; b = 9 ; c = 8
Philippe, Viviane, Mathilde et Anne sont dans la même classe, ils réussissent chacun dans des matières différentes avec des moyennes tout à fait
honorables ce qui leur donne une bonne place.
Indices :
Retrouvez les matières de chaque élève ainsi que leur classement et leur moyenne.
| Elève | Matière | Rang | Moyenne |
| Philippe | EPS | 6ème | 14 |
| Viviane | Maths | 3ème | 17 |
| Mathilde | Français | 5ème | 19 |
| Anne | Sciences physiques | 1ère | 15 |
Betty, Didier, jean, Lisette, Marc, Pauline, Robert et Sylvie veulent faire un tour de manège.
Le manège comporte dans l'ordre : un cheval, une camion, une voiture, un cheval, une voiture, une soucouoe, un cheval, un carosse.
Le placeur doit respecter les voeux des enfants :
Pourriez-vous aider le placeur à contenter les enfants ?
| Position | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Objets | Cheval | Camion | Voiture | Cheval | Voiture | Soucoupe | Cheval | Carosse |
| Enfants | R, pas P | B | R, pas P | B, S | Didier | R, S pas P | ||
| Position définitive | Marc | Pauline | Betty | Jean | Sylvie | Didier | Robert | Lisette |
On doit avoir : BJ ou JB ; MBR ou RBM ; PM ou MP; SD ou DS.
Marc apparait en 4 et 5 : PMLR ou RLMP.
PMLR ne va pas, ni en 6781, ni en 1234, ni en 4567. RLMP ne va pas en 1234, ni en 4567, mais on peut le mettre en 7812.
La position des enfants est indiquée dans le tableau ci-dessus.
| ME : 42 | |||||||
| EE : 22 | EH : 20 | ||||||
| A : 9 | LB : 13 | S : 7 | |||||
| L : 1 | U : 8 | C : 5 | E : 2 | ||||
Sur une partie du mur en briques, Luce a écrit des lettres qui représentent chacune un chiffre différent. Sur chaque brique des trois rangées
supérieures, le nombre qui devrait être écrit est égal à la somme des deux nombres sur les deux briques inférieures.
Luce m'a confié que M = 4 et E = 2.
Faite apparaître les nombres sur le mur.
ME = 42 ; EE = 22 ; EH = 42 - 22 = 20 ; H = 0 ; U + C (2 nombres de 1 chiffre) ne peut donner que L = 1
Donc dernière ligne : 1 ; U ; C ; 2. Pour arriver à EE et EH, on a 1 + 2U + C = 22 et U + 2C + 2 = 20 ; 3U + 3C = 39 ; U + C = 13
Par ailleurs, par différence : U - C = 3 ; Avec les chiffres restants U = 8 ; C = 5.
Voir le résultat ci-dessus.
| N° | Enoncé | Calcul | Résultat |
|---|---|---|---|
| a |  | 54 - 16 = 38 36 - 6 + 8 = 38 | 38 allumettes. |
| b | Dans un champ, Jacques compte trois vaches et deux poules. Combien y a-t-il de pattes et de têtes en tout ? | 3 + 2 = 5 4.3 + 2.2 = 16 | 5 têtes et 16 pattes. |
| c | CM + CM = RC. Chaque lettre a sa propre valeur et correspond à un chiffre. Trouvez la plus grande valeur de RC. | RC pair ; CM < 50 ; C = 4 ; | RC = 94. |
Un minotier fabrique 7 sacs de 25kg de farine. A la suite d'une erreur, un des sacs ne pèse que 24kg. Le minotier dispose d'une balance à plateaux.
Comment peut-il repérer le mauvais sac en 2 pesées seulement ?
Généralisation : combien de pesées sont nécessaires pour N sacs dont M ne pèsent que 24 kg. (NB : je n’ai pas cherché la solution de cette généralisation, mais si vous proposez une solution, je la vérifierais).
Pour l'instant, j'en suis au cas où M = 1.
Avec N = 9 on peut faire : 3 - 3 puis 1 - 1.
Avec N = 27, on peut faire 9 - 9 puis 3 - 3 puis 1 - 1
Le nombre de pesées nécessaires est l'arrondi supérieur de N1/3
1ère pesée : 2 - 2 ; si = prendre les 3 qui restent, si non prendre le tas le plus léger. 2ème pesée : 1 - 1
Parmi les multiples de 9 à 4 chiffres, combien ont tous leurs chiffres distincts de zéro et distincts entre eux ?
C'est faisable manuellement, mais c'est assez fastidieux. On peut couper la recherche en deux : milliers et centaines puis dizaines et unités
Il y a 14 groupes de 4 chiffres qui répondent à la question.
| 1269 | 1278 | 1359 | 1368 | 1458 | 1467 | 2349 | 2358 | 2367 | 2457 | 3456 | 3789 | 4689 | 5679 |
Ensuite chacun de ces nombres peuvent être arrangés de 24 manières différentes (4!). Cela donne 14 x 24 = 336.
Il y a 336 nombres de 4 chiffres, multiples de 9, qui ne contiennent pas de zéro et sans aucun chiffre répété.
Combien y a-t-il de nombre de 6 chiffres, se terminant par 154 et multiple de 154 ?
154 = 2.7.11 ; 1000 = 23 ; Le pas est 1000/2 = 500 ; le premier est 501 x 154 = 77 154 (trop petit).
| Numéro | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Facteur appliqué à 154 | 1 001 | 1 501 | 2 001 | 2 501 | 3 001 | 3 501 | 4 001 | 4 501 | 5 001 | 5 501 | 6 001 |
| Le multiple | 154 154 | 231 154 | 308 154 | 385 154 | 462 154 | 539 154 | 616 154 | 693 154 | 770 154 | 847 154 | 924 154 |
Il y a 11 multiples de 154 qui répondent à la question.
Quel est le chiffre en position 2022 dans la partie décimale de la fraction 469/1998 ?
1998 = 999 x 2. Si on divise 10 par 9, la partie décimale est composée uniquement de 1.
Si on divise 100 par 99, la partie décimale est composée d'une sucession de 01.
Si on divise 1000 par 999, la partie décimale est composée d'une succession de 001. Il semble qu'il y ait une répétition sur trois chiffres.
Effectivement, la division de 469 par 1998 donne : 0,2 347 347 347 347. En position n = 3k + 0 on a 4, en 3k + 1 on a 7 et on a 3 en 3k + 2.
2022 est divisible par 3, la position 2022 vaut 3k + 0, donc le chiffre correspondant est 4.
Le chiffre en position 2022 est 4.
Deux marcheurs A et B partent en même temps d'un même point et marchent dans la même direction.
Chaque fois que la distance qui les sépare est un nombre pair de kilomètres, A augmente sa vitesse de 1/4 km/h et, chaque fois que cette
distance est un nombre impair de kilomètres, B augmente sa vitesse de 1/2 km/h. Quand A a 4km d'avance sur B, le chemin qu'il a parcouru
surpasse de 1km et 1/3, celui qu'il aurait fait si sa vitesse s'était maintenue uniforme ; de son côté B a parcouru, à ce moment, une distance de
30km et 2/3.
Déterminer des vitesses de A et B au départ. Sont-elles les seules possibles ?
A : 4 km/h ; B : 3 km/h ; Croisement à 5 km 1/3 ; Solution unique.
| Temps partiel | Vit A | Vit B | Dist A | Dist B | DA - DB partielle | DA - DB totale |
| 1 | 4 | 3 | 4 | 3 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 3,5 | 8 | 7 | 1 | 2 |
| 1 1/3 | 4,25 | 3,5 | 5 2/3 | 4 2/3 | 1 | 3 |
| 4 | 4,25 | 4 | 17 | 16 | 1 | 4 |
| Distance totale | 34 2/3 | 30 2/3 | ||||