804, Récréations joviales, le 22 novembre 2021

01. Jetons d'Adam

Enoncé

3 7 8 2 4 6

Adam dessine six jetons et les découpe. Les voici :

Il désire disposer les six jetons sur deux rangées horizontales, trois jetons par rangée. La somme des numéros doit être la même dans chaque rangée.

Répartissez les six jetons.

Résolution

3 + 7 + 8 + 2 + 4 + 6 = 30. On doit donc avoir une somme de 15 dans chaque rangée
Comment faire 15 ? Une seule possibilité : 2 + 6 + 7 = 3 + 4 + 8 = 15

Résultat

1ère rangée : 2, 6, 7 ; 2ème rangée : 3, 4, 8.

02. Famille Descours

Enoncé

Trois enfants de la famille Descours vont à trois écoles différentes et ont chacun une matière préférée.
Enfants : Grégoire, Pauline, Tania
Écoles : des Bouleaux, des Érables, des Frênes
Matières préférées : géographie, histoire, mathématiques

  1. La matière préférée de Grégoire n’est pas la géographie.
  2. Celui ou celle qui va à l’école des Érables préfère les mathématiques.
  3. Pauline est inconnue à l’école des Érables.
  4. Celui ou celle qui préfère l’histoire ne va pas à l’école des Bouleaux.
  5. Grégoire aurait voulu aller à l’école des Érables, mais c’était impossible.

À quelle école va chaque enfant et quelle est sa matière préférée ?

Résolution

Enfant Grégoire Pauline Tania 2
ensemble 		4
pas ensemble 		Grégoire Pauline Tania
Ecole 5 : pas E ; 10 : pas B ; 11 : F 3 : pas E ; 12 : B 6 : c'est E E B Frênes Bouleaux Erables
Matière préférée 1 : pas G ; 8 : H 9 : G 7 : c'est M M H Histoire Géographie Mathématiques

Résultat

Voir à droite.

03. Jovial additionne

Enoncé

+ + + +
= = = =

Joshua a dessiné 12 cases comme ci-contre. Il désire y inscrire trois 1, trois 2, trois 3 et trois 4 de façon à former quatre additions.

Placez les nombres donnés dans les 12 cases de façon à réaliser les quatre additions.

Résolution

1 1 2 3
+ 2 + 3 + 2 + 1
= 3 = 4 = 4 = 4
3(1 + 2 + 3 + 4)= 30 30/2 = 15 Comment faire 15 ? 4 + 4 + 4 + 3 = 15 C'est tout !
3 + 1 = 4 2 + 2 = 4 1 + 3 = 4 1 + 2 = 3 On a 3 fois le 1 3 fois le 2 3 fois le 3 et 3 fois le 4

Résultat

Voir à droite.

04. Jovial additionne encore

Enoncé

+ + + +
= = = =

Jovial prend 12 jetons, soit deux groupes de six jetons marqués de 1 à 6. Il les place sur les cases vides de façon à réaliser les quatre additions.

Trouvez une disposition.

1 2 2 1
+ 3 + 3 + 4 + 5
= 4 = 5 = 6 = 6
1 1 2 3
+ 4 + 5 + 2 + 3
= 5 = 6 = 4 = 6

Résolution

2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)= 42 42/2 = 21 Comment faire 21 ? 6 + 6 + 5 + 4 = 21 C'est tout !
5 + 1 = 6 4 + 2 = 6 2 + 3 = 5 1 + 3 = 4 3 + 3 = 6
On a 2 fois le 1 2 fois le 2 2 fois le 3 2 fois le 4 2 fois le 5 et 2 fois le 6
Ou bien 2 fois le 1 2 fois le 2 2 fois le 3 2 fois le 4 2 fois le 5 et 2 fois le 6

Résultat

Voir à droite.

05. Quelle heure est-il ?

Enoncé

Un passant à qui on demande l’heure répond :
Dans 20 minutes, il sera 10h32 à ma montre.

Sachant que la montre du passant avance de 5 minutes, quelle heure était-il il y a 10 minutes ?

Résolution

10 h 32 mn - 20 mn = 10 h 12 mn
10 h 12 mn - 5 mn = 10 h 07 mn
10 h 07 mn - 10 mn = 9 h 57 mn

Résultat

Il y a 10 minutes, il était 9 heures et 57 minutes.

06. Luc et Eve

Enoncé

L U C 8 U C 8 7 6
+ E V E + E 2 E + 1 2 1
= T T U = T T U = 9 9 7

Olivia, la sœur de Luc, a écrit l’addition ci-contre. Chaque lettre représente un chiffre différent. Les valeurs de L et V sont : L = 8 et V = 2.

Trouvez la valeur de LUC.

Résolution

Aux centaines on ne peut avoir que 8 + 1 = 9 ; E = 1 et T = 9
Aux dizaines : 7 + 2 = 9 ; U = 7 ; et aux unités : 6 + 1 = 7 ; C = 6

Résultat

La valeur de LUC est : 876

07. Astuce de Nanette

Enoncé

13 x 4 = 52 a x b = ab 11 x 3 = 33
7 x 5 = 35 c x d = cd 9 x 6 = 54
Somme 20 9 87 a + c b + d ab + cd 20 9 87

Nanette a écrit deux multiplications. Puis, elle a additionné les nombres de chaque colonne. Elle dit à un ami :
- Il existe un autre couple de multiplications dont les sommes sont respectivement 20, 9 et 87.

Trouvez cet autre couple de multiplications.

Résolution

c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
d = (3/2)(31 - 3c)/(10 - c) 4,65 4,67 4,69 4,71 4,75 4,8 4,88 5 5,25 6
a + c = 20 a = 20 - c b + d = 9 b = 9 - d
ab + cd = (20 - c)(9 - d) + cd = 180 - 9c - 20d + 2cd = 87 9c + 20d - 2cd = 93
d = (3/2)(31 - 3c)/(10 - c) Deux solutions 7, 5 ; c'est l'énoncé 9, 6 ; le résultat
a = 20 - 9 = 11 b = 9 - 6 = 3 c = 9 d = 6

Résultat

Il s'agit de 11 x 9 et 3 x 6. Voir ci-dessus, à droite.

08. Somme paire

Enoncé

. . .

Ariane numérote des jetons de 1 à 7. Elle désire les placer pour que la somme soit paire dans chaque rangée de trois jetons.
Sans placer les jetons, trouvez comment les distribuer en indiquant P pour pair et I pour impair sur la figure.

Combien y a-t-il de solutions pour placer P et I ?

Résolution

Dans la liste 1 à 7, il y a 4 chiffres impairs (i) et 3 chiffres pairs (P). On peut obtenir une somme paire avec : PPP ou Pii.

bfg g cd bc a fd e a b c d e f g
PPP P ii Pi i Pi i i P i i i P P
Pii i Pi PP P ii P P P P i P i i
Pii i iP Pi i iP i i P i P i i i
iPi i Pi iP i Pi i i i P i i P i
iPi i iP ii P PP P P i i P P P i
iiP P PP iP i iP i i i P P i i P
iiP P ii ii P ii P P i i i P i P

Résultat

Il y a trois solutions.

09. Oursons de Gilberta

Enoncé

Oursons 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dispositions 1 2 4 7 12 21 37 65 ?

Gilberta place ses oursons sur une tablette selon une règle précise qu’elle n’a pas l’intention de dévoiler. Par exemple, quand elle prend trois oursons, elle réussit quatre dispositions. Voici un tableau qui donne le nombre de dispositions en regard du nombre d’oursons :

Quel sera le nombre de dispositions quand Gilberta placera neuf oursons sur la tablette ?

Résolution

Avec n le nb d'oursons 1 2 3 4 5 6 7 8 n 9
Avec d le nb de dispositions 1 2 4 7 12 21 37 65 p = p(-1) + p(-2) + p(-4) 114

On remarque que le nombre de dispositions est égal au nombre précédent augmenté de celui de rang -2 et de celui de rang -4.

Résultat

Le nombre de dispositions pour 9 oursons est 114.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N° Enoncé Calcul Résultat
a
. . .
Combien y a-t-il de triangles de toute grandeur dans cette figure ? 		2 x 3 = 6 Il y a 6 triangles dans cette figure.
b Hermione retire les deux tiers d’une boîte qui contient des boules, puis en remet le tiers de ce qui reste. La boîte contient alors 24 boules. Combien y avait-il de boules dans la boîte initialement ? 4x/9 = 24 Il y avait 54 boules.
c
5 ? 34
6 13 40
7 15 46
Trouvez le nombre qui manque dans cette grille. 		13 = 2x6 + 1 ; 15 = 2x7 + 1
40 = 3x13 +1 = 6x6 + 4
46 = 3x15 + 1 = 6x7 + 4
34 = 6x5 + 4 ; ? = 2x5 + 1 		? = 11.
d Cyprienne dit : Le double de mon nombre de médaillons moins le quart de ce double donne 9. Combien Cyprienne a-t-elle de médaillons ? 2x - 2x/4 = 9 ; x = 6 Cyprienne a 6 médaillons.

11. Problème des huit demoiselles (Lucas)

Enoncé

« À cette époque, les huit demoiselles d'un pensionnat se promenaient tous les jours en rang par deux. Le problème était de trouver comment les disposer pour qu'en un nombre maximal de jours elles n'aient pas deux fois la même voisine. »

Résolution

Le nombre de couples unitaires est le nombre de combinaisons de 2 parmi 8 = 8!/[2!(8 - 2)!] = 7x8/2 = 28. On peut les lister :

Les couples ab ac ad ae af ag ah bc bd be bf bg bh cd ce cf cg ch de df dg dh ef eg eh fg fh gh
Position dans la solution 11 12 13 14 15 16 17 23 22 25 24 27 26 21 36 37 34 35 47 46 45 44 31 32 33 43 42 41

Voici donc les sept dispositions :

ab ac ad ae af ag ah
cd bd bc bf be bh bg
ef eg eh cg ch ce cf
gh fh fg dh dg df de

12. Problème des quinze demoiselles de Kirkman

Enoncé

« Les quinze demoiselles de Kirkman se promènent en rang par trois. On veut que deux quelconques des filles se retrouvent une fois et une seule ensemble dans la même rangée de trois. En combien de jours est-ce possible ? Donner une solution. »
• Variante plus simple : même problème avec neuf demoiselles.
Nb : je connais des solutions, mais pas de méthode pour générer toutes les solutions.

Résolution

Remarque préliminaire

On peut se demander ce que viennent faire les jours. Très vite on comprend qu'il y a une liaison avec le problème précédent, qui évoque une promenade par jour. Cela est confirmé par la solution de Christophe dans laquelle les problèmes 11 et 12 ne font qu'un seul problème n° 11.

Le deuxième problème le plus facile

Le nombre de trios unitaires est le nombre de combinaisons de 3 parmi 9 = 9!/[3!(9 - 3)! = 7.8.9/6 = 84
L'utilisation de chacun de ces trios amène la présence de trois couples différents qui doivent être éliminés pour les choix suivants.
Le nombre de couples est le nombre de combinaisons de 2 parmi 9 = 9!/[2!(9 - 2)! = 8.9/2 = 36.
L'arrangement d'un jour (3 rangées de 3), utilise 3 trios et élimine donc 9 couples (3 par trio).
Comme on dispose de 36 couples, 36/9 = 4, on devrait pouvoir faire au maximum 4 arrangements différents, donc 4 jours de promenade.
Les premiers trios mis en place sont ceux de la première ligne, puis ceux de la première colonne. Enfin on remplit les colonnes 2 et 3 par ligne.
Pour le choix des trios on s'aide des disponibilités laissées après le remplissage des tableaux des trios et des couples.

Les trios

Liste abc abd abe abf abg abh abi acd ace acf acg ach aci ade adf adg adh adi aef aeg aeh aei afg afh afi agh agi ahi
Utilisé par 11 21 31 41
Eliminé par 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 21 21 12 21 22 21 23 13 13 31
Liste bcd bce bcf bcg bch bci bde bdf bdg bdh bdi bef beg beh bei bfg bfh bfi bgh bgi bhi cde cdf cdg cdh cdi cef ceg
Utilisé par 42 22 32 33 43
Eliminé par 11 11 11 11 11 11 12 12 21 22 22 22 22 22 22 13 13 22 33 23 21 23 12
Liste ceh cei cfg cfh cfi cgh cgi chi def deg deh dei dfg dfh dfi dgh dgi dhi efg efh efi egh egi ehi fgh fgi fhi ghi
Utilisé par 23 12 13
Eliminé par 22 23 23 23 13 13 23 12 12 12 12 12 12 13 13 33 12 12 12 13 13 22 13 13 23

Les couples

Liste ab ac ad ae af ag ah ai bc bd be bf bg bh bi cd ce cf cg ch ci de df dg dh di ef eg eh ei fg fh fi gh gi hi
Utilisé en 11 11 21 31 41 21 41 31 11 42 22 32 32 22 42 33 43 23 43 33 23 12 12 21 33 42 12 43 22 31 32 41 23 13 13 13

Construction des arrangements, Les demoiselles utilisées dans chaque ligne

Colonne où la demoiselle est posée
La demoiselle a b c d e f g h i
abc def ghi 1 1 1 2 2 2 3 3 3
adg beh cfi 1 2 3 1 2 3 1 2 3
aei bfg cdh 1 2 3 3 1 2 2 3 1
afh bdi ceg 1 2 3 2 3 1 3 1 2

Problème des 15 demoiselles

Le nombre de trios unitaires est le nombre de combinaisons de 3 parmi 15 = 15!/[3!(15 - 3)! = 13.14.15/6 = 455
L'utilisation de chacun de ces trios amène la présence de trois couples différents qui doivent être éliminés pour les choix suivants.
Le nombre de couples est le nombre de combinaisons de 2 parmi 15 = 15!/[2!(15 - 2)! = 14.15/2 = 105.
L'arrangement d'un jour (5 rangées de 3), utilise 5 trios et élimine donc 15 couples (3 par trio).
Comme on dispose de 105 couples, 105/15 = 7, on devrait pouvoir faire au maximum 7 arrangements différents, donc 7 jours de promenade.
Après plusieurs jours de travail sur ce problème sans succès, voici la solution du prof :

abc def ghi jkl mno
adm egj fhk cln bio
bdg hjm ikn cfo ael
bkm ceh afi glo djn
cgm bfj eko ahn dil
eim bhl cdk fgn ajo
cij flm dho agk ben
Couple ab ac ad ae af ag ah ai aj ak al am an ao bc bd be bf bg bh bi bj bk bl bm bn bo cd ce cf cg ch ci cj ck
Utilisé dans 11 11 21 35 43 74 54 43 65 74 35 21 54 65 11 31 75 52 31 62 25 52 41 62 41 75 25 63 42 34 51 42 71 71 63
Couple cl cm cn co de df dg dh di dj dk dl dm dn do ef eg eh ei ej ek el em en eo fg fh fi fj fk fl fm fn fo gh
Utilisé dans 24 51 24 34 12 12 31 73 55 45 63 55 21 45 73 12 22 42 61 22 53 35 61 75 53 64 23 43 52 23 72 72 64 34 13
Couple gi gj gk gl gm gn go hi hj hk hl hm hn ho ij ik il im in io jk jl jm jn jo kl km kn ko lm ln lo mn mo no
Utilisé dans 13 22 74 44 51 64 44 13 32 23 62 32 54 73 71 33 55 61 33 25 14 14 32 45 65 14 41 33 53 72 24 44 15 15 15

Résultat

C'est possible en 7 jours pour les 15 demoiselles et en 4 jours pour les 9 demoiselles.

13. Cinq nombres pris deux à deux

Enoncé

0 2 4 4 6 8 9 11 13 15

Déterminer 5 nombres entiers relatifs (positif ou négatif) tels que les sommes de ces nombres pris deux à deux soient :

Solution du prof

Les nombres cherchés sont : a, b, c, d, e Pris dans l'ordre croissant
Nombre d'additions 4 + 3 + 2 + 1 = 10 5!/(3!2) = 4x5/2 = 10 Ce sont les 10 sommes données
Somme totale des additions S = 4(a + b + c + d + e) S = 2 + 4 + 4 + 6 + 8 + 9 + 11 + 13 + 15 = 72 a + b + c + d + e = 18
Ordre décroissant d + e = 15 > c + e = 13 Ordre croissant a + b = 0 < a + c = 2
(a + b) + c + (d + e) = 18 c = 18 - 0 - 15 c = 3
a = 2 - c a = -1 e = 13 - c e = 10
b = -a b = 1 d = 15 - e d = 5

Résultat

Les cinq nombres sont : -1, 1, 3, 5, 10.

14. Ranger des nombres premiers

Enoncé

Sur les neuf cartes de Sophie sont écrits les premiers nombres premiers à deux chiffres. Sophie aimerait ranger ses cartes en ligne de façon à ce que la différence entre les nombres inscrits sur deux cartes voisines soit une puissance de 2.

Combien existe-t-il de rangements différents?

Résolution

Erreur de ma part. J'ai raisonné avec des carrés au lieu des puissances de 2 !

Liste des 9 premiers nombres premiers à 2 chiffres 41 37 31 29 23 19 17 13 11
Différence avec 11 30 26 20 18 12 8 6 2
13 28 24 18 16 10 6 4
17 24 20 14 12 6 2
19 22 18 12 10 4
23 18 14 8 6
29 12 8 2
31 10 6
37 4
. . .

Résultat

Il y a deux solutions : 41, 37, 29, 31, 23, 19, 17, 13, 11 et 41, 37, 29, 31, 23, 19, 11, 13, 17 et leur renversées.