Côme a écrit au hasard quatre nombres dans le tableau ci-contre. Sa sœur examine attentivement le tableau et lui dit :
Je pourrais placer cinq autres nombres.
À quelles conditions, de reprendre Côme ?
Les trois nombres de chacune des lignes, des colonnes et des deux diagonales doivent avoir la même somme.
Trouvez les cinq nombres qui manquent.
7
4
7
6
6
6
5
8
5
Calcul
La somme doit être partout : 7 + 4 + 7 = 18
a = 18 - 7 - 5 = 6 ; b = 18 - 7 - 5 = 6 ; c = 18 - 6 - 6 = 6 ; d = 18 - 4 - 6 = 8 ; e = 18 - 7 - 6 = 5
Résultat
Voir la solution à droite.
02. Pommes de Zénon
Enoncé
Zénon a numéroté 14 pommes, soit deux fois les numéros de 1 à 7. Il place les 14 pommes en ligne devant lui.
Une pomme 4 n’est pas en quatrième position.
Une pomme 5 est en cinquième position.
Une pomme 3 est en troisième position.
Une pomme 7 est en sixième position.
Entre deux pommes 1, il doit y avoir une pomme. Entre deux 2, il doit y avoir deux pommes. Entre deux 3, il doit y avoir trois pommes et
ainsi de suite.
Dans quel ordre sont les 14 pommes ?
Calcul
Position
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Première lecture
3
Pas 4
5
7
Deuxièmes pommes 3, 5 et 7
3
5
7
Les deux pommes 2
2
2
Les deux pommes 4
4
4
Les deux pommes 1
1
1
Les deux pommes 6
6
6
Résultat
2
6
3
2
5
7
3
4
6
1
5
1
4
7
03. Poètes du Québec
Enoncé
Trois écrivains québécois : Alfred Desrochers, Louis Fréchette, Émile Nelligan ont marqué la littérature du Québec.
Émile Nelligan est décédé à l'âge de 62 ans.
Louis Fréchette est né 40 ans avant Émile Nelligan.
Alfred Desrochers a vécu huit ans de plus que Louis Fréchette.
Émile Nelligan est décédé 37 ans avant Alfred Desrochers.
Louis Fréchette est décédé 29 ans après la naissance de Nelligan.
Louis Fréchette est né en 1839.
Découvrez l'année de la naissance et du décès de chacun de ces écrivains québécois.
Calcul
Avec
Dn
Dd
Fn
Fd
Nn
Nd
Date de
naissance
décès
naissance
décès
naissance
décès
de
Alfred Desrochers
Louis Fréchette
Emile Nelligan
6
Fn = 1839
2
Fn = Nn - 40
Nn = 1839 + 40
Nn = 1879
5
Fd - Nn = 29
Fd = Nn + 29
1
Nd = Nn + 62
a ; 5 et 1
Nn = Fd - 29 = Nd - 62
Nd - Fd = 62 - 29 = 33
Fd = Nd - 33
4
Dd - Nd = 37
Dd = Nd + 37
b ; a et 4
Dd - Fd = Nd + 37 - Nd + 33
Dd - Fd = 70
3
Dd - Dn = Fd - Fn + 8
Fd + Dn - Dd = 1839 - 8 = 1831
Dn = 1831 + Dd - Fd
3 et b
Dn = 1831 + 70 = 1901
Dn = 1901
Fd = 1879 + 29 = 1908
Nd = 1879 + 62 = 1941
Dd = 1908 + 70 = 1978
Résultat
Ecrivain
Alfred Desrochers
Louis Fréchette
Emile Nelligan
Année de naissance
1901
1839
1879
Année de décès
1978
1908
1941
Âge au décès
77
69
62
04. Code à 4 chiffres
Enoncé
Le 1er chiffre est 2 fois plus grand que le 2ème.
La somme des 4 chiffres fait 14.
Le 3ème chiffre est 3 fois plus grand que le 4ème.
Quel est le code ?
Calcul
Avec le 2ème chiffre égal à b et le 4ème égal à d,
La somme des chiffres est : 2b + b + 3d + d = 3b + 4d = 14 d = (14 - 3b)/4
14 - 3b doit être un multiple de 4 ; Avec b = 0 ou 1 (non) ; Avec b = 3 ou 4 (non) ; Avec b > 4 (négatif) ; Seul b = 2 convient.
Avec b = 2 ; d = (14 - 6)/4 = 2 ; Le code est : 4262
Résultat
Le code est : 4262.
05. Code à 3 chiffres
Enoncé
123 : Rien n’est bon.
612 : Un chiffre est bon et mal placé.
456 : Un chiffre est bon et mal placé.
158 : Un chiffre est bon et bien placé, un chiffre est bon et mal placé.
834 : Un chiffre est bon.
Quel est le code ?
Calcul
123, rien n'est bon, on doit retirer tous les chiffres 1, 2 et 3
Dans 612, après retrait des 1 et 2, il reste le 6 qui est soit en 2, soit en 3ème position.
Dans 456, il y a un 6 en 3ème position, et mal placé. Donc 6 est en 2. Du coup, on retire les 4 et les 5
Dans 834, il reste le 8 mal placé.
Dans 158, il ne reste que le 8 qui a une double casquette. Il est à la fois bien placé en 3, et aussi mal placé pour la position 1.
Résultat
Le code est : 868.
06. Qui dit la vérité ? Qui ment ?
Enoncé
André, Benjamin, Céline et Delphine forment un groupe de 4 amis. Certains sont honnêtes et disent toujours la vérité. Les autres mentent
toujours.
André déclare : " Un de nous quatre au moins est honnête ".
Benjamin déclare : " Au moins deux d'entre nous sont honnêtes ".
Céline déclare : " Il y a exactement deux menteurs parmi nous ".
Delphine déclare : " Il y a au moins un menteur parmi nous ".
Qui ment ? Qui dit la vérité ?
Calcul
Si Delphine était menteuse, en disant qu'il y a au moins un menteur, cela voudrait dire qu'il n'y a pas de menteur.
C'est incompatible.
Delphine dit vrai. Et comme André déclare qu'un au moins est honnête, il dit vrai. On a déjà 2 amis qui disent vrai.
Donc Benjamin dit vrai. On arrive à trois amis qui disent vrai.
Et donc finalement Céline ment.
Résultat
Il y a une menteuse : Céline, les autres amis disent tous vrai.
07. Le plus grand nombre pair
Enoncé
En barrant 5 chiffres, obtenir le plus grand nombre pair possible.
En barrant 5 chiffres, obtenir le plus petit nombre impair possible.
5078210652
Calcul
Est-ce que je peux démarrer à 8 ? Oui. Est-ce que je peux sauter à 6 ? Oui. Il reste 82652.
Je dois terminer avec 5. Si je prends les 2 zéros, je n'ai plus assez de chiffres. Je peux en prendre 1, puis sauter à 1. Il reste 01065.
Résultat
Le plus grand nombre pair : 82652. Le plus petit impair : 01065.
08. Balayage diagonal du carré
Enoncé
x
11
10
12
19
4
9
13
18
3
5
8
14
17
1
2
6
7
15
16
On dessine un grand carré, que l’on divise en carrés plus petits. Puis on écrit les entiers successifs dans chaque petit carré comme indiqué
sur la figure ci-contre (en suivant l'ordre croissant).
Parmi les valeurs proposées, quelle est celle que le nombre x ne peut pas prendre ? A) 128 ; B) 256 ; C) 81 ; D) 121 ; E) 400
Calcul
Avec un carré de côté n, la valeur de x est n2. x est un carré. Parmi 128, 256, 81, 121, et 400 seul 128 n'est pas un carré.
Résultat
x ne peut pas prendre la valeur 128.
09. Bolumbo - Kotumba
Enoncé
Chaque jour, à midi, un Dakota quitte l'aéroport de Bolumbo pour celui de Kotumba. Chaque jour, à midi, un autre Dakota quitte l'aéroport
de Kotumba pour celui de Bolumbo. Comme la météorologie locale est très calme et qu'il n'y a pas de vent, les deux avions se croisent à mi-distance
de Kotumba et de Bolumbo. On prévoit maintenant de remplacer un des deux Dakota par un DC 4, qui vole une fois et demie plus vite. En décollant
toujours à midi, l'avion de Kotumba et celui de Bolumbo se croiseront à 70 km du lieu où ils se croisent aujourd'hui.
Pouvez-vous en déduire la distance entre Bolumbo et Kotumba ?
Calcul
Avec
2d
La distance entre Bolumbo et Kotumba
Distance parcourue par le Dakota
d - 70
Temps à la vitesse 1
d - 70
Distance parcourue par le DC4
d + 70
Temps à la vitesse 1,5
2d/3 + 140/3
Les temps sont égaux
3d - 210 = 2d + 140
d = 350
Résultat
La distance entre Bolumbo et Kotumba est : 700 km.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
Je suis un nombre inférieur à 100 qui a une seule voyelle. Je n’ai pas de N ni de I. Qui suis-je ?
Sept remplit les conditions.
b
Insérez des signes +, –, * ou / entre les chiffres pour que le résultat soit 7.
2
3
4
5
2
*
3
-
4
+
5
c
Trouvez les nombres qui utilisent ces trois mots : QUATRE, QUARANTE, MILLE.
4 040 et 40 004. Il y en a encore 2 autres : 1 044 et 44 000.
d
Mélodie a écrit l’égalité suivante. Les deux nombres manquants sont identiques. Trouvez le nombre doublement
manquant.
(꙱ + 8)/(13 - ꙱) = 6
x + 8 = 78 - 6x
x = 10
11. Match de football
Enoncé
Cinq amis assistent régulièrement à des matchs de football. Lors du premier match de la saison, ils ont occupé les sièges dans cet ordre :
Lysanne
Magalie
Nestor
Odile
Pierre-Luc
Par la suite, ils ont toujours occupé les cinq mêmes sièges dans des positions différentes.
Mais comme, dans la première partie, leur équipe a subi un revers dramatique, ils ont décidé que, lors des matchs suivants, chacun n’occuperait
plus la place prise lors du premier match.
Par exemple, Lysanne n’occupera plus jamais le siège de l'extrémité.
À combien de matchs les amis ont-ils assisté (à l’exclusion du premier), s’ils ont pris toutes les positions possibles ?
Généraliser à n amis.
Calcul
Avec n le nombre d'amis, et S le nombre de solutions,
Résultat général, global
Les matheux de haut niveau, dont je ne fais pas partie, en passant par la formule du crible, l'hérédité, les permutations sans point fixe, le
principe de récurrence, aboutissent à la formule : S = ∑ pour k de 0 à n de (-1)kn!/k!
Ainsi : avec n = 5, 5! = 120 S(5) = 120 - 120 + 120/2 - 120/6 + 120/24 - 120/120 =
60 - 20 + 5 - 1 = 44.
A remarquer que cette formule fonctionne même avec n = 1.
Exploration MR
On sait qu'il y a n! façon d'arranger n objets. Dans la liste il y a beaucoup d'arrangements pour lesquels un ami donné se retrouve à la
place qu'il occupait le premier jour. Ces arrangements doivent être retirés. Mais il y a aussi des répétitions ... Les différents comptages et
corrections aboutissent à un calcul en quatre étapes :
1 - Calcul d'un tableau de termes T - 2 - Calcul d'un tableau de facteurs F - 3 - Calcul d'un tableau du produit FT - 3 - Calcul de S.
Chistophe, notre professeur, a obtenu un résultat très simple : S(n) = (n - 1)[S(n-2) + S(n-1)]. On a donc un résultat en fonction des deux
précédents, et comme les deux premiers sont faciles à calculer ...
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S
2(0 + 1)
3(1 + 2)
4(2 + 9)
5(9 + 44)
6(44 + 265)
7(265 + 1 854)
8(1 854 + 14 833)
9(14 833 + 133 496)
S
0
1
2
9
44
265
1 854
14 833
133 496
1 334 961
Recherche des éléments de la formule de Christophe
Pour la démonstration, voir le corrigé de Christophe. Ici, on va juste essayer de sentir d'où viennent les éléments de cette formule. La
démarche est d'établir les listes des solutions, de trier, et de faire le lien avec les solutions précédentes.
S(1), S(2), S(3) et S(4), les solutions pour n = 1, 2, 3, 4.
n = 1
Le joueur "a", tout seul, ne peut pas occuper une autre place.
Dans cette liste il faut séparer trois groupes suivant le joueur qui occupe la place n° 1, et à l'intérieur de chaque groupe il faut distinguer
deux catégories de solutions.
Il y a un cas particulier où on a conjointement en position 1, un joueur x qui occupait initialement la place n° p, et en position p, le joueur a
qui occupait initialement la place n° 1. Ce sont les solutions sur fond rose dans le tableau suivant, dans lequel le groupe est le nom du
joueur qui occupe la position n° 1.
Groupe
b
c
d
Les solutions S(4)
badc
bcda
bdac
cadb
cdab
cdba
dabc
dcab
dcba
Pour ces cas particuliers (sur fond rose), on a le joueur de la position 1 et le joueur de la position p qui sont "bloqués" mutuellement. Il
reste deux joueurs à placer sur les deux positions autres que 1 ou p. on a déjà répondu à cette question lorsqu'on a cherché les solutions S(2).
La réponse était S(2) = 1. Et effectivement, ici, avec n = 4, dans chacun des groupes b à d, on n'a une qu'une solution de ce cas particulier.
Pour les cas non particuliers, il n'y a qu'un joueur bloqué, celui de la position 1. La question est donc de placer 3 joueurs. On a répondi à cette
question lorsqu'on a cherché S(3). On avait S(3) = 2, et effectivement ici, dans chacun des groupes on a 2 solutions correspondant aux cas
non particuliers.
En définitive, pour un des trois groupes, on a S(2) + S(3) = 1 + 2 = 3 solutions. Le nombre de groupes étant n - 1 = 3, le nombre total de
solutions est S(4) = (n - 1)[S(n-2) + S(n-1)] = 3(1 + 2) = 9.
Vérification pour n = 5 avec les joueurs abcde
Groupe b
badec
baecd
bcaed
bcdea
bcead
bdaec
bdeac
bdeca
beacd
bedac
bedca
Groupe c
cabed
cadeb
caebd
cdaeb
cdbea
cdeab
cdeba
ceabd
cebad
cedab
cedba
Groupe d
dabec
daebc
daecb
dcaeb
dcbea
dceab
dceba
deabc
deacb
debac
debca
Groupe e
eabcd
eadbc
eadcb
ecabd
ecbad
ecdab
ecdba
edabc
edacb
edbac
edbca
Dans chacun des groupes on a bien 2 solutions particulières (S(3) = 2) et 9 solutions non particulières (S(4) = 9).
Dernière vérification avec n = 6, sur le 1er groupe
badcfe
badefc
badfce
baecfd
baefcd
baefdc
bafcde
bafecd
bafedc
9 = S(4)
bcaefd
bcafde
bcdafe
bcdefa
bcdfae
bceafd
bcefad
bcefda
bcfade
bcfead
bcfade
11 x 4 = 44 = S(5)
bdacfe
bdaefc
bdafce
bdeafc
bdecfa
bdefac
bdefca
bdface
bdfcae
bdfeac
bdfeca
beacfd
beafcd
beafdc
bedafc
bedcfa
bedfac
bedfca
befacd
befadc
befcad
befcda
bfacde
bfaecd
bfaedc
bfdace
bfdcae
bfdeac
bfdeca
bfeacd
bfeadc
bfecad
bfecda
12. Le jardinier et ses rosiers
Enoncé
Zig vient de planter un vaste massif de rosiers. Pour favoriser leur croissance, il s'apprête à leur apporter de l'engrais liquide (1).
Cas n° 1 ** : il dispose de 8 bouteilles d'engrais et le fournisseur vient de l'informer peu de temps après son achat que deux d'entre
elles sont mal dosées et qu'une seule goutte suffit à griller les feuilles des rosiers en 24 heures. Pour déceler les bouteilles défectueuses
Zig décide de faire des tests avec un maximum de 4 rosiers qu'il a identifiés et qu'il est prêt à sacrifier. Peut-il en
48 heures identifier les deux bouteilles mal dosées ?
Cas n° 2 **** : même question que ci-dessus avec 12 bouteilles d'engrais dont deux mal dosées, toujours les tests réalisés sur 4 rosiers
au maximum et un laps de temps de 3 jours pour identifier ces deux bouteilles.
(1) avec l'étiquette "bio", cela va de soit ! !
Calcul
Pas trouvé la solution.
Solution transmise par le prof
En effet, le plus simple est de tester chaque bouteille séparément. Mais il faut comprendre que les quatre rosiers sacrifiés ne sont pas
n'importe lesquels, ce sont des rosiers bien identifiés (en espèce ou localisation). Le principe est donc d'appliquer une goutte d'une bouteille,
(exceptionnellement 2 bouteilles) sur un des quatre rosiers réservés pour les tests.
Cas n° 1 **
Bouteilles testées
Résultat, conclusion
Bouteilles testées
Résultat, conclusion
1, 2, 3, 4
1 rosier atteint, 1 bouteille identifiée
5, 6, 7
Aucun rosier atteint. C'est la bouteille 8
1 rosier atteint, 1 bouteille identifiée
0 rosier atteint
5, 6, 7, 8
2 rosiers atteints, 2 bouteilles identifiées
2 rosiers atteints, 2 bouteilles identifiées
Cas n° 2 ****
Bouteilles testées
Résultat, conclusion
Bouteilles testées
Résultat, conclusion
Bouteilles testées
Résultat, conclusion
1, 2, 3, 4
Aucun rosier atteint
5, 6, 7, 8
Aucun rosier atteint
9, 10, 11, 12
2 rosiers atteints, 2 bouteilles identifiées
1 rosier atteint, 1 rosier identifié
9, 10, 11
Aucun rosier atteint. C'est la bouteille 12
1 rosier atteint, 1 bouteille identifiée
2 rosiers atteints, 2 bouteilles identifiées
1 rosier atteint, 1 bouteille identifiée
(5, 6) ; (7, 8) ; (9, 10)
Aucun rosier atteint
11, 12
1 rosier atteint, 1 bouteille identifiée
1 rosier atteint, celui des bouteilles (z, t)
z, t
1 rosier atteint,
1 bouteille identifiée
2 rosiers atteints, 2 bouteilles identifiées
13. La fourmi
Enoncé
Sur une boîte paralélépipédique, suspendue par 2 coins comme indiqué (ficelles bleues), une fourmi se trouve sur la face extérieure ABCD,
au point repéré en rouge (I). La fourmi veut se rendre au point jaune (J) de la face EFGH.
La boîte est parfaitement hermétique et la fourmi ne peut y pénétrer. La fourmi ne peut donc se déplacer que sur les parois extérieures de
la boîte.
Quelle est la longueur minimum du trajet de la fourmi pour effectuer son déplacement ?
Calcul
En passant par les faces ABCD, EABF et EFGH, et en suivant l'axe, la longueur du trajet est : 1 + 30 + 11 = 42 cm.
On peut aussi développer les trois faces ABCD, BFGC et EFGH. Le trajet se trouve être l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont le grand
côté vaut : 6 + 30 + 6 = 42 cm, et le petit côté : 12 - 1 - 1 = 10 cm. Dans ce cas, racine de 422 + 102 = 43,17 cm.
Résultat
Le trajet le plus court est celui qui suit l'axe longitudinal. Il mesure 42 cm.
Correction
Erreur, il y a plus court, en passant par les 5 faces, DABC, AEFB, BFGC, CGHD et GFEH. L'hypotènuse du triangle rectangle de dimension
32 par 20 cm, vaut 40 cm.
14. Somme de cosinus
Enoncé
Avec les angles en degrés, Combien vaut cos(1) + cos(2) + cos(3) + ... + cos(358) + cos (359) ?
Calcul
On peut faire des couples en utilisant la relation : cos(a) = - cos(180 - a). Donc les sommes suivantes sont nulles :
a
1
2
...
88
89
|||
181
182
...
268
269
b = 180 - a
179
178
92
91
-1 (359)
-2 (358)
-88 (272)
-89 (271)
cos(a)
0,9998
0,9994
0,0349
0,0175
-0,9998
-0,9994
-0,0349
-0,0175
cos(b)
-0,9998
-0,9994
-0,0349
-0,0175
0,9998
0,9994
0,0349
0,0175
cos(a) + cos(b)
0
0
0
0
0
0
0
0
Finalement, la somme cos(1) + cos(2) + cos(3) + ... cos(358) + cos(359) est égale à cos(90) + cos(180) + cos(270) = 0 - 1 + 0 = -1
Résultat
La somme des cosinus des angles de 1 à 359° (pris de 1 en 1°) vaut -1.