717 (13), Magique dernière, le 31 mai 2021

01. Questions d'échauffement

01.a

Trois éléphants de collection ont coûté 55 euros. Le premier a coûté deux fois plus que le deuxième. Le troisième a coûté trois fois moins que le premier.

Quel est le coût de chaque éléphant ?

01.b

L’âge d’une mère correspond au double de la somme des âges de ses quatre enfants. Dans six ans, la somme des âges des enfants sera de 43 ans.

Quel sera alors l’âge de la mère ?

Calcul

Résultat

Coût de chaque éléphant, n° 1 : 30 € ; n° 2 : 15 € ; n° 3 : 10 €.
Dans 6 ans, l'âge de la mère sera : 44 ans.

02. La lettre F

Enoncé

Flora prépare sept jetons (corrigé : six) et les numérote de 2 à 7. Elle dessine l’initiale de son prénom.

Placez six jetons dans les cellules pour que la somme soit 11 dans la chaque rangée de deux ou de trois cellules reliées par une droite.

Calcul

On peut faire 11 avec : 2 + 3 + 6 ; 2 + 4 + 5 ; 4 + 7 ; 5 + 6
Deux chiffres n'apparraissent qu'une fois : le 3 de 236 et le 7 de 47. Donc 236 occupe la 1^ère ligne et 47 la 2^ème
Les intersections se font avec les chiffres 2 et 4 de 245.

Résultat

Voir la solution à droite.

03. Bastien rêve

Enoncé

Bastien rêve de partir en voyage. Il imagine une locomotive. Mais avant de quitter, il doit s’assurer que la locomotive est en équilibre. Pour cela, il doit écrire chacun des nombres de 1 à 9 dans les cellules. La somme des trois nombres de chaque triangle doit être 13. Bastien commence par placer 3 et 5 comme ci-contre.

Trouvez une façon d’équilibrer la locomotive.

Calcul

La somme des 9 chiffres de 1 à 9 est : 9 x 10 / 2 = 45
On a 4 cellules dont la somme est 13 : 13 x 4 = 52, dans lesquelles 3 chiffres sont comptés 2 fois. Ce sont ceux du bas entre 3 et 5.
La somme de ces trois chiffres du bas est 52 - 45 = 7. On ne peut faire 7 qu'avec 1 + 2 + 4 qui peuvent être placés de 6 manières différents.
1 + 2 + 4 ne convient pas. 1 + 4 + 2 convient. Les 4 autres possibilités (214, 241, 412, 421) ne conviennent pas. Donc une seule solution.

Résultat

Voir la solution à droite.

04. Transport en commun

Enoncé

Dans une petite ville du Royaume, ce jour-là les quatre autobus sont en opération.
Numéros d'autobus : 63, 65, 67, 69.
Nombres de passagers : 12, 25, 38, 42.
Kilométrage moyen à l'heure : 90, 95, 100, 105.

1. L'autobus 65 roule à moins de 100 km à l'heure et transporte moins de 20 passagers.
2. L'autobus 67 transporte plus de 30 passagers.
3. L'autobus qui transporte 42 passagers roule en moyenne à 105 km à l'heure.
4. L'autobus roulant en moyenne à 95 km à l'heure transporte 25 passagers.
5. L'autobus 63 transporte plus de passagers que l'autobus 69.
6. L'autobus 67 roule moins vite que l'autobus 63.

Pour chaque autobus, identifiez le nombre de passagers et le kilométrage moyen.

Calcul

Ordre d'apparition des solutions :

• 1 : 12 passagers dans le 65 et il roule à 90 ou 95
• 2 : 38 ou 42 pasagers dans le 67
• a, avec 1 et 4 : le 65 n'a pas 25 passagers, il ne roule pas à 95, il roule à 90
• b : 25 passagers, pas dans le 65, ni dans le 67 (2), et comme il y en a plus dans le 63 que dans le 69 (5), 25 est dans le 69
• 4 : 25 va avec 95, l'autobus 69 roule à 95
• 6 : Il reste 100 et 105, et comme 67 moins vite que le 63 : 63 à 105 et 67 à 100
• 3 : 105 va avec 42, l'autobus 63 a 42 passagers
• c : Il reste 38 passagers pour le 67.

Résultat

Voir la solution à droite.

05. Addition à trous

Enoncé

Trouvez en utilisant tous les chiffres de 0 à 9 et une seule fois chacun, l'addition ci-contre.

Qui saura trouver une solution avec la plus petite somme?

Calcul

Objectif : minimiser la somme. Est-ce qu'on peut faire h = 1 ? Non, il faudrait avoir e = 1 (interdit).
On peut essayer de faire h = 2 avec e = 1 et dans ce cas il faudra une retenue.
On a intérêt à avoir les grands chiffres (7, 8 et 9) aux unités. Il reste 0, 3, 5 et 6.
Voir une solution possible à droite.
En fait, on peut faire 2184 additions différentes, et il y a 12 additions qui donnent la somme minimum de 234.

Résultat

57 + 68 + 109 = 234.

Complément

Christophe nous donne une solution avec le plus grand résultat : 40 + 51 + 872 = 963. Il y a 36 solutions qui donnent ce résultat.

06. Coffre de Julie

Enoncé

Julie reçoit 55 florins de sa mère. Elle doit les répartir dans le coffre ci-contre. Deux cases ne peuvent pas recevoir de pièces sinon il explose. Il doit y avoir un nombre différent de florins par case. Julie place 8, 2 et 7 florins. À la fin, elle peut compter 18 pièces dans chacune des deux rangées verticales de trois cases et dans chacune des deux rangées horizontales de quatre cases. La case supérieure de la deuxième rangée verticale a plus de florins que l’autre.

Répartissez les 38 autres florins.

Calcul

A remarquer que 55 est la somme des 10 premiers nombres entiers (de 1 à 10) : 55 = (10 x 11)/2.
Sur la première ligne il manque 8 pour aller à 18. Parmi les chiffres disponibles il n'y a que 3 + 5.
Troisième colonne, il manque 16. Parmi les chiffres disponibles il n'y a que 10 + 6.
Première colonne, il manque 10. Il ne reste que 1 + 9.
Troisième ligne, il manque 11 à faire avec le chiffre restant 4 et un chiffre commun avec les colonnes 1 et 3.
11 - 4 = 7 = 1 + 6. Donc colonne 1 : 8, 9, 1 ; colonne 3 : 2, 10, 6 ; ligne 3 : 1, 4, 6, 7.
Il ne reste plus qu'à positionner les 2 chiffres de la première ligne. Pour satisfaire la dernière condition : 8, 5, 2, 3.

Résultat

Voir la solution à droite.

07. Le marcheur et la voiture

Enoncé

Une personne prend son train tous les jours à la même heure et son épouse l'attend à la gare en voiture. Un jour, finissant son travail plus tôt le voyageur prend le train précédent, ce qui lui permet de gagner une heure sur l'heure d'arrivée habituelle. L'épouse n'étant bien sûr pas la, le voyageur décide, plutôt que d'attendre bêtement, de commencer le trajet vers son domicile à pied. Il rencontre sur le chemin son épouse qui le prend dans son véhicule. Le voyageur constate qu'il est arrivé chez lui 10 minutes plus tôt que d'habitude.

Combien de fois la voiture va-t-elle plus vite que le marcheur ?

Calcul

En abscisses l'espace avec G la gare et D le domicile. En ordonnées le temps exprimés en minutes.
ABC : trajet habituel de la voiture ; GE : trajet inhabituel du piéton ; EF : retour inhabituel de la voiture.
Les triangles FHC et KEB sont égaux ; FC = KB = 10 mn ; JB = 5 mn ; GJ = 55 mn.
La distance JE est parcourue en 5 mn par la voiture et en 55 mn par le piéton. Vitesses respectives : JE/5 et JE/55.
Le rapport de la vitesse de la voiture sur celle su piéton est : (JE/5)/(JE/55) = 55/5 = 11

Résultat

La voiture va 11 fois plus vite que le marcheur.

08. Magie de Frénicle

Enoncé

Frénicle désire remplir la grille avec les nombres de 2 à 17, chacun une seule fois. La somme des nombres de chaque ligne, de chaque colonne, de chaque diagonale et de chaque petit carré 2 x 2 doit être égale à 38.

Connaissant la position de six nombres, complétez la grille.

Calcul

• c = 38 - 13 - 6 - 3 = 16 ; j = 38 - 2 - 17 - 12 = 7
• d + f = 38 - 2 - 13 = 23 ; Parmi les nombres disponibles, 23 = 15 + 8 = 14 + 9. Donc 4 hypothèses : d = 9 ; d = 15 ; d = 8 ; d = 14
• Hypothèse 1, d = 9 et f = 14. Cela entraîne a = 10 et b = 10 (interdit)
• Hypothèse 2, d = 15 et f = 8. Cela entraîne a = 4 et b = 16 (déjà pris)
• Hypothèse 3, d = 8 et f = 15. Cela entraîne a = 11, b = 9, e = 10, g = 5, h = 4 et i = 14. C'est une solution
• Hypothèse 4, d = 14 et f = 9. Cela entraine a = 5, b = 15, e = 4 , g = 11, h = 10 et i = 8. C'est la 2^ème solution.

Résultat

Voir les deux solutions à droite.

09. Champ de radis de la mère Ognon

Enoncé

Dans son potager, mère Ognon a planté deux rangées de radis. Chaque rangée est composée de 400 radis placés côte à côte. À l’automne, dans une rangée, mère Ognon a cueilli le 4^ème, le 8^ème, le 12^ème, le 16^ème et ainsi de suite selon le même rythme. Ensuite, dans l’autre rangée, elle a cueilli le 1^er, le 3^ème, le 6^ème, le 10^ème, le 15^ème et ainsi de suite selon le même rythme. De plus, chaque fois qu’elle cueille un radis, si celui de la première rangée qui le côtoie est encore là, elle le prend aussi.

Combien de radis resteront sur le champ ?

Calcul

Pour la première rangée, les n° des radis retirés sont divisibles par 4. On en retire 1 sur 4, c'est à dire : 400/4 = 100.
Pour la 2ème rangée, avec no le n° d'ordre du radis retiré et nr le n° du radis, nr = no(no + 1)/2.
nod, le n° d'ordre du dernier radis retiré est tel que : nod(nod + 1)/2 <= 400 ; nod² + nod - 800 = 0 ; nod = 27
On retire donc 100 + 27 = 127 radis plus 27 encore une fois déduction faite de ceux qui n'existent plus dans la première rangée
Il nous faut donc rechercher tous les nr divisibles par 4 dans la suite des nr correspondants à no de 1 à 27.

Nombre total de radis retirés : 127 + 27 - 6 = 148. Nombre de radis restants : 800 - 148 = 652.

Résultat

Il restera 652 radis dans le champ.

10. Centre du carré magique

Enoncé

Soit un carré magique 3x3. Soit S la somme des 9 cases. La somme des valeurs sur chaque ligne, sur chaque colonne et sur chacune des diagonales est égale.

Trouver la valeur commune des lignes, colonnes et diagonales ?
Trouver la valeur de la case du centre ?

Calcul

(a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = S = Somme de 3 lignes (ou 3 colonnes). Valeur commune : S/3.
(d + e + f) + (b + e + h) + (a + e + i) + (c + e + g) = (a + b + c + d + e + f + g + h + i) + 3e = S + 3e = 4S/3
3S + 9e = 4S ; 9e = S ; e = S/9

Résultat

Valeur commune des lignes, colonnes et diagonales : S/3. Valeur de la case du centre : S/9.

11. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

12. Le motard et ses deux potes

Enoncé

2 frères ont à se rendre à une ville voisine distante de 13 km et demandent de l'aide à leur ami motard et matheux. Le motard ne peut prendre qu'un passager, aussi on décide de laisser partir à pied l'un des frères, d'emmener l'autre en passager jusqu'à un point calculé tel que le reste du chemin qu'il lui restera à faire à pied jusqu'à la ville lui prendra exactement le même temps que le motard pour aller rechercher le frérot et le ramener à cette dite ville. Les 2 frères marchent à la même vitesse de 6 km/h et le motard roule régulièrement à 60 km/h.

Combien de temps dure le trajet et quelle distance est parcourue à pied par chacun des frères.

Calcul

Les vitesses exprimées en km/mn sont : 1 pour le motard et 1/10 pour les piétons.
Avec x mn de trajet 1 pour la moto, y mn de trajet 2 pour la moto et x mn de trajet 3 pour la moto (parallélogramme), le trajet des piétons vaut x + y mn.
Distance moto 1 + piéton 2 = 13 ; x + (y + x)/10 = 13 ; y = 130 - 11x
Distance piéton 1 + moto 2 + piéton 2 = 13 ; 2(x + y)/10) + y = 13 ; 2x + 12(130 - 11x) = 130 ; x = 11 ; y = 9
Durée totale = 2x + y = 2.11 + 9 = 31 minutes ; Distance parcourue par chacun des frères : (x + y)/10 = 2 km.

Résultat

Le trajet dure 31 minutes et chacun des frères parcourt 2 km.

13. Rectangle de hasard

Enoncé

Je lance deux dés à six faces numérotées de 1 à 6. Les deux nombres obtenu sont les cotés (en cm) d’un rectangle que je construis. Je m’aperçois alors, qu’en augmentant la longueur et la largeur du même nombre entier de cm, son aire double.

Quel peut être la surface de ce rectangle agrandi ?

Calcul

Soit donc a et b deux nombres entiers de 1 à 6. L'aire du premier rectangle est ab.
On ajoute x à chacun des deux. L'aire du nouveau rectangle est (a + x)(b + x) = ab + ax + bx + x²
L'augmentation de surface doit être égale à la surface initiale : ax + bx + x² = ab
Comme a, b et x sont des nombres entiers, le déterminant de l'équation du second degré doit être un carré parfait.
Equation : x² + (a + b)x - ab = 0 ; déterminant : a² + 6ab + b²
Assez curieusement on obtient des carrés parfaits pour les valeurs paires de a et avec b = 3a/2
Il s'ensuit 2 couples qui conviennent : a = 2 et b = 3 d'une part, et d'autre part a = 4 et b = 6
Valeurs correspondantes de x : a = 2, b = 3, x = 1 ; a = 4, b = 6, x = 2

Résultat

Il y a deux solutions. Le rectangle agrandi a une surface de 12 cm² ou bien 48 cm².

14. Carré de Josée

Enoncé

Josée a dessiné un carré sur un carton. Elle a tracé deux diagonales, puis une perpendiculaire verticale qui passe par le centre comme il est montré à gauche. Elle a découpé les six pièces obtenues. Les deux plus grands triangles sont de même grandeur. Les quatre autres le sont aussi entre eux. En assemblant les six pièces, Josée a réussi le T du centre. Son ami Louis-Alexandre a réussi un autre carré, celui de droite. Elle dit alors à son ami :
- Pendant que j’essaie de composer un rectangle, essaie de ton côté un hexagone.

Assemblez les six pièces pour donner d'abord un rectangle, puis un hexagone.

Résultat

Voir les solutions à droite.

15. La réception de Léon Dem

Enoncé

Léon Dem a réuni ce soir sept de ses amis qui ne se connaissaient pas auparavant. A peine les convives arrivés dans le salon que Léon les fait asseoir autour d’une table ronde. Il distribue à chacun un petit rectangle de carton.
- Jetez un coup d’œil à votre carte », dit Léon. « J’y ai inscrit l’une des sept lettres composant le nom du journal « LE MONDE » – c’est à dire qu’il y a six lettres différentes, le E étant écrit deux fois. ».
Chacun prend secrètement connaissance de la lettre qui lui a été attribuée. Avec un petit sourire narquois, Léon lance :
- Durant la prochaine heure, je vous demanderais de ne pas prononcer le moindre mot, de ne pas vous faire le moindre signe, et bien sûr de ne regarder le carton d’aucun autre invité. Vous avez tous mon numéro de téléphone. J’attends de vous que vous m’envoyiez par SMS les sept lettres, dans l’ordre dans lequel elles sont maintenant distribuées autour de la table, en partant… mmm… mettons de la lettre « N ». La table est ronde, et peu m’importe que vous me donniez cette séquence « dans le sens des aiguilles d’une montre » ou « dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ». Vous n’aurez même pas à me le préciser dans le SMS.
Les invités se jettent tous des regards interloqués, bien conscients que sans tricher, la tâche est impossible.
- Je vous donne juste une information », poursuit Léon. « Aucun de vos voisins de table ne détient une lettre de l’alphabet qui serait voisine de la vôtre dans le mot « LEMONDE ». »
Les invités réfléchissent quelques instants, puis s’adressent des regards dépités.
- J’ai dit pas d’œillade ! » insiste Léon. « Attention, je vous surveille ! Et de toute façon, même si par accident l’un de vous, peu importe lequel, parvenait à voir la lettre inscrite sur la carte de l’un de ses voisins, je vous le garantis, cela ne serait pas suffisant pour qu’il déduise la fameuse séquence ! Cela devrait vous dissuad… »
A cet instant, les sept convives sortent tous leur téléphone, et envoient simultanément à Léon un SMS.
- Bravo ! » lance l’hôte, ravi. « Vous avez tous trouvé ! Je n’en attendais pas moins de vous. »

Donnez à votre tour la séquence de lettres qu’a reçu Léon par SMS !

Comme il a été précisé aux convives, le sens de distribution n’a pas d’importance (il existe donc deux SMS corrects).
Indice : E ne peut avoir que deux voisins en dehors de E , donc les deux E se suivent.

Solution donnée par Christophe

Le E ne peut avoir comme voisin que le O ou le N. Et comme il n'y a pas d'autre possibilité, les deux E sont voisins.
On a donc OEEN et il reste L, M et D, tous séparés par une lettre.
Des six arrangements LMD, LDM, MLD, MDL, DLM et DML, on exclut DLM et DML à cause du voisinage de N et D. De même LDM est exclu à cause de MO.
Il nous reste à examiner LMD, MLD et MDL.
Avec LMD, si L voit N, il peut conclure. C'est contraire à l'énoncé.
Avec MDL, si L voit O, il peut conclure, ce qui est contraire à l'énoncé.
Par contre, avec MLD, si M voit N il ne peut pas conclure. De même si D voit O, il ne peut pas conclure.
C'est la seule possibilité qui ne permet pas de conclure, et c'est la solution : OEENMLD ou DLMNEEO ou en commençant par le N : NMLDOEE ou NEEODLM.

Résultat

La séquence à envoyer par SMS est : NMLDOEE ou NEEODLM.