711 (07), Récréations géométriques, le 1er février 2021
01. Zoé assemble
Enoncé
Zoé a découpé quatre petits carrés de même grandeur. Elle les assemble pour former autant de figures que possible. Par exemple,
elle a réussi les deux figures ci-contre.
Trouvez chacune des autres « figures » qui peuvent être obtenues en collant quatre carrés de même grandeur par les cotés.
Combien de figures différentes (non superposables par déplacement, rotation ou symétrie) avez-vous trouvés ?
Calcul
Il n'y a qu'une façon d'ensembler deux carrés
a
Il y a deux façons d'ajouter un 3ème carré
ab
ac
Ajout du 4ème carré sur ab
abd
abe
abf
Ajout du 4ème carré sur ac
acg
ach
Résultat
Les formes abd et acg sont données par l'énoncé. Il y a trois nouvelles formes : abe, abf et ach.
02. Pièces de François
Enoncé
François assemble quatre petits carrés de même grandeur pour former la première pièce. Les quatre autres pièces sont formées chacune de
trois petits carrés de même grandeur.
Préparez les cinq pièces et assemblez-les pour former un carré, sans les retourner.
Remarque
Les quatre pièces de 3 carrés sont exactement les mêmes par rotation dans le plan, sans avoir besoin de retourner sur l'autre face.
Résultat
Voir l'ajustement de la forme à droite.
03. Minutes d'angles
Enoncé
Quel est la valeur (en degrés et minutes) de l’angle formé entre l’aiguille des minutes et l’aiguille des
heures à 3h15 du matin ?
Calcul
La grande aiguille est sur le 3. La petite aiguille a avancé d'un quart d'heure : 360/12/4 = 7,5° = 7° et 30'.
Résultat
L'angle vaut 7 degrés et 30 minutes.
04. Voyage vers la lune
Enoncé
Superman s'envole pour la lune à 300 km/s afin de sauver une pauvre opprimée.
Au retour, étant plus chargé, il ne vole plus qu'à 200 km/s.
Quelle est la vitesse moyenne de Superman sur cet aller-retour ?
Calcul
Avec
d
La distance de la terre à la lune
Temps à l'aller
d/300
Temps au retour
d/200
Temps total pour parcourir la distance 2d
d/300 + d/200 = 5d/600 = d/120
Vitesse moyenne
2d/(d/120) = 240
Résultat
La vitesse moyenne sur l'aller et le retour est : 240 km/s.
05. Intersection de deux carrés
Enoncé
Le centre d'un carré de côté 2 cm coïncide avec le sommet d'un autre carré isométrique.
Quelle est en cm2 l'aire commune à ces deux carrés ?
Calcul
Les deux triangles OAB et ODE sont semblables. Si on déplace ODE en OAB la figure jaune devient le carré OACD de 1 cm de côté.
Résultat
L'aire commune aux deux carrés vaut 1 centimètre carré.
06. Sainte Adélaïde
Enoncé
Voici la porte d’entrée de l’église Sainte Adélaïde, formée de deux arcs de cercle centrés sur chacune des extrémités de sa base de 4m de
large.
Calculez la surface en m2 de cette porte et vous trouverez le nombre des commandements de Dieu.
Rappel : théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés adjacents à
l’angle droit.
Calcul
Hauteur du triangle équilatéral de 4 m de côté
4 racine(3)/2 = 2 racine(3)
Surface du triangle équilatéral
4.2 racine(3)/2 = 4 racine(3)
Surface d'un sixième de cercle de rayon 4 m
16 pi/6 = 8 pi/3
Surface du segment de cercle
8 pi/3 - 4 racine(3) = 4(2 pi/3 - racine(3))
Surface de la porte
Le triangle + 2 segments de cercle
4 racine(3) + 16 pi/3 - 8 racine(3) =
16 pi/3 - 4 racine(3) =
9,827
Résultat
La surface de la porte est : 9,827 m2.
07. Cubes colorés
Enoncé
On peint un grand cube sur toutes ses faces. Puis on opère 54 coupes à l'aide d'une scie, de manière à diviser (entièrement) le grand cube
en petits cubes ayant tous la même dimension.
Evidemment, on ne déplace aucun morceau avant d'avoir achevé la découpe.
On obtient ainsi un grand nombre de petits cubes, dont certains sont colorés (au moins une face peinte) et d'autres sans trace de peinture.
Combien y a-t'il de petits cubes dont exactement une face est colorée? Dont trois faces sont colorées, dont deux faces
sont colorées ?
Calcul
54 coupes de scie =
3 x 18
18 + 1 = 19
Le cube est découpé en
19 pour chacune des trois dimensions
Nombre total de cubles obtenus
193 = 6859
6859
Les cubes intérieurs non colorés sont au nombre de
173 = 4913
4913
Les 8 sommets ont des cubes peints sur les trois faces
8
Les 12 arêtes ont 17 cubes peints sur 2 faces
17 x 12 = 204
204
L'intérieur des 6 faces en comprend 172 peints sur une face
6 x 172 = 1734
1734
Vérification
4913 + 8 + 204 + 1734 = 6859
6859
Résultat
Peints sur 1 face : 1734 ; 2 faces : 204 ; 3 faces : 8.
08. Les parts de tarte, (niveau moyen)
Enoncé
Armelle a fait une magnifique galette en forme de quadrilatère. Elle la coupe en 4, de deux coups de couteau en diagonale.
La part A fait 120 grammes, la part B 60 grammes et la part C 220 grammes.
Combien pèse la tarte?
NB = surface du triangle = base * hauteur /2
Calcul
avec, les hauteurs
AJ et CK
sur la base commune DB
Surface de la part Pa = DOC
DOC = DO.CK/2 = 120
Surface de la part Pb = OBC
OBC = OB.CK/2 = 60
Surface de la part Pc = ADO
ADO = DO.AJ/2 = 220
Surface de la part inconnue Px = AOB
AOB = OB.AJ/2 = x
Pa = 120 = 60.2 = 2Pb
DO.CK/2 = 2 OB.CK/2
DO = 2 OB
Pc =
DO.AJ/2 = 2 OB.AJ/2
Pc = OB.AJ = 220
Px =
OB.AJ/2
Px = 220/2 = 110
Pa + Pb + Pc + Px =
120 + 60 + 220 + 110 = 510
Résultat
La tarte complète pèse 510 grammes.
09. Trois cercles
Enoncé
Les trois cercles ont un rayon de 1 cm. Le cercle de centre E est tangent à la droite reliant G et K, les centres des deux autres cercles,
en son milieu.
Combien mesure l’aire coloriée en vert ?
Calcul
Je peux faire glisser la surface verte DEJ en BCF et la surface verte JEF en DAB. J'obtiens le rectangle ACFD dont les dimensions sont
: 1 x 2.
Résultat
L'aire de la surface verte est 2 cm2.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
Distribuez les chiffres 1, 3, 5, 7 et 9 dans les cercles
pour que l’égalité soit vraie.
Dans une salle de classe, on compte trois rangées de huit pupitres. Dans chaque rangée, deux pupitres sont
inoccupés. Quel est le pourcentage des pupitres occupés ?
8 - 2 = 6 ; 6/8 = 3/4
Pupitres occupés : 75 %.
c
Cinq garçons et quatre filles vont à une soirée de danse. Combien peut-on former de groupes différents tels que
chaque groupe est composé d'un garçon et d'une fille ?
5 x 4 = 20
20 groupes différents.
d
Des lettres sont écrites logiquement à la suite des unes des autres. Identifiez la lettre qui manque.
Z
V
R
?
J
F
B
Prog Arithmétique, Raison : -3
La lettre qui manque est : N.
11. Bleu + jaune = vert
Enoncé
Dessinez 2 cercles égaux, de telle sorte que le centre de chacun se trouve exactement sur le bord de l'autre. Remplissez ensuite à
l'aquarelle l'un en bleu et l'autre en jaune. Si la surface ainsi devenue verte est de 11 cm2, quel est donc
le rayon de chacun des 2 cercles ?
Calcul
Définition du secteur circulaire
Voir la forme bleu foncé
Définition du segment circulaire
Voir la forme rose
Avec
x
Le rayon des cercles
Le triangle ABC est équilatéral
Hauteur = x√3/2
Surface = x2√3/4
Le secteur circulaire CBA est le 1/6 du cercle
Surface du secteur = 𝜋x2/6
Surface du segment circulaire BA
Secteur - Triangle
𝜋x2/6 - x2√3/4 =
x2(𝜋/6 - √3/4)
Surface de la partie verte
2 triangles + 4 segments
x2√3/2 + x2(2𝜋/3 - √3) =
x2(2𝜋/3 - √3/2) = 11
Rayon des cercles
x = √(11/(2𝜋/3 - √3/2)) = 2,992
Résultat
Le rayon de chacun des cercles est : 2,992 cm2.
12. Echelles
Enoncé
Question: Un ouvrier pose une échelle d'une quelconque longueur entre 2 murs de façon que le bas de l'échelle soit dans l'angle mur-sol et
que le haut de l'échelle s'appuie sur l'autre mur à 3 mètres du sol (échelle CG).
Puis il pose une seconde échelle (échelle AE) de façon que les 2 échelles se coupent à une hauteur DJ de 2,55 mètres.
Dites à quelle hauteur CA celle-ci s'appuie sur le mur.
Calcul
On connait
EG = 3
DJ = 2,55
On a plusieurs séries de triangles homothétiques
JFG et CDJ
EDJ et ECA
FG = 3 - 2,55 = 0,45
JF/FG = DE/FG = CD/DJ
DE/0,45 = CD/2,55
CD/DE = 2,55/0,45 = 17/3
CD = 17 DE/3
CD + DE = CE
17 DE/3 + 3 DE/3 = CE
CE/DE = 20/3
DJ/CA = DE/CE = 3/20
CA = 20 DJ/3 = 2,55 x 20/3 = 17
Solution du prof plus séduisante
Avec CE = x et CD = y ; DE = x - y
y/x = h/3 ; h/a = x - y/x = 1 - y/x = 1 - h/3 ; a = 3h/(3 - h) = 2,55 x 3/0,45 = 17
Résultat
La deuxième échelle s'appuie à une hauteur de 17 mètres.
13. Relation particulière entre somme et produit
Enoncé
Je choisis deux entiers strictement positifs. Leur somme vaut un certain pourcentage de leur produit, bon, OK. Mais, ô surprise, non
seulement ce pourcentage est entier, mais c'est un des deux entiers du début...
Quels sont les entiers que j'ai choisis ? Montrer que la solution est unique.
Calcul
On a
100(a + b)/ab = a
100a + 100b = a2b
ba2 - 100a - 100b = 0
a = (100 ± √(10000 + 400b2))/2b
Racine positive
a = (50 + 10√(25 + b2))/b = 10(5 + √(25 + b2))/b
Sous le radical, on a un carré parfait
On doit donc avoir
n2 = 25 + b2
A partir de là, c'est la solution du prof
On doit avoir
n2 - b2 = 25
(n + b)(n - b) = 25
25 = 1 x 25 = 5 x 5
Si n - b = 25 et n + b = 1
Alors b = -12 ; non
Si n - b = 5 et n + b = 5
Alors b = 0 ; non
Si n - b = 1 et n + b = 25
Alors n = 13 et b = 12
Vérifions
25 + 122 = 169 = 132 = b2
a = 10(5 + √(25 + 144))/12 = 15
100(12 + 15)/(12 x 15 ) = 15
Résultat
Les entiers sont 12 et 15.
14. Le triangle et l'hexagone
Enoncé
ABCDEF est un hexagone régulier. M est le milieu de AB, N, celui de CD et P celui de EF. Si le triangle MNP à une surface de 9 cm2,
Quelle est la surface de l’hexagone ?
Calcul
La surface MNP bleue de 9 cm2 est constituée de 9 triangles élémentaires OQR. Un triangle élémentaire a une surface de
1 cm2.
L'hexagone ABCDEF est constitué de 6 triangles secondaires AOF, dont chacun contient 4 triangles élémentaires OQR.
L'hexagone contient donc 4 x 6 = 24 triangles élémentaires OQR.
La surface de l'hexagone est donc 24 cm2.
Solution du prof
MNP, le triangle bleu est représenté 4 fois dans le grand triangle. Le grand triangle mesure 36 cm2.
L'hexagone ABCDEFG est les 6/9 ou les 2/3 du triangle = 36 x 2/3 = 24.
Résultat
L'hexagone a une surface de 24 cm2.
15. La rocade
Enoncé
Pour améliorer la circulation, les maires de quatre villes voisines décident de construire une rocade circulaire desservant les quatre
villes. L'ingénieur responsable du projet s'aperçoit tout de suite qu'il est impossible de construire un cercle passant par les 4 villes
(elles ne sont pas cocycliques).
Les maires lui demandent alors de faire en sorte que la rocade (toujours circulaire) passe à égale distance de chaque ville afin qu'aucune
ne soit avantagée.
L'ingénieur se remet au travail et rapporte un certain nombre de projets différents.
Quel est le nombre maximal de projets géographiquement différents ?
Solution du prof
Il s'agit de considérer les points d'intersection de certaines médiatrices. Voir :
