Un homme a 30 ans de plus que son fils. Dans 5 ans, la somme de leurs âges respectifs sera de 74 ans.
Quels sont les âges du père et du fils ?
| Avec les âges respectifs du père et du fils | P et F | ||
| Différence 30 ans | P = F + 30 | ||
| Dans 5 ans | P + 5 + F + 5 = 74 | P + F = 64 | |
| F + 30 + F = 64 | 2F = 34 | F = 17 | |
| P = 30 + 17 | P = 47 |
Le père a 47 ans et le fils 17 ans.
| N | P | |
| + | 2 | 5 |
| = | M | N |
| Q | M | |
| + | 4 | 7 |
| = | M | N |
| 3 | 8 | |
| + | 2 | 5 |
| = | 6 | 3 |
| 1 | 6 | |
| + | 4 | 7 |
| = | 6 | 3 |
Grand-mère Sophie part en voyage avec sa fille et sa petite-fille. Sophie a MN ans. Sa fille qui est 25 ans plus jeune que sa mère a NP ans et la petite-fille qui est 47 ans plus jeune que sa grand-mère a QM ans. Les trois femmes ont presque 120 ans au total. Chaque lettre représente un chiffre différent.
Quel est l’âge de la petite-fille ?
| Avec respectivement | gm, f, pf | Les âges de la grand-mère Sophie, de la fille et de la petite fille | |
| Les deux relations | gm = f + 25 | gm = pf + 47 | |
| Donc | f + 25 = pf + 47 | pf = f - 22 | |
| Somme des âges | gm + f + pf = f + 25 + f + f - 22 = 3f + 3 <= 120 | f <= 39 | N = 3 |
| P + 5 = 3 ou 13 | P = 8 | Retenue 1 | |
| M = 1 + 3 + 2 | M = 6 | ||
| Q = 6 - 1 - 4 | Q = 1 | ||
La petite fille a 16 ans.
Maya est l’ainée, Théo le plus jeune. Il dit « Tu as 2 fois l'âge que j'avais quand tu avais mon âge. J'ai 2 fois l'âge que tu avais quand tu avais 3 fois mon âge. Et dans 15 ans, nous aurons 100 ans à nous deux,
Car lorsque tu es née j'avais ... ? »
| Ce problème est déroutant par sa 2ème affirmation et par sa question. | ||
| Théo dit : "J'ai 2 fois l'âge que tu avais quand tu avais 3 fois mon âge". Cela veut dire que 2t = 3t ? On ne tient pas compte de cette affirmation. | ||
| La réponse ne peut être que négative, car Théo est né après Maya. | ||
| Avec respectivement | m et t | les âges de Maya et Théo |
| Il y a | m - t | années, Maya avait mon âge actuel |
| A ce moment là, mon âge était | t - (m - t) = 2t - m | années |
| Equation 1 | m = 2(2t - m) = 4t - 2m | 3m = 4t |
| Equation 2 | m + 15 + t + 15 = 100 | m + t = 70 |
| 4t/3 + 3t/3 = 70 | t = 30 | m = 70 - 30 = 40 |
| Âge de Théo à la naissance de Maya | 30 - 40 = -10 | |
Âge de Théo à la naissance de Maya : -10 années.
Un homme à qui l’on demande son âge répond : « Si vous soustrayez 2 ans à mon âge actuel, le résultat donnera le double de l’âge de ma femme. De plus, il y a 3 ans, l’âge de ma femme était le tiers de celui que j’aurai dans 12 ans. »
Déterminer l’âge du mari et de la femme.
| Avec les âges respectifs du mari et de la femme | m et f | ||
| 1ère équation | m - 2 = 2 f | m = 2f + 2 | |
| 2ème équation | 3(f - 3) = m + 12 | 3f = m + 21 | |
| 3f = 2f + 2 + 21 | f = 23 | m = 48 |
Le mari a 48 ans et la femme 23 ans.
J’ai quatre fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez.
J’ai quarante ans, quel âge avez-vous ?
| J'ai 40 ans et vous avez | x | années |
| J'avais votre âge actuel, il y a | 40 - x | années |
| A ce moment là vous aviez | x - (40 - x) = 2x - 40 | années |
| Egalité de l'énoncé | 4(2x - 40) = 4 x 40 = 160 | x = 25 |
Vous avez 25 ans.
Une mère a 21 ans de plus que son fils. Dans 6 ans, le fils sera 5 fois plus jeune que sa mère.
Où se trouve le père ?
| Avec respectivement | m et f | les âges de la mère et du fils |
| Equation 1 | m - f = 21 | m = 21 + f |
| Equation 2 (dans 6 ans) | m + 6 = 5(f + 6) = 5f + 30 | |
| 21 + f = 5f + 30 | f = -3/4 | f = -9 mois |
Le père est dans le lit de son épouse.
J'ai 2 fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as aujourd'hui. Quand tu auras l'âge que j'ai aujourd'hui, la somme de nos 2 âges sera 90 ans.
Quel est mon âge ?
| J'ai et tu as respectivement | x et y | années |
| J'avais ton âge il y a | x - y | années |
| A ce moment là tu avais | y - (x - y) = 2y - x | années |
| Egalité 1 | 2(2y - x) = x | 4y = 3 x |
| Tu auras mon âge actuel dans | x - y | années |
| A ce moment là j'aurai | x + (x - y) = 2x - y | années |
| Egalité 2 | 2x - y + x = 90 = 3x - y = 4y - y | y = 30 |
| 3x = 4y = 120 | x = 40 |
J'ai 40 ans.
Le village de Cent-le-Vieux compte exactement 100 habitants. Le plus âgé est né en 1900 et tous les habitants sont nés une année différente, mais tous le 1er janvier. En 1999, la somme des quatre chiffres de l'année de naissance de Jules est égale à son âge.
Quel est l'âge de Jules ?
| Avec | 19du | L'année de naissance de Jules |
| Son âge est | 99 - 10d - u = 1 + 9 + d + u | u = (89 - 11d)/2 |
| u est un entier de 1 chiffre | ||
| d | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| u | 44,5 | 39 | 33,5 | 28 | 22,5 | 17 | 11,5 | 6 | 0,5 | -5 |
L'année de naissance de Jules est : 1976. Son âge est : 99 - 76 = 23 ans. Vérification : 1 + 9 + 7 + 6 = 23.
Jules a 23 ans.
Chaque année, à Pâques, Grand-Mère réunit ses quatre petits enfants dont deux sont jumeaux.
La première année, elle constate que la somme des âges de trois d'entre eux est égale à l'âge du quatrième.
Quelques années plus tard, elle remarque que la somme des âges de trois d'entre eux est le triple de l'âge du quatrième.
Quand le nombre d'années écoulées depuis la première fois est la moitié de la somme des âges de cette première fois, l'un des petits enfants
vient d'atteindre sa majorité et elle constate que la somme de leurs âges actuels est égale au sien.
Quel âge a Grand-Mère ?
La deuxième loi se vérifie toutes les années. En effet, si a + b + c = 3d, n années plus tard on aura :
a + n + b + n + c + n = a + b + c + 3n = 3d + 3n = 3(d + n). Donc on peut généraliser la recherche des conditions quelque soit l'âge a du plus
jeune.
1 - Considérons que les jumeaux sont les deux plus jeunes. Dans ce cas les âges sont a, a, a + b, a + c
Il faut qu'on obtienne : (a) + (a) + (a + b) = 3(a + c) = 3a + b = 3a + 3c Donc : b = 3c.
Mais par contre, pour respecter la première condition, on doit tenir compte de la valeur de a. L'âge le plus élevé est celui avec l'ajout de b, c'est
à dire (a + b)
On doit donc avoir : (a + b) = (a) + (a) + (a + c) = a + 3c = 3a + c a = c
| a = c | a1 = a | a2 = a | a3 = 4a | a4 = 2a | a1 + a2 + a4 = a3 | a1 + a2 + a3 = 3a4 |
| 1 | 1 | 1 | 4 | 2 | 4 = 4 | 6 = 6 |
| 2 | 2 | 2 | 8 | 4 | 8 = 8 | 12 = 12 |
| 3 | 3 | 3 | 12 | 6 | 12 = 12 | 18 = 18 |
| 4 | 4 | 4 | 16 | 8 | 16 = 16 | 24 = 24 |
| 5 | 5 | 5 | 20 | 10 | 20 = 20 | 30 = 30 |
2 - Considérons que les jumeaux sont les plus âgés. On ne pourra pas respecter la première condition.
3 - Avec les jumeaux en position 2 et 3, on ne pourrait pas réaliser la condition 2
La moitié de la somme des âges de la première fois est : (a1 + a2 + a3 + a4)/2 = (a + a + 2a + 4a)/2 = 4a
Pour la troisième condition, on ne sait pas lequel atteint la majorité de 18 ans.
S'il s'agit de l'ainé, il faut que : 18 - 4a = 4a 8a = 18 Ce n'est pas lui.
S'il sagit du deuxième, il faut que : 18 - 2a = 4a 6a = 18 a = 3 18 - 2a = 12
S'il s'agit des jumeaux, il faut que : 18 - a = 4a 5a = 18 Ce ne sont pas eux.
Âge de la grand-mère : 8a + 4(18 - 2a) = 4.18 = 72
Grand-Mère a 72 ans.
| N° | Enoncé | Calcul | Résultat | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Aa | Représentez 100 ou le plus près de 100 avec cinq 6. | 66 + 6 x 6 = 102 66 - 6 + 6 x 6 = 96 |
|||||||||||||||||||
| Ab | Déplacez une allumette pour que l’égalité soit vraie.  |  | |||||||||||||||||||
| Ac | Jérémie et Charlie ont ensemble 204 billes. Jérémie en a trois fois plus que Charlie. Combien Jérémie a-t-il de billes ? | j = 3ch ; 4ch = 204 ; ch = 51 ; j = 153 | Jérémie a 153 billes. | ||||||||||||||||||
| Ad |
Correction du 3/1/21 : Distribuer 7, 9, 14, 19! 23 et un autre. | le nombre à ajouter est 12 |
|
Ajoutez à l'âge de Mémé il y a 77 ans, le dixième de son âge aujourd'hui, puis 4 fois la racine de ce dixième, et vous obtiendrez le nombre d'années à attendre avant de fêter ses 124 ans !
Mémé est-elle donc déjà centenaire, oui ou non ?
| Avec | x | l'âge de Mémé aujourd'hui |
| L'équation | x - 77 + x/10 + 4 racine(x/10) = 124 - x | 21x/10 + 4 racine(x/10) = 201 |
| En faisant l'hypothèse que x est un entier | x/10 est un carré |
| x | 10 | 40 | 90 | 160 |
| 4 racine(x/10) | 4 | 8 | 12 | 16 |
| 21x/10 | 21 | 84 | 189 | 336 |
| 4 racine(x/10) + 21x/10 | 25 | 92 | 201 | 352 |
Mémé n'est pas centenaire, elle a 90 ans.
Un père a quatre fils âgés : le premier de 20 ans, le second de 19 ans, le troisième de 16 ans et la quatrième de 11 ans.
Il leur laisse à partager la somme de 51894 francs, mais à la condition, qu'en plaçant leur parts respectives à intérêts simples à 5% dès
aujourd'hui, ils recueillent successivement chacun la même somme à leur majorité (21 ans).
Combien faut-il leur donner aujourd'hui ?
| Avec | x | la part du 1er qui a 20 ans, donc placement pendant 1 an | |
| Somme recueillie à 21 ans | 1,05x | ||
| Avec | y | la part du 2ème qui a 19 ans, donc placement pendant 2 ans | |
| Somme recueillie à 21 ans | 1,1y | ||
| Avec | z | la part du 3ème qui a 16 ans, donc placement pendant 5 ans | |
| Somme recueillie au bout de 5 ans | 1,25z | ||
| La part du 4ème est | 51894 - x - y - z | Il a 11 ans, donc la somme est placée pendant 10 ans | |
| Somme recueillie | 1,5(51894 - x - y - z) | ||
| Toutes les sommes recueillies sont égales | 1,05x = 1,1y = 1,25z = 1,5(51894 - x - y - z) | ||
| y = 1,05x/1,1 | z = 1,05x/1,25 = 0,84x | ||
| Tout en fonction de x | 1,05x = 1,5(51894 - x - 1,05x/1,25 - 0,84x) | ||
| 5,241818x = 77841 | |||
| x = 14850 | y = 14175 | z = 12474 | 51894 - x - y - z = 10395 |
Vérification :
| Fils n° | Part | Taux % | Recueilli |
| 1 | 14850 | 5 | 15592,5 |
| 2 | 14175 | 10 | 15592,5 |
| 3 | 12474 | 25 | 15592,5 |
| 4 | 10395 | 50 | 15592,5 |
| Total | 51894 |
Aujourd'hui, le 1er reçoit 14850 F, le 2ème, 14175 F, le 3ème 12474 F et le dernier 10395 F.
L'an dernier, mon père avait le double de mon âge. Cette année, nos deux âges s'expriment par les deux mêmes chiffres, mais écrits dans un ordre différent.
Quel est l'âge de mon père ?
| Avec l'âge du fils | 10d + u | |
| L'âge du père est | 10u + d | |
| Avec | 2(10d + u - 1) = 10u + d - 1 | 19d = 8u + 1 |
| u | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 19d = 8u + 1 | 1 | 9 | 17 | 25 | 33 | 41 | 49 | 57 | 65 | 73 |
| d | 3 |
Mon père a 73 ans.
J’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez.
Quand vous aurez l’âge que j’ai, nous aurons 84 ans à nous deux.
Quels sont nos âges respectifs aujourd’hui.
| Avec les âges respectifs | v et m | de vous et moi | |
| Il y a | m - v | années, j'avais votre âge v | |
| Et vous aviez | v - (m - v) = 2v - m | années | |
| Equation 1 | 3(2v - m) = m | 3v = 2m | |
| Dans | m - v | années, vous aurez mon âge actuel | |
| A ce moment là, j'aurai | m + (m - v ) = 2m - v | années | |
| Equation 2 | 2m - v + m = 84 | v = 3m - 84 | |
| 9m - 252 = 2m | m = 36 | 3v = 72 | v = 24 |
Aujourd'hui, vous avez 24 ans et j'ai 36 ans.
On dispose de 12 billes indiscernables à l’œil (c’est-à-dire de même apparence) dont une est un tout petit peu plus légère que les autres.
On dispose aussi d’une balance de précision, juste et fidèle, suffisamment sensible pour accuser la différence de masse de la bille la plus
légère.
Comment feriez-vous pour déterminer (en trois pesées seulement) la bille qui est la plus légère ?
Ensuite, on se pose le même problème avec 13, 14, 15, … et 27 billes.
Voir 502.13
C'est une dichotomie en base 3