Dans une boîte en fer blanc, Jean a placé 10 billets de 5 €uros, 10 billets de 10 €uros et 10 billets de 20 €uros, tous mélangés.
Sans regarder, il pioche un par un les billets jusqu'à ce qu'il en ait trois semblables (de même valeur).
Combien d'€uros peut-il espérer au maximum ? et au minimum ?
Calcul
Avec beaucoup de chance, il peut sortir 2 billets de 5, 2 billets de 10 et 3 billets de 20 €, ce qui lui rapporte : 5.2 + 10.2 + 20.3 = 90 €.
Avec beaucoup de malchance, il peut sortir 3 billets de 5 €, ce qui lui rapporte : 5.3 = 15 €
Résultat
Il peut espérer 90 € au maximum et 15 € au minimum.
02. Poids d'un nombre
Enoncé
Si le poids d'un nombre est égal à la somme de ses chiffres, quel plus petit nombre pèsera 25 ?
Calcul
Parmi les nombres de deux chiffres, celui qui a le poids le plus élevé est 99 avec un poids égal à 9 + 9 = 18. Pour aller à 25 il faut ajouter un
chiffre des centaines égal à 25 - 18 = 7. Le nombre recherché est : 799.
Résultat
Le plus petit nombre qui a un poids de 25 est 799.
03. Enigme des papous
Enoncé
Sur cette île, il y a 2 fois plus de papous pas papas que de papous papas. Il y a 3 fois plus de papoux à poux que de papous pas à poux, et 6 fois
plus de papoux pas papys que de papous papys. Enfin, il y a 27 papous pas papys de plus que de papoux à poux.
Combien y a-t-il de papous sur cette île ?
Calcul
Papas
Pas papas
Papys
Pas Papys
Avec poux
Sans poux
Nombre total
nT = A + pA nT = Y + pY nT = X + pX
pA = nT - A = 2A pY = nT - Y = 6Y pX = nT - X = X/3 pY = nT - Y = X + 27
(1) nT = 3A (2) nT = 7Y (3) nT = 4X/3 (4) nT = 27 + X + Y
A
pA
Y
pY
X
pX
nT
(3)(4) 4X = 81 + 3X + 3Y
3Y = X - 81
(2)(4) 7Y = 27 + X + Y
6Y = 27 + X
6Y = 2X - 162 = 27 + X
X = 162 + 27 = 189
(3) nT = 4X/3 = 252
(1) A = nT/3 = 84
(2) Y = nT/7 = 36
Résultat
Il y a 252 papous sur cette île.
04. L'énigme des trois pots
Enoncé
Vous avez 3 pots (dont on ne peut voir le contenu) qui contiennent 2 billets de 10 €uros (1er pot), 2 billets de 20 €uros
(2ème pot) et 1 billet de 10 + 1 billet de 20 €uros (3ème pot). Devant chaque pot est posée une étiquette indiquant le montant
contenu (20, 30 ou 40 €uros).
Un petit malin mélange les étiquettes de façon à ce que le montant de chaque étiquette ne corresponde pas à la somme contenue dans chaque pot.
En tirant un billet dans un pot, comment déduire le contenu de chaque pot ?
Calcul
Si l'étiquette est
Total exclu pour l'étiquette
Totaux autorisés avec l'étiquette
Pot si le billet tiré est 10 €
Pot si le billet tiré est 20 €
Pot a
Pot b
Pot c
Etiq 20 (b ou c)
Etiq 30 (a ou c)
Etiq 40 (a ou b)
Etiq 20 (b ou c)
Etiq 30 (a ou c)
Etiq 40 (a ou b)
Seulement 2 combinaisons : bca ou cab
20 €
10 + 10 = 20
10 + 20 = 30
20 + 20 = 40
b
Indéterminé
Indéterminé
30 €
10 + 20 = 30
10 + 10 = 20
20 + 20 = 40
c
a
b
b
c
a
40 €
20 + 20 = 40
10 + 10 = 20
10 + 20 = 30
Indéterminé
Indéterminé
b
Billet sorti du pot en face de l'étiquette 30
Contenu du pot avec l'étiquette
20 €
30 €
40 €
10 €
20 + 20
10 + 10
10 + 20
20 €
10 + 20
20 + 20
10 + 10
Résultat
On ne peut connaître le contenu des trois pots qu'en tirant un billet de celui qui accompagne l'étiquette 30 €, et , s'il s'agit
d'un billet de 10, ce pot de l'étiquette 30 contient 10 + 10, le pot de l'étiquette 20 contient 20 + 20 et le pot de l'étiquette 40 contient
10 + 20. Par contre si on a sorti un billet de 20, ce pot de l'étiquette 30 contient 20 + 20, le pot de l'étiquette 20 contient 10 + 20 et le pot
de l'étiquette 40 contient 10 + 10.
05. Hoquet au parc
Enoncé
Dans un parc verdoyant, le Père Hoquet regarde quatre écureuils de couleurs différentes. Chacun ressemble à un gros animal et regarde dans
un sens.
Couleurs : brun, gris, roux, vert
Ressemblance : jaguar, lion, ours, tigre
Sens ; au ciel, à terre, à gauche, à droite
L'écureuil vert ne regarde ni à terre ni au ciel.
Celui qui ressemble à un jaguar regarde vers le ciel.
Celui qui ressemble au lion n'est ni l'écureuil roux ni le gris.
L'écureuil brun regarde à droite.
L'écureuil vert ne ressemble ni à un tigre ni à un jaguar.
Celui qui regarde à gauche ne ressemble pas au lion.
L'écureuil gris ne ressemble pas au jaguar.
Déterminez à qui ressemble chaque écureuil et dans quel sens chacun regarde-t-il ?
Calcul
Couleur
Jaguar
Lion
Ours
Tigre
Au ciel
A terre
A gauche
A droite
Brun
e : non
e : Oui
e : non
e : non
4 : non
4 : non
4 : non
4 : Oui
Gris
7 : non
3 : non
g : non
h : Oui
d : Oui
a : non
4 : non
Roux
f : Oui
3 : non
f : non
f : non
b : Oui
a: non
4 : non
Vert
5 : non
e : non
g : Oui
5 : non
1 : non
1 : non
a : Oui
4 : non
2
Jaguar, au ciel : Oui
6
Lion, à gauche : non
Résultat
Ecureuil brun, lion, à droite --- Gris, tigre, à terre --- Roux, jaguar, au ciel --- Vert, Ours, à gauche.
06. Clémentines
Enoncé
Nous sommes 7 copains. On a 28 clémentines à se partager. Chacun veut un nombre impair.
Comment faire ?
Calcul
Voir 613.19
On ne peut pas obtenir un nombre pair en ajoutant un nombre impair de nombres impairs.
Résultat
Il n'y a pas de solution.
07. Les cloches
Enoncé
Les cloches mettent 12 secondes pour sonner quatre heures. Combien mettront-elles de temps pour sonner midi ?
Calcul
Il y a 3 intervalles pour sonner 4 coups et 11 intervalles pour sonner 12 coups --- 12 x 11 / 3 = 44.
Résultat
Il faut 44 secondes pour sonner midi.
08. Tom et Jerry
Enoncé
Une souris est à 20 pas de son trou. Un chat est à 5 bonds de la souris. Pendant que le chat fait un bond, la souris fait 3 pas. Un bon de chat a
la même longueur que 10 pas de la souris. Le chat rattrapera-t-il la souris ?
Calcul
Unité de distance
Le pas de souris
Le bond de chat mesure 10 pas.
Unité de temps
Le pas de souris
Pour faite un bond le chat prend 3 unités de temps.
Unité de vitesse
Celle de la souris
La vitesse du chat est : 10/3 de celle de la souris
Trajet de la souris
20 pas à la vitesse 1
Il lui faut 20 unités de temps
Trajet du chat
10 x 5 + 20 = 70 pas à la vitesse 10/3
Temps nécessaire = 70/(10/3) = 7 x 3 = 21 unités
Résultat
Le chat ne rattrapera pas la souris. Mais cela n'est vrai que si le chat est parfaitement opposé au trou par rapport à la souris.
09. Les dés pipés
Enoncé
Innumeratus et Mathophila, les jumeaux terribles, s'ennuient. "J'ai une idée ! s'écrie Mathophila. Jouons aux dés !" - J'aime pas les dés.
"Oui, mais ceux-ci ne sont pas comme les autres", dit Mathophila en sortant trois dés d'une vieille boîte de chocolats. L'un est rouge, l'autre
jaune et le troisième bleu.
Innumeratus se saisit du rouge. "Tiens, c'est bizarre, observe-t-il. Il y a deux 3, deux 4 et deux 8".
Ils sont tous comme ça, dit Mathophila avec un haussement d'épaules. Le jaune a deux 1, deux 5 et deux 9, et le bleu a deux 2, deux 6 et deux 7.
Ils sont truqués tes dés ! fait Innumeratus d'un air soupçonneux.
Absolument pas. Toutes les faces ont la même chance d'être tirées.
Comment on joue ?
Chacun choisit un dé. On les lance en même temps, et celui qui a tiré le chiffre le plus élevé a gagné. On peut jouer pour des sous !"
Comme Innumeratus reste sceptique, sa sœur s'empresse d'ajouter : "Je suis bonne joueuse, je te laisse choisir le premier ! Comme ça, tu peux
prendre le meilleur dé ...
Euh ... Ben ...", fait Innumeratus, hésitant.
Doit-il jouer ? Sinon pourquoi ?
Calcul
R
3
3
3
4
4
4
8
8
8
Le jaune gagne 5 fois sur 9
J
1
5
9
1
5
9
1
5
9
R
3
3
3
4
4
4
8
8
8
Le rouge gagne 5/9
B
2
6
7
2
6
7
2
6
7
J
1
1
1
5
5
5
9
9
9
Le bleu gagne 5/9
B
2
6
7
2
6
7
2
6
7
Chacun des trois dés a des chances de gagner identiques. Par contre le premier dé étant choisi, l'adversaire a le choix.
Dé choisi par le 1er joueur
Rouge
Jaune
Bleu
Le 2ème joueur a plus de chances de gagner en prenant le dé
Jaune
Bleu
Rouge
Résultat
Innumeratus ne doit pas jouer, car c'est le 2ème qui a plus de chances de gagner.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
Aa
Insérez un signe +, -, x ou ÷ entre chaque chiffre pour que le résultat soit 7.
8
6
2
4
Il ne faut pas de parenthèses
(8 + 6)x2/4.
Ab
Logiquement, si JUILLET - MAI = FEVRIER, que vaut DECEMBRE - SEPTEMBRE ?
7 - 5 = 2 ; 12 - 9 = 3
DECEMBRE - SEPTEMBRE = MARS
Ac
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Dans la grille, trouvez trois nombres dont la somme est 33 et dont les cases se touchent obliquement.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Ad
Combien d'allumettes sont nécessaires pour construire une grille carrée 5 x 5 ?
6x5 + 5x6
Il faut 60 allumettes.
Ba
Conbient y a-t-il de beignes dans trois douzaines et trois quarts ?
3,75 x 12
45.
Bb
Transformez 67,2 mètres en centimètres.
6 720 centimètres.
Bc
Quel est le carré de 3/4 ?
9/16.
Bd
Combien y a-t-il de minutes dans cinq sixièmes d'heure ?
60 x 5/6
50 minutes.
Be
En ajoutant 52 à un nombre, on obtient 85. Quel est ce nombre ?
85 - 52 = 33
Ce nombre est 33.
Bf
Comment appelle-t-on un polyèdre qui a la forme d'un classeur ?
Un parallèlépipède rectangle.
Bg
Quel est le cube de 5 ?
Le cube est 125.
Bh
Dans quel nombre d'un seul mot trouve-t-on un N et un C ?
CINQ
Bi
Quel est le reste de la division de 102 par 5 ?
Le reste est 2.
Bj
Louis échange deux crayons pour cinq billes. Combien recevra-t-il de billes s'il donne dix crayons ?
5 x 10 / 2
25 billes.
11. L'oliveraie
Enoncé
Doumé, un ami corse, décida après une brillante carrière dans le trading haute fréquence, de changer de vie pour retrouver les valeurs vraies.
Héritier d'un beau terrain familial dans le maquis avoisinant le village de ses ancêtres, il décida de se lancer dans la culture des oliviers
pour tuer l'oisiveté. Il planta un olivier par m2 sur les 2534 m2 de son terrain, pour en faire vente à Jardiland, chez qui un
ami trader c'était lui aussi recyclé pour se rapprocher de la nature.
L'affaire marcha très bien, au point que rapidement le terrain familial devint trop petit. Doumé décida de voir plus grand, beaucoup plus grand,
comme il a toujours fait.
Il acheta donc le grand domaine attenant à son terrain, dénouant à l'occasion une indivision séculaire entre 283 héritiers. Ce domaine, carré
parfait d'un nombre entier de mètres de côté, lui coutât 6 € du m2 et lui permit d'augmenter considérablement sa production, à raison
toujours d'un olivier par m2, mais désormais sur les deux terrains.
Un jour malheureusement, il découvrit un olivier atteint par la Xylella Fastidiosa. Le nom est sympa, mais impossible de lutter contre cette
bactérie tueuse. "Encore un cadeau des italiens", disait Doumé. Et à partir de là, une descente aux enfers. Chaque semaine, il constatât que le
nombre de nouveaux oliviers touchés par la bactérie doublait par rapport au nombre de nouveaux oliviers touchés la semaine précédente, si bien
qu'au bout d'un nombre pair de semaines, le dernier doublement fit (exactement) que tous les oliviers des deux terrains étaient atteints, sans espoir
de rémission ... "Beaucoup plus douloureux que la crise des subprimes" se lamentait Doumé devant son domaine ravagé ...
Au fait, combien lui avait-il coûté ?
Calcul
La somme des surfaces des deux terrains est une puissance de 2 avec un exposant pair.
Si on retire la surface du premier terrain (celui hérité), on obtient la surface du deuxième terrain, celui qui est acheté.
Ce terrain acheté est un carré parfait.
p la puissance de 2
12
14
16
Valeur de racine de (2p - 2534)
39,52
117,69
251
A 6 € le m2 --- Le terrain acheté vaut : 6 x (2512 - 2534) = 362 802.
Résultat
Le terrain acheté lui a coûté 362 802 €.
12. La course de fond
Enoncé
Deux athlètes disputent, au cours d'un match international, une course de fond. L'un accomplit tout le parcours à une vitesse uniforme de
360 mètres à la minute. L'autre part très vite et couvre la première moitié de la distance à la vitesse de 400 mètres à la minute, puis il faiblit
et couvre la dernière moitié à la vitesse de 320 mètres.
Lequel des deux arrivera le premier ? Sachant que la différence des temps est 20 sec 9/10, de quelle épreuve s'agit-il ?
Calcul
Soit la distance à parcourir
2d
Temps nécessaire au premier athlète
2d/360 = 80d/14400
Temps nécessaire au deuxième athlète
d/400 + d/320 = (36d + 45d)/14400 = 81d/14400
Distance d calculée avec l'écart des temps
d/14400 = 20,9/60 --- d = 50016
La distance à parcourir est 2d
10 000 mètres
Résultat
C'est le premier athlète, celui qui coure à vitesse constante, qui arrivera la premier. Il s'agit d'une épreuve de 10 000 mètres.
13. Opération sur des nombres
Enoncé
Avec deux nombres entiers non nuls on effectue successivement les quatre opérations suivantes :
On les additionne
On les multiplie
On retranche le plus petit du plus grand
On divise le plus grand
par le plus petit
L'addition des quatre résultas ainsi obtenus donne 243. Quels sont ces deux nombres ? (Deux solutions possibles).
Calcul
Soit donc les deux nombres entiers
a et b
La relation à travailler est
a + b + ab + a - b + a/b = 243
Autre forme
2ab + ab2 + a = 243 b = 35b
Ou bien
a(2b + b2 +1) = a(b + 1)2 = 35b
On doit donc faire deux facteurs identiques à prendre dans 35
b + 1 = 3 ou bien b + 1 = 9
C'est à dire, avec b + 1 = 3
b = 2 --- a = 33b = 54
Vérification
54 + 2 + 54.2 + 54 - 2 + 54/2 = 243
Et avec b + 1 = 9
b = 8 --- a = 3b = 24
Vérification
24 + 8 + 24.8 + 24 - 8 + 24/8 = 243
Résultat
Solution 1 : a = 54 et b = 2 ; Solution 2 : a = 24 et b = 8.
14. Jeu de dés
Enoncé
Lançons trois dés : un jaune, un vert, un rouge. Si cela donne au moins deux fois le même nombre, vous avez gagné. On parie chaque fois 1 €uro
chacun. On joue 36 fois.
Qui va s'enrichir, vous ou moi ?
Calcul
Le 2ème dé a 5 chances sur 6 d'être différent du premier.
Le 3ème dé a 4 chances sur 6 d'être différent des deux précédents.
Globalement au cours d'un lancer de trois dés il y a 20/36 = 5 chances sur 9 que tous les trois soient différents et donc que le prof gagne.
L'élève a 1 - 5/9 = 4/9 chances de gagner au cours d'un lancer.
En cumulant 36 lancers des dés, pour connaître les probabilités de gain il faut utiliser la loi binomiale.
Sur 36 épreuves à 2 issues (succès du prof = 5/9, ou bien succès de l'élève = 4/9), la probabilté de gagner 1 fois, 2 fois ... k fois est donnée par
la formule 36!/k!/(36 - k)!
Ensuite on cumule les résultats pour k de 0 à 17 cela donne la probabilité que le prof perde. On cumule les résultats pour k de 18 à 36, ce qui
aboutit aux chances de gain du prof. La valeur pour k = 18 est celle de l'égalité des gains du prof et de l'élève.
C'est le prof qui s'enrichit. Sur 36 lancers, l'élève gagne 0,2005 fois (sur 1), il y a égalité 0,1056 fois et le prof gagne
0,6939 fois.
15. Points entiers à trouver sur une courbe
Enoncé
Quels sont les points à coordonnées entières de la courbe d'équation
x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2 ?
Calcul
Il s'agit d'un produit de facteurs qui s'annule lorsqu'un des facteurs est nul.
La racine du produit est également nulle.
On a donc déjà 4 coordonnées entières : (0, 0) ; (-1, 0) ; (-7, 0) et (-8, 0).
Ensuite l'ordonnée est entière si le produit est un carré parfait.
Il est à remarquer une symétrie possible. Faisons un changement de variable avec,
x' = x + 4 --- ou --- x = x' - 4. La fonction devient :
y2 = (x' - 4)(x' - 3)(x' + 3)(x' + 4)
Avec x" = -x' --- On a y2 = (-x" - 4)(-x" - 3)(-x" + 3)(-x" + 4 )
y2 = (-1)(x" + 4)(-1)(x" + 3)(-1)(x" - 3)(-1)(x" - 4) = (x' - 4)(x' - 3)(x' + 3)(x' + 4)
On a encore --- y2 = (x'2 - 16)(x'2 - 9) = x'4 - 25x'2 + 144
La symétrie est démontrée, on peut étudier les réponses à partir de x' = 0
A remarquer la discontinuité pour 3 < x' < 4. C'est à dire pour -8 < x < -7 et -1 < x < 0
Dans cette plage y2 est négatif, donc y est un nombre complexe.
x
-4
-3
-2
-1
-1/2
0
1
2
3
Idem pour x" = -8 - x
-4
-5
-6
-7
-15/2
-8
-9
-10
-11
x' = x + 4
0
1
2
3
7/2
4
5
6
7
Produit
4.3.3.4
3.2.4.5
2.1.5.6
1.0.6.7
(-1/2)(1/2)(13/2)(15/2)
0.1.7.8
1.2.8.9
2.3.9.10
3.4.10.11
y2
144
120
60
0
-195/16
0
144
540
1320
y
12
10,95
7,75
0
0
12
23,24
36,33
Question : est-ce qu'il peut y avoir d'autres carrés parfaits de y2 pour les valeurs supérieures de x' ?
x'
7
8
9
10
15
20
30
50
100
200
y
36,33
51,38
68,41
87,43
212,47
387,48
887,49
2487,50
9987,50
39987,50
La racine carrée de y2 semble tendre vers un double impair. Je suppose que cela se démontre. Je ne sais pas faire.
Il n'y a pas d'autre carré parfait.
Résultat
Il y a 7 points à coordonnées entières : (-9, 12) ; (-8, 0) ; (-7, 0) ; (-4, 12) ; (-1, 0) ; (0, 0) et (1,12).