705 (2.6), Récréations zoom 2, le 18 novembre 2020
01. Tuiles de Tom
Enoncé
a
b
c
d
e
f
4
g
h
i
j
Dans le sous-sol, Tom a trouvé 15 tuiles carrées : 4 noires et 11 vertes. Il les place comme ci-contre. Il veut maintenant distribuer
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 et 11 pièces de monnaie sur les 11 tuiles vertes. Il lui est interdit de placer des pièces sur les cases noires.
il doit y avoir quatre pièces sur la tuile centrale et 17 pièces dans chacune des cinq rangées de trois tuiles vertes alignées.
Distribuez les pièces de monnaie.
Quels chiffres sont dans la colonne centrale ? Combien y a-t-il de solutions ?
Calcul
Voir 704.10.
5
6
3
8
7
3
5
9
2
11
4
2
11
4
10
7
1
9
8
10
1
6
Comment faire 17 ?
1
2
1
2
3
1
2
3
2
3
4
4
+
5
4
6
5
4
7
6
5
7
6
5
6
+
11
11
10
10
10
9
9
9
8
8
8
7
Pour le couple e, f, on a donc 4 possibilités : 2, 11 ou 11, 2 ou 3, 10 ou 10, 3. On voit ensuite les possibilités restantes pour les autres
couples.
e
2
2
2
11
11
3
3
10
10
5
5
8
6
6
7
7
7
f (avec e + f = 13)
11
11
11
2
2
10
10
3
3
8
8
5
7
7
6
6
6
Couple a, g (a + g + e = 17)
5, 10
6, 9
7, 8
1, 5
1, 5
5, 9
5, 9
1, 6
1, 6
1, 11
2, 10
2, 7
1, 10
1, 10
1, 9
1, 9
1, 9
Couple b, h (b + h = 13)
6, 7
3, 10
3, 10
3, 10
6, 7
2, 11
6, 7
2, 11
5, 8
3, 10
6, 7
3, 10
2, 11
5, 8
2, 11
3, 10
5, 8
Couple c, d (b + c + d = 17)
3, 8
5, 9
6, 8
1, 10
7, 8
7, 8
3, 9
5, 10
2, 10
Couple i, j (h + i + j = 17)
1, 9
1, 6
Validité
Oui
Non
Oui
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
On a deux groupes de solutions. A l'intérieur de chaque groupe, on peut permuter : a et g ; c et d ; i et j. Le couple b, h doit resté lié
aux couples c, d d'une part et i, j d'autre part, car les trios bcd et hij peuvent permuter globalement. 24 = 16
On a donc 2 fois 16 = 32 solutions.
Corrigé du prof
On peut déterminer f puis e assez vite.
Il faut remarquer que 3 groupes de 3 tuiles
(b + c + d) + (a + e + g) + (h + i + j)
ont un total de
3 x 17 = 51.
Par ailleurs la somme des 11 tuiles fait
11.12/2 = 66.
La différence 66 - 51 = 15 est à attribuer à f + 4.
D'où f = 15 - 4 = 11.
Ensuite on a la somme e + f + 4 = 17
e = 13 - f
e = 2
Pour le couple de gauche a + g qui doit faire 15, on a 3 possibilités
(5, 10) ; (6, 9) ou (7, 8)
Ce sont les trois premières colonnes du tableau ci-dessus.
Résultat
Le couple b, h de la colonne centrale est soit ; 6, 7 ; soit 3, 10. Il y a 32 solutions en tout.
02. Les chaussettes
Enoncé
Un homme se réveille et prend des chaussettes propres dans son tiroir, sans allumer la lumière. Dans ce tiroir, il y a 10 chaussettes noires,
10 bleues et 10 brunes.
Combien de chaussettes doit-il prendre au minimum pour être sûr d'avoir une paire assortie ?
Calcul
Si par malchance il sort 10 chaussettes de la même couleur, ce n'est qu'à la onzième qu'il pourra avoir une paire assortie.
Lamentable erreur due à une confusion entre ce qu'il faut obtenir et ce qu'il ne faut pas obtenir.
Corrigé
Au deuxième tirage, soit on a la 2ème identique à la première chaussette et c'est gagné, soit la 2ème
est différente et il faut continuer.
Au troisième tirage, on peut avoir une chaussette identique à une des précédentes, ou bien par malchance, on a la chaussette de la
3ème couleur et il faut continuer.
Au quatrième tirage on aura obligatoirement une chaussette d'une des trois couleurs déjà tirées.
Résultat
L'homme doit prendre au minimum 4 chaussettes pour être sûr d'avoir une paire assortie.
Supplément
Quelle est la probabilité d'obtenir une paire assortie après le 3ème tirage ?
Probabilité d'échec au tirage n°
1
2
3
30/30
20/29
10/28
Succès = 1 - 200/29/28 = 1 - 50/(29.7) = 0,754
03. Quarteron de romanciers
Enoncé
Quatre romanciers se rencontrent chez leur éditeur commun et parlent de leurs œuvres. Chacun écrit, sur un petit carton, le nombre de romans
qu'il a écrits. Leur éditeur leur dit :
"Si je prends les nombres de trois cartons et si je multiplie leur somme par le nombre du quatrième carton, je trouve successivement pour résultats :
63, 95, 119 et 135."
Combien les quatre romanciers ont-ils écrit de romans en tout ?
Calcul
t(x + y + z) = 63
z(x + y + t) = 95
y(x + z + t) = 119
x(y + z + t) = 135
Les valeurs 63, 95, 119 et 135 sont les produits de deux entiers. Un des facteurs est une somme. On a des chances d'aboutir avec une petite
valeur de l'autre facteur.
Facteurs premiers
63 = 32.7 (facteur t)
95 = 5.19 (facteur z)
119 = 7.17 (facteur y)
135 = 33.5 (facteur x)
Le 1er facteur pourrait être
3
7
5
7
3
5
9
Le 2ème facteur serait
21
9
19
17
45
27
15
Essayons
x
y
z
t
t(x + y + z)
z(x + y + t)
y(x + z + t)
x(y + z + t)
3
7
5
3
45
65
77
45
3
7
5
7
105
85
105
57
5
7
5
3
51
75
91
75
5
7
5
7
119
95
119
95
9
7
5
3
63
95
119
135
9
7
5
7
147
115
147
171
Résultat
Les romanciers ont écrit : 9 + 7 + 5 + 3 = 24 romans en tout.
04. Addition
Enoncé
Trouver les valeurs de abc tel que
abc + abc + abc = ccc
a, b et c sont des chiffres, abc et ccc les nombres de trois chiffres formés par ces chiffres.
Calcul
1
8
5
+
1
8
5
+
1
8
5
=
5
5
5
Pour avoir 3c = xc, seule la valeur 5 convient. Donc la retenue est 1. Donc 3ab + 1 = 55. Ainsi ab = 54/3 = 18
Résultat
abc vaut 185.
Encore plus élégant
Proposé par Bernard Silvestre. A partir du moment où on sait que ccc = 555, abc vaut 555/3 = 185.
05. 2014 une année exceptionnelle
Enoncé
L'année 2014 est très particulière !
Si on multiplie son chiffre des milliers par la somme de tous ses chiffres, on trouve le nombre obtenu en effaçant son chiffre des milliers et son
chiffre des centaines.
Quelle est la prochaine année qui aura la même particularité ?
On note m le chiffre des milliers, c celui des centaines, d celui des dizaines et u celui des unités.
On traduit la relation de l'énoncé par m(m + c + d + u) = 10d + u.
m est un entier positif strictement supérieur à 1 et inférieur ou égal à 9 et c, d, et u sont des entiers positifs ou nuls inférieurs ou égaux à 9.
On essaye successivement avec les chiffres les plus petits possibles en partant de 2014.
On commence par m = 2 et c = 0. Alors, 2(2 + d + u) = 10d + u soit 4 = 8d - u ou 8d = 4 + u.
Avec d = 1, il vient u = 4, ce qui correspond à 2014. Pour des valeurs de d supérieures à 1, on ne peut pas avoir u < 9.
On essaye, alors avec m = 2 et c = 1. Alors, 2(2 + 1 + d + u) =10d + u soit 8d = 6 + u.
Avec d= 1, il vient u = 2.
Le résultat est donc 2112.
Calcul
La résolution est faite.
06. Animaux de Denise
Enoncé
Denise découpe quatre carrés de papier. Elle écrit sur chacun un nom d'animal : cheval, vache, poule et dindon. Elle place ces petits carrés
sur les cases ci-contre :
Le cheval est à droite du dindon et près de lui.
La poule est à gauche de la vache et près d'elle.
Le dindon et la vache sont voisins.
Placez les quatre animaux en ordre.
Calcul
Poule
Vache
Dindon
Cheval
On a deux groupes de deux : DC et PV. Les deux groupes se raccrochent avec VD. Cela donne PVDC.
Résultat
On a de gauche à droite : La poule, la vache, le dindon et le cheval.
07. Polycrate et Pythagore
Enoncé
Polycrate, tyran de Syracuse, demande à Pythagore le nombre de ses élèves.
- Fortuné Pythagore, rejeton héliconien des Muses, dis-moi combien dans ton école, tu as d'athlètes que tu dresses aux glorieux exercices de la
philosophie.
- Je vais te le dire Polycrate : la moitié étudie les belles sciences mathématiques ; l'éternelle nature est l'objet des travaux d'un quart ; un
septième s'exerce au silence et à la méditation ; il y a plus de trois femmes dont Théano est la plus distinguée. Voilà le nombre de mes disciples
[qui sont aussi des muses].
Combien Pythagore avait-il de disciples ?
(Anthologie grecque, Socrate, 1, 41).
Note : nous avons placé des crochets dans la dernière partie du problème car, dans la mythologie grecque, les muses sont au nombre de 9.
Calcul
On a
T/2 + T/4 + T/7 + 3 = T
(14T + 7T + 4T)/28 + 28.3/28 = 28T/28
25T + 28.3 = 28T
3T = 3.28
T = 28
Résultat
Le nombre de disciples est 28.
08. Le billet
Enoncé
Saurez-vous retrouver le numéro d'un billet dont :
La somme du premier et du deuxième chiffre est 8.
La somme du deuxième et du troisième chiffre est 11.
La somme du troisième et du quatrième chiffre est 9.
La somme du quatrième et du cinquième chiffre est 11.
La somme du cinquième chiffre et du sixième est 14.
La somme du sixième chiffre et du septième est 13.
La somme du septième et du huitième chiffre est 14.
La somme du huitième et du neuvième chiffre est 8.
La somme du neuvième et du premier chiffre est 6.
Calcul
On a donc 9 chiffres a, b, c, d, e, f, g, h et i avec :
a + b = 8
b + c = 11
c + d = 9
d + e = 11
e + f = 14
f + g = 13
g + h = 14
h + i = 8
i + a = 6
On peut par exemple commencer par b, et tout exprimer en fonction de a.
b = 8 - a
c = 11 - b
d = 9 - c
e = 11 - d
f = 14 - e
g = 13 - f
h = 14 - g
i = 8 - h
a = 6 - i
b = 8 - a
c = a + 3
d = 6 - a
e = 5 + a
f = 9 - a
g = 4 + a
h = 10 - a
i = a - 2
a = 8 - a
a = 4
b = 4
c = 7
d = 2
e = 9
f = 5
g = 8
h = 6
i = 2
Résultat
Le n° du billet est : 447 295 862.
09. Broutages complexes
Enoncé
75 bœufs mettent 12 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 60 ares.
81 bœufs mettent 15 jours pour brouter l'herbe d'un pré de 72 ares.
On suppose, bien évidemment, qu'il y a la même hauteur d'herbe dans les prés au début de chaque expérience, que l'herbe pousse uniformément et
que les boeufs broutent à vitesse constante.
Combien faut-il de bœufs pour brouter en 18 jours l'herbe d'un pré de 96 ares ?
Calcul
Un champ de surface S ares contient Sx unités fourragères (x étant la contenance à l’are)
De plus, ce champ produit Sy unités par jours (y étant la production à l’are et par jour)
Pendant J jours on dispose de Sx + SJy unités fourragères
Sur la base de la consommation de 1 unité fourragère par bœuf et par jour, pendant J jour, B bœufs ont besoin de BJ uf
BJ = Sx + SJy
Avec 75 bœufs, 12 jours et 60 ares on a
75 * 12 = 60x + 60 * 12y
15 = x + 12y
Avec 81 bœufs, 15 jours et 72 ares on a
81 * 15 = 72x + 72 * 15y
135 = 8x + 120y
x = 15 – 12y
135 = 120 – 96y + 120y
24y = 15
y = 5/8
x = 15 – 15/2
x = 15/2
Nb de bœufs sur 96 ares pendant 18 jours
B = Sx/J + Sy
B = 96 * 15/36 + 96 * 5/8
B = 100
Résultat
Il faut 100 bœufs pour 96 ares pendant 18 jours
10. Dialogue des statues
Enoncé
Deux statues A et B dialoguent :
1 - A. - La base sur laquelle je repose est avec moi égale à ce que tu pèses.
2 - B. - Et moi, j'ai un poids égal au tien avec ma base.
3 - A. - Mais, seule, j'ai une pesanteur double de celle de ta base.
4 - B. - Et moi, seule aussi, je pèse trois fois le poids de ta base.
Quel est le rapport du poids de la statue A à celui de la statue B ?
(Métrodore, 114, 65).
Calcul
Puisque nous devons calculer le rapport A/B (statue A sur statue B), donnons la valeur 1 à B. Appelons SA et SB les masses des socles.
Info 4
B = 3 SA
3SA = 1
SA = 1/3
Info 1
A + SA = B
A = 1 - SA
A = 2/3
On a répondu, c'est fini. Mais vérifions
Info 3
A = 2SB
SB = A/2
SB = 1/3
Info 2
B = A + SB
B = 2/3 + 1/3
B = 1
Très bien !
1 : 2/3 + 1/3 = 1
2 : 2/3 + 1/3 = 1
3 : 2/3 = 2/3
4 : 3.1/3 = 1
ok
Résultat
Le rapport des masses des deux statues A/B vaut : 2/3.
11. Age d'Anne
Enoncé
Anne dit que son âge est de 50 ans, 50 mois, 50 semaines et 50 jours.
Quel âge aura-t-elle à son prochain anniversaire ?
Calcul
50 mois = 50/12 = 4,17 années
50 semaines = 50 x 7 = 350 jours = 350/365,25 = 0,96 années
50 jours = 50/365,25 = 0,14 année
Total : 4,17 + 0,96 + 0,14 = 5,27 années. Aujourd'hui l'âge d'Anne est 55,27 années.