"Le plus grand des problèmes non résolus des mathématiques est de savoir pourquoi certains y sont meilleurs que d'autres" (Adrian Mathesis).
01. A chacun ses loisirs
Enoncé
Trois amis reconnaissables par leurs cheveux de couleurs différentes ont un sujet préféré pour leurs loisirs.
Amis : Athos, Portos, Aramis.
Cheveux : blonds, bruns, noirs.
Sujets préférés : internet, sports, voyages.
Athos s'amuse parfois avec l'ami aux cheveux bruns et ne parle jamais de voyages.
L'ami aux cheveux blonds préfère parler de voyages.
Portos n'aime pas parler de sports.
Aramis n'a pas les cheveux bruns.
Quelle est la couleur des cheveux de chaque ami et quel est son sujet préféré ?
Calcul
Amis
Athos
Portos
Aramis
Cheveux
Noirs
Bruns
Blonds
Sujets
Sports
Internet
Voyages
A partir de 1 et 4, Portos est brun,
A partir de 1, 2 et Athos Brun, Aramis aime les voyages,
Il reste Athos aux cheveux noirs,
Portos aime Internet,
Il reste Athos qui aime parler de sports.
Résultat
Voir la grille des résultats à droite.
02. Un peu de tourisme
Enoncé
Aglaé, Thalie et Euphrosyne ont visité des hôtels différents. Les numéros de chambre sont aussi différents.
Hôtels : Palace, Lutétia, Ritz.
Numéros des chambres : 305, 419, 538.
La cliente du Ritz quitte sa chambre, la 419, pour aller faire des emplettes.
Une heure plus tard, elle va rencontrer Thalie qui loge au Palace.
Pendant ce temps, Euphrosyne écoute la télévision dans sa chambre, la 538.
Déterminez le nom de l'hôtel et le numéro de chambre de chaque cliente.
Calcul
Clientes
Aglaé
Thalie
Euphrosyne
Hôtels
Ritz
Palace
Lutétia
Chambres
419
305
538
1, La chambre 419 est celle qui est occupée au Ritz
2, La cliente du Ritz n'est pas Thalie qui est au Palace, ni Euphrosyne d'après 3. C'est Aglaé
3, Euphrosyne, ni au Ritz, ni au Palace. Elle est au Lutétia et Aglaé est au Ritz
Aglaé a sa chambre 419, Euphrosyne a la 538 et Thalie a donc la 305.
Résultat
Voir la grille des résultats à droite.
03. Problèmes de voisinage
Enoncé
Trois voisines sont intéressées par la lecture de trois journaux régionaux.
Noms : Echion, Charon, Talon.
Prénoms : Daphné, Leto, Callisto.
Pages : sportives, culturelles, économiques.
Journaux : Voix du nord, Voix de l'ouest, Voix du sud.
Madame Charon ne lit pas la Voix de l'ouest.
Callisto ne lit pas la Voix du nord, tout comme son amie Madame Echion.
Leto n'a jamais lu les pages culturelles.
La Voix du nord ne publie pas de pages sportives.
Madame Echion ne consulte jamais les pages sportives.
Avec l'aide de Madame Talon, Daphné et Callisto participent à un concours.
Quels sont les journaux et les pages lus par chacune ?
Calcul
Daphné
Léto
Callisto
Sport
Culture
Economie
Voix du Nord
Voix de l'Ouest
Voix du Sud
Résultats
Echion
f (de)
b (2)
n (5, m)
b (2)
j (ih)
Echion
Daphné
Culture
Voix de l'Ouest
Charon
e (bc)
o (m, n)
g (2e)
a (1)
h (ag)
Charon
Callisto
Sport
Voix du Sud
Talon
c (6)
d (c)
c (6)
l (4i)
k (3d)
m (kl)
i (bg)
Talon
Léto
Economie
Voix du Nord
a (1)
Conclusion (a) tirée de l'annonce (1) : Pas la Voix de l'ouest pour Charon (en gris)
b (2)
L'annonce permet de conclure pour l'instant que Callisto n'est pas Madame Echion qui d'ailleurs, ne lit pas la
voix du Nord
c (6)
L'annonce conduit à dire que Daphné et Callisto ne sont pas Madame Talon
d (c)
Les conclusions amènent à donner le prénom Léto à Mme Talon (cellule rose)
e
Callisto n'étant ni Mme Echion (b), ni Mme Talon (c), elle est Mme Charon
f
Il reste Daphné qui est Mme Echion
g
On reprend (2), Callisto qui ne lit pas la voix du Nord et qu'on sait maintenant, être Mme Charon (e)
h
Mme Charon ne lit ni la voix de l'Ouest (a), ni la voix du Nord (g), elle lit la voix du Sud
i
La voix du Nord n'est lue ni par Mme Echion (b), ni par Mme Charon (g), elle est lue par Mme Talon
j
La voix du Nord étant affectée (i), ainsi que la voix du Sud (h), la voix de l'Ouest est lue
par Mme Echion
k
L'annonce (3) dit que Léto, qui est aussi Mme Talon (d) ne lit pas les pages culturelles
l
L'annonce (4) dit que la voix du Nord qui est lue par Mme Talon (i) ne publie pas de pages sportives
m
Puisque ni Sport (l), ni Culture (k), Mme Talon lit les pages économiques.
n
D'après (5), Mme Echion ne lit pas le sport, et comme l'économie est prise (m), il lui reste la culture.
0
Il reste le sport pour Mme Charon.
Résultat
Voir le tableau des résultats à droite.
04. Nombres croisés 3
Enoncé
A la manière des mots croisés, remplissez cette grille avec les chiffres désignés par les définitions.
a
b
c
d
e
Horizontalement
Verticalement
Résultat
A
1
A
Cube
a
Cube
1
9
6
8
3
B
2
B
Cube d'un multiple de 7
b
Cube
2
1
9
5
2
C
C
Nombre premier - Nombre premier
c
Triple d'un nombre premier - Double d'un carré
1
1
1
7
D
D
Multiple du cube de 3
d
Cube
6
2
5
8
6
E
0
E
Multiple du cube de 2
e
Cube
7
5
0
4
8
Calcul
a = x3 ; x1 = 120001/3 = 22,89 ; x2 = 129991/3 = 23,51 ; x = 23 ; a = 233 = 12167
Entre 27,14 et 31,07 , B = 283 ou 293 ou 303 ou 313 ; seul 28 est divisible par 7 ;
B = 283 = 21952
c1 = ∎9 divisible par 3 = 39 ou 69 ou 99 ; le tiers : 13 ou 23 ou 33 ; deux solutions : 39 ou 69 (33 n'est pas premier)
Entre 21,54 et 27,14 , A = 223 à 273 = 10648 ou 12167 ou 13824 ou 15625 ou 17576 ou 19683 ; il faut centaines 6 ou 3 : 10648 ou
15625 ou 19683
Entre 44,98 et 45,14 , b = 453 = 91125 ; donc A = 19683
Entre 43,97 et 44,14 , d = 443 = 85184
Entre 31,75 et 32,07 , e = 323 = 32768
c2 , carré de la forme ∎0 ou ∎5 ; le carré est 25 ; le double est 50 ; c2 = 50
Vérif : C1 = 11 est bien premier ; C2 = 17 est bien premier ; D = 62586 = 2318 x 27 ; E = 75048 = 9381 x 8
Résultat
Voir le résultat en haut, à droite.
05. Yvon tourne
Enoncé
Yvon a dessiné les cercles ci-contre. Il prend neuf jetons numérotés de 1 à 9. Il dépose les jetons 1 et 2 aux endroits indiqués.
Placez les jetons de 3 à 9 de façon que la somme de chacune des rangées de trois cases soit 15. De plus, la somme
des nombres de chaque cercle doit aussi être 15.
Résultat
Il y a deux solutions, à voir à droite.
06. Octogones entremêlés
Enoncé
Combien d'octogones distinguez-vous dans la figure ci-contre ?
Calcul
1 vert + 12 noirs + 5 blancs + 2 noirs cerclés de blanc + 3 gris + 3 incolores à bord blanc + 5 incolores à bord gris + 1 incolore
à bord jaune = 32
Résultat
Nombre d'octogones : 32.
1
2
3
4
5
23
?
6
?
15
A
23
2
6
19
15
?
14
25
?
?
B
16
14
25
3
7
5
8
?
11
?
C
5
8
17
11
24
?
?
4
10
18
D
12
21
4
10
18
9
20
?
?
1
E
9
20
13
22
1
07. Carré magique
Enoncé
Chaque chiffre de 1 à 25 doit figurer dans le carré. Le total des chiffres de chaque ligne, chaque colonne et grande diagonale doit être égal à
65 pour que le carré soit magique.
Complétez le carré représenté ci-contre.
Calcul
Diagonale ; C3 = 65 - 48 = 17
Ligne C ; C5 = 65 - 41 = 24
Colonne 5 ; B5 = 65 - 58 = 7
Colonne 3 ; E3 = 65 - 52 = 13
Ligne E ; E4 = 65 - 43 = 22
Ligne A ; A2 + A4 = 65 - 44 = 21 = 2 + 19 = 19 + 2 ; 19 + 2 ne convient pas ; A2 = 2 ; A4 = 19
Colonne 2 ; D2 = 65 - 44 = 21
Ligne B ; B1 = 65 - 49 = 16
Ligne D ; D1 = 65 - 53 = 12
Résultat
Voir le résultat en haut et à droite.
08. La pyramide 2
Enoncé
223,5
223,5
107
116,5
107
116,5
?
?
?
49
58
58,5
?
?
?
?
21,5
27,5
30,5
28
10
11,5
16
14,5
13,5
10
11,5
16
14,5
13,5
5,5
4,5
7
9
5,5
8
5,5
4,5
7
9
5,5
8
2,5
3
1,5
5,5
3,5
2
6
2,5
3
1,5
5,5
3,5
2
6
Chaque brique de la pyramide contient un nombre qui est la somme des nombres contenus dans les deux briques sous-jacentes. Le challenge consiste
à retrouver les valeurs manquantes dans chacune des briques de la pyramide.
Résultat
Le calcul est facile. Voir le résulat à droite.
09. Multiplication
.
1
.
4
1
5
x
3
.
2
x
3
8
2
.
3
.
8
3
0
3
.
2
.
3
3
2
0
.
2
.
5
1
2
4
5
=
1
.
8
.
3
0
=
1
5
8
5
3
0
Enoncé
Complétez cette multiplication.
Résultat
Le calcul est relativement facile. Voir le résultat à droite.
10. Les deux voisins
Enoncé
Les nombres 189 et 190 sont deux entiers consécutifs tels que la somme (18) des chiffres du plus petit est divisible par 6 alors que la somme
(10) des chiffres du plus grand est divisible par 5.
Quels sont les deux nombres suivants ayant la même propriété ?
Calcul
Suite des nombres n dont ∑ des ch = 5k
190
195
203
208
212
217
221
226
230
235
244
249
253
258
262
267
271
276
280
∑ des ch de n - 1 = 6k
Oui
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Non
Oui
Résultat
Les nombres suivants qui ont la même propriété sont : 279 et 280.
11. Le casse-tête d'Euclide
Enoncé
Selon la légende, le casse-tête suivant a été proposé par le grand géomètre Euclide. Un âne et une mule portent chacun plusieurs sacs identiques
très lourds et la route est longue. Quand l'âne commence à exprimer sa lassitude, ses grognements ne tardent pas à exaspérer la mule. "De quoi te
plains-tu ? Si tu me donnais un sac, j'en porterais deux fois plus que toi ! Et si c'était moi qui t'en donnais un, nous en porterions le même
nombre."
Combien de sacs portent respectivement l'âne et la mule ?
Calcul
Avec a sacs sur le dos de l'âne et m sacs sur celui de la mule,
2(a - 1) = m + 1 ; et ; a + 1 = m - 1 ; a = m - 2 ; 2m - 4 - 2 = m + 1 ; m = 7 ; a = 5
Résultat
L'âne porte 5 sacs et la mule en porte 7.
12. Igrecmoinsdeuxix
Enoncé
Si l'on vous dit que y vaut 4 fois x diminué de 6, ou bien 5 fois x diminué de x2, soit encore le produit xy diminué de x2,
puis de 3, saurez-vous en déduire combien vaut y - 2x ?
Calcul
On a donc trois équations. Les deux premières : y = 4x - 6 et y = 5x - x2
La troisième ; y = xy -x2 - 3 ; qui peut s'écrire sous la forme : y = - (x2 + 3)/(1 - x)
On trouve les points d'intersection des deux premières en faisant : 4x - 6 = 5x - x2 ; On a deux points d'intersection :
x1 = -2 ; y1 = -14 ; x5 = 3 ; y5 = 6
Entre l'équation 1 et l'équation 3 : 4x - 6 = -(x2 + 3)/(1 - x) ; x3 = 1/3 ; y3 = -14/3 ; x5 = 3 ; y5 = 6
Entre l'équation 2 et l'équation 3 on obtient un polynôme du troisième degré : x3 - 5x2 + 5x + 3 = 0
Cette expression peut se factoriser : x3 - 5x2 + 5x + 3 = (x - 3)(x2 - 2x - 1) ; On a trois solutions :
x2 = 1 - 21/2 ; y2 = 2 - 3.21/2) ; x4 = 1 + 21/2 ; y4 = 2 + 3.21/2) ; x5 = 3 ; y5 = 6
Le point qui nous intéresse est le point triple d'intersection des trois fonctions : x5 = 3; y5 = 6
A ce point pour lequel x = 3 et y = 6, la valeur de la relation y - 2x est : 6 - 2.3 = 0
