Petite phrase à la fin des énoncés : "Ne vous inquiétez pas de vos problèmes en mathématiques, je peux vous assurer que les miens sont bien plus
importants" Albert Einstein.
01. Rencontres astrales
Enoncé
quatre martiens : M1, M2, M3, M4
cinq joviens : J2, J3, J4, J5, J6
six sélénites :
S3, S4, S5, S6, S7, S8.
Dans la salle commune d'un centre d'accueil interplanétaire, 15 personnes provenant de trois astres différents se rencontrent (voir à droite).
En public, deux habitants peuvent se parler à la condition que la somme de leur numéro soit impaire. Toutefois, les habitants d'une même
planète ne peuvent pas se parler.
Combien de groupes de deux personnes peuvent-ils se parler ?
Calcul
M1 peut parler avec
J2, J4, J6, S4, S6, S8
6
Total 37
Mais simultanément : J2.S3 J3.S4 J4.S5 J5.S6 J6.M1 S7.M2 S8.M3
M2 peut parler avec
J3, J5, S3, S5, S7
5
M3
idem M1
6
M4
idem M2
5
J2 avec
S3, S5, S7
3
J3 avec
S4, S6, S8
3
J4
idem J2
3
J5
idem J3
3
J6
idem J2
3
Résultat
On peut former 37 groupes différents de personnes qui peuvent se parler deux à deux. Simultanément, il n'y aura que 7 groupes.
02. Philatéliste en herbe
Enoncé
X
X
11
12
8
16
15
14
13
Un jeune philatéliste veut placer 34 timbres dans les quatre cases de chacun des 4 tableaux rectangulaires analogues représentés ci-contre.
De plus, tout ensemble de quatre cases dans la même position d'un tableau à l'autre doit contenir également 34 timbres. Dans certaines cases, le nombre
de timbres est déjà inscrit. Les deux cases marquées d'un X doivent contenir ensemble 12 timbres. Dans les cases vides, il placera de 1 à 10 timbres,
sauf 8, chaque nombre étant pris une seule fois.
Complétez la grille.
g
fX
h
i
eX
11
12
8
b
16
15
c
14
d
a
13
Calcul
a = 34 - 12 - 8 - 13 = 1
b = 34 - 15 - 14 - 1 = 4
c + d = 34 - 16 - 13 = 5
1 et 4 sont déjà pris
c ou d = 2
c ou d = 3
Hypothèse 1 avec c = 2
cela entraine d = 3
e = 34 - 11 - 14 - 3 = 6
f = 12 - 6 = 6
Deux fois 6, interdit
Hypothèse 2 avec c = 3
cela entraine d = 2
e = 34 - 11 - 14 - 2 = 7
f = 12 - 7 = 5
Plausible :
c = 3
d = 2
e = 7
f = 5
g = 34 - 5 - 4 - 16 = 9
h = 34 - 9 - 7 - 12 = 6
i = 34 - 6 - 15 - 3 = 10
9
5
6
10
7
11
12
8
4
16
15
3
14
2
1
13
Résultat
Voir le résultat à droite. (a = 1, b = 4, c = 3, d = 2, e = 7, f = 5, g = 9, h = 6, i = 10).
03. Carnaval de Venise !
Enoncé
Dans les cellules du masque représenté ci-contre, disposez chacun des nombres de 1 à 6. La somme des trois cellules
disposées sur chacun des trois cercles doit être 10.
Calcul
Parmi les 6 nombres de 1 à 6, il y a 3 combinaisons qui donnent une somme égale à 10 : 1 + 3 + 6 ; 1 + 4 + 5 ; 2 + 3 + 5
Pour chaque combinaison, deux des nombres se répètent sur une autre et le dernier est unique
Les nombres qui se répètent (1, 3, 5) trouveront leur place aux nœuds, sur la ligne centrale, et les autres (2, 4, 6) sur l'arc simple.
Il y a six résultats suivant la position donnée aux nœuds : 135, 153, 315, 351, 513 ou 531
4
1
3
5
6
2
Résultat
La première des six solutions est : à gauche 1, 6, 3 ; à droite 3, 2, 5 ; grand cercle 1, 4, 5
04. Nombres croisés 1
Enoncé
A la manière des mots croisés, remplissez cette grille avec les chiffres désignés par les définitons.
a
b
c
d
e
A
B
C
D
E
Horizontalement
Cube d'un anagramme de E
Multiple de E et de son anagramme
Multiple de E
Multiple de E
Nombre premier dont l'anagramme est aussi un nombre premier
Verticalement
Puissance quatrième de E
Multiple de 41
Multiple de E
Produit de deux
nombres consécutifs ; multiple de l'anagramme de E
Multiple de E
Calcul
a
b
c
d
e
A
2
9
7
9
1
B
8
0
6
0
C
5
2
0
6
D
6
1
9
5
E
1
1
3
Il y a quatre nombres premiers de deux chiffres dont l'anagramme est aussi un nombre
premier : 13, 17, 19, 37
Pour (a)
194 = 130321 ; 6 chiffres ; c'est trop. Seuls 13 ou 17 peuvent convenir pour E.
En (Aa)
le chiffre des dizaines de mille est commun pour E4 et l'anagramme au cube.
Avec E = 13 ; A = 313 = 29 791 et a = 134 = 28 561. Cette solution convient.
Avec E = 17 ; A = 713 = 357 911. Cette solution ne convient pas. Donc il faut bien prendre E = 13 et
A = 29791 ; a = 28561.
En (d)
on ne peut faire que 9 x 10 = 90 ; d = 90.
B
multiple de 13 et de 31, donc de 403 et qui se termine par 0 ; 4030 ou 8060 ; commence par 8 ;
c'est 8060
b
multiple de 41 qui commence par 90 ; c'est 902
C
multiple de 13 qui commence par 52 ; c'est 520
En (d)
le 2ème ; multiple de 31 qui finit par 3 ; c'est 93
En D
multiple de 13 de trois chiffres qui commence par 19 ; c'est 195
En (e)
multiple de 13 qui se termine par 5 ; c'est 65
Résultat
Voir le résultat ci-contre.
05. La clef du mystère
Enoncé
La femme de ménage de l'hôtel trouve une lettre dans la chambre 1. Elle la porte au gérant qui y lit ceci : "J'entrerai ce soir dans trois autres
de vos chambres pour y dévaliser vos clients. La multiplication des numéros des portes correspond au nombre de chandelles qu'ils verront lorsque
je les assommerai." Aussitôt, le gérant contacte le commissaire pour lui faire part de cette lettre de menaces.
Quelles chambres les policiers vont-ils choisir de surveiller plus particulièrement ?
Calcul
Décomposition en facteurs premiers de 36 = 22.32. On peut faire 36 avec 2 x 3 x 6
Résultat
Les chambres à surveiller plus particulièrement sont : 2, 3, 6.
06. Dénombrement de triangles
Enoncé
Combien de triangles peut-on dénombrer sur la figure ci-contre ?
Calcul
La liste complète des combinaisons de 3 sommets parmi 7 est établie. Certaines sont éliminées comme étant en ligne droite ou comme triangles
non tracés.
ABC
ABD
ABE
ABF
ABG
ACD
ACE
ACF
ACG
ADE
ADF
ADG
AEF
AEG
AFG
BCD
BCE
BCF
BCG
BDE
BDF
BDG
BEF
BEG
BFG
CDE
CDF
CDG
CEF
CEG
CFG
DEF
DEG
DFG
EFG
Résultat
On dénombre 15 triangles tracés.
07. Carré magique et dominos
Enoncé
Quels emplacements doivent occuper dans le carré les six dominos proposés pour que celui-ci soit magique au sens
où le total des points de chaque ligne, de chaque colonne et des deux grandes diagonales soit toujours égal à 14 ?
Calcul
Après une 1ère tentative de recherche informatique de solution qui a conclu à tort à l'absence de solution, puis une 2ème
tentative qui conclu à une solution unique, devant le doute, il est impératif de faire un examen exhaustif.
a
6
3
c
1.1
1
6
3
4
b
e
g
d
4
3
1
4
f
h
k
4
5
i
j
l
5
1.1.1
1
6
3
4
1.1.2
1
6
3
4
4
3
6
1
4
6
1
4
3
2
4
5
5
1.2
1
6
3
4
1.2.1
1
6
3
4
4
5
4
2
3
5
4
4
3
3
5
5
1.2.2
1
6
3
4
1.2.3
1
6
3
4
4
3
2
5
4
3
2
5
4
2
6
4
3
6
1
5
5
2
3
4
2
2
6
3
3
3.1
3
6
3
2
3
3
2
1
5
6
4
4
4
4
5
5
3.2
3
6
3
2
3.3
3
6
3
2
2
3
6
2
5
1
6
4
4
4
4
5
5
4.1
4
6
3
1
4.2
4
6
3
1
1
3
6
4
1
3
6
4
4
2
2
4
3
2
5
5
Hypothèses
Affectations
Conclusions
Restent disponibles
a + b = 14 - 9 = 5 = 1 + 4 = 2 + 3
4 solutions pour a
1.4 | 1.4 | 2.3 | 2.6 | 3.3 | 4.5
1
a = 1 ; b = 4 ; c = 14 - 1 - 9 = 4 (1.4 ou 4.5)
2 solutions pour d
1.4 | 2.3 | 2.6 | 3.3 | 4.5
1.1
d = 1 ; e + g = 14 - 4 - 1 = 9 = 3 + 6 = 4 + 5
2.3 | 2.6 | 3.3 | 4.5
4 et 5 ne sont pas disponibles séparément
2 solutions
1.1.1
e = 3 ; f = 3 ; g = 6 ; h = 2 ;
diag 5fgc = 5 + 3 + 6 + 4 = 18
A rejeter
1.1.1'
e = 3 ; f = 2 ; g = 6 ; h = 2 ;
diag 5fgc = 5 + 2 + 6 + 4 = 17
A rejeter
1.1.2
e = 6 ; il ne reste que 14 - 6 - 6 = 2 pour f + i
A rejeter
1.2
a = 1 ; b = 4 ; c = 4 ; d = 5
1.4 | 2.3 | 2.6 | 3.3
e + g = 14 - 4 - 5 = 5 = 1 + 4 = 2 + 3 ;
1 et 4 ne sont pas disponibles séparément
3 solutions
1.2.1
e = 2 ; f = 3 ; g = 3 ; h = 3 ; diag = 15
A rejeter
1.2.2
e = 3 ; f = 2 ; g = 2 ; h = 6 ; diag = 13
A rejeter
1.2.3
e = 3 ; f = 3 ; g = 2 ; h = 6 ; diag = 14
1.4 | 2.3
k = 14 - 4 - 3 - 6 = 1 ; l = 4
2.3
i = 14 - 6 - 3 - 3 = 2 ; j = 14 - 3 - 2 - 6 = 3
Diagonale aehl = 1 + 3 + 6 + 4 = 14
C'est une solution
2
a = 2 ; b = 3
1.4 | 1.4 | 2.6 | 3.3 | 4.5
c = 14 - 2 - 9 = 3 ; d = 3
1.4 | 1.4 | 2.6 | 4.5
e + g = 14 - 3 - 3 = 8 = 2 + 6 non disponibes séparément
3
a = 3 ; b = 2
1.4 | 1.4 | 2.6 | 3.3 | 4.5
c = 14 - 3 - 9 = 2 ; d = 6
1.4 | 1.4 | 3.3 | 4.5
e + g = 14 - 2 - 6 = 6 = 1 + 5 = 3 + 3
3 solutions
3.1
e = 1 ; f = 4 ; g = 5 ; h = 4 ; diag = 16
A rejeter
3.2
e = 3 ; f = 3 ; Le 3 n'est pas disponible séparément
3.3
e = 5 ; f = 4 ; g = 1 ; h = 4 ; diag = 12
A rejeter
4
a = 4 ; b = 1
1.4 | 2.3 | 2.6 | 3.3 | 4.5
c = 14 - 4 - 9 = 1 ; d = 4
2.3 | 2.6 | 3.3 | 4.5
e + g = 14 - 1 - 4 = 9 = 3 + 6 = 4 + 5
4 et 5 ne sont pas disponibles séparément
2 solutions
4.1
e = 3 ; f = 2 ; g = 6 ; h = 2 ; diag = 14
3.3 | 4.5
k = 14 - 4 - 2 - 2 = 6
Il n'y en a pas
4.2
e = 3 : f = 3 ; g = 6 ; h = 2 ; diag = 15
A rejeter
Résultat
La solution est unique, voir 1.2.3.
?
a + 2b + c
?
?
a + b
b + c
191
161
153
a
b
c
?
?
?
?
56
49
37
38
40
27
29
20
17
21
19
7
20
9
11
6
15
4
08. Pyramide 1
Enoncé
Chaque brique de la pyramide contient un nombre qui est la somme des nombres insctits dans les deux briques sous-jacentes. A partir des données de
la pyramide ci-contre, déterminez le nombre qui se trouve au sommet.
Calcul
a + 2b + c = 191 + 2x161 + 153 = 666.
Résultat
Le nombre qui se trouve au sommet est 666.
09. Soustraction
Enoncé
8
7
?
8
7
a
8
7
6
-
?
7
8
c
7
8
6
7
8
=
1
?
8
1
b
8
1
9
8
Retrouvez les chiffres manquants dans cette soustraction.
Calcul
Aux unités : 8 + 8 = 16 ; a = 6 et 1 de retenue
Aux dizaines : 1 + b + 7 = 7 + 10 ; b = 17 - 1 - 7 = 9
Pour les centaines : 1 + 1 + c = 8 ; c = 8 - 2 = 6
Résultat
Voir la solution, à droite.
10. Attention où vous mettez les pieds
Enoncé
Trois amoureux des jeux mathématiques, Bernard, Christophe et Maurice, montent successivement l'escalier de la Fédération française des jeux
mathématiques et logiques. Ils mettent chacun leur pied gauche sur la première marche. Ensuite, Bernard monte les marches une à une. Mais Maurice
les monte trois par trois. Quant à Christophe, qui a de grandes jambes et qui est sportif, c'est quatre par quatre !
Pouvez-vous donner le numéro d'une marche sur laquelle ils auront posé tous les trois leur pied droit ?
Calcul
Bernard qui monte les marches avec sagesse, une à une, démarre sur la première avec le pied gauche, puis sur la deux avec le pied
droit,
Ensuite son pied droit rencontre les marches de deux en deux, c'est à dire toutes les marches paires.
Maurice plus impatient gravit les marches de trois en trois en démarrant sur la une avec le pied gauche,
Le premier pied droit de Maurice est sur la marche n° 4 (1 + 3), et les suivants continuent de six en six,
On constate que dès le premier pied droit de Maurice sur la marche n° 4 on a une rencontre avec le 2ème pied droit de Bernard.
Christophe pose son premier pied droit sur la marche n° 1 + 4 = 5 (qui est une marche impaire), puis les suivants continuent de 8 en 8,
Le pied droit de Christophe ne foule que des marches impaires, donc il n'y a pas de rencontre possible avec les marches paires de Bernard et
Maurice.
Résultat
Les pieds droits de Bernard, Maurice et Christophe ne fouleront jamais une marche commune aux trois.
11. Devinez les cartes
Enoncé
"Mesdames et messieurs, annonça Quilafet, ma superbe assistante va demander à un des spectateurs de placer une rangée de trois cartes sur cette
table. Bien entendu, elle m'aura, auparavant, bandé les yeux. Par la seule force de l'information extrêmement réduite qu'elle me donnera ensuite,
je devinerai les cartes." Ainsi dit, ainsi fait. Et les douces lèvres de la superbe assistante du fameux magicien Quilafet, murmurèrent bientôt cette
étrange mélopée :
R
D
D
P
P
C
"A la droite d'un roi se tient une dame ou deux.
A la gauche d'une dame se tient une dame ou deux.
A la gauche d'un cœur se tient un pique ou deux.
A la droite d'un pique se tient un pique ou deux ..."
Quelles sont les cartes que Quilafet doit deviner ?
(Notez bien que "deux" se rapporte ici à "deux cartes" et non à la carte "deux".)
Résultat
Les cartes que Quilafet doit deviner sont : le roi de pique, la dame de pique et la dame de cœur.
12. Le lapin et le kangourou
Enoncé
Le lapin avait fait 77 bonds lorsque le kangourou partit à sa poursuite. Sachant que pendant que le lapin fait 13 sauts, le kangourou en fait 9,
et que 3 sauts de kangourou font autant que 8 sauts de lapin, combien de fois le kangourou devra-t-il sauter avant
de rattraper le lapin ?
Calcul
Sur la distance, un saut de lapin a une dimension de 3 unités, celui du kangourou vaut 8 unités.
En durée, un saut de lapin demande 9 unités de temps et le saut de kangourou 13 unités.
La vitesse du lapin est 3/9 = 1/3. Celle du kangourou est 8/13.
Il faut un temps t au kangourou pour rattraper le lapin.
Distance parcourue par le kangourou
8t/13
Distance parcourue par le lapin
77 x 3 + t/3 = 231 + t/3
Les distances sont égales
8t/13 = 231 + t/3
t = 819
Nombre de sauts de kangourou
819/13 = 63
Vérif : 63 = 7 x 9
Nombre de sauts de lapin
819/9 = 91
Vérif : 91 = 7 x 13
Nombre total de sauts du lapin
91 + 77 = 168
Vérif : 168 = 21 x 8
Kangourou en distance
Vérif : 63 = 21 x 3
Résultat
Nombre de sauts de kangourou pour rattraper le lapin : 63.
