Nous tenons à la disposition de ceux qui ne les connaitraient pas les formules donnant l'aire et le périmètre des figures géométriques simples
envisagées dans cette séquence.
01. Volume de la brique
Enoncé
Les aires des trois faces d'une brique sont 6, 8 et 12 cm2.
Quel est le volume de la brique ?
Calcul
Au premier regard, on voit que
6 = 3 x 2
8 = 4 x 2
12 = 4 x 3
Mais est-ce une solution unique ?
Soit x, y et z les dimensions de la brique avec
xy = 6
xz = 8
yz = 12
y = 6/x
z = 8/x = 12/y = 12x/6 = 2x
8/x = 2x
x2 = 4
x = 2
y = 6/x = 3
z = 8/x = 4
x = 2
y = 3
z = 4
xyz = 2.3.4 = 24
Résultat
Le volume de la brique est de 24 cm3
02. Cercle et triangles
Enoncé
Quel est le périmètre d'un cercle passant par les sommets d'un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités
de longueur ?
Calcul
Le triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 cm est un triangle rectangle (32 + 42 = 52). Le centre
du cercle circonscrit est à l'intersection des médianes. Le diamètre de ce cercle est l'hypotènuse du triangle rectangle. le périmètre de ce cercle
est πd = 5π = 15,7 unités carrées.
Résultat
Le périmètre du cercle circonscrit est environ 15,7 unités carrées.
03. Triangle équilatéral
Enoncé
Calculer l'aire de la partie colorée si le triangle équilatéral de côté 2 cm et si les cercles sont centrés sur
les sommets du triangle.
Calcul
Surface du triangle équilatéral de côté 2 :
2.2√(3)/4 = √(3)
Surface des 3/6 de cercle de rayon 1 :
π.12/2 = π/2
Surface de la partie bleue :
√(3) - π/2 = 0,161
Résultat
La surface de la partie bleue est environ de 0,161 cm2.
04. Trois cercles
Enoncé
Les trois cercles concentriques ont des rayons mesurant 3, 4 et 5 centimètres. Quel pourcentage de l'aire du plus grand
disque est occupée par la zone colorée ?
Calcul
Surface du plus grand disque (diamètre 5 cm)
52π/4 = 25π/4
Surface du disque bleu complet (diamètre 4 cm)
42π/4 = 4π
Surface du petit disque blanc (diamètre 3 cm)
32π/4 = 9π/4
Surface de la partie bleue
16π/4 - 9π/4 = 7π/4
Pourcentage bleu / grand disque
100.(7π/4)/(25π/4) = 700/25 = 28
Résultat
Aire occupée par la zone colorée = 28 % de celle du grand disque.
05. La place du Général Dourakine
Enoncé
La place du général Dourakine a six côtés égaux et une surface d'aire égale à 36 800 m2. Faites-en le tour à pied.
Quelle distance aurez-vous ainsi approximativement parcourue ?
Calcul
La première idée est de considérer l'hexagone régulier. Cependant, le texte impose six côtés égaux, sans contraintes sur les angles. Rien ne
nous interdit par exemple de travailler sur une figure constituée de deux triangles équilatéraux de part et d'autre d'un carré, tout en respectant
la dimension unique a ; ou même de prendre deux triangles isocèles (avec ABH = 15°) de part et d'autres d'un rectangle.
Surface du triangle équilatéral de côté a :
a . (a√(3)/2) /2
a2√(3)/4
Pour l'hexagone régulier (6 triangles équilatéraux)
3a2√(3)/2 = 36 800
a = 119,014
6a = 714,08
Pour la 2ème figure (1 carré + 2 triangles équilatéraux)
a2√(3)/2 + a2 = 36 800
a = 140,432
6a = 842,59
Pour la 3ème figure (petit angle 2 fois 15°)
AB = a
BH = a sin 15
AH = a cos 15
Aire des deux pointes :
2.AB.AH/2 = a2 sin 15 . cos 15
Aire du rectangle, et équation
2.BH.a = 2a2 sin 15
a2 sin 15 .
cos 15 + 2a2 sin 15 = a2 sin 15(cos 15 + 2) = 36 800
a = 218,950
6a = 1313,70
Résultat
La distance parcourue est au minimum de 714,1 mètres. Il y a une infinité de solutions.
06. Deux carrés
Enoncé
Les côtés des carrés mesurent 4 et 6 cm respectivement et un sommet du grand carré est confondu avec le centre du petit carré.
Combien mesure l'aire colorée ?
Calcul
Les aires des deux triangles OAB et OCD sont égales. L'aire du trétagone OBED est égale à celle du carré OAEC et elle vaut le quart du carré
de côté 4 cm. L'aire bleue est donc : 42/4 = 4 cm2.
Résultat
L'aire colorée mesure 4 cm2.
07. Triangle et hexagone
Enoncé
Quel est le rapport entre l'aire du triangle ACE et l'aire de l'hexagone ABCDEF ?
Calcul
Avec a la dimension de AB, aire de l'hexagone ABCDEF
3a2√(3)/2
Triangle ACE
CH = 3a/2 = AE √(3)/2
AE = 3a/√(3)
Aire : CH.AE/2 = 9a2/(4√(3))
Rapport des aires ACE/ABCDEF
(9a2/4√(3))/(3a2√(3)/2) = 1/2
Géométriquement, on remarque plusieurs triangles égaux
Divisons un rectangle comme indiqué ci-contre. Les aires des différentes parties sont indiquées sur la figure. Quelle est
la valeur de l'aire totale du rectangle ?
Calcul
Avec AD = x
AB = 6/x
BC = 10/x
DE = 9/AB = 3x/2
AC = AB + BC = 16/x
AE = AD + DE = 5x/2
Aire du rectangle
AC.AE = (16/x)(5x/2) = 80/2 = 40
Résultat
Aire totale du rectangle : 40 unités carrées.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
Aa
Combien d'allumettes sont nécessaires pour construire cette
figure ?
Trois du centre : 6.3 - 3 = 15 Quatre des bords : 2.(6.2 - 4) = 16
Il faut 31 allumettes.
Ab
L'âge d'une mère correspond au double de la somme des âges de ses quatre enfants. Dans six ans, la somme des âges
des enfants sera de 43 ans. Quel sera alors l'âge de la mère ?
m = 2S ; S + 6.4 = 43 ; S = 19 m = 2.19 = 38 ; m + 6 = 44
La mère aura 44 ans dans 6 ans.
Ac
Dans l'intervalle de 1000 à 1099 inclusivement, combien y a-t-il de nombres qui ont au moins deux chiffres identiques
voisins ?
10 nombres de 1000 à 1009 plus 1011, 1022 à 1099 ; 10 + 9 = 19
19 nombres répondent aux conditions.
Ad
R + M + M = CR
Chaque lettre a sa propre valeur et
correspond à un chiffre de 1 à 9. Trouvez la plus grande valeur de CR.
9 + 5 + 5 = 19
Plus grande valeur de CR : 19.
Ba
Comment écrit-on 40 % en une fraction décimale ?
2/5
Bb
Combien de sommets peut-on compter sur un octogone ?
Un octogone a 8 sommets.
Bc
Combien y a-t-il de trimestes dans 12 semestres ?
24 trimestres dans 12 semestres.
Bd
Quel est le produit de 2,2 et de 2,5 ?
2,2 x 2,5 = 5,5
Produit : 5,5.
Be
Mario a gagné 156 € en 12 heures. Quel est son salaire par heure ?
156/12 = 13
Salaire horaire :
13 €
Bf
Comment appelle-t-on un nombre divisible par trois ?
C'est un multiple de trois.
Bg
Quel est le cube de 9 ?
93 = 729
Cube de 9 : 729.
Bh
Combien de lettres trouve-t-on dans 19 ?
Dix-neuf
7 lettres dans 19.
Bi
En retranchant 32 à un nombre, on obtient 34. Quel est ce nombre ?
34 + 32 = 66
Ce nombre est 66.
Bj
Un côté d'un triangle équilatéral mesure 12 centimètres. On accole deux de ces triangles. Quel est le périmètre de
la nouvelle figure ?
12 x 4 = 48
Périmètre de la figure : 48 cm.
11. Rectangle
Enoncé
Etant donné un rectangle de 5 cm de largeur et 12 cm de longueur, on souhaite tracer une ligne droite qui divise ce rectangle en deux figures
égales et telles que le périmètre de l'une de ces deux figures soit le plus grand possible.
Quel est alors ce périmètre ?
Calcul
Le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit valent 5 et 12 cm a une hypoténuse qui vaut exactement 13 cm (169 = 25 + 144). Le plus
grand périmètre est celui qui emprunte cette diagonale : 5 + 12 + 13 = 30 cm.
Résultat
Périmètre de l'une des deux figures : 30 cm.
12. Triangle
Enoncé
Un triangle a une aire de 12 cm2 et deux côtés de longueur 5 cm.
Quel est le périmètre de ce triangle ?
Calcul
Avec BC = 5 et aire = 12
12 = BC.AH/2
AH = 24/5 = 4,8
Côté BC = AB = 5
BH = √(AB2 - BH2) = √(25 - 4,82) = 1,4
HC = BC - BH = 5 - 1,4 = 3,6
Côté AC
AC = √(AH2 + HC2) = √(4,82 + 3,62) = 6
Périmètre
AB + BC + CA = 5 + 5 + 6 = 16
Deuxième solution signalée par mon ami Michel B, avec l'angle ABC obtu
HC = BC + BH = 5 + 1,4 = 6,4
Côté AC et périmètre
AC = √(AH2 + HC2) = √(4,82 + 6,42) = 8
AB + BC + CA = 5 + 5 + 8 = 18
Résultat
Deux solutions. Les périmètres sont 16 et 18 cm.
13. Puzzle
Enoncé
Un puzzle rectangulaire est constitué de pièces carrées de côtés de longueurs 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 et 18.
Quelles sont les dimensions du puzzle ?
Le puzzle
Résultat
Dimensions du puzzle : 33 x 32.
14. Aire d'un triangle
Enoncé
Quelle est l'aire du triangle délimité, dans un repère orthonormé, par l'axe des x et les droites d'équations
y = 2x + 4 et y = -2x/3 + 4 ?
Calcul
Les ordonnées à l'origine sont toutes les deux à +4. Les droites se coupent sur l'axe des y en A à +4
Les intersections avec l'axe des x sont connues pour y = 0