612, Aires et périmètres, Le 4 mai 2020

Remarque préliminaire

Nous tenons à la disposition de ceux qui ne les connaitraient pas les formules donnant l'aire et le périmètre des figures géométriques simples envisagées dans cette séquence.

01. Volume de la brique

Enoncé

Les aires des trois faces d'une brique sont 6, 8 et 12 cm2.

Quel est le volume de la brique ?

Calcul

Au premier regard, on voit que 6 = 3 x 2 8 = 4 x 2 12 = 4 x 3 Mais est-ce une solution unique ?
Soit x, y et z les dimensions de la brique avec xy = 6 xz = 8 yz = 12
y = 6/x z = 8/x = 12/y = 12x/6 = 2x 8/x = 2x x2 = 4 x = 2 y = 6/x = 3 z = 8/x = 4
x = 2 y = 3 z = 4 xyz = 2.3.4 = 24

Résultat

Le volume de la brique est de 24 cm3

02. Cercle et triangles

Enoncé

...

Quel est le périmètre d'un cercle passant par les sommets d'un triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités de longueur ?

Calcul

Le triangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 cm est un triangle rectangle (32 + 42 = 52). Le centre du cercle circonscrit est à l'intersection des médianes. Le diamètre de ce cercle est l'hypotènuse du triangle rectangle. le périmètre de ce cercle est πd = 5π = 15,7 unités carrées.

Résultat

Le périmètre du cercle circonscrit est environ 15,7 unités carrées.

03. Triangle équilatéral

Enoncé

...

Calculer l'aire de la partie colorée si le triangle équilatéral de côté 2 cm et si les cercles sont centrés sur les sommets du triangle.

Calcul

Surface du triangle équilatéral de côté 2 : 2.2√(3)/4 = √(3)
Surface des 3/6 de cercle de rayon 1 : π.12/2 = π/2
Surface de la partie bleue : √(3) - π/2 = 0,161

Résultat

La surface de la partie bleue est environ de 0,161 cm2.

04. Trois cercles

Enoncé

...

Les trois cercles concentriques ont des rayons mesurant 3, 4 et 5 centimètres. Quel pourcentage de l'aire du plus grand disque est occupée par la zone colorée ?

Calcul

Surface du plus grand disque (diamètre 5 cm) 52π/4 = 25π/4
Surface du disque bleu complet (diamètre 4 cm) 42π/4 = 4π
Surface du petit disque blanc (diamètre 3 cm) 32π/4 = 9π/4
Surface de la partie bleue 16π/4 - 9π/4 = 7π/4
Pourcentage bleu / grand disque 100.(7π/4)/(25π/4) = 700/25 = 28

Résultat

Aire occupée par la zone colorée = 28 % de celle du grand disque.

05. La place du Général Dourakine

Enoncé

La place du général Dourakine a six côtés égaux et une surface d'aire égale à 36 800 m2. Faites-en le tour à pied.

Quelle distance aurez-vous ainsi approximativement parcourue ?

...

Calcul

La première idée est de considérer l'hexagone régulier. Cependant, le texte impose six côtés égaux, sans contraintes sur les angles. Rien ne nous interdit par exemple de travailler sur une figure constituée de deux triangles équilatéraux de part et d'autre d'un carré, tout en respectant la dimension unique a ; ou même de prendre deux triangles isocèles (avec ABH = 15°) de part et d'autres d'un rectangle.

Surface du triangle équilatéral de côté a : a . (a√(3)/2) /2 a2√(3)/4
Pour l'hexagone régulier (6 triangles équilatéraux) 3a2√(3)/2 = 36 800 a = 119,014 6a = 714,08
Pour la 2ème figure (1 carré + 2 triangles équilatéraux) a2√(3)/2 + a2 = 36 800 a = 140,432 6a = 842,59
Pour la 3ème figure (petit angle 2 fois 15°) AB = a BH = a sin 15 AH = a cos 15
Aire des deux pointes : 2.AB.AH/2 = a2 sin 15 . cos 15
Aire du rectangle, et équation 2.BH.a = 2a2 sin 15 a2 sin 15 . cos 15 + 2a2 sin 15 = a2 sin 15(cos 15 + 2) = 36 800
a = 218,950 6a = 1313,70

Résultat

La distance parcourue est au minimum de 714,1 mètres. Il y a une infinité de solutions.

06. Deux carrés

Enoncé

...

Les côtés des carrés mesurent 4 et 6 cm respectivement et un sommet du grand carré est confondu avec le centre du petit carré.

Combien mesure l'aire colorée ?

Calcul

Les aires des deux triangles OAB et OCD sont égales. L'aire du trétagone OBED est égale à celle du carré OAEC et elle vaut le quart du carré de côté 4 cm. L'aire bleue est donc : 42/4 = 4 cm2.

Résultat

L'aire colorée mesure 4 cm2.

07. Triangle et hexagone

Enoncé

...

Quel est le rapport entre l'aire du triangle ACE et l'aire de l'hexagone ABCDEF ?

Calcul

Avec a la dimension de AB, aire de l'hexagone ABCDEF 3a2√(3)/2
Triangle ACE CH = 3a/2 = AE √(3)/2 AE = 3a/√(3) Aire : CH.AE/2 = 9a2/(4√(3))
Rapport des aires ACE/ABCDEF (9a2/4√(3))/(3a2√(3)/2) = 1/2
Géométriquement, on remarque plusieurs triangles égaux ABC = AOC = CDE = COE = AFE = AOE = a1
ACE = 3a1 ; ABCDEF = 6a1 ; ACE/ABCDEF = 3a1/6a1 = 1/2

Résultat

Le rapport des aires de ACE sur ABCDEF est : 1/2.

08. Petits carreaux

Enoncé

...

Si chaque petit carré dans la grille mesure 1 cm de côté, combien mesure en centimètres carrés, la surface du polygone représenté sur la figure ?

Calcul

Aire du grand carré ABCD 8.8 = 64
Aire AEB 8.4/2 = 16
Aire DGJ 5.1/2 = 2,5
Aire FGH 3.3/2 = 4,5
Aire du rectangle GHCJ 3.1 = 3
Aire du polygone BEDGF ABCD - AEB - DGJ - FGH - GHCJ = 64 - 16 - 2,5 - 4,5 - 3 = 38

Résultat

Le polygone mesure 38 cm2.

09. Aire du rectangle

Enoncé

...

Divisons un rectangle comme indiqué ci-contre. Les aires des différentes parties sont indiquées sur la figure. Quelle est la valeur de l'aire totale du rectangle ?

Calcul

Avec AD = x AB = 6/x BC = 10/x DE = 9/AB = 3x/2 AC = AB + BC = 16/x AE = AD + DE = 5x/2
Aire du rectangle AC.AE = (16/x)(5x/2) = 80/2 = 40

Résultat

Aire totale du rectangle : 40 unités carrées.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
Aa
...
Combien d'allumettes sont nécessaires pour construire cette figure ?
Trois du centre : 6.3 - 3 = 15
Quatre des bords : 2.(6.2 - 4) = 16
Il faut 31 allumettes.
Ab L'âge d'une mère correspond au double de la somme des âges de ses quatre enfants. Dans six ans, la somme des âges des enfants sera de 43 ans. Quel sera alors l'âge de la mère ? m = 2S ; S + 6.4 = 43 ; S = 19
m = 2.19 = 38 ; m + 6 = 44
La mère aura 44 ans dans 6 ans.
Ac Dans l'intervalle de 1000 à 1099 inclusivement, combien y a-t-il de nombres qui ont au moins deux chiffres identiques voisins ? 10 nombres de 1000 à 1009 plus
1011, 1022 à 1099 ; 10 + 9 = 19
19 nombres répondent aux conditions.
Ad
R + M + M = CR
Chaque lettre a sa propre valeur et correspond à un chiffre de 1 à 9. Trouvez la plus grande valeur de CR.
9 + 5 + 5 = 19 Plus grande valeur de CR : 19.
Ba Comment écrit-on 40 % en une fraction décimale ? 2/5
Bb Combien de sommets peut-on compter sur un octogone ? Un octogone a 8 sommets.
Bc Combien y a-t-il de trimestes dans 12 semestres ? 24 trimestres dans 12 semestres.
Bd Quel est le produit de 2,2 et de 2,5 ? 2,2 x 2,5 = 5,5 Produit : 5,5.
Be Mario a gagné 156 € en 12 heures. Quel est son salaire par heure ? 156/12 = 13 Salaire horaire : 13 €
Bf Comment appelle-t-on un nombre divisible par trois ? C'est un multiple de trois.
Bg Quel est le cube de 9 ? 93 = 729 Cube de 9 : 729.
Bh Combien de lettres trouve-t-on dans 19 ? Dix-neuf 7 lettres dans 19.
Bi En retranchant 32 à un nombre, on obtient 34. Quel est ce nombre ? 34 + 32 = 66 Ce nombre est 66.
Bj Un côté d'un triangle équilatéral mesure 12 centimètres. On accole deux de ces triangles. Quel est le périmètre de la nouvelle figure ? 12 x 4 = 48 Périmètre de la figure : 48 cm.

11. Rectangle

Enoncé

...

Etant donné un rectangle de 5 cm de largeur et 12 cm de longueur, on souhaite tracer une ligne droite qui divise ce rectangle en deux figures égales et telles que le périmètre de l'une de ces deux figures soit le plus grand possible.

Quel est alors ce périmètre ?

Calcul

Le triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit valent 5 et 12 cm a une hypoténuse qui vaut exactement 13 cm (169 = 25 + 144). Le plus grand périmètre est celui qui emprunte cette diagonale : 5 + 12 + 13 = 30 cm.

Résultat

Périmètre de l'une des deux figures : 30 cm.

12. Triangle

Enoncé

...

Un triangle a une aire de 12 cm2 et deux côtés de longueur 5 cm.

Quel est le périmètre de ce triangle ?

Calcul

Avec BC = 5 et aire = 12 12 = BC.AH/2 AH = 24/5 = 4,8
Côté BC = AB = 5 BH = √(AB2 - BH2) = √(25 - 4,82) = 1,4 HC = BC - BH = 5 - 1,4 = 3,6
Côté AC AC = √(AH2 + HC2) = √(4,82 + 3,62) = 6
Périmètre AB + BC + CA = 5 + 5 + 6 = 16
Deuxième solution signalée par mon ami Michel B, avec l'angle ABC obtu HC = BC + BH = 5 + 1,4 = 6,4
Côté AC et périmètre AC = √(AH2 + HC2) = √(4,82 + 6,42) = 8 AB + BC + CA = 5 + 5 + 8 = 18

Résultat

Deux solutions. Les périmètres sont 16 et 18 cm.

13. Puzzle

Enoncé

Un puzzle rectangulaire est constitué de pièces carrées de côtés de longueurs 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 et 18.

Quelles sont les dimensions du puzzle ?

Le puzzle

...

Résultat

Dimensions du puzzle : 33 x 32.

14. Aire d'un triangle

Enoncé

...

Quelle est l'aire du triangle délimité, dans un repère orthonormé, par l'axe des x et les droites d'équations y = 2x + 4 et y = -2x/3 + 4 ?

Calcul

Les ordonnées à l'origine sont toutes les deux à +4. Les droites se coupent sur l'axe des y en A à +4
Les intersections avec l'axe des x sont connues pour y = 0
La droite y = 2x + 4 coupe l'axe des x en B, 2x + 4 = 0 x = -2 B est en (-2, 0)
La droite y = -2x/3 + 4 coupe l'axe des x en C, -2x/3 + 4 = 0 x = 6 C en (+6, 0)
Base et hauteur du triangle ABC BC = BO + OC = 2 + 6 = 8 OA = 4
Aire du triangle ABC BC.AO/2 = 8.4/2 = 16

Résultat

L'aire du triangle vaut 16 unités carrées.