L'âge actuel de Zoé est le double de celui d'Eva. Dans trois ans, la somme de leurs âges sera de 42 ans.
Quel est l'âge de Zoé ?
| Soit, | z et e, | les âges respectifs de Zoé et Eva | ||
| Actuellement, | z = 2e | |||
| Dans 3 ans, | z + 3 + e + 3 = 42 | 2e + e = 36 | e = 12 | z = 24 |
Zoé a 24 ans.
Le père d'Alexandre a 45 ans, ce qui représente 15 années de plus que le double de l'âge d'Alexandre.
Quel est l'âge d'Alexandre ?
| Avec, | x, | l'âge d'Alexandre | |
| Egalité de l'énoncé, | 45 = 2x + 15 | 2x = 30 | x = 15 |
Alexandre a 15 ans.
On trouve, paraît-il, sur la tombe de ce mathématicien de l'Ecole d'Alexandrie, l'épitaphe suivante : "Ici reposent les cendres de Diophante. Il fut enfant pendant le sixième de sa vie ; un douzième encore s'écoula et la barbe poussa sur son visage ; un septième s'écoula encore avant son mariage ; cinq années après cette date heureuse un fils naquit ; hélas, ce fils, marqué par le destin, mourut n'ayant atteint que la moitié de l'âge qu'avait son père ; Diophante devait vivre encore huit années, cherchant dans la science des nombres un apaisement à son chagrin.
A quel âge Diophante mourut-il ?
Alain nous propose une solution très séduisante. Il nous rappelle d'abord que les âges sont des nombres entiers. Ensuite les différentes étapes de la vie de Diophante étant sous forme fractionnaire, l'âge de Diophante est lui-même un multiple du dénominateur commun (le ppcm de 6, 12 et 7). Ce ppcm vaut : 22.3.7 = 84. Diophante n'est raisonnablement pas mort à 168 ans. Il est mort à 84 ans.
Pour se rassurer, tentons tout de même une résolution classique.
| Soit, | x et y, | les durées de vie respectives du père et du fils. | |
| Âge du père au moment du décès du fils, | x - 8 | y = (x - 8)/2 | |
| Somme des étapes de vie de Diophante | x/6 + x/12 + x/7 + 5 + y + 8 = x | ||
| Avec le dénominateur commun 84 | 14x + 7x + 12x + 420 + 42x - 336 + 672 = 84x | 9x = 756 | x = 84 |
Diophante est décédé à l'âge de 84 ans.
"Je suis aujourd'hui trois fois plus âgé que toi" dit, un jour, un père à son fils et il poursuivit ; "Il y a dix ans, je l'étais sept fois plus et dans un certain temps, je le serai deux fois plus."
Pouvez-vous dire dans combien de temps cette situation se produira ?
| Soit les âges, | p et f | du père et du fils | |||
| p = 3f | |||||
| p - 10 = 7(f - 10) | 3f - 10 = 7f - 70 | 4f = 60 | f = 15 | p = 45 | |
| Dans x années | 45 + x = 2(15 + x) | x = 45 - 30 | x = 15 |
Le père sera 2 fois plus âgé que son fils dans 15 ans.
"J'ai toujours eu 45 ans de plus que ton père" dit une grand-mère à son petit fils. "Mais aujourd'hui, les deux chiffres de mon âge sont exactement les mêmes que ceux de ton père. Et, en plus, nos deux âges sont divisibles par 9 !"
Quel est l'âge de la grand-mère ?
| k1 | k2 | gm | p |
| 6 | 1 | 54 | 9 |
| 7 | 2 | 63 | 18 |
| 8 | 3 | 72 | 27 |
| 9 | 4 | 81 | 36 |
| Âges de la grand-mère et du père, | 9k1 et 9k2 | |
| La différence est 45 | 9k1 - 9k2 = 45 | k1 - k2 = 5 |
La grand-mère a 72 ans.
Théo est plus âgé que Léo, lui-même plus âgé qu'Enzo. Léo a la même différence d'âge avec Théo qu'avec Enzo. Il y a cinq ans l'âge de Théo était le double de la différence d'âge qu'il avait avec Léo.
Quel est l'âge d'Enzo ?
| T | L | E |
| 1 | 3 | 5 |
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 5 | 5 |
| 7 | 6 | 5 |
| 9 | 7 | 5 |
| 11 | 8 | 5 |
| 13 | 9 | 5 |
| Soit les âges respectifs, | T, L , E, | de Théo, Léo et Enzo | |
| Aujourd'hui et toujours d'ailleurs, | T > L > E | T - L = L - E | E = 2L - T |
| Il y a cinq ans | T - 5 = 2 (T - L) | 2L - T = 5 = E |
A remarquer que, Enzo peut avoir 5 ans même si la condition T > L > E n'est pas vérifiée.
Enzo a 5 ans.
Si Jean est deux fois plus âgé que le sera David lorsque Robert aura le même âge que Jean maintenant, alors qui est le plus jeune ?
| d | r | j |
| 1 | 2 | 2 |
| 1 | 3 | 4 |
| 1 | 4 | 6 |
| 2 | 4 | 4 |
| 2 | 5 | 6 |
| 2 | 6 | 8 |
| 3 | 6 | 6 |
| 3 | 7 | 8 |
| 3 | 8 | 10 |
| Soit les âges respectifs, | j, d , r, | de Jean, David et Robert | |
| Robert devra attendre le futur pour atteindre l'âge de Jean d'aujourd'hui | r < j | ||
| Âge de David dans j - r années | d + j - r | ||
| Egalité | j = 2(d + j - r) | j = 2(r - d) | Donc r > d |
| Et comme j > r | d est le plus petit |
David est le plus jeune
Un groupe de cinq amis joue aux cartes. A chaque tour participent quatre des cinq joueurs, jamais les mêmes. La somme des âges des participants à chaque tour a respectivement été 124, 128, 130, 136, 142 ans.
Quel est l'âge du plus jeune joueur ?
| Soit les âges respectifs, | a, b, c, d, e, | de chacun des cinq joueurs | |
| On a un système de cinq équations à cinq incommues | (1) | a + b + c + d = 124 | |
| (2) | a + b + c + e = 128 | ||
| (3) | a + b + d + e = 130 | ||
| (4) | a + c + d + e = 136 | ||
| (5) | b + c + d + e = 142 | ||
| (1) + (2) + (3) + (4) + (5) | (6) | 4(a + b + c + d + e) = 660 | a + b + c + d + e = 165 |
| (6) - (5) | a = 23 |
Le plus jeune joueur a 23 ans.
Cinq enfants ont respectivement 6, 7, 8, 9 et 10 ans. Si l'on en choisit deux au hasard, quelle est la probabilité que la différence entre leurs âges soit de deux ans ou plus ?
Il nous faut lister toutes les possibilités de couples et dénombrer ceux qui répondent à la condition.
| Couples | 6, 7 | 6, 8 | 6, 9 | 6, 10 | 7, 8 | 7, 9 | 7, 10 | 8, 9 | 8, 10 | 9, 10 | Nombre de couples | 10 | |
| Différence d'âge | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 | 3 | 1 | 2 | 1 | >= 2 | 6 |
La probabilité que la différence de leur âge soit de 2 ans ou plus est 0,6 (6 chances sur 10).
| N° | Enoncé | Calcul | Résultat | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Aa |
|
2 + 3 - 4 + 5 = 6. | ||||||||
| Ab | Sur 14 problèmes, Gabriel en a résolu 12. Sur 21 problèmes, combien Chloé en a-t-elle raté si son taux de réussite est le même ? | Gabriel en rate 2 sur 14 | Chloé en rate 3 sur 21. | |||||||
| Ac | A l'aide d'opérations simples représentez 60 avec trois 1 et un autre chiffre au choix sauf le 6. | 5(11 + 1) = 60. | ||||||||
| Ad |
| 5 (monos) + 2 (bis) + 2 (tris) | Il y a 9 triangles. | |||||||
| Ba | A quel nombre vous fait penser le mot octet ? | Octet fait penser à huit. | ||||||||
| Bb | Combien y a-t-il de nombres premiers entre 6 et 15 ? | 7, 11, 13 | Il y a trois nombres premiers. | |||||||
| Bc | Quel est le plus grand nombre qui a cinq lettres ? | Mille. | ||||||||
| Bd | Quel est le quotient du cube de 6 par le carré de 6 ? | Ce quotient est 6. | ||||||||
| Be | Ecrivez en chiffres vingt-cinq et cinq centièmes. | 25,05. | ||||||||
| Bf | Quel est le nombre manquant (x) dans 3/4 = 6/x ? | Ce nombre est 8. | ||||||||
| Bg | Combien d'allumettes sont nécessaires pour écrire 19 en chiffres romains ? | XIX | Il faut cinq allumettes. | |||||||
| Bh | Vrai ou faux. Un carré est aussi un parallélogramme. | Oui, c'est vrai. | ||||||||
| Bi | Les mesures de deux angles sont entre elles comme 3 et 4. Le plus petit angle mesure 24 degrés. Quelle est la mesure du plus grand ? | (4/3) de 24 | 32 degrés. |
| a | a (a-1) (a-2) (a-3) | m2 = (a2 - 3a + 1)2 | m âge de la mère |
| 5 | 120 | 121 | 11 |
| 6 | 360 | 361 | 19 |
| 7 | 840 | 841 | 29 |
| 8 | 1680 | 1681 | 41 |
| 9 | 3024 | 3025 | 55 |
| 10 | 5040 | 5041 | 71 |
Une fratrie est composée de cinq enfants. Les quatre aînés se suivent à un an près. Si on multiplie leurs âges entre eux et que l'on ajoute au résultat de ce produit l'âge du petit dernier, on obtient le carré de l'âge de leur mère.
Quel est l'âge du petit dernier ?
| Avec, | a | l'âge de l'aîné |
| Produit des âges des quatre aînés | a(a - 1)(a - 2)(a - 3) = a4 - 6a3 + 11a2 - 6a | |
| La symétrie des coefficients fait penser au début d'un carré parfait, à condition de terminer par un dernier terme égal à 1. | ||
| En effet : | a4 - 6a3 + 11a2 - 6a + 1 = (a2 - 3a + 1)2 | |
| L'âge du petit dernier serait de 1 an. Mais vérifions par quelques apllications numériques. | ||
Le petit dernier a un an.
J'ai autant de semaines que mon fils a de jours. Mon fils a autant de mois que mon père a d'années et, tous les trois ensemble nous avons 100 ans.
Quel âge avait donc mon père quand mon fils est né ?
| Avec l'âge du fils | x | années, ou | 12 x | mois |
| L'âge du grand-père est | 12x | années | ||
| Avec | n | le nombre de jours par an | ||
| L'âge du fils est | nx | jours. nx est aussi l'âge du père en semaines. | ||
| Nombre de semaines par an | n/7 | |||
| Âge du père en années | nx/(n/7) = 7x | |||
| Somme des âges = 100 | x + 12x + 7x = 100 | 20x = 100 | x = 5 | |
| 7x = 35 | 12x = 60 | 60 - 5 = 55 |
A la naissance du fils, le grand-père avait 55 ans.
Les deux exercices n° 13 et 14 sont les mêmes que ceux de l'année dernière (505) du 17 décembre 2018. Ils sont simplement recopiés.
| S | E | N | D | ||
| + | M | O | R | E | |
| = | M | O | N | E | Y |
William Wilson est un jeune étudiant en mathématiques. Plus brillant qu’assidu, il fréquente les cabarets plus que les bibliothèques. Il y joue beaucoup d’argent et, malgré son indéniable talent dans le domaine des probabilités, il en perd souvent. Il est donc fréquemment appelé à écrire à ses parents pour leur demander de lui envoyer de l’argent. Sa dernière lettre, laconique, est ainsi libellée : (voir ci-contre)
Quel est le montant de la somme que William Wilson demande à ses parents ?
| r4 | r3 | r2 | r1 | ||
| S | E | N | D | ||
| + | M | O | R | E | |
| = | M | O | N | E | Y |
Il y a une solution principale plus 24 autres solutions secondaires dans lesquelles deux des nombres commencent par un zéro. Quelques relations permettent d’éliminer les combinaisons qui ne conviennent pas.
| La retenue r4 est égale à M | M vaut 0 ou 1. De même toutes les retenues r1 à r3 valent 0 ou 1 | |
| Colonne des milliers | r3 + S + M = O + 10M | O = S – 9M + r3 |
| Colonne des centaines | r2 + E + O = N + 10r3 | E = N – O + 10r3 – r2 |
| Colonne des dizaines | r1 + N + R = E + 10r2 | R = E – N + 10r2 – r1 |
| Colonne des unités | D + E = Y + 10 r1 | Y = D + E – 10r1 |
| Egalité | r1 | r2 | r3 | M | O | S | E | N | R | Y | D | Observation |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Prendre M = 1 ; O - S = r3 - 9 | 0 | 1 | 0 | 9 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 9 | Non, 1 est déjà pris | ||||||||
| 1 | 1 | 0 | 8 | |||||||||
| E - N = 10r3 - r2 - O | 0 | 0 | 1 | 0 | 9 | Non, entraine E = N | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 7 | 8 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 6 | 7 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 5 | 6 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 4 | 5 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 3 | 4 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 2 | 3 | ||||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 8 | Non, entraine E - N = 10 | |||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 8 | 7 | 6 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 8 | 6 | 5 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 8 | 5 | 4 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 8 | 4 | 3 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 8 | 3 | 2 | ||||||
| R = E - N + 10r2 - r1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 7 | 8 | 9 | Non, R = 9 dans toute la série, 9 déjà pris | ||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 7 | 8 | 8 | Non, R = 8, déjà pris | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 6 | 7 | 8 | ||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 5 | 6 | 8 | ||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 4 | 5 | 8 | ||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 3 | 4 | 8 | ||||
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 2 | 3 | 8 | ||||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 8 | 7 | 6 | Non, R = 11 pour toute la série | ||||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 8 | 7 | 6 | Non, R = 10 pour toute la série | ||||
| Y - D = E - 10r1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 6 | 7 | 8 | 2 | 6 | Non, D = 6 déjà pris |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 6 | 7 | 8 | 3 | 7 | Non, D = 7 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 6 | 7 | 8 | 4 | 8 | Non, D = 8 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 6 | 7 | 8 | 5 | 9 | Non, D = 9 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 5 | 6 | 8 | 2 | 7 | C'est la solution. | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 5 | 6 | 8 | 3 | 8 | Non, D = 8 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 5 | 6 | 8 | 4 | 9 | Non, D = 9 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 4 | 5 | 8 | 2 | 8 | Non, D = 8 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 4 | 5 | 8 | 3 | 9 | Non, D = 9 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 3 | 4 | 8 | 2 | 9 | Non, D = 9 déjà pris | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 9 | 2 | 3 | 8 | Non, entraine l'utilisatin de chiffres déjà utilisés |
| 9 | 5 | 6 | 7 | ||
| + | 1 | 0 | 8 | 5 | |
| = | 1 | 0 | 6 | 5 | 2 |
| 2 817 + 0 368 = 03 185 | 5 731 + 0 647 = 06 378 | 6 853 + 0 728 = 07 581 | 7 534 + 0 825 = 08 359 |
| 2 819 + 0 368 = 03 187 | 5 732 + 0 647 = 06 379 | 6 851 + 0 738 = 07 589 | 7 649 + 0 816 = 08 465 |
| 3 719 + 0 457 = 04 176 | 5 849 + 0 638 = 06 487 | 7 316 + 0 823 = 08 139 | 7 643 + 0 826 = 08 469 |
| 3 712 + 0 467 = 04 179 | 6 419 + 0 724 = 07 143 | 7 429 + 0 814 = 08 243 | 8 324 + 0 913 = 09 237 |
| 3 829 + 0 458 = 04 287 | 6 415 + 0 734 = 07 149 | 7 539 + 0 815 = 08 354 | 8 432 + 0 914 = 09 346 |
| 3 821 + 0 468 = 04 289 | 6 524 + 0 735 = 07 259 | 7 531 + 0 825 = 08 356 | 8 542 + 0 915 = 09 457 |
| r3 | r2 | r1 | ||
| F | I | L | M | |
| + | C | I | N | |
| + | E | M | A | |
| = | A | I | M | E |
Chaque lettre représente un chiffre différent. Indices : N = 5 et E = 8.
Déchiffrez cette addition. (Il y a quatre dispositions possibles).
| r3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| r2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 |
| C = 10r3 - r2 - 8 | -8 | -9 | -10 | 2 | 1 | 0 | 12 | 11 | 10 |
| r1 | 0 | 1 | 2 |
| A = 3 - M + 10r1 | 3 - M | 13 - M | 23 - M |
| r3 | 0 | 1 | 2 |
| F = A - r3 | A | A - 1 | A - 2 |
| r3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| r2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 |
| I = 10r2 - L - r1 | -L | -L - 1 | -L - 2 | 10 - L | 9 - L | 8 - L | 20 - L | 19 - L | 18 - L |
| r3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| r2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| r1 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 |
| M | 0 | 1 | 2 | 3 | L | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| A = 3 - M | 3 | 2 | 1 | 0 | I = 10 - L | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | |
| F = A - 1 | 2 | 1 | 0 | -1 |
| M | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | M | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| A = 13 - M | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | I = 9 - L | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | |
| F = A - 1 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
| Etant donné la présence de trois lignes dans l’addition, les retenues r1, r2, r3 peuvent être 0, 1 ou 2. | ||
| Colonne des centaines, avec E = 8 | r2 + I + C + 8 = I + 10r3 | C = 10r3 – r2 – 8 |
| Suivant les valeurs de r3 et r2 | Les cellules sur fond gris sont interdites, prendre les jaunes. | |
| Voir A = f(M), colonne des unités | M + 5 + A = 8 + 10r1 | A = 3 – M + 10r1 |
| Voir F = f(A), colonne des milliers | r3 + F = A | F = A – r3 |
| Voir I = f(L), colonne des dizaines | r1 + L + I + M = M + 10r2 | I = 10r2 – L – r1 |
| Domaines de validité des retenues | ||
| Avec r3 = 1, r2 = 1 et r1 = 0 | C = 1 dans tous les cas | |
| Avec r3 = 1, r2 = 1, r1 = 1 | C = 1 (toujours) | |
| En définitive on a 4 solutions. | ||
| F | I | L | M | 2 | 6 | 4 | 0 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 7 | 2 | 9 | 3 | 2 | 7 | 9 | ||||
| C | I | N | 1 | 6 | 5 | 1 | 4 | 5 | 1 | 7 | 5 | 1 | 2 | 5 | |||||||||
| E | M | A | 8 | 0 | 3 | 8 | 0 | 3 | 8 | 9 | 4 | 8 | 9 | 4 | |||||||||
| A | I | M | E | 3 | 6 | 0 | 8 | 3 | 4 | 0 | 8 | 4 | 7 | 9 | 8 | 4 | 2 | 9 | 8 |
