603, Une nuit de Shéhérazade, Le 18 novembre 2019

Les exercices de cette séance sont extraits de la mille-huitième nuit de Shéhérazade proposée par Raymond Smullyan.

01. Combien pèse l’animal ?

Enoncé

Pour ceux qui ne la connaissent pas, quelle est la réponse ?

Calcul

Soit P le poids de l’animal en livres
L’égalité donnée par le texte P = 60 + P/3 2P = 180 P = 90

Résultat

L’animal pèse 90 livres.

02. Tout le monde n’est pas honnête !

Enoncé

« En voici une meilleure, dit Shéhérazade. Un groupe d'amis prend un repas en commun dans une auberge. Ils décident de partager équitablement (c'est-à-dire, ici, en parts égales) l'addition qui s'élève à 24 pièces d'égale valeur. Or, ils s'aperçoivent que deux d'entre eux se sont éclipsés en oubliant de payer leur part. Chacun de ceux qui restent doit débourser une pièce de plus.

A l'origine, combien y avait-il d'amis dans le groupe ? »

Calcul

Avec n le nombre d’amis au départ
Le coût d’un repas est 24/n
En réalité (n – 2) amis ont payé 24/n + 1 (1 + 24/n)(n – 2) = 24 (24 + n)(n – 2) = 24n
24n – 48 + n2 – 2n = 24n n2 – 2n – 48 = 0
Déterminant = 4 + 192 = 196 n = (2 + 14)/2 = 8

Résultat

Il y avait à l’origine 8 amis dans le groupe.

03. Une simple question de logique.

Enoncé

  1. Le plus âgé des trois se trouve être soit Ali, soit Ahmed.
  2. Ou bien Hassan est le plus âgé, ou bien Ali est le plus jeune.

Qui est le plus âgé et qui est le plus jeune ? »

Calcul

En faisant le choix 1 du fait 1 Ali est le plus âgé non compatible avec le fait 2
Donc il faut prendre le choix 2 du fait n° 1 Ahmed est le plus âgé
Et avec le choix 2 du fait 2 Ali est le plus jeune

Résultat

Le plus âgé est Hassan, et le plus jeune est Ali.

04. Qui est le plus âgé ?

Enoncé

« Voici un autre problème de logique fort simple, dit Shéhérazade. Alors qu'un jour, on demandait à un frère et une sœur lequel des deux était le plus âgé, le frère répondit « Je suis le plus âgé » et la sœur affirma « Je suis la plus jeune ». Il s'avéra qu'au moins l'un des deux mentait ».

Qui était le plus âgé ?

Calcul

Les deux affirmations apparaissent cohérentes. Cependant, si l’un ment, les deux mentent.

Résultat

La sœur est la plus âgée.

05. Quel âge ont-ils ?

Enoncé

Quels sont les âges des deux frères ?

Calcul

Si l’un a l’âge x
La somme étant 11, l’âge de l’autre est 11 – x
Avec la différence égale à 10 11 – x – x = 10 2x = 1 x = 0,5

Résultat

Les âges des deux frères sont : 0,5 et 10,5 années.

06. Le procès.

Enoncé

L'accusé est-il coupable d'avoir dévalisé la caravane ?

Calcul

Affirmation 1 Affirmation 2 Affirmation 3
Plus de 12 vols
dans le passé 		Faux
pas de vols 		Au moins
un vol
A Faux Faux Vrai Non, 1 et 2 doivent être contradictoires
B Faux Vrai Faux Cohérent
C Vrai Faux Faux Non, 2 et 3 se contredisent

Résultat

L’accusé n’est pas coupable

07. A quelle distance se trouve le sanctuaire ?

Enoncé

« Voici, maintenant, un problème simple d'arithmétique. Ali et son ami Ahmed habitent chacun à la même distance d'un sanctuaire. Ils se donnent rendez-vous à ce marabout à une heure donnée et ils partent de chez eux au même moment. Ali marche à la vitesse de cinq kilomètres à l'heure et Ahmed à quatre kilomètres à l'heure. Ali arrive au sanctuaire avec sept minutes d'avance par rapport à l'heure du rendez-vous et Ahmed avec huit minutes de retard.

Quelle distance les deux hommes ont-ils parcourue ? »

Calcul

La résolution de, Alain Raymond est assez séduisante par sa simplicité et sa rapidité. Il faut remarquer que 7mn + 8 mn = ¼ d’heure.

Soit d la distance pour aller au sanctuaire
La différence des temps de parcours est 1/4 d’h d/4 – d/5 = 1/4 5d – 4d = 5 d = 5

Résultat

Chacun des deux hommes a parcouru 5 km.

08. L’ermite et l’escalade.

Enoncé

« Voici encore un problème d'arithmétique, dit Shéhérazade. Un ermite commence l'escalade d'un chemin de montagne à huit heures du matin, à la vitesse d'un kilomètre et demi à l'heure. Une fois le sommet atteint, il y passe douze heures en méditation. Il redescend, ensuite, par le même chemin à la vitesse de quatre kilomètres et demi à l'heure, pour arriver en bas le lendemain à midi.

Quelle distance a-t-il parcourue ? »

Calcul

Le temps total de parcours est 24 + 12 – 8 – 12 = 16 heures
Soit d la distance du trajet aller (= retour)
Temps aller + temps retour = 16 d/1,5 + d/4,5 = 16 4d/4,5 =16 d = 18

Résultat

La distance parcourue est 36 km

09. Un étudiant très intelligent.

Enoncé

« Maintenant, dit Shéhérazade, j'aimerais vous exposer deux problèmes liés entre eux par une intéressante relation, révélatrice d'un important fait mathématique. Dans le premier problème, un étudiant a mal agi et pour le punir ses maîtres lui demandent d'additionner tous les nombres de un à mille.

Comment l'étudiant a-t-il procédé pour calculer aussi vite ?

[L'autre problème est posé en 6.3.11.].

Calcul

Méthode d’Alain R pour les non-matheux.

Dans une suite de nombres entiers on peut grouper par deux, le premier et le dernier, puis le second et l’avant dernier, etc. La somme de chacun de ces groupes est constante et égale à : 1 + 1 000 = 2 + 999 = 3 + 998 = . . . = 500 + 501 = 1 001. Dans la suite des 1 000 premiers nombres entiers, on a formé 1 000/2 = 500 couples.

La somme des 1 000 premiers nombres entiers est 1 001 x 500 = 500 500

Utilisation d'une formule

La somme des n premiers nombres entiers est : S = n(n + 1)/2 S = 1 000 x 1 001/2 = 500 500

Résultat

La somme des nombres de 1 à 1 000 est 500 500

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N° Enoncé Calcul Résultat
Aa A l'aide d'opérations simples, écrivez 60 en utilisant quatre 4. 4 x 4 x 4 – 4 = 60
44 + (4 x 4) = 60.
Ab Placez un 2, un 3, un 6 et un 8 dans les cases pour que le résultat soit 7.
. / . + . - .
8/2 + 6 – 3 = 7.
Ac Trouvez un mot qui utilise toutes les lettres de TRENTE. TRENTE TENTER.
Ad Formez un nombre de six chiffres de la forme ABCDEF où CD est le double de AB. et EF le double de CD. Les chiffres de ce nombre sont :    2 ; 4 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 Avec 3 nombres de 2 chiffres a, b, c,
il faut b = 2a et c = 4a.
En partant de a = 24,
on peut aller à b = 48 et c = 96 		ABCDEF = a b c = 24 48 96.
Ba Quel est le 61e jour d’une année bissextile ? Janvier + février = 31 + 29 = 60 Le 61ème jour est le 1er mars.
Bb À quel nombre vous fait penser le mot DÉCIMAL ? Décimal = base 10.
Bc Vrai ou faux. Un triangle rectangle peut être isocèle. Vrai, un triangle rectangle peut
être isocèle.
Bd Quel est le tiers de 37,2 ? 37,2/3 = 12,4 12,4 est le tiers de 37,2.
Be Quel est le plus petit nombre qui a cinq lettres ? TROIS est le plus petit de 5 lettres.
Bf Quel est le rang de 26 dans la suite des nombres pairs ? 26/2 + 1 = 14 26 est le 14ème nombre pair
y compris le zéro.
Bg Quel est le carré de 31 ? 312 = 961 961 est le carré de 31.
Bh Combien devrait-on utiliser de traits droits pour écrire le mot RUE ? Il faut 12 traits droits pour écrire RUE.
Bi Combien de voyelles trouve-t-on dans le résultat qui est le quadruple de 5,5 ? 5,5 x 4 = 22. Vingt-deux Il y a trois voyelles dans Vingt-deux.
Bj Dans une boîte cubique de quatre cm de côté, on place une autre boîte cubique de trois cm de côté. Quelle est la mesure de l'espace libre ? 43 – 33 = 64 – 27 = 37 Le volume de l’espace libre est 37 cm3.

11. Deux manières de procéder.

Enoncé

« Le second problème, poursuivit Shéhérazade, relève des probabilités. Ali pense à un nombre entier compris entre un et mille (bornes comprises) et le note. Ensuite, son ami Ahmed pense à un nombre entier compris entre un et mille (bornes comprises) et le note. Quelle est la probabilité pour que le nombre noté par Ahmed soit strictement supérieur à celui noté par Ali ? Le roi restant dubitatif, Shéhérazade continua : il y a deux manières d'arriver à la solution. L'une est, à la fois, plus courte et plus ingénieuse que l'autre. ».

Quelles sont ces deux manières ?

Calcul

Soit n1 le chiffre choisi par Ali
Et n2 le chiffre choisi par Ahmed
Si n1 = 1, la probabilité d’avoir n2 > n1 est 999/1 000
Si n1 = 2, la probabilité est 998/1000
Si n1 = n, la probabilité est (1000 – n)/1000 n1 peut varier de 1 à 1000

On calcule la probabilité totale P1000 pour 1000 possibilités de n1. La probabilité moyenne est P1 = P1000/1000

1er calcul

La probabilité totale est P1000 = ∑ de [(1000 - n)/1000] pour (n = 1 à 1000)
Avec m = 1000 - n = ∑ de [m/1000] pour (m = 0 à 999)
= (1/1000) ∑ de [m] pour (m = 1 à 999)
On en arrive à la somme S1 des 999 premiers nombres entiers S1 =999(1000)/2 = 499 500 [n(n + 1)/2] avec n = 999
La probabilité P1000 est le millième de S1 P1000 = 499,5 chances sur mille P1 = 0,4995

2ème calcul

Une deuxième façon de faire est de calculer S1 par les couples :
S1 = (1 + 999) + (2 + 998) + (3 + 997) + . . . + (499 + 501) + 500 = 499 x 1000 + 500 = 499 500 P1 = 0,4995

3ème calcul

P1000 = ∑ de [(1000 - n)/1000] pour (n = 1 à 1000) = 1000 - ∑ de [n/1000)] pour (n = 1 à 1000)
Valeur du couple (1 + 1000) 1001/1000 = 1,001
Valeur du couple (2 + 999) 1001/1000 = 1,001
. . .
Valeur du couple (500 + 501) 1001/1000 = 1,001
On a ainsi 500 couples dont la somme est S2 = 500 x 1,001 = 500,5
P1000 = 1000 - S2 P1000 = 499,5 P1 = 0,4995

4ème calcul

Est-il possible de raisonner sur la moyenne de la probabilité P1 en se basant sur la valeur mini et sur la valeur maxi ?

Avec n1 = 1, on a P1 max P1 max = 0,999
Avec n1 = 1000, on a P1 min P1 min = 0
Moyenne des deux P1 moyenne = 0,999/2 = 0,4995 P1 = 0,4995

Résultat

La probabilité moyenne est 0,4995. On peut la calculer en faisant la somme des 1000 possibilités ou bien en faisant la moyenne des extrêmes

12. L'obsession de Shéhérazade.

Enoncé

Le fait que le dernier problème puisse être résolu de deux manières différentes, dit Shéhérazade, montre que l'on peut mettre autrement en évidence la généralisation bien connue du résultat du problème précédent, c'est-à-dire la formule : 1 + 2 + 3 + . . . + n = [n(n +1)]/2.

A quoi Shéhérazade songeait-elle ?

Calcul

La question est de savoir si on peut appliquer la méthode de la moyenne des extrêmes à la somme de n nombres entiers.

Exemple 1 avec n pair

Prenons par exemple les 100 premiers nombres entiers.
On sait que la somme est S = 100 x 101/2 = 5050
La moyenne M est S/n M = 50,5 Moy des extrêmes (1 + 100) / 2 = 50,5
Somme S3 du 1er et du dernier terme S3 = 100 + 1 = 101
Moyenne M3 calculée à partir du 1er et du dernier terme M3 = 101/2 = 50,5

Exemple 2 avec n impair

Prenons par exemple les 101 premiers nombres entiers.
Somme S = 101 x 102/2 = 5151
Moyenne M = 5151/101 = 51 Moy des extrêmes (1 + 101) / 2 = 51
Somme du 1er et du dernier 1 + 101 = 102
Moyenne 102/2 = 51

Forme générale

Question : est-ce qu’on va simplifier la forme générale ?
Somme du 1er et du dernier de n nb entiers n + 1
Moyenne des extrêmes (n + 1)/2
Somme (n fois la moyenne) n(n + 1)/2

Donc, pas de simplification. On confirme simplement la formule générale de la somme.

Résultat

13. Le paradoxe de Zénon d’Elée

Enoncé

Achille et la tortue

Pour devancer Achille, une faible tortue
En efforts impuissants, vainement s'évertue :
Bien qu'elle ait une avance de dix pas de chemin,
Il va dix fois plus vite et son but est certain.
Voyons s'il peut la joindre en cette circonstance
Et cherchons en quel point il regagne l'avance.
Zénon le philosophe, qu'on nommait stoïcien,
N'était pas, sûrement, fin mathématicien.
Il pensait faussement que l'intrépide Achille
N’attraperait jamais la tortue malhabile.
Car pendant, disait-il, qu'Achille entreprenant
Ferait le premier pas, il paraissait constant
Que la faible tortue, en suivant son système,
Assurément d'un pas parcourrait le dixième.
Et lorsqu'à ce dixième on verrait le héros,
Notre adroite tortue, persistant à propos,
De ce dixième acquis, comptant sur elle-même,
En ferait le dixième, ou plutôt le centième…

Aladin et le lionceau

Aladin et le petit lion font la course. Mais Aladin va plus vite que le petit lion : pendant une unité de temps, Aladin parcourt 1 000 mètres alors que le lionceau parcourt 100 mètres seulement. Au départ (temps : 0), le lionceau a 1 000 mètres d’avance sur Aladin.

Lorsqu’Aladin a parcouru les 1 000 mètres qui le séparaient du petit lion, celui-ci a parcouru 100 mètres. Lorsqu’Aladin a parcouru ces 100 mètres, le lionceau s’est éloigné de 10 mètres et ainsi de suite. Au bout d’un moment, Aladin se demande s’il va, finalement, rattraper le lionceau ou non.

Qu’en pensez-vous ? Faites la discussion de cette situation.

Calcul

Les solutions des problèmes n° 13, 14 et 15 sont celles des exercices 13, 14 et 15 de la 3ème séance, séquence 5 du 19 novembre 2018.

Les divisions de sections vers l’infiniment petit font qu’inexorablement Aladin va rattraper le lionceau.

La rencontre a lieu au bout du temps t
Distance parcourue par Aladin 1 000 t
Distance parcourue par le lionceau 1 000 + 100t
Egalité des distances 1 000 t = 100 t + 1 000 t = 10 / 9
Distance parcourue 10 000 / 9 = 1 111,111 (valeur à un millimètres près)

Résultat

Aladin et le lionceau se rencontrent à 1 111,111 mètres

14. Broutage complexe

Enoncé

On suppose, bien évidemment, qu'il y a la même hauteur d'herbe dans les prés au début de chaque expérience, que l'herbe pousse uniformément et que les boeufs broutent à vitesse constante.

Combien faut-il de boeufs pour brouter en 18 jours l'herbe d'un pré de 96 ares ?

Calcul

Un champ de surface S ares contient Sx unités fourragères (x étant la contenance à l’are)
De plus, ce champ produit Sy unités par jours (y étant la production à l’are et par jour)
Pendant J jours on dispose de Sx + SJy unités fourragères

Sur la base de la consommation de 1 unité fourragère par bœuf et par jour, pendant J jour, B bœufs ont besoin de BJ uf BJ = Sx + SJy
Avec 75 bœufs, 12 jours et 60 ares on a 75 * 12 = 60x + 60 * 12y 15 = x + 12y
Avec 81 bœufs, 15 jours et 72 ares on a 81 * 15 = 72x + 72 * 15y 135 = 8x + 120y
x = 15 – 12y 135 = 120 – 96y + 120y
24 y = 15 y = 5/8
x = 15 – 15/2 x = 15/2
Nb de bœufs sur 96 ares pendant 18 jours B = Sx/J + Sy B = 96 * 15/36 + 96 * 5/8 B = 100

Résultat

Il faut 100 bœufs pour 96 ares pendant 18 jours

15. Trois plus cinq égale quatre

Enoncé

On dispose d'un robinet que l'on peut ouvrir et fermer et qui fournit de l'eau à volonté. On dispose, également de deux récipients. L'un a une contenance de 5 litres et l'autre a une contenance de 3 litres.

Le challenge consiste à isoler 4 litres d'eau dans l'un des récipients.

Manips

. . .