Gilles décore la façade de sa maison. Il a dessiné une pyramide contenant 15 briques. Sur chaque brique, il plante des clous décoratifs.
Le nombre de clous, sur chaque brique, doit être égal au total des clous des deux briques inférieures qui touchent à celle-ci, comme on le remarque
en bas à gauche.
De combien de clous, Gilles a-t-il besoin pour décorer les 15 briques ?
Calcul
Le calcul se fait dans l'ordre suivant :
Ligne n° 1
73
Ligne n° 2
35
38
Ligne n° 3
18
17
21
Ligne n° 4
11
7
10
11
Ligne n° 5
7
4
3
7
4
Ligne n° 4 7 = 4 + 3
Ligne n° 3 18 = 11 + 7 et 17 = 35 - 18
Ligne n° 4 10 = 17 - 7
Ligne n° 5 7 = 10 - 3
Ligne n° 4 11 = 7 + 4
Ligne n° 3 21 = 10 + 11
Ligne n° 2 38 = 17 + 21
Ligne n° 1 73 = 35 + 38
Nombre de clous = 73 + 35 +38 + 18 + 17 + 21 + 11 + 7 + 10 + 11 + 7 + 4 + 3 + 7 + 4 = 266
Résultat
Gilles a besoin de 266 clous pour décorer les 15 briques.
02. Pommes en cadence
Enoncé
Démence a cueilli une pomme de plus que Régence. Régence a cueilli deux pommes de moins que Fulgence. Les trois amies mettent toutes
leurs pommes dans un panier ; puis elles les distribuent à trois familles, lesquelles reçoivent chacune 32 pommes.
Combien chacune des trois amies a-t-elle cueilli de pommes ?
Calcul
Avec
d, le nombre de pommes cueillies par Démence,
r, le nombre cuillies par Régence, et,
d = r + 1
f, celui de la cueillette de Fulgence
r = f - 2 ou f = r + 2
Le nombre total de pommes est
3 x 32 = 96
96 = d + r + f = r + 1 + r + r + 2 = 3r + 3
3r = 96 - 3 = 93
r = 31
f = r + 2 = 33
d = r + 1 = 32
Résultat
Démence a cueilli 32 pommes, Régence en a cueilli 31 et Fulgence 33.
03. Amis d'Emile
Enoncé
Emile a fabriqué D cartes d'anniversaire à l'intention d'autant de petits amis. Pour connaître la valeur de D, il écrit deux égalités.
Les voici :
A + B = 26 C
A/B + C = D
De plus,
C = 3
et
10 < D < 20
Combien Emile a-t-il d'amis ?
Calcul
A + B = 3 x 26 = 78
A/B = D - 3
7 < A/B < 17
B = 78 - A ou A = 78 - B
7 < A/(78 - A) < 17
546 - 7A < A
A < 1326 - 17A
546 < 8A
18A < 1326
69 <= A <= 73
69 <= 78 - B <= 73
9 >= B >= 5
B
5
6
7
8
9
A = 78 - B
73
72
71
70
69
A/B
14,6
12
10,143
8,75
7,667
Il faut donc chercher un résultat entier du rapport
(78 - B)/B
avec
B de 5 à 9
La valeur qui convient pour B est 6 et donc la valeur A/B est 12.
D = A/B + C = 12 + 3 = 15.
Résultat
Emile a 15 amis.
04. Bienvenue aux fibres
Enoncé
La céréalière Océanie a produit l'an dernier entre 100 000 et 200 000 boisseaux de blé. Chaque boisseau, en moyenne, a été vendu quatre pistoles.
En faisant ses calculs, Océanie a eu une surprise.
Le nombre de boisseaux et le nombre de pistoles recueillies sont formés des six mêmes chiffres,
Le dernier chiffre du nombre de boisseaux est déplacé au premier rang du nombre de pistoles,
Les autres chiffres demeurent dans le même ordre.
Océanie m'a informé que le dernier chiffre des recettes en pistoles est 6.
Combien Océanie a-t-elle produit de boisseaux de blé ?
Calculs
a
n1
n2
n3
6
b
x
4
=
b
a
n1
n2
n3
6
Avec
n
un nombre de trois chiffres,
a et b
deux nombres de un chiffre,
La multiplication est celle de droite.
Unités : avec 4b = _6, b peut prendre 2 valeurs
b = 4 (4b = 16)
b = 9 (9b = 36)
Colonne des centaines de mille : 4a + la retenue = b
Avec b = 4 a = 1
Avec b = 9 a = 2
Mise en équation globale
400 000 a + 400 n + 240 + 4 b = 100 000 b + 10 n + 6
390 n = 99 996 b - 390 000 a - 234
Avec a = 1 et b = 4
390n = 399 984 - 390 000 - 234 = 9 750
n = 25 ou plutot 025
Avec a = 2 et b = 9
390n = 899 964 - 780 000 - 234 = 119 730
n = 307
1
0
2
5
6
4
x
4
=
4
1
0
2
5
6
La solution 2 ne convient pas car le nombre de boisseaux est supérieur à 200 000.
Résultat
Nombre de boisseaux de blé vendu : 102 564.
05. L'âge du capitaine
Enoncé
Notre vaisseau a 3 mâts, 15 canons, 27 mètres de long, 10 de large et 11 de tirant d'eau.
Quant à l'âge du capitaine, c'est le reste de la division du nombre (grand nombre) obtenu en justaposant les 5 nombres précédents par 99, c'est à dire
le nombre de marins à bord.
Trouvez l'âge du capitaine.
Calcul
315 271 011 / 99 = 3 184 555 + 66
Résultat
La capitaine a 66 ans.
06. Nombre d'Audrey
Enoncé
Christophe connaît un nombre de 4 chiffres tel que si on inverse l'ordre des chiffres, on obtient un nombre neuf fois plus grand que le nombre de
départ.
Audrey quant à elle connait un nombre de deux chiffres dont le carré est égal au nombre de Christophe.
Quel est le nombre d'Audrey ?
Calcul
La multiplication est
abcd x 9 = dcba
a ne peut avoir que la valeur 1
Le minimum de abcd est
1 000
Le maxi
9 999/9 = 1 111
abcd est un carré parfait
Racine de 1 000 = 31,6
Racine de 1 111 = 33,3
Racine de abcd
abcd
9(abcd)
Commentaire
32
1 024
9 216
Ne convient pas
33
1 089
9 801
Convient, les chiffres se répètent en
ordre inverse.
Résultat
Le nombre d'audrey est 33.
07. Pions de Clara
Enoncé
Clara posséde plusieurs pions de couleurs variées. Pour se divertir, elle prend huit pions dont aucun n'a la même teinte. Elle imagine que chaque
couleur correspond à un nombre et construit le tableau suivant :
Noir
Bleu
Brun
Vert
Jaune
Violet
Rouge
Orange
1
2
3
4
5
6
7
8
Julie prend quatre pions : un brun, un vert, un rouge et un orange. Elle additionne leur numéro par rapport aux couleurs et obtient 22.
Elle replace les pions sur la table et recommence le même manège. En prenant les pions de couleur brun, jaune, violet et orange, une somme
de 22 est encore trouvée, quoique ce soit un groupe différent. Julie additionne les numéros en n'utilisant jamais deux couleurs identiques.
Combien de groupes différents de quatre pions vont donner 18 ?
Calcul
On peut faire 18 en prenant les groupes de pions suivants :
1 + 2 + 7 + 8
1 + 3 + 6 + 8
1 + 4 + 5 + 8
1 + 4 + 6 + 7
2 + 3 + 5 + 8
2 + 3 + 6 + 7
2 + 4 + 5 + 7
3 + 4 + 5 + 6
Résultat
Huit groupes de pions différents vont donner 18.
08. Teneur en eau
Enoncé
Sur un fromage, il est indiqué 33% de matière grasse sur poids total et 55% de MG sur matière sèche.
Quelle est la teneur en eau de ce fromage ?
Calcul
Avec
x % en eau
La matière grasse sur sec est
(33 * 100)/(100 - x) = 55
55x = 5 500 - 3 300 = 2 200
x = 40
Résultat
Ce fromage contient 40 % d'eau.
09. Combien de passagers dans le wagon 7 ?
Enoncé
Dans un train de 13 wagons, il y a 101 passagers. Si on prend trois wagons successifs quelconques, il y a toujours 24 passagers.
Combien y-a-t-il de passagers dans le wagon 7 ?
Calcul
S'il y a
x passagers dans le 1er wagon
y dans le 2ème
et z dans le 3ème
Trois wagons consécutifs contiennent
x + y + z = 24
passagers
Donc le 4ème en contient
x + y + z - (y + z) = x
Le 5ème en contient
x + y + z - (z + x) = y
Le 6ème en contient z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
On a ainsi une succession de 4 fois 3 groupes x, y, z et un dernier x. x est égal au total 101 diminué des 4 fois 24
(de chaque groupe).
x = 101 - 24 x 4 = 5. Par chance le wagon 7 contient justement x passagers.
Résultat
Il y a 5 passagers dans le wagon n° 7
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
Aa
A, B et C sont mis pour trois chiffres différents et supérieurs à 1. Quelle est l'unique valeur
entière de cette fraction ? (A + B + C)/(A + B)
A + B + C = R(A + B) ; C = (R - 1)(A + B) R = 1 si C = 0 ; non
R >= 3 si C >= 2(A + B) ; C mini 2(2+3) ; non R = 2 si C= A + B ; 9 solutions
Le rapport est toujours égal à 2
Exemple : (2+3+5)/(2+3) = 2 autres valeurs de A et B 2+4 ; 2+5 ; 2+6 ; 2+7 ; 3+4 ; 3+5 ; 3+6 ; 4+5
Ab
Dans un champ, il y a des vaches et des poules. Maria compte 30 pattes et note qu'il y a le même nombre
de vaches que de poules. Combien y-a-t-il de poules ?
6x = 30 ; x = 5
Il y a 5 poules (et 5 vaches).
Ac
Dans cette grille, Dérek désire placer des jetons numérotés 1, 2, 3 et 4. Complétez la grille pour que les
numéros soient différents sur chaque ligne et dans chaque colonne.
1
3
1
3
Une des solutions
1
2
3
4
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
Ad
Guillaume fait la somme de trois nombres différents inférieurs à 10 et obtient 15. Combien y-a-t-il de
façons de réaliser cette somme en excluant le 0 ?
Martin achète un gilet à 6,50 $ et deux tuques à 7,50 $ chacune.Quel est le coût total ?
6,5 + 7,5*2 = 21,5
Le coût total est 21,50 $
Bc
Quel est le tiers et demi de 72 ?
1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
Le tiers et demi de 72 est 36.
Bd
Quelle est la somme des angles intérieurs d'un triangle isocèle ?
La somme des angles d'un triangle isocèle, comme celle d'un triangle quelconque est 180°
Be
Combien y-a-t-il de centièmes dans deux unités ?
100 x 2 = 200
Il y a 200 centièmes dans 2 unités.
Bf
Combien y-a-t-il de minutes dans cinq douzièmes d'heure ?
60 x 5 / 12 = 25
il y a 25 mn dans 5/12 d'heure
Bg
Combien y-a-t-il de R dans les jours de la semaine ?
Mardi (1); mercredi (2); vendredi (1)
Il y a 4 R dans les jours de la semaine
Bh
Quel est le produit de 33 et de 1/3 ?
33/3 = 11
33 multiplié par 1/3 = 11
Bi
Quel est le premier jour de la semaine en ordre alphabétique ?
Dimanche est le premier jour de la semaine par ordre alphabétique
Bj
Sur un cadran en carton, une aiguille est sur le 1 et l'autre sur le 11. Quel est la mesure du plus
petit angle formé par les deux aiguilles ?
2*360/12 = 60
L'angle entre le 1 et le 11 est de 60°.
11. Paradoxe de tomates
Enoncé
Un gérant d'hypermarché achète 125 cageots de 12 kg de tomates à 1,35 € le kilogramme. Il revend les tomates à 2,16 € le kilo et fait un bénéfice de
988,2 €uros.
Combien de kilos de tomates n'ont pas été vendues ?
Alain propose sa solution :
125 cageots de 12 kg donnent
1 500 kg.
Bénéfice net au kg
2,16 - 1,35 = 0,81.
Bénéfice total :
988,2 €
Nombre de kg correspondants au bénéfice :
988,2/0,81 = 1 220.
Quantité non vendue en kg :
1 500 - 1 220 = 280.
Êtes-vous d'accord ?
Calcul
Dans le raisonnement d'Alain on ne tient pas compte du fait que les tomates non vendues ont été achetées.
Quantité de tomates achetées
125 x 12
1 500 kg
Prix d'achat de tout le lot
1 500 x 1,35
2 025 €
Prix de vente réalisé
2 025 + 988,2
3 013,2 €
Masse de tomates vendues
3 013,2/2,16
1 395 kg
Invendus
1 500 - 1 395
105 kg
Résultat
Pas d'accord. Il y a 105 kg de tomates invendues.
12. Le grand tableau
Enoncé
Un tableau carré est entouré d'un cadre carré de 5 cm de large. L'aire du cadre est exactement égale à celle du tableau.
Combien mesure le côté du tableau ?
Calcul
Avec
x
la dimensin du côté du tableau carré en cm
Surface du carré central
x2
Surface du grand carré, y compris le cadre
(x + 10)2
x2 + 20x + 100
Surface du cadre seul
x2 + 20x + 100 - x2<
20x + 100
On a l'égalité
x2 - 20x - 100 = 0
Delta = b2 - 4ac = 400 + 400 = 800
x = -b plus ou moins racine de Delta sur 2a = 10(1 + racine de 2) = (à peu près) 24,14
Résultat
La dimension du côté du tableau est 24,14 centimètres.
13. Le nombre effacé
Enoncé
Des nombres entiers consécutifs à partir de 1 sont écrits sur le tableau. Un élève efface un nombre en passant. la moyenne des nombres restants
est alors égale à 35 + 7/17.
Quel est le nombre effacé ?
Calcul
La somme des n premiers nombres entiers est
S = n(n + 1)/2
La moyenne des n premiers nombres entiers est
M = (n + 1)/2
n = 2M - 1
S = Mn
M, moyenne de la série incomplète
35 + 7/17 = 602/17 = 35,412
n et S approchés
n = 2 x 35,412 - 1 = 70
S = 70 x 71/2 = 2 485
La somme réelle de la suite (modifiée)
17k (602/17) = 602k
Avec k = 4 on ne devrait pas être loin
Somme réelle de la suite modifiée
4 x 602 = 2 408
Quelle est la suite complète ?
Avec n=70
S = 70 x 71/2 = 2 485
C'est une valeur forte, élevée
Avec n = 69
S = 69 x 70/2 = 2 415
Pas mal !
Avec n = 68
S = 68 x 69/2 = 2 346
inférieure à 2 408
N = 69 convient bien car
2 415 - 2 408 = 7
Il suffit de retirer 7
On a ainsi une suite réelle de 68 nombres dont
S = 2 415 - 7 = 2 408
et M = 2 408/68 = 602/17
Résultat
Le nombre effacé est le 7.
14. Juliette discute avec Roméo
Enoncé
"Mon digicode a quinze touches : dix chiffres (0 à 9) et cinq lettres (A à E). Mon code se présente sous la forme : Jaune, Bleu, Rouge, Violet et
Vert. Les quatre chiffres (J, B, Vi et Ve) sont différents et R représente la lettre. J'ai remarqué que : J + J + J + J + J + J + J + J + J + J + B =
Vi + Vi + Ve + Ve et que : J + Vi = B + Ve" (la somme des rangs pairs est égale à la somme des impairs).
Roméo fait remarquer à son amie que cela ne suffit pas pour connaître les chiffres composant le code. "C'est vrai mais je ne comptais pas te donner
mon code !" ricane Juliette. "Attention, si le code que tu tapes est faux, cela alerte le gardien !". Roméo rumine un instant et lui fait la remarque
suivante : "De toute façon, je ne connais pas la lettre ...". Juliette trop bavarde lâche : "Moi, je me rappelle de la lettre très facilement ; il me
suffit de me souvenir que "son rang dans l'alphabet correspond à l'un des chiffres". Grâce à ça, je ne me trompe jamais." A la stupéfaction de Juliette
Roméo lui annonce alors son code.
Question : quel est le code de Juliette ?
Calcul
On appellera,
a le Jaune, b le Bleu, c le violet et d le vert
Pour le digicode il nous faut,
a, b, c et d tous différents
a + c = b + d
10a + b = 2(c + d)
En appliquant les deux premières conditions, il y a une bonne cinquantaine de combinaisons, dans un ordre donné, qui peuvent être multipliées
par 4, par le jeu des permutations. Parmi ces combinaisons, il y en a 5 qui obéissent aussi à la 3ème condition : ab cd = 24 75 ; 34 98 ;
14 52 ; 20 46 et 30 69.
Vérification avec 24 75
a = 2 ; b = 4 ; c = 7 ; d = 5
10a + b = 24 ; 2(c + d) = 24
Si Juliette sait retrouver la lettre qui se trouve entre les deux groupes de chiffres à partir de son rang alphabétique mentionné par un des chiffres,
c'est que dans la combinaison de chiffres il n'apparaît qu'un seul des chiffres de 1 à 5. La dernière solution répond à cette condition avec un 3.
Ce chiffre 3 implique que la lettre est C.
Résutat
Le code de Juliette est : 36C09.
15. La loi des séries
Enoncé
Saurez-vous, sans calculette, trouver le produit de 888 par la somme suivante : 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 ?