508, Une autre nuit de Shéhérazade, Le 11 février 2019

Nous voici parvenus à la huitième séquence où Shéhérazade, par le truchement de son dialogue avec le roi, nous propose une nouvelle salve d’énigmes.

01. Une expédition de chasse : la première nuit

Enoncé

3 3 3
3 Roi 3
3 3 3

« Ce soir, dit Shéhérazade, j’aimerais commencer par quelques vieilles énigmes qui nous viennent d’un pays occidental. Un jour, un roi qui adorait la chasse partit en expédition avec une suite de vingt-quatre chevaliers. Ils séjournèrent plusieurs nuits dans un relais de chasse que le roi possédait dans la forêt. Ce pavillon comportait neuf pièces. Le roi dormait dans la chambre centrale et les vingt-quatre chevaliers qui devaient assurer sa protection prenaient place de façon à être toujours neuf sur chacun des côtés du bâtiment. Ils étaient disposés de la manière suivante… » Arrivée à ce stade de l’histoire, Shéhérazade traça le dessin ci-contre puis reprit : « Les chevaliers demandèrent s’ils étaient autorisés à se réunir durant les soirées pour des jeux et des joutes, ce qui fut accepté à la condition expresse qu’il y ait toujours neuf chevaliers sur chacun des côtés du bâtiment.

La première nuit, avant de se retirer, le roi fit la tournée du pavillon afin de compter les chevaliers présents de chaque côté et de contrôler si ses ordres avaient bien été suivis et si aucun chevalier n’était parti pour le village situé non loin de là. Il en trouva bien neuf de chaque côté et alla se coucher rassuré. Mais les chevaliers lui avaient joué un tour ! En réalité, quatre d’entre eux étaient partis au village, mais les chevaliers restants, par une subtile disposition, étaient parvenus à maintenir neuf chevaliers sur chaque côté du pavillon.

Comment y étaient-ils parvenus ? »

a1 c1 a2
c4 R c2
a4 c3 a3

Résolution globale des exercices 01 à 05

Les cinq premiers problèmes se ressemblent beaucoup. On peut les résoudre d’une manière globale.

n 18 20 24 28 32 36
A 18 16 12 8 4 0
C 0 4 12 20 28 36
Sur les 4 côtés du relais de chasse on a c1 + c2 + c3 + c4 = C chevaliers ou pseudo chevaliers
Ils surveillent ensemble 4 côtés. En moyenne il y a C/4 chevaliers par côté.
Aux 4 angles il y a a1 + a2 + a3 + a4 = A chevaliers.
Chacun surveille 2 côtés à la fois. En moyenne il y a A/2 chevaliers par côté
On doit avoir C/4 + A/2 = 9 C + 2A = 36 C = 36 – 2A
Nombre total de chevaliers n = A + C n = A + 36 – 2A
A = 36 – n
C = 36 – 72 + 2n C = 2n – 36
4 1 4 5 1 3 6 1 2 7 1 1 8 1 0
1 R 1 1 R 1 1 R 1 1 R 1 1 R 1
4 1 4 3 1 5 2 1 6 1 1 7 0 1 8

Résolution de la première nuit

n = 24 – 4 = 20 A = 16 A/4 = 4 C = 4 C/4 = 1

02. Une expédition de chasse : la deuxième nuit

Enoncé

« La deuxième nuit, au lieu que les chevaliers aillent au village, quatre villageois de leurs amis vinrent au pavillon de chasse déguisés en chevaliers, ce qui était contraire aux règles. Mais, lorsque le roi fit sa tournée, il pensa que tout allait bien car il ne trouva que neuf personnes sur chaque côté du bâtiment.

Comment avaient-ils fait ? »

2 5 2 3 5 1 4 5 0
5 R 5 5 R 5 5 R 5
2 5 2 1 5 3 0 5 4

Résolution de la deuxième nuit

n = 24 + 4 = 28 A = 8 A/4 = 2 C = 20 C/4 = 5

03. Une expédition de chasse : la troisième nuit

Enoncé

« La troisième nuit, huit visiteurs vinrent au pavillon, si bien qu’on dénombrait maintenant trente-deux hommes, plus le roi. Or ce dernier, trouvant toujours neuf hommes sur chaque côté, ne remarqua pas les nouveaux venus.

Comment cela a-t-il été possible ? »

1 7 1 2 7 0
7 R 7 7 R 7
1 7 1 0 7 2

Résolution de la troisième nuit

n = 24 + 8 = 32 A = 4 A/4 = 1 C = 28 C/4 = 7

04. Une expédition de chasse : la quatrième nuit

Enoncé

« Les chevaliers prenaient un tel plaisir à jouer des tours au roi que, la quatrième nuit, ils ne reçurent pas huit visiteurs, mais douze ! Les trente-six hommes se placèrent de façon à tromper le roi une nouvelle fois.

Comment y sont-ils parvenus ? »

0 9 0
9 R 9
0 9 0

Résolution de la quatrième nuit

n = 24 + 12 = 36 A = 0 A/4 = 0 C = 36 C/4 = 9

05. Une expédition de chasse : la cinquième nuit

Enoncé

« La cinquième et dernière nuit, au lieu d’inviter leurs amis, les chevaliers s’arrangèrent pour que six d’entre eux puissent se rendre au village mais qu’il y ait toujours neuf hommes disposés sur chaque côté du pavillon.

Comment ont-ils fait ? »

5 0 4 6 0 3 7 0 2 8 0 1 9 0 0
0 R 0 0 R 0 0 R 0 0 R 0 0 R 0
4 0 5 3 0 6 2 0 7 1 0 8 0 0 9

Résolution de la cinquième nuit

n = 24 - 6 = 18 A = 18 A/4 = 4,5 C = 0 C/4 = 0

06. Deux énigmes très anciennes

Enoncé

« Voilà qui m’a bien plu, dit le roi. Raconte m’en d’autres.

- En voici une très ancienne, d’origine grecque, dit Shéhérazade. Elle nous vient d’un certain Métrodore et date de 310 avant Jésus-Christ. Démochares a été un enfant pendant un quart de sa vie, un jeune homme pendant un cinquième, un chef de famille pendant un tiers puis a vécu encore pendant treize ans.

Quel âge cela lui fait-il ? »

« Une autre énigme également très ancienne nous parle d’un homme qui disait : si je devais donner sept pièces à chaque mendiant qui se présente à ma porte, il me resterait vingt-quatre pièces. Il m’en manquerait trente-deux pour pouvoir en distribuer neuf à chacun.

Combien y avait-il de mendiants et combien notre homme possédait-il de pièces ? »

Résolution de la 1ère énigme

Avec l’âge de Démochares = x
Somme des différentes périodes de sa vie x/4 + x/5 + x/3 + 13 = x 15x + 12x + 20x + 780 = 60x
60x – 47x = 13x = 780
x = 60

Un autre résonnement a été fait en cours. L’âge est un multiple de 4, de 5 et de 3. Le ppcm de 3, 4 et 5 est 60. L’âge est au moins de 60 ans. Il ne peut pas être 120.

Résolution de la 2ème énigme

Nombre de mendiants et nombre de pièces, respectivement : M et P
7 pièces par mendiant 7M = P – 24 P = 7M + 24
9 pièces par mendiant 9M = P + 32 9M = 7M + 24 + 32
2M = 56 M = 28
P = 196 + 24 P = 220

Résultat

Enigme 1 : Âge de Démochares : 60 ans - Enigme 2 : Il y a 28 mendiants et l’homme a 220 pièces.

07. L’énigme d’Aahmès

Enoncé

« Quelle est la plus ancienne énigme que tu connaisses ? demanda le roi.

Calcul

Si le nombre est : x
L’addition est : x/7 + x = 19 x + 7x = 133
8x = 133 x = 133/8
x = 16 et 5/8
x = 16,625

Résultat

Le nombre est 133/8 ou ; 16 et 5/8 ou ; 16,625.

08. L’essaim d’abeilles et une autre histoire d’abeilles

Enoncé

« En voici une autre d’un mathématicien hindou et qui est une belle illustration de la manière toute poétique dont ce peuple façonne ses énigmes, dit Shéhérazade. Traduite dans notre langue, voici ce qu’elle donne : la racine carrée de la moitié des abeilles d’un essaim s’est abattue sur un buisson de jasmin ; les huit neuvièmes de l’essaim sont restés à la ruche ; une abeille femelle vole autour d’un mâle qui bourdonne à l’intérieur de la fleur de lotus dont la douce fragrance l’avait attiré cette nuit et le retient maintenant prisonnier.

Dites-moi combien il y a d’abeilles dans cet essaim ? »

« A propos d’abeilles, dit Shéhérazade, je me souviens d’une autre énigme : dans un essaim, un cinquième des abeilles part vers un rosier ; un tiers vole vers un chèvrefeuille ; le triple de la différence entre ces deux nombres choisit des boutons d’or, alors qu’une seule abeille est attirée par les marguerites.

Combien y a-t-il d’abeilles dans cet essaim ? »

Résolution de l'essaim d'abeilles (problème n° 1)

Nombre d’abeilles dans l’essaim : x
Répartition de l’essaim : x = √(x/2) + 8x/9 + 2 √(x/2) = 9x/9 - 8x/9 - 2 = x/9 - 2
Au carré : x/2 = x2/81 - 4x/9 + 4
Dénominateur commun 162 : 81x = 2x2 – 72x + 648
Equation du second degré : 2x2 – 153x + 648 = 0
Une racine fractionnaire non acceptable (9/2) et : x2 = 72

Deux autres approches sont proposées par quelques auditeurs.

Première alternative

Comme il est question de neuvièmes, le nombre d’abeilles est un multiple de 9.
Le nombre d’abeilles est : x = 9y
8/9 sont à la ruche, 1/9 (y) sont sorties : y =√(9y/2) + 2 √(9y/2) = y - 2
On arrive à une équation du second degré : 2y2 - 17y + 8 = 0 y1 = 1/2 et y2 = 8
x = 9 * 8 = 72

Deuxième alternative

La racine de la moitié est un entier. Il s’agit simplement d’examiner la liste des carrés parfaits.

z 1 2 3 4 5 6 7 8 9
z2 = x/2 1 4 9 16 25 36 49 64 81
x = 2z2 2 8 18 32 50 72 98 128 162
8x/9 1,778 7,111 16 28,444 44,444 64 87,111 113,778 144
z + 8x/9 + 2 4,778 11,111 21 34,444 51,444 72 96,111 123,778 155

troisième alternative

En combinant le carré parfait et le fait d’avoir un multiple de 9 ; 9 étant le produit de 3 par 3 ; on peut limiter la génération des carrés parfaits aux multiples de 3.

z 3 6 9
z2 = x/2 9 36 81
x = 2z2 18 72 162
8x/9 16 64 144
z + 8x/9 + 2 21 72 155

Résolution de l'énigme (problème n° 2)

Répartition des abeilles x/5 + x/3 + 3(x/3 – x/5) + 1 = x 3x + 5x + 6x + 15 = 15x x = 15

Résultat

72 abeilles dans l'essaim n° 1 et 15 dans l'essaim n° 2.

09. Deux comptes rendus

Enoncé

« Voici une autre énigme relative aux abeilles. Elle est la combinaison de deux énigmes anciennes.

Par une belle journée ensoleillée, deux garçons, passionnés l’un comme l’autre par l’observation des insectes regardent les abeilles butiner dans un jardin botanique. Chacun fait un compte rendu de ses observations. Le premier rapport indique que, parmi les abeilles, quatorze sont jaunes et que les autres sont brunes. Douze des abeilles sont des mâles. Treize sont grandes et les autres petites. Parmi les jaunes, quatre sont grandes, cinq sont des mâles et trois des mâles sont grands. Une seule abeille est à la fois grande, mâle et jaune et toutes les abeilles possèdent au moins une de ces caractéristiques.

Le second rapport est totalement différent. D’après lui, la moitié des abeilles sont attirées par le trèfle, un quart par les pissenlits ; un septième semble préférer les jacinthes et les trois abeilles restantes vont et viennent, ne semblant pas avoir de fleur de prédilection.

La question, Noble Roi est de savoir si ces rapports sont dignes de foi, et dans le cas contraire, lequel des deux (ou les deux) ne l’est pas ? En outre, d’après vous, ces comptes rendus concordent-ils ?

- Hum », fit le roi.

Qu’en pensez-vous ?

Calcul

Examen du deuxième compte-rendu (le plus facile)

Répartition des abeilles x/2 + x/4 + x/7 + 3 = x 14x + 7x + 4x + 84 = 28x 3x = 84 x = 28
Couleur : Taune ou Brune J J J J B B B B
Sexe : Mâle ou Femelle M M F F M M F F
Taille : Grande ou Petite G P G P G P G P
Nombre d'abeilles dans la catégorie a b c d e f g h
Valeurs numériques 1 4 3 6 2 5 7 0

Examen du premier compte-rendu

Il y a 14 jaunes (1) a + b + c + d = 14
Il y a 12 mâles (2) a + b + e + f = 12
Il y a 13 grandes (3) a + c + e + g = 13
Il y a 4 Jaunes et Grandes (4) a + c = 4
Il y a 5 Jaunes et Mâles (5) a + b = 5
1 abeille Jaune, Grande et Mâle (6) a = 1 a = 1
Être G ou M ou J exclut BFP (7) h = 0 h = 0
3 abeilles Mâles et Grandes (8) a + e = 3
Avec (5) et (6) (9) 1 + b = 5 b = 4
Avec (4) et (6) (10) 1 + c = 4 c = 3
Avec (1), (6), (9) et (10) (11) 1 + 4 + 3 + d = 14 d = 6
Avec (8), et (6) (12) 1 + e = 3 e = 2
Avec (2), (6), (9) et (12) (13) 1 + 4 + 2 + f = 12 f = 5
Avec (3), (6), (10) et (12) (14) 1 + 3 + 2 + g = 13 g = 7
a + b + c + d + e + f + g + h = 28

Résultat

Les deux rapports aboutissent au même nombre d'abeilles. Ils sont cohérents.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
Aa Julius a écrit 88 chiffres en paginant à partir de 1. À quel numéro de page est-il rendu ? Nombre de chiffres nécessaires pour paginer n pages (9 < n < 100) :    9 + 2(n – 9) = 88    2n = 88 – 9 + 18 = 97 n = 48. Il a commencé à écrire la 49ème page Julius est rendu à la 49ème page.
Ab Le cavalier part de la case 1, va en 2 et en 3. Combien au minimum doit-il visiter de cases avant d’atteindre la case noire ?
. . . . .
. . . . .
. . . 2 .
. 1 . . .
. . . . 3
Le cavalier doit visiter 9 cases.
Ac Mathias a écrit 8 u 4 u 6 = 2 u 4. Mettez un signe +, –, x ou ÷ à la place des « u » pour que l’égalité soit vraie. Il y a trois solutions 8 + 4 – 6 = 2 + 4
8 – 4 – 6 = 2 – 4
8 / 4 + 6 = 2 x 4
Ad
D C H O Q
Isaac a écrit la première lettre de cinq nombres. Trouvez le nombre qui devrait logiquement suivre.
La suite est (xn = xn-1 + 3) : Deux, Cinq, Huit, Onze, Quatorze, Dix-Sept La lettre suivante devrait être : D.
Ba Comment appelle-t-on une période de 25 ans ? Je suppose : Un quinvicennat ?
Bb Vrai ou faux. Le rayon d’un cercle est deux fois plus long que le diamètre. Faux, le rayon vaut la moitié du diamètre.
Bc Quel est le produit de 1,4 et de 8 ? 1,4 x 8 = 11,2 Le produit est : 11,2.
Bd Francine a eu 18 ans, il y a deux ans. Quel âge aura-t-elle dans 10 ans ? 18 + 2 + 10 = 30 Dans 10 ans elle aura 30 ans.
Be Combien de lettres trouve-t-on dans 33 ? Trente-trois Il y a onze lettres dans 33.
Bf Trouvez le nombre n dans n/7 = 32/56. n = 7 x 32 / 56 = 4 La lettre n est 4.
Bg Marc a acheté 3,2 dizaines de crayons. Combien a-t-il acheté de crayons ? 3,2 x 10 = 32 Marc a acheté 32 crayons.
Bh Le périmètre d’un carré est de 25 centimètres. Quelle est la mesure d’un côté ? 25/4 = 6,25 Le côté mesure 6,25 cm.
Bi Combien y a-t-il de quarts dans 7 ? 7 = 28/4 Il y a 28 quarts dans 7.
Bj Un nombre est le double de l’autre. Leur différence est 15. Quel est le plus petit nombre ? 2x – x = 15 ; x = 15 Le plus petit nombre est 15.

11. Suites de nombres

Enoncé

On écrit les entiers de 1 à 17, une seule fois chacun en formant une suite où chaque paire de termes voisins a pour somme un carré parfait.

Il faut reconstituer les suites qui possèdent cette propriété.

Calcul

Les associations possibles pour obtenir 4, 9, 16 ou 25

Le nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Avec
un
des
nombres
3
8
15
 

7
14
 
1
6
13
 

5
12
 

4
11
 

3
10
 

2
9
 

1

17


7
16


6
15


5
14


4
13


3
12


2
11


1
10



9



8

Recherche des listes qui utilisent tous les nombres de 1 à 17

Le mot tous n’est pas employé, mais en disant « on écrit les entiers de 1 à 17 », on peut sous-entendre tous les entiers. Dans ce cas on va partir de n’importe quel nombre, par exemple le 1 et continuer la liste, à droite et à gauche.

Première liste, à droite de 1 1 3 6 10 15
Suite à gauche ; incomplète 17 8 1 3 6 10 15
Dernière à gauche ; suivante à droite 1 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16
Suite à gauche ; incomplète 17 8 1 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16
Suivante à droite 1 8 17
Suite à gauche ; incomplète 15 10 6 3 1 8 17
Suivante à gauche ; solution 1 16 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8 17
suivante à droite 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16
Suite à gauche ; solution 2 17 8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16

En fait les deux solutions sont symétriques. Il n’y a qu’une seule solution.

Résultat

La suite est : 16 ; 9 ; 7 ; 2 ; 14 ; 11 ; 5 ; 4 ; 12 ; 13 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 1 ; 8 ; 17

12. Chez le bijoutier

Enoncé

Afin de vérifier la valeur des pépites qu’il a achetées, le bijoutier les pèse toutes les trois. La balance indique 300 grammes.

Ensuite il découvre que la masse de la première correspond à une fois et demi la masse de la deuxième. Il observe, enfin que la masse de la deuxième correspond à deux fois celle de la troisième.

Quelle est la masse de chaque pépite ?

Calcul

Avec les masses des pépites : a, b, c
Masse totale = 300 g a + b + c = 300 a + 2c + c = 300 a + 3c = 300
La 1ère = 1,5 fois la 2ème a = 3b/2 a = 6c/2 a = 3c
La 2ème = 2 fois la 3ème b = 2c 6c = 300
c = 50 b = 100 a = 150

Résultat

La 1ère pépite pèse 150 g ; la 2ème 100 g ; la 3ème 50 g.

13. Alerte au paradis.

Enoncé

Les diables ont réussi à crocheter la porte gardée par le bon vieux Saint Pierre et se sont introduits au paradis déguisés en anges, pour semer le désordre. Cinq suspects viennent d’être arrêtés. Mais, on ne sait pas qui est diable et qui est ange. On procède à leur interrogatoire. Bien sûr, les anges disent toujours la vérité, tandis que les diables mentent constamment.

Calcul

Ce problème ressemble au 505.09.

Avec l'hypothèse : Georges est ange avec l'hypothèse : Georges est diable
Personnage Georges Jean Paul Joseph Jacques Georges Jean Paul Joseph Jacques
Statut de Georges donné par l'hypotèse A D
Georges dit : "Jean est diable", donc : D A
Jean dit : "Paul est ange", donc D A
Paul dit : "Joseph est diable", donc A D
Joseph dit : "Jacques est ange", donc A D
Pour Jacques, Georges et Jean sont tous les deux diables D D
Résultat Contradictoire, l'hypothèse est fausse. C'est faux, donc l'hypothèse est la bonne.

Résultat

Jean et Paul sont anges, tandis que Georges, Joseph et Jacques sont diables.