506, Récréations géométriques Le 14 janvier 2019

01. Quadrilatères

Enoncé

a) Reliez chacun des quadrilatères énumérés dans la colonne de gauche à ses propriétés (colonne de droite).

b) Dans le tableau ci-dessous, indiquez par un signe de votre choix, les figures pour lesquelles la propriété énoncée dans la colonne de gauche est vraie.

Résultat

Les réponses sont faites directement dans les tableaux de l'énoncé.

02. Triangle de Pascale

Enoncé

Pascale écrit d’abord les nombres de 1 à 15 en un triangle comme ci-contre. Elle continue à écrire les nombres à la suite selon le même modèle, soit en plaçant un nombre de plus d’une ligne à la suivante.

Quel sera le premier nombre de la 10^e ligne ?

Calcul

• On démarre avec la valeur 1.
• A la 2^ème ligne on ajoute 1 à 1 pour obtenir 2, le 1er nombre de la ligne.
• A la 3^ème ligne on ajoute 2 à la valeur du 1er nombre de la 2ème ligne, pour obtenir 4, le 1er nombre de cette 3^ème ligne.
• A la 4^ème ligne on ajoute 3 à 4 pour obtenir 7, le 1^er de cette ligne 4.
• A la 5^ème ligne on ajoute 4 à 7 pour obtenir 11, le 1er de cette ligne 5.
• . . .
• A la 10^ème ligne, on a ajouté en tout (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) à la valeur 1 initiale.

L’opération est faisable. Le résultat est 45 + 1 = 46. Si on avait dû calculer la 1^ère valeur de la ligne 1 000, il aurait fallu utiliser une formule qui donne la somme des n premiers nombres entiers. Cette formule est (n² + n)/2. Donc la ligne n° 1 000 commence par :
1 + (999² + 999)/2 = 1 + (998 001 + 999)/2 = 1 + 499 500 = 499 501.

Résultat

La première valeur de la ligne n° 10 est : 46.

03. Piscine de Jason

Enoncé

Dans sa cour, Jason installe une piscine de forme carrée. Sur chaque côté, il accole un triangle de gazon dont les côtés de l’angle droit mesurent 5 et 12 mètres. Voici (à droite) une façon de disposer les quatre triangles autour de la piscine :

Quelle est la mesure du côté de la piscine ?

Calcul

Le côté du carré de la piscine se calcule en faisant la différence des deux côtés de l'angle droit du triangle rectangle : 12 - 5 = 7 mètres.

Par curiosité, la dimension du grand carré en gazon est l'hypoténuse du triangle rectangle vert : √(5² + 12²) = 13. Ce triangle rectangle "5, 12, 13" est le deuxième, caractéristique, avec le "3, 4, 5" . La Somme des carrés des deux côtés redonne un carré : 9 + 16 = 25 ; 25 + 144 = 169.

Résultat

La mesure du côté de la piscine est 7 mètres.

04. Triangles

Enoncé

Pour s’endormir, au lieu de compter les moutons, Panurge compte le nombre de triangles qu’il voit dans des figures géométriques. Aujourd’hui, dans sa tête, il visualise un pentagone dans lequel on a tracé les cinq diagonales. En voici, ci-contre l’illustration : Avant de s’endormir, Panurge en a compté 30.

Combien peut-on compter de triangles de toute grandeur dans cette figure ?

Calcul

En cours, on a fait un balayage systématique en progressant par ordre alphabétique des sommets des triangles et en vérifiant à chaque fois que le triangle est tracé (par exemple FGH n’est pas compté), et que les trois points ne sont pas en ligne droite. On trouve ainsi 35 possibilités.

Topologiquement, il y a trois sortes de triangles :

• Triangles rattachés à un côté du pentagone. C’est le cas qu’il faut regarder, très en détails.
• Triangles intérieurs attachés à un sommet du pentagone. Il y en a 5 : AJF, BFG, CGH, DHI, EIJ (les jaunes).
• Triangles intérieurs attachés à deux sommets disjoints du pentagone. Il y en a également 5 : ACI, BDJ, CEF, DAG, EBH (les verts).

Pour les côtés du pentagone, chacun dessine plusieurs triangles. Il faut examiner le ou les recouvrements possibles en passant d’un côté au suivant. Voir les triangles roses. Le bleu appartient au côté suivant. Autrement dit, deux triangles sont communs. Donc il ne faut garder que 5 triangles par côté, ce qui nous amène à 25 triangles. On ajoute les 10 triangles dits intérieurs pour retrouver la somme totale de 35 triangles.

Résultat

Il y a 35 triangles dessinés.

05. Carré magique

Enoncé

On dispose de jetons marqués 1, 2 ou 3 comme indiqué dans le carré ci-contre. La somme des lignes et des colonnes de ce carré est toujours égale à 6. Mais, pour en faire un carré magique, il faudrait, de plus, que les sommes des chiffres des deux diagonales soient, aussi, égales à 6. On peut arriver à ce résultat en déplaçant seulement 3 jetons.

Comment vous y prendriez-vous ?

Calcul et Résultat

L’astuce donnée par le prof est de déplacer dans son intégralité, une ligne ou une colonne.

06. Carré antimagique

Enoncé

Complétez ce carré avec des nombres entiers de 6 à 16 (1, 2, 3, 4 et 5 sont déjà placés) de telle sorte que les 10 sommes des quatre nombres des lignes, des colonnes et des deux diagonales soient toutes différentes, entre 29 et 38 comme l’indique la figure ci-contre.

Calcul et Résultat

En cours on a travaillé sur C3. Il y a 6 possibilités. Travaillons sur D1, avec 6 possibilités également. D1 est à l’intersection de la colonne 1 et de la diagonale qui va de D1 à A4.

Les valeurs 10, 11, 14, 15, et 16 en D1, conduisent à des impossibilités. Seule la valeur 12 convient et elle ne produit qu’une solution, ci-contre.

07. Trisection du demi-cercle

Enoncé

Voici comment les bâtisseurs de cathédrales effectuaient un partage du demi-cercle en trois arcs identiques :

• on construit un triangle équilatéral ABC sur le diamètre BC du demi-cercle
• on partage BC en trois segments égaux BB’, B’C’ et C’C
• on trace AB’ qui coupe le demi-cercle en B’’ et AC’ qui coupe le demi-cercle en C’’.

Cette construction est-elle exacte ?

Calcul

La construction au-dessus de, AH, est conforme à l’énoncé (celle des bâtisseurs de cathédrales). La construction au-dessous de, AH, est différente. B1 qui est différent de B’’ pour l’instant, est au sommet du triangle équilatéral OBB1.

Résultat

Cette construction est exacte.

08. Allumettes

Enoncé

Déplacez 2 allumettes pour former 5 carrés.

09. VOLT+ / 4x8

Enoncé

Prenez 10 pièces dont quatre V, deux O, deux L et deux +.

Construisez un rectangle 4 x 8.

Résultat

La solution est celle du cours.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
Aa	Antoine dispose des allumettes de façon à représenter 57. Combien d’allumettes au minimum devront être déplacées pour représenter 75 ?		Il faut déplacer 4 allumettes.
Ab	Des lettres sont écrites logiquement les unes à la suite des autres. Identifiez la lettre qui manque : F G I J ? M O	On saute une lettre toutes les 2 lettres.	Le L est la lettre manquante.
Ac	Chaque lettre a sa propre valeur et correspond à un chiffre de 1 à 9. Trouvez les valeurs possibles de A dans : A + A + C = BC		La lettre A, a la valeur 5.
Ad	Dans un groupe de 24 élèves, il y a six filles de plus que de garçons. Combien y a-t-il de filles ?	x + x + 6 = 24 ; x = 9	Il y a 9 garçons et 15 filles.
Ba	À quel nombre vous fait penser le mot TRICORNE ?		Tricorne fait penser au nombre trois.
Bb	Quelle est l’unité de mesure de base pour la masse?	C’est le gramme associé à ses multiples (kilo, milli …)	L’unité de base est le gramme.
Bc	Tristan part de 8 et successivement additionne 5. Quel est le sixième nombre qu’il va dire ?	Après 8, il dit encore 5 nombres : 8 + 5x5 = 33	Le 6ème nombre annoncé est 33.
Bd	Combien y a-t-il de centimètres dans 10 mètres ?		Il y a 1 000 cm dans 10 mètres.
Be	Quelle est la différence entre 11 000 et 100 ?	11 000 – 100 = 10 900	La différence est 10 900.
Bf	Sur une table, trois cubes sont placés l’un sur l’autre. Combien de faces ne sont pas visibles ?		5 faces ne sont pas visibles.
Bg	Combien y a-t-il de zéros dans 10 millions 10 mille ?		Il y a 6 zéros dans 10 millions et 10 mille.
Bh	Combien d’allumettes sont nécessaires pour écrire 31 en chiffres romains ?		Il faut 7 allumettes pour écrire XXXI.
Bi	Quelle est la lettre de rang 25 dans l’alphabet ?		La lettre Y a le rang 25.
Bj	Pendant que Mélanie lit 199 pages d’un livre, son amie Lili en lit 299. Combien ont-elles lu de pages en tout ?	199 + 299 = 498	Elles ont lu toutes les deux 498 pages.

11. Centre d’un cercle

Enoncé

Le but de l’exercice est de construire le centre d’un cercle en utilisant seulement le compas (sans la règle).

Trouver le centre d’un cercle donné à l’aide du seul compas.

Cet exercice connu sous le nom de « problème de Napoléon » est facile à énoncer, mais plus difficile à résoudre. C’est à Napoléon I^er rapporte la légende que l’on doit l’exposé de la solution de ce problème. A l’une des séances de l’Académie des Sciences, en 1797, le jeune Bonaparte, de retour de sa campagne d’Italie exposa la solution de Lorenzo Mascheroni* au problème du centre perdu. Son brillant exposé lui valut le compliment suivant de Pierre Simon de Laplace : « Nous attendions tout de vous, général, excepté des leçons de mathématiques ! »

*Lorenzo Mascheroni est un géomètre italien (1750-1800) auteur de La géométrie au compas où il démontre que les constructions géométriques à la règle et au compas des Eléments d’Euclide pouvaient être réalisées avec le seul compas.

Tracé

Suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Napoléon

• A partir du cercle noir C1, tracer C2 rouge de centre A et de rayon quelconque qui coupe C1 en D et E.
• Tracer C3 et C4 verts, de centres D et E et de rayon DA et EA, respectivement. Ils se coupent en F.
• Tracer le cercle C5 de couleur bleue claire, centre en F et rayon FA. Il coupe C2 en J et K.
• Tracer les cercles C6 et C7, bleus, de centres J et K et de rayons JA et KA.
• Les cercles C6 et C7 se coupent en L, le centre recherché de C1.

12. Palindromes

Enoncé

Est palindrome, toute expression (mot, phrase, nombre) qu’on peut lire de gauche à droite ou de droite à gauche et qui conserve le même sens. RADAR, LAVAL, RÊVER, SERRES sont des mots palindromes. Les nombres 626, 5445, 62 326 sont également palindromes. On peut s’amuser à identifier tous les mots palindromes ; on peut être tenté de faire la même démarche avec les nombres. Par exemple, entre 0 et 100, en excluant les nombres d’un seul chiffre, on trouve 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 et 99.

1. A votre tour, identifiez les nombres palindromes entre 100 et 500.
2. Pourriez-vous déterminer le nombre de palindromes entre 10 et 10 000 ?
3. On peut se demander combien, parmi les palindromes, sont des carrés. Comme aucun carré ne finit par 2, 3, 7 et 8, on peut éliminer tous les nombres qui commencent et finissent par ces chiffres. Pour les nombres de trois chiffres, les possibilités sont 1?1, 4?4, 5?5, 6?6 et 9?9 sont des nombres palindromes. Parmi eux, seuls 121, 484 et 676 sont des carrés palindromes. Combien y a-t-il de carrés palindromes entre 1 000 et 11 000 ?
4. Parmi les palindromes, il y en a dont le carré possède la même propriété d’être palindrome. Voici deux exemples : 112 = 121 et 222 = 484. Identifiez cinq palindromes entre 100 et 1 000 dont le carré est également palindrome.
5. Le nombre 11, élevé aux puissances 2, 3 et 4 produit des palindromes : 112 = 121  ,  113 = 1 331    114 = 14 641. Trouvez, au moins, un autre nombre palindrome qui donne des palindromes aux deuxième, troisième et quatrième puissances.
6. Le double d’un palindrome présente la même caractéristique si chacun des chiffres du nombre initial est inférieur à 5. Ainsi, 2 x 424 = 848. Dans le même contexte, combien y a-t-il de palindromes entre 100 et 1 000 dont le triple est également palindrome ?
7. Lorsqu’un nombre, en des additions successives avec son renversé, génère un palindrome, on dit qu’il est palindromique. Prenons 39 ; son renversé est 93. Faisons l’addition des deux nombres : 39 + 93 = 132. Faisons, à nouveau une opération semblable : 132 + 231 = 363. Le résultat 363 est palindrome. Donc, 39 est dit palindromique en deux renversements. Le nombre 69 est-il palindromique ? Si oui, en combien de renversements ?
8. Combien y a-t-il de nombres inférieurs à 69 qui sont palindromiques en exigeant plus d’un renversement ?
9. Quel est le nombre palindromique entre 90 et 100 qui exige le plus de renversements ?
10. Pour ceux qui n’ont pas peur de calculer ou qui ont accès à un ordinateur puissant, il existe, dans ce domaine, un problème non résolu. En effet, 196 (ou 691) déroute tous les chercheurs. On ne sait pas encore s’il est palindromique ou non. Plusieurs professionnels ou amateurs ont tenté de dénouer l’énigme mais sans résultat. Par exemple, Lynn Yarbrough a fait 79 098 renversements : Darryl Francis en a fait 196 100, toujours sans former un palindrome. Est-il raisonnable de penser que 196 n’est pas palindromique ?

Calcul

1. Nombres palindromes entre 100 et 500

101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393, 404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494.

2. Entre 10 et 10 000

• A deux chiffres, il y a 11, … , 99 ; 9 nombres à 2 chiffres.
• A trois chiffres, on a vu 10 nombres par centaines, et avec 9 centaines ; 90 nombres à 3 chiffres.
• A quatre chiffres, il faut lister :
• 1001, 1111, 1221 … , 1991 ; 10 associés à 1001.
• 2002, 2112, … , 2992 ; 10 associés à 2002.
• . . .
• En tout 9 x 10 = 90 ; 90 nombres à 4 chiffres.
• Total : 189 palindromes de 10 à 10 000. (Vérifié par Excel).

3. Les carrés palindromes

Entre 1 000 et 11 000 il n’y a qu’un seul carré palindrome : 10 201.

4. Palindromes dont le carré est palindrome

Entre 100 et 1 000 il n’y a que cinq palindromes dont le carré est palindrome.

5. Palindromes dont les puissances 2, 3 et 4 sont palindromes

Ça marche avec les petits chiffres qui n’amènent pas de retenues dans la multiplication.

6. Palindromes qui ont un triple palindrome

Pour que le triple d’un palindrome soit encore palindrome, il faut que les chiffres du palindrome initial soient inférieurs à 4. C’est toujours une histoire de retenue. Cela fait 4 fois 3 = 12 possibilités entre 100 et 1 000.

Il y a 12 palindromes entre 100 et 1 000 dont le triple est aussi un palindrome.

7. Les renversements de 69

69 est palindromique en 4 renversements.

8. Nombres palindromiques jusqu’à 69

13 nombres jusqu’à 69 (Non compris) sont palindromiques après plus d’un renversement.

9. Nombres palindromiques entre 90 et 100

Le nombre 98 n’est palindromique qu’au bout du 24ème renversement. On obtient : 881 320 0 023 188

10. Le nombre 196

Ce nombre fait bien penser à 98. Est-il palindromique ? Difficile de le dire. Il est à remarquer que dans le 24^ème et dernier renversement de 98, l’addition est faite avec des chiffres qui n’entrainent aucune retenue. Il se pourrait bien que les retenues quand elles existent, perturbent l’ordre obtenu par le renversement. Un rapide coup d’œil à pas mal de renversements montre l’apparition d’un palindrome lorsqu’il n’y a pas de retenue. A examiner plus finement.

Pour en revenir au nombre 196, la tentative de Darryl Francis qui a effectué 196 100 renversements porte à penser que le nombre obtenu devrait comporter pas loin de 100 000 chiffres. Statistiquement, les chances d’obtenir une addition sans aucune retenue sur une addition de deux nombres qui comportent 100 000 chiffres, sont pratiquement nulles. Il est raisonnable de penser que 196 n'est pas palindromique. (opinion personnelle). Cette question est abondamment explorée sur la page suivante.

13. Question d’âges

Enoncé

J’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez. Quand vous aurez l’âge que j’ai, nous aurons 84 ans à nous deux.

Quels sont nos âges respectifs aujourd’hui.

Calcul

Résultat

J’ai 36 ans et vous avez 24 ans.

14. Bons anniversaires

Enoncé

Omar et Fred se rencontrent une fois par an à l’occasion de leur anniversaire commun. Il y a quelques années, Omar dit à son jeune ami :

• « Quand j’aurai 5 fois ton âge, j’aurai 3 fois ton âge ».
• Les années ont passé. Aujourd’hui, Omar récidive et dit à Fred :
• « Quand j’avais 3 fois ton âge, j’avais 5 fois ton âge ».

Quels sont les âges d’Omar et de Fred ?

Calcul

Le texte est assez succinct et peu explicite. Il faut comprendre :

• Discussion qui a eu lieu il y a    t    années : Omar dit que, plus tard, dans    u    années, lorsque j’aurai 5 fois ton âge actuel, à ce moment-là, mon âge sera 3 fois le tien.
• On repasse à une discussion qui a lieu aujourd’hui : Omar dit que, dans le passé, il y a    v    années, lorsque j’avais 3 fois ton âge actuel, à ce moment-là, mon âge était 5 fois le tien.

Résultat

Omar a 85 ans, Fred en a 25.