504, Récréations numériques, Le 3 décembre 2018

01. Poil de carotte

Enoncé

Poil de carotte est le sobriquet du gérant d’une épicerie. Un matin, il note qu’il lui reste 15 sacs de carottes en stock. Ce jour-là, il achète 16 sacs et il en vend 17. Le lendemain, il en achète 18 et en vend 19. Le jour suivant, il en achète 20 et en vend 21. Dans les jours suivants, il achète toujours deux sacs de carottes de plus que le jour précédent et il en vend toujours deux sacs de plus.

Combien Poil de carotte aura-t-il vendu de sacs de carottes au moment où son stock sera totalement épuisé ?

Calcul

Jour n° Stock Achat Vente Total vendu Nouveau
stock
1 15 16 17 17 14
2 14 18 19 17 + 19 = 36 13
3 13 20 21 36 + 21 = 57 12
. . .
n 16 - n 14 + 2n 15 + 2n n2 + 16n 15 - n
Nouveau stock nul pour : 15 - n = 0 ; c'est à dire n = 15
15 1 44 45 465 0

Complément pour le calcul du total vendu

Somme des k premiers nombres entiers ∑e = k(k + 1)/2
Somme des k premiers nombres pairs ∑p = k(k + 1)
Somme des k premiers nombres impairs ∑i = k2
Total vendu :
Le jour 1, 17 est le 9ème nombre impair (∑i = 81). Le jour 0 cela correspondrait au 8ème nombre impair (k = 8 et ∑i = 64)
Le total vendu au jour n est la somme des (n + 8) premiers nombres impairs diminué de la somme des 8 premiers nombres impairs, c’est-à-dire 64.
Total vendu le jour n (n + 8)2 – 64 = n2 + 16n

Résultat

Poil de carotte a vendu 465 sacs.

02. Les œufs au chocolat

Enoncé

Quatre amis disposent, ensemble, de 12 douzaines d’œufs en chocolat. Connaissant la quantité de chacun, un cinquième ami fait les remarques suivantes :

Combien chacun a-t-il d’œufs en chocolat ?

Calcul

Avec, les nombres d’œufs détenus par Alex, Bruno, Charles et Daniel, respectivement, A, B, C et D
On a (1) A + B + C + D = 144
(2) C + 5 = A – 5 A = C + 10
(3) 5D = B/5 B = 25D
(4) C + 5 = 5D C – 5D = -5
Avec (1), (2) et (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5) C + 10 + 25D + C + D = 144 C + 13D = 67
Avec (5) – (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6) D = 4
Avec (4) et (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7) C = 20 – 5 C = 15
Avec (3) et (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8) B = 25 x 4 B = 100
Avec (2) et (7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A = 15 + 10 A = 25

Résultat

Alex a 25 oeufs, Bruno en a 100, Charles en a 15 et Daniel 4.

03. Poker menteur

Enoncé

4 5 6 7 8

En jouant au poker, Anthony a perdu un bon montant d'argent en €uros. Ce nombre aurait pu être partagé en parts égales entre 4, 5, 6, 7 et 8 de ses amis. Dans tous les cas, il ne serait resté aucun €uro. De plus, deux chiffres de ce montant d’argent perdu sont identiques.

Au minimum, combien d’€uros Anthony a-t-il perdu ?

Calcul

Décompositions en facteurs premiers 4 = 22 5 6 = 2 x 3 7 8 = 23
Plus petit multiple commun ppcm = 23 x 3 x 5 x 7 = 840
840 n’a pas de chiffre commun.
Le double : 1680 n’a toujours pas de chiffre commun.
Le triple : 2520 a deux fois le chiffre 2. C’est la solution.

Résultat

Anthony a perdu au moins 2 520 €uros.

04. Sur les rotules

Enoncé

Madame Bardet visite un magasin de sports. Dans un coin, elle examine les bicyclettes et les tricycles. Elle compte 45 roues en tout. Le mois suivant, elle retourne au magasin. Le vendeur lui dit :
- Depuis votre dernière visite, nous avons vendu trois bicyclettes et cinq tricycles.
Madame Bardet note qu’il reste alors au moins un tricycle.

Combien y avait-il de tricycles au minimum dans ce magasin lors de la première visite ?

Calcul

Avec respectivement, les nb de bicyclettes et de tricycles, B et T
Le nombre de roues initial est 2B + 3T = 45 B = (45 – 3T)/2
A noter que, 45 – 3T, doit être pair
Après la vente il reste T – 5 tricycles
Si ce nb restant est 1 T – 5 = 1 T = 6
Dans ce cas, 45 – 3T = 27 ne convient pas
S’il reste 2 tricycles après la vente T – 5 = 2 T = 7
Dans ce cas, 45 – 3T = 24 L’hypothèse convient

Résultat

Il y avait 7 tricycles au départ

05. Tir à l’arc

Enoncé

Lauranna lance des flèches sur une cible. Si elle atteint le centre (bleu), elle gagne trois points. Si elle atteint la couronne (rouge), elle gagne un point. Si elle atteint l’extérieur de la couronne (vert), elle perd deux points. Après 60 lancers, elle a atteint la couronne 10 fois de plus que l’extérieur. Son score est alors de 27 points.

Zone atteinte sur la cible Centre Couronne Extérieur
Couleur de la zone Bleue Rouge Verte
Nombre de flèches B R V

Combien de fois Lauranna a-t-elle atteint le centre ?

Calcul

60 lancers au total B + R + V = 60 V = 60 – B – R
Score final = 27 3B + R – 2V = 27 3B + R – 120 + 2B +2R = 27 5B + 3R = 147
R = V + 10 R = 60 – B – R + 10 2R + B = 70
B = 70 – 2R 350 – 10R + 3R = 147 7R = 203
R = 29
B = 70 – 58 B = 12
V = 60 – 12 – 29 V = 19

Résultat

Lauranna a atteint 12 fois le centre

06. Planète des pigeons

Enoncé

Sur la planète des pigeons, chaque grand nombre représente des situations de bonheur. Le grand Manitou veut savoir combien il y a de pigeons dans son bocage. Son grand Serviteur lui fait le rapport suivant :

- Grand Manitou, par la grâce de vos puits de sagesse, le nombre de pigeons gris est formé de neuf chiffres différents. Le premier bloc de trois chiffres représente le nombre de pigeons jaunes ; le deuxième bloc les pigeons bleus et le troisième bloc les pigeons verts. De plus,

  1. Il y a deux fois plus de pigeons jaunes que de pigeons verts.
  2. Il y a le plus grand nombre possible de pigeons bleus.
  3. Il y a 209 pigeons verts de moins que de pigeons jaunes.
  4. Maintenant, réplique le Grand Manitou, va sur la planète Terre et indique aux habitants de cette planète combien il y a de pigeons gris dans mon bocage.

Quel est le nombre qu’il va annoncer aux Terriens ?

Calcul

<
Avec le nombre de pigeons gris JBV = jj'j'' bb'b'' vv'v''
B = maxi
J = 2V
V = J – 209 V = 2V – 209 V = 209
J = 2 x 209 J = 418
Les chiffres restants pour B sont 3, 5, 6, 7 Le maxi est : B = 765

Résultat

Nombre de pigeons gris annoncés : 418 765 209

07. Basket pour lilliputiens

Enoncé

Toni et Teddy lancent chacun six balles dans des verres numérotés 5 et 7. Chaque joueur lance au moins une balle dans chaque verre et compte ses points d'après le numéro du verre. Aucun des deux n’a raté une cible.

Quelle est la plus grande différence possible en points entre le score des deux joueurs ?

Calcul

Le joueur qui a gagné le plus de points a fait 5 fois 7 et 1 fois 5 35 + 5 = 40 points
Le joueur qui a gagné le moins de points a fait 1 fois 7 et 5 fois 5 7 + 25 = 32 points
La plus grande différence est 40 – 32 = 8 points

Résultat

Plus grande différence : 8 points

08. Evènements historiques

Enoncé

Trois personnes, chacune à leur époque, ont vu le soleil sur l’île Saint-Louis. La première est née en 1782 ; annuellement elle a vécu un événement digne de mention à partir de 1800 ; la deuxième est née en 1881 et a vécu le même événement à partir de 1900 ; la troisième est née en 1980 et a vécu cet événement à partir de 2000.

De quel événement annuel s’agit-il ?

Calcul

Personne n° Année de naissance Année : âge Année : âge Année : âge Année : âge Année : âge
1 1782 1800 : 18 1801 : 19 1802 : 20 . . . 1899 : 117
2 1881 1900 : 19 1901 : 20 1902 : 21 . . . 1999 : 118
3 1980 2000 : 20 2001 : 21 2002 : 22 . . . 2099 : 119

Résultat

Avec l’année abcd, l’évènement est que : l’âge est égal à la somme ab + cd. Exemple : 22 = 20 + 02

09. Neuf facteurs

Enoncé

. . .

Il convient d’écrire les nombres de 1 à 9 dans les neuf cases triangulaires de la figure représentée ci-contre, de manière à ce que les produits des trois ou des cinq cases qui forment une rangée soient :

Rangée bcd efghi bfg acdhi dgh abcef
Produit 72 5040 216 336 36 1440

Calcul et Résultat

Décomposition en facteurs premiers

. . .
Rangée = Produit bcd = 72 efghi = 5040 bfg = 216 acdhi = 336 dgh = 36 abcef = 1440
Facteurs premiers 23.32.50.70 24.32.51.71 23.33.50.70 24.31.50.71 22.32.50.70 25.32.51.70

Le facteur 7 n’appartient qu’à 5 040 et 336, c’est-à-dire à efghi et acdhi. Donc 7 est en i.
Le facteur 5 n’appartient qu’à 5 040 et 1 440, c’est-à-dire à efghi et acbfe. Donc 5 est en e.
Il ne reste plus que les facteurs, 1, 2 et 3 et les chiffres disponibles sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8 et 9.

Combinaisons de trois facteurs pour quelques produits

fgh bfg dgh 3 fois
g 		2 fois
f, h 		Convient
289 389 149 Le 9 Le 8 Non
289 389 236 Aucun Les 2, 3, 8 et 9 Non
289 469 149 Le 9 Le 4 Non
289 469 236 Aucun Les 2,6 et 9 Non
368 389 149 Aucun Les 3, 8 et 9 Non
368 389 236 Le 3 Les 6 et 8 Oui
368 469 149 Aucun Les 4, 6 et 9 Non
368 469 236 Le 6 Le 3 Non
fgh = 5040/35 = 144 bfg = 216 dgf = 36
Produit de 2.8.9 ; 3.6.8 3.8.9 ; 4.6.9 1.4.9 ; 2.3.6

g est à l’intersection de bfg, fgh et dgh. Parmi les 8 possibilités d’assemblage des solutions, il faut que :

. . .

Conclusion : g = 3 ; 6 et 8 sont distribués à f et h ; 2 et 9 sont à distribuer à b et d
Est-ce qu’on peut mettre 6 en f ? Réponse non, car pour bfg on n’a pas 3, 6, x. Donc f reçoit 8
Il reste 9 pour b ; 6 pour h ; 2 pour d ; 4 pour c (72/9/2) ; et 1 pour a

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N° Enoncé Calcul Résultat
Aa À l’aide d’opérations simples, représentez 24 avec trois 5 et trois 6. Faire par exemple :
5 x 5 + 6 + 5 – 6 – 6 = 24
Ab Formez un nombre de six chiffres de la forme ABCDEF où CD est le double de AB, et EF le double de CD. Les chiffres de ce nombre sont : 1, 3, 6, 7, 8, 9. EF doit être divisible par 4 ;
96, non ; 84, non ; 76, oui 		Le nombre est 193876.
Ac Rosalie soutient que, dans les années bissextiles, le 31 janvier et le 31 octobre tombent toujours le même jour de la semaine. Rosalie a-t-elle raison ? Il faut que le nb de jours qui sépare le 31 octobre du 31 janvier soit divisible par 7 29 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 = 274. 274 n’est pas divisible par 7, mais 273 l’est. Réponse : non, il y a un décalage de 1 jour.
Ad Déplacez une allumette pour que l’égalité " V + II = II " soit vraie. Il faut faire : 5 – 3 = 2 V – III = II
Ba Combien d’angles intérieurs peut-on compter dans un pentagone ? Il y a cinq angles intérieurs dans un pentagone.
Bb La somme de deux multiples successifs de 4 est 92. Quelle est leur différence ? Les multiples de 4 se succèdent
de 4 en 4. 		La différence entre deux successifs est 4.
Bc Quelle est l’unité de mesure de base pour une surface ? Unité de mesure de surface :
le mètre carré.
Bd Combien d’années bissextiles y a-t-il eu entre 1899 et 1919 ? Il y a : 1904, 1908, 1912, 1916
(1900 n’est pas bissextile). 		Il y a 4 années bissextiles
entre 1899 et 1919.
Be Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure 32 degrés. Quelle est la mesure de l’autre ? 90 - 32 = 58 L’autre angle aigu mesure 58°.
Bf On additionne 57 à un nombre. On obtient 112. Quel est ce nombre ? 112 – 57 = 55 Ce nombre est 55.
Bg Combien y a-t-il de couples de nombres dont le produit est 24 ? 24 = 2 x 12 = 3 x 8 = 4 x 6 Il y a 3 couples de nombres
dont le produit est 24.
Bh Agencez un 2, un 4 et un 5 pour que le résultat soit 3. 2 + 5 – 4 = 3
Bi Dans un cercle, un rayon mesure 12 centimètres. Quelle est la mesure du diamètre ? Le diamètre vaut 24 cm.
Bj J’ai trois douzaines et quart d’œufs ; je casse quatre œufs. Combien me reste-t-il de douzaines entières d’œufs ? 12/4 = 3, donc avec 4 cassés,
j’entame la 3ème douzaine 		Il reste 2 douzaines entières.

11. L’âge de la nièce

Enoncé

Céline est une vieille dame un peu moqueuse. À une nièce qui lui demandait son âge, elle répondit :

Quel est l'âge de la nièce ?

Calcul

L’âge de la dame est un multiple de 21, supérieur à 70 et inférieur à 100. C’est 84.
L’âge de la nièce est 48/(84/21) = 12.

Résultat

La nièce a 12 ans.

12. Quasi centenaire !

Enoncé

Un homme célèbre les 99 ans de sa naissance. Il ne se rappelle pas en quelle année il est, mais il se souvient de certains événements et il peut encore réussir n'importe quel calcul. Il dit à ses trois filles venues pour fêter son anniversaire avec lui :

En quelle année ce dialogue a-t-il eu lieu ?

Calcul

Avec x l’année actuelle,
a, f et m les années du voyage en Amérique de respectivement Alicia, Françoise et Marina
L’équation est a + f + m + (x – a) + (x – f) + (x – m) – 99 = 5892 3x = 5991
x = 1997

Résultat

Ce dialogue a eu lieu en 1997.

. . .

13. Le triangle de Gardner.

Enoncé

Quelles sont les pièces communes aux deux figures ci-contre ? Les deux figures ont-elles la même aire ? Pourquoi ?

Calcul

Les triangles verts 2x5 sont identiques.
Les triangles rouges 3x8 sont identiques.
Les figures violettes sont identiques.
Les figures jaunes sont différentes : 7 carreaux d’un côté et 8 de l’autre.
Les grands triangles 5x13 ont apparemment la même aire, mais, en fait, les points de l’hypoténuse ne sont pas alignés.
On a deux pentes dont les tangentes sont différentes : 3/8 = 0,375 (pour le triangle rouge) et 2/5 = 0,4 (pour le triangle vert).

Résultat

Pièces identiques : vertes, roses et violettes. Les figures n’ont pas la même aire car l’hypoténuse n’est pas droite.

14. Neuf arbres

Enoncé

Lenôtre a planté dix rangées de trois arbres. Il a réussi cet exploit en utilisant seulement neuf arbres.

Comment peut-on faire, avec 9 arbres, 10 rangées de 3 arbres ?

Calcul

Pas encore trouvé la solution.

Résultat

15. Papillon multicolore.

. . .

Enoncé

Dans cette figure carrée, symétrique par rapport à son centre, arcs et cercles sont tangents.

Les petits cercles ont-ils même rayon ?

Calcul

Prenons comme dimension du côté du carré, 8 unités. Les deux demi cercles bleus ont un rayon de dimension 4 et les cercles jaunes un rayon de 2. Il reste à examiner tous les petits cercles, gris, verts et rouges. Par ordre de difficulté croissante,

Les quatre cercles gris

Leur diamètre est exactement sur le diamètre des cercles jaunes de rayon 2. Ces cercles gris ont un rayon de 1. On pourrait avoir 1,1 et 0,9 ; mais la symétrie impose 1 et 1.

les deux cercles verts

. . .
Donnons la valeur R au rayon des cercles verts.
Sur la figure de gauche on a un triangle rectangle dont l'hypoténuse est en pointillé.
Dimensions des côtés du triangle rectangle, Hypoténuse : 4 + R
Côtés de l'angle droit : 4 et 4 - R
Pythagore (4 + R)2 = 42 + (4 – R)2 16 + 8R + R2 = 16 + 16 – 8R + R2
16R = 16 R = 1
Remarque : on retrouve le triangle rectangle typique de côtés 3, 4 et 5 (9 + 16 = 25).

Les quatre cercles rouges

Dimension du rayon du cercle rouge R AH = R
B est le centre du cercle jaune AB = 2 HB = 2 - R
Par la tangence des cercles bleu et rouge AO = 4 - R
Par la tangence des cercles jaune et rouge BO = 2 + R
OH dans AHO OH2 = (4 – R)2 – R2 OH2 = 16 – 8R + R2 – R2 = 16 – 8R
OH dans BHO OH2 = (2 + R)2 – (2 – R)2 OH2 = 4 + 4R + R2 – 4 + 4R – R2 = 8R
Egalité sur OH 16 - 8R = 8R 16R = 16
R = 1

Résultat

Réponse : oui, les petits cercles gris, verts et rouges ont tous le même rayon égal à a/8, a étant la dimension du côté du carré. C'est une figure vraiment remarquable avec tous ces cercles tangents,