501, Quelques échantillons d'exercices de Mathématiques récréatives, Le 8 octobre 2018

01. Pyramide du Louvre

Enoncé

[Cet exercice n'est proposé que pour les étudiants nouvellement inscrits à l'atelier de Mathématiques récréatives. Les autres peuvent passer tout de suite à la recherche de l'exercice suivant.].

On dispose de deux pièces distinctes représentées sur la figure à gauche (partie de gauche en rouge). Le challenge consiste à assembler les deux pièces de manière à former une pyramide (comme cela se présente sur la partie bleue de la figure).

Calcul

Il s’agit donc d’assembler deux pièces pour reconstituer une pyramide. Remarque : la forme obtenue n’est pas vraiment celle d’une pyramide. Il s’agit plutôt d’un tétraèdre avec une base en triangle équilatéral.

Questions complémentaires (de l’auteur) : La forme obtenue est-elle celle d’un tétraèdre régulier et les deux formes initiales sont-elles parfaitement les mêmes ?

Soit donc un tétraèdre régulier ABCD dont la dimension de l'arête est a. On repère les milieux Q, R, S, T, des arêtes respectives AB, BC, CD et AD. Imaginons de couper le tétraèdre suivant le plan QRST. Chacun des côtés du quadrilatère QRST mesure a/2. C’est donc un losange ou un carré. M est le milieu de BD. Le plan bleu AMC est un plan de symétrie. Il coupe le plan orangé QRST en NP avec N et P milieux de QT et RS. Par symétrie les angles de QRST sont droits, QRST est un carré. En faisant pivoter le pentaèdre supérieur QACRST d’un quart de tour on obtient une forme symétrique de celle du volume inférieur QBDTSR. Les deux volumes sont bien les mêmes. Afin de reconstituer le pentaèdre irrégulier (dont deux pièces permettent de construire le tétraèdre régulier), les dimensions de quelques segments sont calculées en se servant des dimensions des projections dans le plan ANMPC.

Le pentaèdre à construire en double

En prenant la valeur b, comme unité de dimension, pour le coté du carré QRST, donc en remplaçant a par 2b, dessin ci-dessus, à gauche.

02. Une grille carré (4 x 4)

Enoncé

On a préparé la grille carrée (4 x 4) ci-contre. En se servant des indices donnés ci-dessous, on peut placer un chiffre par case de façon à former des nombres horizontalement et verticalement comme dans les mots croisés.

Remplissez la grille.

Calcul et Résultat

03. Comptons les jetons

Enoncé

On dispose de 65 jetons de quatre couleurs différentes : bleu, rouge, vert et jaune.

1. Le nombre de jetons verts et de jetons jaunes est égal au nombre de jetons rouges.
2. Le nombre de jetons rouges et de jetons verts verts est égal au nombre de jetons bleus.
3. Le triple du nombre de jetons verts, diminué de 5, est égal au nombre de jetons rouges.

Combien y-a-t-il de jetons de chaque couleur ?

Calcul

Résultat

Il y a 8 jetons verts, 27 jetons bleus, 11 jaunes et 19 rouges.

04. Les poireaux du potager

Enoncé

Au pays des troicotais, tous les jardins potagers ont la forme d'un triangle. Sur le contour de son potager, Hercule a planté neuf poteaux. Ceux-ci supportent de petites éoliennes qui éloignet les oiseaux prédateurs de poireaux. La distance entre deux poteaux voisins est partout la même. Hercule a mis 10 heures pour ensemencer la partie colorée en jaune. Il lui reste, maintenant, à faire la partie colorée en bleu. [Voir schéma ci-contre].

En adoptant le même rythme de travail, combien Hercule mettra-t-il d'heures pour ensemencer le reste du potager, c'est à dire la partie bleue ?

Calcul

Comptages des parties de jardins triangulaires. Il y a : 4 jaunes et 5 bleus.
Puisqu’il y a 10 heures de travail pour les jaunes, il faudra pour les bleus :    10 x 5/4 = 12,5

Résultat

Il faut 12 heures et 30 minutes pour ensemencer la partie bleue.

05. Jeu de cartes

Enoncé

Omar veut disposer neuf cartes selon un carré 3 x 3.

1. Le deux de trèfle a comme voisin de gauche le neuf de coeur et à droite le sept de carreau.
2. La somme des valeurs est 18 dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale.
3. Il n'y a pas de carte de pique.
4. Le trois de trèfle, le six de carreau et le neuf de coeur sont dans la même diagonale.
5. Les figures (coeur, carreau, trèfle) sont différentes sur chaque ligne et dans chaque colonne.

Placez neuf cartes selon les indices donnés.

Calcul et Résultat

Les cartes sont symbolisées par C pour cœur, T pour trèfle et K pour carreau. Il n’y a pas de pique. Il faut les arranger dans un carré 3x3.

Résolution faite en cours

En cours, on a démarré avec 9C, 2T, 7K sur la ligne 1 et 9C, 6K, 3T sur la diagonale NW-SE. Ensuite, à condition de travailler sur les cellules dans l’ordre, B3, B1, C1, C2, il y a toujours 2 cellules définies qui permettent de remplir la troisième. On trouve donc la grille ci-contre.

Complément

L’inconvénient est que parmi les arrangements dans les lignes et les colonnes, CTK, TKC, KCT, CTK, TKC, KCT, il y a trois doublons. Donc en toute rigueur, il faut chercher une autre solution.

Il faut remarquer que parmi les cartes de la ligne définie et de la diagonale définie en 1 et 4 de l'énoncé, il n’y a qu’une seule carte commune, qui est 9C. Donc il n’y a que deux possibilités pour la position de la ligne définie, en ligne 1 ou en ligne 3. La 1 est faite, prenons la 3. Pour compléter la diagonale il reste deux possibilités. Donc il y a quatre cas à examiner.

Deux des solutions s’éliminent très vite. La quatrième et dernière solution produit les arrangements, KCT, TKC, CTK, KTC, CKT, TCK, qui sont tous différents.

06. Une autre grille 5 x 5

Enoncé

Quentin a préparé une grille dans laquelle il veut écrire des nombres de 1 à 5. Il a donné la somme des nombres des deux dernières cases de chaque ligne à droite et de chaque colonne en bas. Comme cadeau, il a indiqué la position du 1.

Complétez la grille avec des nombres de 1 à 5 de façon que chaque nombre apparaisse une seule fois dans chaque rangée horizontale et verticale.

Calcul et Résultat

• Ligne D, deux possibilités 1, 3 ou 3, 1. Choisissons 3 en D4 et 1 en D5
• Cela conduit à 3 en E5 et 2 en E4
• D3, E3, la solution 3 + 4 est interdite. 2 est interdit en E3. Donc 2 en D3 et 5 en E3
• Puis 5 en D2, 4 en E2, 4 en D1, 1 en E1. Mais 1 interdit à cause de 1 imposé en A1
• Donc cette solution ne convient pas. Il faut bien prendre la deuxième hypothèse, celle qui a été prise en cours, à savoir : 1 en D4 et 3 en D5.
• Le même type de raisonnement conduit à la grille la plus à droite.

07. Un problème ancien

Enoncé

Quel âge avons-nous l'un et l'autre, demande un fils à son père ? Le père répond : "Ton âge est actuellement le tiers du mien. Il y a 6 ans il était le quart".

Trouvez l'âge du père et l'âge du fils.

Calcul

Résultat

Le père a 54 ans et le fils a 18 ans.

08. Vins aux fruits

Enoncé

Quatre amis produisent du vin à partir de fruits différents. Ils ont tous des signes du zodiaque différents.

Quel est le signe du zodiaque de celui qui produit du vin d'Abricot ?

Calcul

• Info n° 1, a, Noix, ni Eddy, ni Gaël.
• Info 2, b, Abricot, pas Bélier.
• 3, c, Eddy pas Poisson.
• 4, d, Anthony pas Lion et pas Orange.
• 5, e, Gaël pas Bélier, pas Orange.
• 6, f, Vin de Noix, est Lion. Donc barrer la ligne Lion et la colonne Vin de Noix.
• 7, g, Orange pas Bélier.
• h, Ni Abricot, ni Noix, ni Orange, le Bélier va avec vin de Pruneau. On peut barrer le reste de la colonne Pruneau.
• i, Le vin de noix est produit par un Lion et par Anthony ou Hugo. Anthony n'est pas Lion, donc c'est Hugo qui est Lion et qui produit du vin de Noix. On peut barrer toute la ligne Hugo et les colonnes Noix et Lion.
• j, Ni Anthony, ni Gaël, ni Hugo, c'est Eddy qui produit du vin d'Orange. On peut barrer le reste de la ligne Eddy.
• k, Celui qui produit du vin d'Orange, est Poisson ou Taureau, c'est Edyy, qui n'est pas Poisson. Donc Eddy est Taureau. On peut barrer le reste des lignes et des colonnes.
• l, Ni Bélier, ni Lion, ni Taureau, Gaël est Poisson. Donc Anthony n'est pas Poisson, il est Bélier.
• m, Eddy est taureau et produit du vin d'Orange. Taureau, Orange amène Abricot, Poisson.
• n, C'est Gaël qui est Poisson, donc c'est Gaël qui produit du vin d'Abricot. Et en définitive Anthony qui fait du vin de Pruneau.

Résultat

Celui qui produit le vin d’Abricot est Poisson

09. J'en reviens pas !

Enoncé

Chaque lettre représente un chiffre différent. Indices : R = 5. Il n'y a pas de 2, ni de 8..

Déchiffrez cette addition. Il y a deux dispositions possibles.

Calcul et Résultat

• R toujours = 5    Pas de chiffre 2, ni de 8 et un chiffre différent pour chaque lettre.
• Hypothèse 1 avec E = 1. Cela amène U = 2 non autorisé.
• Hypothèse 2 avec E = 3. Cela amène U = 6.
• Hypothèse 2.1 avec V = 1 qui conduit à N = 6. C’est un doublon.
• Hypothèse 2.2 avec V = 4 qui conduit à N = 9. C’est la première solution.
• Hypothèse 2.3 avec V = 7. On obtient N = 12 > 9.
• Hypothèse 3 avec E = 4. Cela donne U = 8 non autorisé.
• Hypothèse 4 avec E = 6. Conséquence U = 2. Ne convient pas.
• Hypothèse 5 avec E = 7. Donc U = 4.
• H 5.1 avec V = 1. On obtient N = 7 qui est déjà pris.
• H 5.2 avec V = 3 qui donne N = 9. C’est la deuxième solution. Continuons tout de même.
• H 5.3 avec V = 4. Dans ce cas N = 10 > 9.
• Hypothèse 6 avec E = 9. Cela nous conduit à U = 8 non permis. C’est tout. Il n’y a bien que deux solutions.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
Aa	Dans cette grille, placez 3, 4, 8, 9, 13 et 14 pour que la somme des nombres soit 24 sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans chaque diagonale. 2 12 7	Une solution a été trouvée.	9 2 13 12 8 4 3 14 7
Ab	Déplacez quatre allumettes pour construire trois triangles distincts.
Ac	Violette choisit deux nombres qui ont ensemble 12 lettres. Elle les additionne et obtient 17. Quels sont ces deux nombres ?		Ces deux nombres sont quatre et treize
Ad	Micheline et Pierrot ont 64 petites autos en tout. Micheline a trois fois plus de petites autos que Pierrot. Combien chacun a-t-il d'autos ?	3 + 1 = 4 parties    64/4 = 16    16 x 3 = 48	Micheline a 48 autos et Pierrot en a 16.
Ba	Combien y-a-t-il de jours dans le premier trimestre d'une année bissextile ?	31 + 29 + 31 = 91	Il y a 91 jours dans le 1er trimestre d’une année bissextile.
Bb	La somme des trois nombres consécutifs impairs est 33. Quel est le plus petit nombre ?	33 / 3 = 11	Le plus petit est 9. La suite est 9, 11, 13.
Bc	Vincent a 1 000 €uros. Il en dépense 110. Combien lui en reste-t-il ?	1 000 – 110 = 890	Il lui reste 890 €uros.
Bd	Comment appelle-t-on un segment de droite qui relie le centre du cercle à un de ses points ?		C’est le rayon.
Be	Quel est le résultat de la division de 36 par 0,3 ?	36/0,3 = 120	Le résultat est 120
Bf	Quel est le nombre que l'on augmente de 55 en le multiplint par 6 ?	6x – x = 55    x = 11	Il s’agit du nombre 11.
Bg	Combien chacune recevra-t-elle si on partage également 105 € entre trois personnes ?	105/3 = 35	Chacune recevra 35 €uros.
Bh	Dans quel nombre d'un seul mot trouve-t-on un U et un F ?		On trouve U et F dans le chiffre NEUF.
Bi	Combien y-a-t-il de tiers dans 5 ?	5 x 3 = 15	Il y a 15 tiers dans 5.
Bj	Quel est le périmètre d'un triangle équilatéral dont un côté mesure 6 cm ?	6 x 3 = 18	Le périmètre est 18 cm.

11. Rouleaux et triangle

Enoncé

Didier empile 10 rouleaux de fil et inscrit un numéro sur chaque rouleau. Le numéro de tout rouleau appuyé sur les deux inférieurs est égal à la somme des numéros de ceux-ci. Par exemple, les deux rouleaux de gauche ont les numéros 3 et 7, celui au-dessus a le numéro 10.

Didier a effacé les numéros de cinq rouleaux. Quels sont les numéros manquants de la rangée du bas ?

Calcul

Résultat

Les deux rouleaux du bas portent les n° 8 et 4.

12. Qui a volé 1 € ?

Enoncé

• Trois amis vont au restaurant et chacun prend un plat à 10 €.
• Ils paient : chacun donne 10 € au serveur qui amène donc 30 € au patron du restaurant.
• Le patron dit au serveur : "Ce sont des amis, rend leur donc 5 €" et, pour ce faire, il donne 5 pièces de 1 € au serveur.
• Le serveur, en allant remettre les pièces constate que ce n'est pas facile à partager en 3. Alors, il se dit "Je garde 2 € pour moi et je leur rends 1 € à chacun" , ce qu'il fait.
• CONCLUSION :
• Chacun des trois amis a payé 10 - 1 soit 9 €uros.
• Donc, ils ont payé, en tout 3 x 9 = 27 €uros.
• Ces 27 €uros ajoutés aux 2 €uros gardés par le serveur font 29 €uros.

Où est donc passé l'€uro manquant ?

Calcul

Le bilan est : 3 € rendus. Les amis ont payé 27 € et il reste 2 € dans la poche du serveur. Pour le patron les repas ont été payés 25 €.

Résultat

Les 2 € reçus par le serveur sont à ajouter aux 25 reçus par le patron Pour faire 27.

13. Quel âge ont-elles ?

Enoncé

Voici une histoire :

Le Maire et le Shérif d'une petite ville de Californie se promènent dans la rue. Ils croisent trois personnes.

• Le Shérif dit au Maire :
• La somme des âges de ces trois personnes est égale au double du vôtre et leur produit est 2450. Pouvez-vous calculer les âges de ces trois personnes ?
• Le Maire fait quelques petits calculs, puis il répond :
• Je ne peux pas trouver. Il me manque une donnée !
• Le Shérif approuve :
• "En effet, j'ajoute que je suis plus âgé que l'ainée de ces trois personnes."
• Le Maire conclut alors :
• "D'accord, maintenant j'ai trouvé !"

Voici un petit problème : Les âges de tous les personnages de cette histoire sont des nombres entiers.

Quels sont les âges de ces cinq personnes ?

Calcul

La résolution de cet exercice n'a été réalisée qu'en novembre 2019.

• Produit des âges des trois personnes rencontrées : 2 450 = 2.5².7². Soit A, B et C les âges de ces trois personnes.
• A sera le produit de un ou plusieurs de ces facteurs, B sera le produit de un ou plusieurs facteurs pris dans ceux qui restent et C sera le produit des facteurs restants.
• L'âge du Maire est M = (A + B + C)/2. Le tableau suivant donne les combinaisons obtenues après retrait des âges supérieurs à 100.

Le Maire sait quel âge il a, mais s'il ne peut pas répondre c'est qu'il tombe sur plusieurs combinaisons qui lui donnent le même âge, en l'occurence les combinaisons 8 et 10. Le Maire peut trancher après la réponse du Shérif. Si le Shérif avait 51 ans, le Maire ne pourrait pas choisir. Donc très certainement le Shérif a 50 ans ce qui oriente vers la combinaison n° 8.

Résultat

Les âges des trois personnes rencontrées sont 5, 10, 49 ans. Celui du Maire est 32 ans et celui du Shérif 50.

14. Cinq gars pour Singapour

Enoncé

Depuis le dimanche 12 avril 2015, un problème de mathématiques destiné à des élèves de collège fait s'arracher les cheveux aux internautes du monde entier. Le présentateur de télévision singapourien Kenneth Kong a posté sur sa page Facebook un problème baptisé "Le mystère de la date d'anniversaire de Cheryl", dont voici l'énoncé.

Albert et Bernard sont devenus amis avec Cheryl et ils veulent connaître le jour de son anniversaire. Cheryl leur a donné une liste de dix dates possibles : 15 mai, 16 mai, 19 mai, 17 juin, 18 juin, 14 juillet, 16 juillet, 14 août, 15 août, 17 août.

• Cheryl dit séparément et respectivement à Albert le mois et à Bernard le jour de son anniversaire.
• Albert : Je ne sais pas quand est l'anniversaire de Cheryl, mais je sais que Bernard ne sait pas non plus.
• Bernard : Au début je ne savais pas quand est l'anniversaire de Cheryl, mais maintenant je sais.
• Albert : Dans ce cas, je sais aussi quand est son anniversaire.

Quelle est la date de l'anniversaire de Cheryl ?

Calcul

Bernard et Albert ont tous les deux connaissance de l'ensemble des dates possibles (en rose sur le tableau). Chacun se sert du raisonnement que peut faire l'autre, de la conclusion annoncée, en y ajoutant les infos qu'il a lui-même personnellement.

• Albert pense que si la date de naissance était soit le 19 mai, soit le 18 juin, Bernard aurait pu connaitre la réponse. Mais comme Albert sait que le mois n'est ni mai, ni juin, il peut affirmer que Bernard ne peut pas savoir.
• A la réponse d'Albert qui dit que Bernard ne peut pas savoir, Bernard tire lui-même la conclusion : c'est en juillet ou août.
• Enfin, pour que, Albert puisse savoir à son tour, c'est que dans le mois qu'il connait, il n'y a qu'une seule possibilité pour Bernard, au mois de juillet, le 16.

Résultat

Date anniversaire de Chéryl : le 16 juillet.

15. Chacun chez soi

Enoncé

Cinq voisines et, néanmoins, amies, Alice, Bernadette, Chantal, Dany et Elisabeth rentrent chez elles après leur journée de travail. Il y a une maison verte, une blanche, une jaune, une bleue et une rose.

Voici quelques indices :

• On voit la maison d'Alice juste à gauche de celle de Bernadette.
• Chantal et Bernadette ne sont pas directement voisines.
• Dany n'habite ni dans la maison jaune, ni dans la maison verte.
• Chantal et Elisabeth habitent deux maisons directement voisines.
• Elisabeth habite soit dans la maison rose, soit dans la maison verte.

Donnez à chacune son domicile

Calcul

Les habitantes sont A (Alice), B (Bernadette), C (Chantal), D (Dany) et E (Elisabeth).

Résultat

Les habitantes des maisons sont de gauche à droite :