1012, Récréations Vacances, le 6 mai 2024

01. 4 maisons

Enoncé

En marchant le long d'une rue, Pauline passe devant quatre maisons, toutes de couleurs différentes. Elle passe devant la maison orange avant la rouge et devant la bleue avant la jaune. La maison bleue n'est pas voisine de la jaune.

De combien de manières différentes les maisons peuvent-elles être disposées ?

Résolution

Si on met la bleue en position 1, on peut avoir la jaune en position 3 ou 4,
Si on met la bleue en position 2 on ne peut mettre la jaune qu'en position 4,
On positionn ensuite les deux dernières maisons dans l'ordre orange rouge. Il y a 3 solutions.

Résultat

Il y a trois dispositions possibles : 1 - BOJR - 2 - BORJ - 3 - OBRJ.

02. Qui a volé quoi ?

Enoncé

Pour le vol suivant, qui relève de la logique, on retrouve Abou, Ibn et Hasib. L'un d’eux vola un cheval, un autre une mule et le dernier un chameau. Ils finirent par être rattrapés, mais…Voilà une bonne chose dit le roi.
Mais on ne savait pas qui avait volé quoi. Voici ce qu'ils déclarèrent lors du procès qu'on leur fit.
Abou : "C’est Ibn qui a volé le cheval."
Hasib : "Ce n'est pas vrai. Ibn a volé la mule."
Ibn : "lls mentent tous les deux Je n'ai volé ni mule ni cheval."
Il apparut que le voleur du chameau mentait, et que celui du cheval disait la vérité.

Qui a volé quel animal ?

Résolution

Ce problème a été traité le 26 mars 2020 (voir 610.11), le 1^er mars 2021 (voir 712.09) et le 28 mars 2022 (voir 811.06)

Résultat

Abou a volé le chameau, Hasib le cheval et Ibn la mule.

03. Marié ou pas ?

Enoncé

J'ai entendu l'histoire de deux frères, Bahman et Perwiz, à qui I’on demandait s’ ils étaient mariés. On sait qu’ils mentent tous les deux ou qu’ils disent la vérité tous les deux. Voici ce qu'ils répondirent :
Bahman : "Nous sommes tous les deux mariés."
PerviZ : "Je ne suis pas marié."

Bahman était-il marié ou non ? Et Perviz ?

Deuxieme version
Selon une autre version de l'histoire, ô magnanime souverain, Bahman n'aurait pas dit qu'ils étaient tous les deux mariés mais : "Ou bien nous sommes tous les deux mariés ou bien nous sommes célibataires.

Si cette version est correcte, que peut-on en conclure pour Bahman ? Et pour Perviz ?

Il existe aussi une troisième version de cette histoire, ô noble roi , à mon sens la plus intéressante de toutes. Dans cette version, Bahman affirmait qu'au moins l'un d'entre eux était marié. Quant à Perviz, on ne se souvenait plus s il avait affirmé qu'il était marié ou qu'il ne l'était pas. Cependant, l'homme qui avait interrogé les deux frères était un grand sage et il parvint à déduire le statut marital des deux frères.

Bahman est-il marié ou non ? Et Perviz ?

Résolution

Version 1 - Les affirmations ne sont pas cohérentes s'ils disent vrai tous les deux. Ils mentent et donc B est célibataire et P est marié.
Version 2 - Cette version ne permet pas de conclure pour P, mais B est célibataire dans les deux cas.
Version 3 - Cette version est cohérente si B ment. Conclusion : ils sont célibataires tous les deux.

Résultat

1, ils mentent, B est célibataire et P est marié ; 2, on peut juste dire que B est célibataire ; 3, ils mentent, ils sont célibataires

Après le cours

Le résultat pour la version 3 est faux. Ils mentent tous les deux et B et P sont célibataires.

Corrigé de la version 3

Bahman a dit qu'au moins l'un des deux était marié. Supposons que Perviz ait dit qu'il était marié. Les deux affirmations auraient alors pu être soit vraies soit fausses et le sage n'aurait eu aucun moyen de connaître la solution. Or nous savons qu'il détenait la solution. Perviz a donc dit qu'il n'était pas marié. Ne pouvant être toutes les deux fausses, les affirmations étaient donc vraies : Bahman est marié alors que Perviz ne l'est pas.

Résultat de la version 3 corrigé

3, Bahman est marié et Perviz ne l'est pas.

04. Anniversaire de Simon et Pierre

Enoncé

Pierre dit à Simon : J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais votre âge. Et quand vous aurez mon âge, la somme de nos âges sera de 63 ans.

Quels sont les âges de ces deux amis à l'heure actuelle ?

Résolution

Avec p l'âge de Pierre aujourd'hui et s l'âge de Simon aujourd'hui, l'écart des âges est p - s ;
Il y a (p - s) années, Pierre avait p - (p - s) = s années (heureusement !) et Simon avait s - (p - s) = 2s - p années ;
A ce moment là, p = 2(2s - p) ; 3p = 4s ;
Dans (p - s) années, Pierre aura p + p - s = 2p - s années et Simon aura s + p - s = p années ;
A ce moment là, 2p - s + p = 63 = 3p - s = 4s - s = 3s ; s = 63/3 = 21 et 3p = 4.21 = 84 ; p = 28
Sans être les mêmes on a traité 2 problèmes qui ressemblent, le 14 janvier 2019 (voir 506.13) et le 4 janvier 2021 (voir 709.14).

Résultat

Aujourd'hui Pierre a 28 ans et Simon en a 21.

05. Navire et âge du capitaine

Enoncé

Un navire a X cheminées, Y hélices et un équipage de Z hommes. Il a été lancé le jour N du Pème mois de l'année 1900 + T (T étant un nombre entier compris entre 1 et 99). Le produit X x Y x Z x N x P x T augmenté de la racine cubique de l'âge du capitaine est . 4752862

Combien y a-t-il d'hommes à bord ? Quelle est la date de lancement ?

Résolution

Ce problème a été traité le 9 mai 2022, (voir 813.13)

Résultat

Il y a 101 hommes à bord. La date de lancement est le 23 novembre 1931.

06. Partage du bien (issu d’un livre de 1624)

Enoncé

Un homme venant à mourir partage son bien consistant en certaine somme d'écus à ses enfants, en telle sorte qu'il ordonne que le premier prenne 1 écu et la septième partie du restant : en après que le second prenne 2 écus et la septième partie du reste ; et ainsi consécutivement des autres. Or le partage fait en cette façon il se trouve que chacun des enfants est également portionné.

On demande la somme des écus et le nombre des enfants.

Résolution

Résultat

Il y a 6 enfants qui reçoivent chacun 7 Ecus, à partir de la somme initiale de 42 Ecus.

Après le cours

Il y a une erreur dans le calcul

Résultat corrigé

Il y a 6 enfants qui reçoivent chacun 6 Ecus, à partir de la somme initiale de 36 Ecus.

07. Drôle de monnaie

Enoncé

Il existe un pays dans lequel il n'existe que des pièces de 5 et des pièces de 7.

Quelle est la quantité maximale que l'on ne peut pas obtenir avec ces deux types de pièces ?

Résolution

Il faut remarquer que 7 - 5 = 2. Cela veut dire que dans un groupe de n pièces de monnaie, si j'ajoute une pièce de 7 et je retire une pièce de 5, la somme est augmentée de 2 ;
Par ailleurs, 5 et 7 étant tout deux impairs, si n est impair la liste est impair et si n est pair la liste est celle des pairs ;
Exemple, j'ai 2 pièces de 7 et 4 pièces de 5 ; la somme est 34 ; Toujours dans ce groupe des 6 pièces, avec 3 de 7 et 3 de 5, la somme devient 36 ;
n = 6 (pair) ; Sommes 34, 36 (paires) ; Examen de quelques groupes de différents n :
- Si n = 7 on peut construire toutes les sommes impaires de 35 à 49 ;
- Si n = 6 on peut obtenir toutes les sommes paires de 30 à 42 ;
- Si n = 5 on obtient les sommes impaires de 25 à 35 ;
- Avec n = 4 on a les sommes paires de 20 à 28 ;
- Pour n = 3 on obtient les sommes impaires de 15 à 21 ;
- Si n = 2 les sommes obtenues sont paires de 10 à 14 ;
- En résumé pour n pièces on obtient la liste des sommes de deux en deux (paires ou impaires) de 5n à 7n ;
La question est maintenant d'examiner à partir de quand la continuité de l'alternance des paires et impaires est établie.

Résultat

La somme maximale qu'on ne peut pas obtenir est 23.

08. La facture effacée

Enoncé

Un marchand trouve dans un dossier une vieille facture sur laquelle plusieurs chiffres - marqués ici par des étoiles sont devenus totalement illisibles.

Il a besoin de reconstituer ce document. Y parviendra-t-il ? *1 à 2,*8, soit au total *98,38

Résolution

l y a 4 possibilités pour (a, c) : (0, 3) ; (1, 2) ; (2, 1) et (3, 0) ; On ne peut pas trouver b pour les couples (0, 3) et (2, 1)
Le couple (1, 2) admet 2 possibilités pour b : 4 ou 9 et le couple (3, 0) admet b = 5 ;
Les trios (a, b, c) : (1, 4, 2) et (3, 5, 0) ne conviennent pas. Le trio (1, 9, 2) convient. Voir le résultat à droite.

09. Le bon salaire

Enoncé

Jean cherche du travail. Une première entreprise lui propose 5000 €/semestre et une augmentation de son salaire semestriel de 100 € chaque semestre. Une seconde lui propose 10000 €/an et une augmentation de 400 € par an. Jean est un homme avisé.

Quelle entreprise choisit-il?

Résultat

La deuxième proposition est la meilleure par la suite.

Corrigé, solution mathmuse 2024

Dans la première entreprise Jean touche successivement par semestre 5000, 5100, 5200, 5300, 5400, 5500, 5600 soit par année: 10100, 10500, 10900, ..
Dans la deuxième entreprise, les salaires par année sont 10000, 10400, 10800, ... soit toujours 100 € de moins que dans l'entreprise 1.

Résultat corrigé

Jean doit choisir l'entreprise 1.

10.Valeur entière d’une fonction

Enoncé

Résolution

Combien existe-t-il d'entiers n strictement positifs tels que (3n + 4)/(2n – 1) soit un nombre entier ?

Résolution

Avec k = (3n + 4)/(2n - 1) ; On peut exprimer n = f(k) ; n = (k + 4)/(2k - 3)

Résultat

2 nombres n répondent à la question : 1 et 6.

11. Des ordinateurs sur mesure

Enoncé

Indices :

• L'ordinateur de Liliane, qui n'a pas un processeur à 3,6 GHz, a un stockage qui fait 0,5 To de moins que celui avec 4 Go de RAM et 1 To de plus que celui avec 24 Go de RAM.
• L'ordinateur avec 3 To de disque, celui de Sylvia et celui avec un processeur à 2,8 GHz, qui est pour Florence, sont des ordibateurs différents.
• L'ordinateur avec 4 To de disque n'a pas 12 Go de RAM.
• L'ordinateur avec un processeur à 2 GHz est soit celui de Liliane, soit celui avec 16 Go de RAM qui a 0,5 To de plus de stockage que celui de Sylvia.
• Claudia a mis 2 To de disque avec le processeur à 3,4 GHz.
• Entre l'ordinateur qui a un processeur à 3,6 GHz et celui dont le processeur est à 4 GHz, l'un a 3 To de disque, l'autre est celui de Gina qui n'a pas demandé 4 To de disque.

Les clients sont : Augustin, Florence, Gina, Liliane et Sylvia ;
Les disques durs ont les capacités suivantes : 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 et 4 To ;
La mémoire vive, la RAM a une taille de : 4, 12, 16, 20 ou 24 Go ;
La vitesse du processeur est : 2 ; 2,8 ; 3,4 ; 3,6 ou 4 GHz.

Résolution

Résultat

Sylvia : 2To, 24 Go, 3,4 GHz ; Augustin : 2,5 To, 16 Go, 2 GHz ; Liliane : 3 To, 12 Go, 4 GHz ; Gina : 3,5 To, 4 Go, 3,6 GHz ; Florence : 4 To, 20 Go, 2,8 GHz

12. Dans les deux sens

Enoncé

Deux coureurs partent au même instant des coins opposés d'un terrain carré de 3 km de côté et courent autour du bord à des vitesses distinctes v₁ et v₂ qui s’expriment en nombres entiers de kilomètres à l’heure. Au bout de la durée d qui s’exprime en un nombre entier de minutes strictement inférieur à 120, chacun revient à son point de départ, selon l’une des deux modalités suivantes: - ils vont dans le même sens et le coureur le plus rapide double une seule fois le deuxième coureur, - ils vont en sens inverse l’un de l’autre et ils se croisent pour la troisième fois une heure exactement après le départ.

Déterminer les vitesses v₁ et v₂ et la durée d de la course.

Solution Diophante

Si les deux coureurs vont en sens inverse : le premier croisement a lieu après 6/(v1 + v2), et le troisième après 30/(v1 + v2) : donc v1 + v2 = 30 km/h. Si les deux coureurs vont dans le même sens et que le plus rapide a doublé l’autre une fois, ce dernier a fait n tours tandis que l’autre en a fait n + 1 donc d*v1/60 = 12n et d*v2/60 = 12(n + 1) ; donc d(v1 + v2) = 720(2n + 1) ou d = 24(2n + 1) : puisque d est un entier strictement inférieur à 120, n = 1 ; donc d = 72, v1 = 10 et v2 = 20.

Résultat

v₁ = 10 km/h ; v₂ = 20 km/h ; d = 72 mn

13. Une suite de Clark Kimberling

Enoncé

On considère la suite infinie A d’entiers positifs de terme général a(m) définie par a(1) = 1, a(2)= 2 et pour tout m > 2, a(m) est le plus petit entier strictement supérieur à a(m –1) qui n’est pas de la forme a(i)*a(j) pour 1 ≤ i < j < m.

Q₁ Déterminer les trente premiers termes de A.
Q₂ L’entier 2022 appartient-il à A ? L’entier 2023 appartient-il à A ? Justifiez vos réponses

Résolution

2022 = 2.3.337 ; 2 existe mais pas 3.337 qui aura été éliminé auparavant par le produit 3.337 ; Donc 2022 fait partie de A ;
2023 = 7.17.17 ; 17.17 n'aura pas été éliminé (i - j) ; Les deux facteurs i = 7 et j = 17.17 existent ; Donc 2023 ne fait pas partie de A

Résultat

Voir la liste des 30 premiers termes de A ci-dessus ; 2022 fait partie de A ; 2023 ne fait pas partie de A

14. As contre As

Enoncé

Jules tire une à une les cartes d’un jeu de 52, jusqu’à retourner un as noir. Puis c’est Romain qui prend le paquet et tire les cartes une à une jusqu’à retourner l’autre as noir. Le gagnant est celui qui retourne le plus de cartes.
Le jeu est-il équitable ?
Si tous deux retournent le même nombre de cartes, la partie est nulle ;
Quelle est la probabilité de partie nulle ?

Solution Diophante

Soit j et r les rangs des as noirs tirés respectivement par Jules et Romain.
Chaque partie est caractérisée par le point (j, r) dans le diagramme où 1 ≤ j < r ≤ 52.
Comme r va de j + 1 à 52, pour j allant de 1 à 51, ce diagramme a 1326 (51x52/2)points équiprobables.
Jules retourne j cartes, Romain r − j (de j + 1 à r), ainsi Jules gagne.
si r < 2j, Romain gagne ; si r > 2j, la partie est nulle ; si r = 2j, soit 26 points, éventualité de probabilité 26/1326 = 1/51.
Le jeu est équitable car, à r donné, il y a autant de points 1 ≤ j < r/2 que de points r/2 < j ≤ r − 1.

Résultat

Le jeu est équitable.