Nous sommes un jeudi de mars d’une année bissextile. Quel jour serons-nous dans 2024 jours ?
2024 = 289.7 + 1 ; Le jour suivant dans la semaine est un vendredi.
En partant d'un jeudi, dans 2024 jours nous serons un vendredi.
7619 : Deux chiffres sont bons et mal placés
4763 : Rien n’est bon
0451 : Un chiffre est bon et mal placé
5942 : Deux chiffres sont bons et bien placés
Tous les chiffres du code sont différents.
Quel est le code du cadenas ?
La solution pourrait être : 1982 ; Pas de 3467 ; 19 mal placés ; 1 mal placé (pas de 5) ; 92 bien placés (pas de 5)
Le code du cadenas est 1982.
123 : Rien n’est bon.
612 : Un chiffre est bon et mal placé.
456 : Un chiffre est bon et mal placé.
158 : Un chiffre est bon et bien placé, un chiffre est bon et mal placé.
Quel est le code ?
Apparaît incohérent ; Les chiffres 123 semblent interdits ; Il reste 6 en 2, qui est aussi en 3 ; il ne resterait que 5 en 3 ;
En 4 il n'y a plus que le chiffre 8 possible pour 2 valeurs ?
On pourrait dire : 568 ce qui obéit aux affirmations 1, 2 et 4 ; mais pour l'affirmation 3 on a 2 chiffres bons et mal placés au lieu de 1 ;
On pourrait dire 568 sans garantie.
Evidemment, ce n'était pas bon. D'accord pour éliminer le 1, le 2 et le 3. Donc le 6 est en 2 ou 3, et comme il n'est pas en 3,
il est en 2.
Donc le 5 est à éliminer ; Il ne reste que le 8 qui est bien placé en 3, mais aussi mal placé en 1.
Le code est 868.
Au cinéma, une rangée de 23 sièges est entièrement occupée par des kangourous et des koalas, un animal par siège. Chaque animal a au moins un kangourou assis à coté de lui.
Combien au maximum, peut-il y avoir de koalas dans cette rangée ?
Les kangourous sont au moins par 2. Le motif est donc : kO, kA, kA. A la position 21 on a kA, puis kA en 22 et en 23 ;
21/3 = 7. On ne peut pas en mettre un de plus à la fin.
Dans cette rangée il y a 7 koalas au maximum.
On peut faire mieux ! On peut grouper 2 koalas. Le motif est : kO, (kA, kA, kO, kO, 5 fois), kA, kA ; 2.5 + 1 = 11
Résultat corrigéDans cette rangée il y a 11 koalas au maximum.
| 90 | 3 |
| 89 | 2 |
| 88 | 1 |
| ... | ... |
| 4 | 85 |
| 3 | 90 |
| 2 | 89 |
| 1 | 88 |
Laura voit sur une table une tour faite de blocs numérotés dans l'ordre de 1 à 90.
Elle prend en même temps les 3 blocs du haut et les pose sur la table.
Puis elle continue en prenant à chaque fois les 3 blocs du haut de la tour initiale pour les placer sur une nouvelle tour.
Dans la nouvelle tour de 90 blocs construite par Laura, combien y a-t-il de blocs entre les blocs numérotés 39 et 40 ?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
En numérotant les groupes de 3 blocs par n = 0 à 29, dans le groupe n, les nos des blocs sont : 3n + 1, 3n + 2 et
3n + 3 ;
Exemple 1 avec n = 0 les blocs sont 1, 2 et 3 ; Exemple 2 avec n = 29 les blocs sont 88, 89 et 90 ;
39/3 = 13 ; 39 = 3.12 + 3 et 40 = 3.13 + 1 ; Dans la nouvelle tour, le bloc 3n + 1 est posé sur le bloc 3(n + 1) + 3 ;
L'écart est de 3n + 3 + 3 - 3n - 1 = 5. En effet 90 - 85 = 5 ; On a 5 intervalles et 4 piquets (sans compter ceux des bouts) ;
Dans la nouvelle tour, la superposition de bas en haut est : 40, 41, 42, 37, 38, 39 ; les blocs 41, 42, 37 et 38 sont entre les 40 et 39 ;
Dans la nouvelle tour il y a 4 blocs entre les n0 40 et 39 (réponse E).
Combien de liste de plusieurs (au moins 2) entiers consécutifs ont pour somme 54 ?
Pour la petite histoire, j'ai commencé par oublier le mot consécutif et j'ai compté : 27 additions de 2 nombres, 224 additions
de 3 nombres, 854 additions de 4 nombres. Puis j'ai relu l'énoncé ... miracle ! C'est bien plus facile.
Calcul de la somme des nombres consécutifs de n à p = S = Σ de 1 à p - Σ de 1 à (n - 1) = p(p + 1)/2 - n(n - 1)/2 ;
S = (p2 + p)/2 - (n2 - n)/2 ; On veut S = 54 ; p = f(n) = (p2 + p) - (n2 - n) - 108 = 0 ;
p = (-1 + √(1 + 4 (n2 - n + 108)))/2 ; On trouve trois listes : 2, 3, ...10 ; 12, 13, 14, 15 ; 17, 18, 19 ;
On peut aussi chercher la somme de 2 nombres (elle est impaire, çà ne marche pas), la somme de trois nombres en faisant 54/3 = 18 d'où :
17 + 18 + 19 ;
La somme de quatre nombres en faisant 54/4 = 13,5 d'où : 12 + 13 + 14 + 15 ; Avec 5, 6, 7, 8 nombres çà ne marche pas ;
La somme de 9 nombres en faisant 54/9 = 6 d'où : 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 10
Il y a trois listes.
Dans chacun des sept cercles de la figure on écrit un entier parmi les dix entiers de 0 à 9. Les sept entiers écrits sont différents.
Les produits des trois nombres de chacun des trois alignements indiqués doivent être égaux.
| 1 | 9 | 8 |
| 3 | 4 | 6 |
| 2 |
Quel nombre sera écrit dans le cercle ayant un point d'interrogation ?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
Parmi les 84 combinaisons de 3 chiffres d'une liste de 9, il a été trouvé trois fois le même produit dans trois cas :
produit 24 = 138.146.234 ; 48 = 168.246.238 ; 72 = 189.349.346 ; Seul le dernier convient avec seulement 2 chiffres répétés ;
Sur le point d'interrogation il faut placer le 2 (réponse A). Voir ci-contre le résultat. Il y a 8 permutations possibles.
On peut aborder le problème en considérant les différents facteurs possibles. Le 0 est éliminé ainsi que le 5 et le 7 qui ne
peuvent pas être inclus dans une autre rangée ;
Il reste les chiffres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9. La répartition de ces chiffres est dans deux lignes plus le "?" ;
Dans le produit global il y a : 2.3.22.2.3.23.32 = 27.34 ; Comment grouper pour avoir un carré
et un facteur indépendant ?
On peut faire : 2.(23.32)2 ou bien 8.(22.32)2 ; Le choix du 8 ne permet pas de
construire les autres facteurs ; Seul le 2 convient pour le "?".
La figure est la carte d'un parc divisé en neuf régions.
Le nombre à l'intérieur de chaque région est le périmètre (en km) de cette région.
Quel est le périmètre du parc ?
A) 22 km B) 26 km C) 28 km D) 30 km E) 32 km
Le périmètre du parc est égal à la somme des régions périphériques diminuée des régions internes et augmentée de la région centrale ;
Plus précisemment : AFG = AF + FG + AG = 3 ; ABG = AB + AG + BG = 11 ; BCB = BCd + CBg = 9 ; CDC = CDb + CDh = 4 ;
DEH = DE + EH + HD = 6 ; EFH = EF + FH + EH = 7 ; AEF = AE + AF + EF = 12 ; FGH = FG + GH + FH = 4 ; BCDHG = BC + CD + DH + HG + BG = 10 ;
P = Périmètre cherché = ABG + BCB + CDC + DEH + AEF + FGH - AFG - EFH - BCDHG
P = AB + BG + GA + BCd + BCg + CDb + DCh + DE + EH + DH + AE + AF + EF + FG + GH + FH - AF - AG - FG - EF - FH - EH - BCg - CDh - DH - HG - BG
P = AB + BCd + CDb + DE + AE = 11 + 9 + 4 + 6 + 12 + 4 - 3 - 7 - 10 = 26 ;
Le périmètre du parc est de 26 km (réponse B).
A partir d’un entier k quelconque positif, on peut fabriquer l’entier 3k + 1 ou bien l’entier k/2 si k est pair ou bien l’entier (k – 1)/2 si k est impair.
Prouver qu’à partir de l’entier 1 on sait fabriquer n’importe quel entier positif en un nombre fini d’étapes.
k nous permet d'obtenir k1 = 3k + 1, ou bien k2 = k/2, ou bien k3 = (k - 1)/2 ; k1 progresse vars les triples, tandis que
k2 et k3 régressent vers les demis ;
il nous faut donc vérifier qu'on passe bien partout ;
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
| k1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 | 25 | 28 | 31 | 34 | 37 | 40 | 43 | 46 | 49 | 52 | 55 | 58 | 61 | 64 | 67 | 70 | 73 | 76 | 79 | 82 | 85 | 88 | 91 | 94 |
| k2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||||||||||||||||
| k3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Début du cheminement : 1 ; 4 ; 2 ; 7 ; 13 ; 6 ; 3 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 19 ; 9 ; 22 ; 11 ; 25 ; 12 ; 28 ; 14 ; 31 ; 15 ;
Il semble bien qu'on puisse passer partout, mais la démonstration n'est pas rigoureuse.
En fait dans k2 et k3 on a tous les représentants. k2 ou k3 sera l'étape finale obtenue à partir d'un "double" ;
En effet k = 2k2 ou 2k3 + 1. Pour remonter vers les valeurs plus faibles il faut utiliser un "tiers" (si possible) ;
En effet k = (k1 - 1)/3 à condition d'avoir obtenu un k1 de la forme 3k + 1. Sinon il faut refaire un "double" (direct ou le double +1) ;
L'objectif, le nombre à atteindre se présente sous les trois formes possibles : 3n ; 3n + 1 ; 3n + 2 ;
Pour atteindre 3n + 1 on peut partir de n qui est inférieur à 3n + 1, on est bien remonté vers le 1 d'origine ;
Pour atteindre 3n + 2 on ne peut que partir de la forme (double) 6n + 4 = 3(2n + 1) + 1. Ensuite on pourra remonter au tiers (2n + 1)
< (3n + 2) ;
Pour atteindre 3n on ne peut que partir de la forme (double impaire) 3(2n) + 1. On remontera ensuite par la forme tiers 2n avec 2n < 3n
n étant un entier positif à deux chiffres, et m la somme des trois entiers qui le suivent, combien existe-t-il d’entiers n tels que m soit un entier à deux chiffres avec les mêmes chiffres que n ?
m = 3n + 6 ; ou, n = (m - 6)/3 ; m maxi = 99 ; n maxi = (99 - 6)/3 = 31 ; Si on représente n par 10a + b ;
m = 30a + 3b + 6 = 10b + a ; b = (29a +6)/7 ; Il n'y a qu'un couple qui répond à cette relation : a = 1 ; b = 5 ;
Il n'existe qu'un seul nombre n entier : 15.
TRAC est un parallélogramme où la longueur du segment RA est de 6,28 cm et où la longueur du segment CA est de 3,14 cm. I est le milieu de RA.
Vous avez trois minutes pour calculer l'angle TIC.
RA = 2TR = 2CA ; I milieu de RA ; TR = RI = IA = AC ; Les triangles TRI et IAC sont isocèles ;
RTI = RIT = TII' = (180 - TRI)/2 ; ACI = AIC = CII' = (180 - CAI)/2 ; TRI + CAI = 180 ; TIC = TII' + I'IC ;
TIC = (180 - TRI)/2 + (180 - CAI)/2 = (360 - TRI - CAI)/2 = (360 - 180)/2 = 90 ;
L'angle TIC est droit.
La solution du corrigé est très brève et séduisante : Avec I'T = I'I = I'C ; Le cercle de centre I' et de rayon I'T passe par
T, I et C ;
L'angle TIC est inscrit dans un demi cercle, il est droit.
Trouver tous les triplets (a, b, c) d'entiers positifs, avec a ≤ b ≤ c, qui ne soient pas tous les trois multiples d'un même nombre premier mais tels que a divise b + c, b divise a + c et c divise a + b.
En incluant le nombre 1 on a les 3 triplets (1, 1, 1) ; (1, 1, 2) ; (1, 2, 3) ; Puis avec chacun des nombres premiers n, on a tous les triplets (n, n, n) ;
Il y a une infinité de solutions : (1, 1, 1) ; (1, 1, 2) ; (1, 2, 3) puis (np, np, np) avec np premier quelconque.
Le corrigé considère que np ne fait pas partie de la solution.
Il y a trois solutions : (1, 1, 1) ; (1, 1, 2) ; (1, 2, 3)
Je vous propose aujourd'hui cet exemple en vous révélant sa jolie méthode pour le résoudre.
JJS2 = ELYSEE
Solution unique. Jean-Jacques Servan-Schreiber aussi appelé par ses initiales JJSS (1924-2006), est un journaliste, essayiste et homme politique
français.
E = 4 ; J = 6 ; L = 3 ; S = 2 ; Y = 8 ; JJS = 662 ; JJS2 = 438244 ; ELYSEE = 438244
6622 = 438244
Combien d'entiers positifs k à trois chiffres existe-t-il tels que, en soustrayant de k la somme de ses chiffres, on obtient un nombre qui a trois chiffres identiques ?
En mettant k sous la forme 100a + 10b + c ; k' (k transformé) devient : 100a + 10b + c - a - b - c = 99a + 9b ;
Le résultat est de la forme 111d ;En simplifiant par on a : 3(11a + b) = 37d ; Pour avoir 37d multiple de 3, on peut prendre d = 3, 6 ou 9 ;
Avec d = 3 ; b = (111 - 33a)/3 fonctionne pour a = 3 et b = 4 ;
Avec d = 6 ; b = (222 - 33a)/3 fonctionne pour a = 6 et b = 8 ;
Avec d = 9 ; b = (333 - 33a)/3 ne fonctionne pas ; La valeur de c est invariante ; c peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9 ;
Il existe 20 nombres de trois chiffres qui répondent à la question : 340, 341, 342, 343, ... 349, 680, 681, ... 689