De midi à minuit, monsieur Chat dort sous le chêne et de minuit à midi, il raconte des histoires. Au dessus de lui, sur le tronc du chêne,
une affiche indique : « il y a deux heures, monsieur Chat faisait ce qu’il ferra dans une heure »
Combien d’heures par jour l’affiche dit-elle la vérité ?
Résolution
L'affiche dit la vérité à partir de 2 heures et jusqu'à 11 heures ; 11 - 2 = 9.
Corrigé
Egalement après midi, l'affiche dit la vérité de 14 heures à 23 heures ; La durée totale est donc de 18 heures.
Résultat
L'affiche dit la vérité pendant 9 18 heures.
02. Tableau à 4 colonnes
Enoncé
A
B
C
D
De combien de manières différentes peut-on placer les lettres A, B, C et D dans la deuxième ligne, de façon à ce qu'il n'y ait pas de
colonne avec deux lettres identiques ?
Résolution
Pour les deux premières colonnes, on peut prendre : BA, BC, BD, CA, CD, DA, DC
Les lettres restantes peuvent s'assembler de cette façon : BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA.
Résultat
Il y a 9 manières de placer les lettres dans la deuxième ligne.
03. Somme fait 7
Enoncé
Combien existe-t-il de nombres entiers positifs inférieurs à 1000 dont la somme des chiffres vaut 7 ?
Résolution
D'une manière générale, les trois chiffres à choisir sont : 007, 016, 025, 034, 115, 124, 133, 223
Nombres à un chiffre on n'a que le 7
Nombres à deux chiffres, (2 formes pour chacun, 16 et 61 ...), donc 16, 25 et 34 donnent 2 x 3 = 6 nombres
Nombres à trois chiffres avec 2 zéros, il n'y a que 700, 1 nombre
Nombres à trois chiffres avec un zéro, (016 donne 106, 160, 601 et 610), donc 016, 025 et 034 produisent 3 x 4 = 12 nombres
Nombres à trois chiffres sans zéro mais avec deux identiques, (avec 115 on a 115, 151, 511), donc 115, 133 et 223 produisent 3 x 3 = 9 nombres
Nombres à trois chiffres tous différents et sans zéro, il n'y a que 124 qui produit 124, 142, 214, 241, 412, 421, donc 6 nombres
1 + 1 + 6 + 12 + 9 + 6 = 35
Corrigé
Il manque une valeur : 70. En fait le raisonnement global se résume à deux cas de figures :
1 - Ceux qui ont deux chiffres communs : 007, 115, 133, 223 qui se déclinent en 3 possibilités (007, 070, 700) ; 3 x 4 = 12 ;
2 - Ceux qui n'ont aucun chiffre commun : 016, 025, 034, 124 qui donnent 6 formes (124, 142, 214, 241, 412, 421) ; 6 x 4 = 24 ; 12 + 24 = 36
Résultat
35 36 nombres < 999 produisent une somme des chiffres égale à 7.
04. Le produit fait 100
Enoncé
Mathieu a choisit 101 nombres entiers entre 0 et 99. Il en fait le produit et trouve 100.
Combien de choix différents des 101 nombres pouvait-il faire (sans tenir compte de l’ordre).
Résolution
100 = 2.2.5.5
Il n'y a qu'un choix possible ; 2 fois le chiffre 2, 2 fois le chiffre 5 et 97 fois le chiffre 1.
Corrigé
En fait Le produit 22.52 peut se décliner en plusieurs variantes :
1 ; 50 x 2 x (99 fois le nombre 1) ;
2 ; 25 x 4 x (99 fois le nombre 1) ;
3 ; 25 x 2 x 2 x (98 fois le nombre 1) ;
4 ; 20 x 5 x (99 fois le nombre 1) ;
5 ; 10 x 10 x (99 fois le nombre 1) ;
6 ; 10 x 5 x 2 x (98 fois le nombre 1) ;
7 ; 5 x 5 x 4 x (98 fois le nombre 1) ;
8 ; 5 x 5 x 2 x 2 x (97 fois le nombre 1)
Résultat
Un seul choix : 97 fois le chiffre 1, 2 fois le chiffre 2 et 2 fois le chiffre 5. Il y a 8 choix différents.
05. Pour arriver 5 heures plus tôt
Enoncé
Alexis doit voyager et prévoit d’aller à une certaine vitesse. Il remarque que si il augmentait cette vitesse de 5 km/h il arriverait 5 heures
plus tôt. Si il l’augmentait de 10 km/h, il arriverait 8 h plus tôt.
Quelle est la distance à parcourir ?
Résolution
Avec
v la vitesse (en km/h)
t le temps (en heures)
d la distance (en km)
On a :
d = vt
d = (v + 5)(t - 5)
d = (v + 10)(t - 8)
vt = vt + 5t - 5v - 25
vt = vt + 10t - 8v - 80
5t - 5v = 25
10t - 8v = 80
t - v = 5
t = v + 5
5t - 4v = 40
5v + 25 - 4v = 40
v = 15
t = 15 + 5 = 20
d = tv = 20 x 15
d = 300
Résultat
La distance à parcourir est de 300 km.
06. KAN
Enoncé
r2
r1
K
A
N
6
8
4
6
5
8
+
K
A
G
+
6
8
1
+
6
5
9
+
K
N
G
+
6
4
1
+
6
8
9
=
2
0
0
6
=
2
0
0
6
=
2
0
0
6
KAN + KAG + KNG = 2006
Chaque lettre représente un chiffre différent.
Trouver deux solutions.
Résolution
Pour les centaines on a : r2 + 3K = 20 ; K = 6 ; r2 = 2 ;
Pour les dizaines on a : r1 + 2A + N = 20 ; 2A = 20 - N - r1 ; A retenir pour l'instant : N + r1 doit être pair ;
Pour les unités on a : N + 2G = 10r1 + 6 ; Compte tenu de la parité de N + R1 on obtient : 5 groupes de solutions partielles, puis en appliquant la
relation des dizaines, il reste 2 solutions :
N
0
2
4
6
8
r1
0
0
0
0
2
G
3
2
1
0
9
A
Non
Non
8
Non
5
Résultat
Voir les deux solutions ci-dessus à droite.
07. Un train
Enoncé
Un train est constitué de 5 wagons notés I, II, III, IV et V.
Combien y a-t-il de manières d’arranger les wagons de telle sorte que le wagon I soit toujours plus proche de la locomotive
que le wagon II ?
Résolution
!5 = 120. Il y a 120 arrangements possibles de 5 wagons ;
Si le wagon I est en position 1, le wagon 2 est toujours derrière ; !4 = 24 ; Les 24 arrangements sont acceptables ;
Si le wagon I est en position 2, le wagon II se répartit équitablement entre les positions 1 d'une part et les positions 3, 4 et 5 ;
1/4 des positions de ce wagon II en 1 sont à rejeter ; Il en reste 24 - 24/4 = 18 ;
Si le wagon I est en position 3, le wagon II sera présent 12 fois dans les positions 1 et 2 à rejeter et 12 fois dans les position 3 et 4 ;
Si le wagon I est en position 4 il y a 3/4 des arrangements à rejeter, il en reste 1/4 ; 24/4 = 6 positions acceptables ;
Si le wagon I est en position 5, tout est à rejeter puisque le wagon II sera toujours devant ;
24 + 18 + 12 + 6 = 60 ; Finalement sur les 120 arrangements des 5 wagons au complet il n'y en a que la moitié qui est acceptable.
Résultat
Il y a 60 manières d'arranger les wagons.
08. Le nombre de Christophe
Enoncé
Christophe écrit tous les nombres dans lesquels chaque groupe de deux chiffres consécutifs est l’écriture d’un carré parfait.
Combien de chiffres a le plus grand des nombres écrits par Christophe ?
Résolution
Les carrés de deux chiffres sont : 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81. Il y en a 8. Le nombre de Christophe a 16 chiffres.
Corrigé
Il fallait bien lire "... chaque groupe de deux chiffres ..."
La succession la plus longue est : 81 ; 16 ; 64 ; 49
Résultat
Le plus grand des nombres de Christophe a 16 5 chiffres. Il s'agit de : 81649.
09. Somme des chiffres
Enoncé
Soit X un entier, Y la somme de ses chiffres, et Z la somme des chiffres de Y
Trouver les valeurs de X tels que X+Y+Z = 60
Résolution
Avec X = 10d + u ; Y = d + u ; Il y a 2 cas de figure, soit d + u < 10, soit d + u > 9
Si d + u < 10 ; Z = d + u ; X + Y + Z = 12d + 3 u = 60 ; u1 = 20 - 4d
Si d + u > 9 ; Z = d + u - 9 ; X + Y + Z = 12d + 3u - 9 = 60 ; u2 = 23 - 4d
d
2
3
4
5
6
u1
12
8
4
0
-4
Commentaire
Non, u1 > 9
Non, d + u1 > 9
Oui, X = 44
Oui, X = 50
Non, u1 < 0
u2
15
11
7
3
-1
Commentaire
Non, u2 > 9
Non, u2 > 9
Oui, X = 47
Non, d + u2 < 9
Non, u2 < 0
Résultat
Trois solutions pour X : 44 ; 47 ; 50
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
À l’aide d’opérations simples, écrivez 60 en utilisant sept 2.
Il y a ausi :
2(2.2.2.2.2 - 2)
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Dans cette grille,
trouvez trois nombres dont la somme est 59 et qui sont disposés en V dans la position illustrée.
x + x + 6 + x + 5 = 3x + 11 = 59
x = 16 ; 59 = 16 + 22 + 21
c
Martine a compté 42 éléphants de collection sur deux tablettes. Il y a quatre éléphants de plus sur une tablette
que sur l’autre. Combien y a-t-il d’éléphants sur chaque tablette ?
x + x + 4 = 42 ; x = 19
Il y a 19 et 23 éléphants.
d
7
16
25
34
43
Danielle a écrit une série de cinq nombres. Trouvez le nombre qui devrait logiquement suivre.
Progression arithmétique de raison 9
43 + 9 = 52.
11. Total 2006
Enoncé
Paul a supprimé un nombre parmi dix entiers naturels consécutifs. La somme des entiers restants est alors 2006.
Quel chiffre Paul a supprimé ?
Résolution
Voyons d'abord avec 9 entiers consécutifs : Somme = 2006 = x + (x + 1) + ( x + 2) + ... + (x + 8) = 10x + Σi
(avec i de 1 à 8) = 10x + 8x9/2 = 10x + 36
10x = 2006 - 36 = 1970 ; 1970 = 219x - 1 ; Cela devrait marcher avec : 218 + 220 + 221 + ... + 227 ; Après vérification, c'est bien ça.
Résultat
Le nombre supprimé est 219, le deuxième de la liste de 218 à 227.
12. Chorale
Enoncé
L’année dernière, il y avait 30 garçons de plus que de filles dans la chorale de l’école.
Cette année, le nombre des membres de la chorale a augmenté de 10% : le nombre de filles a augmenté de 20% et le nombre de garçons de 5%.
Combien de membres compte la chorale cette année ?
Résolution
L'année dernière il y avait f filles et f + 30 garçons ; le total était 2f +30 ;
Cette année il y a 1,2 f filles et 1,05(f + 30) garçons : le total est 2,25f + 31,5 ;
L'augmentation de l'effectif total étant de 10%, on a : 2,25f + 31,5 = 1,1(2f + 30) ; f = 30 ; 2,25 x 30 + 31,5 = 99.
Résultat
Cette année il y a 99 membres dans la chorale.
13. Loterie
Enoncé
Lors d'une loterie, on demande aux joueurs de tirer trois jetons parmi 100 jetons numérotés de 0 à 99. Si l'un des numéros est la somme
des deux autres, l'ensemble de ces trois jetons est gagnant.
Combien d'ensembles gagnants à trois jetons est-il possible de former ?
Résolution
1 + 2 = 3 ; 1 + 3 = 4 ; 1 + 4 = 5 ; On peut associer 1 à tous les consécutifs de 2 à 98, soit 97 possibilités ;
On peut associer 2 à tous les groupes de 2 jetons espacéss de 2 depuis 3 jusqu'à 97, soit 95 possibilités ;
...
On peut associer 48 à tous les groupes de 2 jetons espacés de 48 depuis 49 jusqu'à 51, soit 3 possibilités ;
On peut associer 49 à tous les groupes de 2 jetons espacés de 49 depuis 50 jusqu'à 50, soit 1 possibilité ;
Finalement, le nombre d'ensembles gagnants de 3 jetons est la somme des 49 1ers nombres impairs ; cette somme vaut 492 = 2401 ;
Ce résultat est à comparer au nombre de combinaisons de 3 parmi 99 = 99!/(3!96!) = 97.98.99/6 = 156849 ;
1,53 % de ces combinaisons sont gagnantes.
Résultat
On peut former 2401 ensembles gagnants.
14. Deux copains de classe
Enoncé
Xavier et Yves sont deux copains de classe.
Si j'additionne les chiffres du nombre obtenu lorsque j'additionne leur âge, je trouve l'âge de Xavier.
Si j'additionne les chiffres du nombre obtenu lorsque je multiplie leur âge, j'obtiens l'âge d'Yves.
Si j'additionne l'addition et la multiplication de leurs âges, je trouve un nombre dont les chiffres sont leurs âges.
Si je retranche les unités de la multiplication et de l'addition de leurs âges, et en additionnant les deux résultats, j'obtiens la somme de
l'addition et de la multiplication des âges d'Yves et Xavier si Yves avait l'âge de Xavier.
Mais au fait, lequel des deux a échoué en maths l'année dernière?
Solution Milou38 alias Marie-Laure
Les âges des 2 enfants peuvent être (en restant dans ce qui est vraisemblable pour 2 copains de classe) : 6 et 9, 7 et 9 , 8 et 9, 9 et 9 ,
10 et 9
en effet: 6+9 = 15 somme 6; 7+ 9 = 16 somme 7 ; 8 +9 = 17 somme 8 , 9 + 9 = 18 somme 9 10 + 9 = 19 somme 10 ou 1 , on élimine cette possibilité
et les suivantes.
et 6 x 9 = 54 somme 9 (âge d'Yves) 7 x 9 = 63 somme 9 , 8 x 9 = 72 somme 9 ; 9 x 9 = 81 somme 9 , tout ceci grâce aux propriétés du chiffre 9
on vérifie la somme des additions et multiplications : 15 + 54 = 69 (pour les âges 6 et 9 ), 16 + 63 = 79 (âges 7 et 9 ) etc ...
dernière proposition : on retranche les unités aux résultats des multiplication et addition
pour 6 et 9 : 54 + 15 devient 50 + 10 = 60 et 6 + 6 + 6x6 = 12 +36 = 48 résultat incorrect
pour 7 et 9 : 63 +16 devient 60+10= 70 et 7+ 7 + 7 x 7 = 14 + 49 = 63 résultat incorrect
pour 8 et 9 : 17 + 72 devient 10 + 70 = 80 et 8+ 8 + 8 x 8 = 16 + 64 = 80 . égalité entre les 2 résultats ; il s'agit donc de :
Xavier a 8 ans, Yves a 9 ans mais je ne sais pas qui a échoué en maths , Yves parce qu'il a redoublé ?