Antoine, Bruno, Charles, Denis et Etienne tiennent le rôle d’un roi, d’un soldat, d’un fou, d’un bourreau et d’un prisonnier dans une
pièce de théâtre.
Antoine
Bruno
Charles
Denis
Etienne
Roi
Oui
Soldat
Oui
Non
Fou
Non
Non
Oui
Non
Bourreau
Non
Non
Non
Oui
Prisonnier
Non
Non
Oui
Antoine, Bruno et le prisonnier ne connaissent pas encore leur texte par cœur.
Pendant les pauses, le soldat joue aux cartes avec Denis.
Antoine, Bruno et Charles critiquent la manière de jouer du bourreau.
Le fou apprécie le jeu de Bruno, de Charles et d’Etienne, mais déteste celui du soldat.
Peux-tu attribuer à chacun d’eux son rôle ?
Résolution
Le point clé est sur l'affirmation 4 : le fou déteste le jeu du soldat qui est soit Denis, soit Antoine. Comme Denis n'est pas soldat,
c'est Antoine.
Résultat
Voir la grille ci-dessus, à droite : Antoine, soldat ; Bruno, roi ; Charles, prisonnier ; Denis, fou ; Etienne, bourreau.
02. Boite 3 couleurs
Enoncé
Une boîte contient 60 tickets : des rouges, des bleus et des blancs. Si tous les tickets rouges étaient remplacés par des bleus,
il y aurait alors deux fois plus de tickets bleus que de blancs. Si tous les tickets blancs étaient remplacés par des bleus, il y aurait
alors trois fois plus de tickets bleus que de rouges.
Combien de tickets bleus contient la boîte ?
Résolution
Avec
x le nombre de rouges
y le nombre de bleus
z le nombre de blancs
Les équations sont :
x + y + z = 60
x + y = 2z
y + z = 3x
x = 60 - y - z
60 - y - z + y = 2z
3z = 60
z = 20
x = 40 - y
y + z = 3x = 120 - 3y = y + 20
4y = 100
y = 25
x = 40 - 25
x = 15
Résultat
Il y a 15 rouges, 25 bleus et 25 blancs.
03. Les enseignants
Enoncé
Il y a cinq matières à enseigner : anglais, français, maths, histoire et géographie.
Anglais
Français
Maths
Histoire
Géographie
Lenoir
Oui
Oui
Non
Oui
Non
Leblanc
Oui
Oui
Oui
Leroux
Oui
Oui
Oui
Non
Monsieur Lenoir ne sait pas ce qu'est un angle.
Monsieur Leblanc est le seul à savoir où sont les montagnes Rocheuses.
Chacun enseigne trois matières.
Aucune matière n’est enseignée par 3 personnes.
Certaines matières sont enseignées par 2 personnes.
Monsieur Leroux est bilingue et aime bien les maths.
Les profs d’Anglais enseignent aussi le Français.
Qui enseigne quelles matières?
Résultat
Voir la grille ci-dessus à droite : Anglais et Français par Lenoir et Leroux, Maths par Leblanc et Leroux, Histoire par
Lenoir et Leblanc, Géo par Leblanc.
04. La question d'Elon Musk
Enoncé
Pour le recrutement de ses ingénieurs, Elon Musk pose des questions techniques.
Voici une de ces questions : Vous êtes à un endroit sur terre. Vous faites 10 km vers le sud, puis 10 km vers l’est puis 10 km vers le nord.
Vous vous retrouvez au point de départ.
Où êtes-vous ?
Surprise ; le candidat a trouvé une solution juste à laquelle Elon Musk n’avait pas pensé
Résultat
Je suis au pôle nord ou bien je suis à 10 km du pôle sud.
Correction
Le pôle nord est la solution à laquelle tout le monde pense. Mais si on se place, dans l’hémisphère sud, à 10 km au nord du parallèle
dont la circonférence fait 10 km , on a une autre (infinité) de solutions. En prenant le paralelle dont la circonférence fait 10/N km,
avec N entier, on a une série de solutions.
05. Nombre à deux chiffres
Enoncé
Combien y a-t-il de nombres à deux chiffres, dont l’un est pair et l’autre impair ?
Trouver tous les nombres premiers à deux chiffres dont le reste de la division par 3 est 1 et le reste de la division
par 5 est 4.
Résolution
Les nombres dont le reste de la division par 3 est 1 sont de la forme : 3k + 1
Les nombres dont le reste de la division par 5 est 4 sont de la forme : 5k + 4 ou 5k -1
On a une périodicité de 3 x 5 = 15. Il suffit de trouver le premier. Si je fais k = 1 : 3k + 1 = 4 et 5k - 1 = 4. 4 est le 1er
terme
4 est le premier terme qui est pair, donc à éliminer. On peut démarrer à 4 + 15 = 19 et continuer avec une périodicité de 2 x 15 = 30
19 est premier, il répond à la question
19 + 30 = 49 n'est pas premier (7 x 7 = 49)
49 + 30 = 79 qui est premier
79 + 30 = 109. On est hors limite.
Résultat
Il y a deux nombres premiers qui répondent à la question : 19 et 79.
07. Chien en liberté
Enoncé
a
b
c
i
d
h
e
j
f
g
k
l
Marcelle a partagé son champ en 42 parcelles carrées comme ci-contre. Le chien, gardien de la ferme, est placé au centre de la rangée
horizontale supérieure. Pour atteindre la rangée inférieure Il doit uniquement se déplacer obliquement, sans jamais revenir en arrière.
Toutefois, il ne peut pas passer par les deux parcelles qui sont en rouge.
Combien y a-t-il de chemins permettant d’atteindre une parcelle de la rangée horizontale inférieure ?
Résolution
a
1
1
1
2
1
1
3
3
1
4
4
4
4
4
4
On peut faire : abcdef, abcdeg, abchef, abcheg, abihef, abiheg, abijk, abijl, ce qui représente 8 chemins, et la même chose de l'autre côté.
Complément
Christophe nous rappelle la règle qui permet de compter les chemins : à chaque étape on note le nombre de possibilités d'y arriver et on
ajoute les possibilités d'arriver au but : 4 + 4 + 4 + 4 = 16.
Résultat
Il y a 16 chemins.
08. BD d'Elisabeth
Enoncé
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Élisabeth veut connaître la valeur de chacune des lettres de cette grille. La somme est 66 dans chaque rangée horizontale, verticale
et diagonale. La somme de A et de B est 42. La somme de G et de F est 48.
Quelle est la somme de B et de D ?
30
12
24
Multiple de
15
6
12
16
22
28
8
11
14
20
32
14
10
16
7
Résolution
Calcul de E : [A + E + I + B + E + H + C + E + G = 66 x 3] - [A + B + C + G + H + I = 66 x 2] ; 3E = 66 ; E = 22
C = 66 - (A + B) = 66 - 42 = 24 ; G = 66 - (E + C) = 66 - 22 - 24 = 20 ; F = (G + F) - G = 48 - 20 = 28
Le reste est simple : D = 66 - (22 + 28) = 16 ; A = 66 - 16 - 20 = 30 ; B = 42 - 30 = 12 ; I = 66 - 24 - 28 = 14 ; H = 66 - 20 - 14 = 32
B + D = 12 + 16 = 28
La somme B + D vaut 28.
09. Novo fête
Enoncé
A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
M
20
14
4
9
Novo est né le 9 avril 2000. Pour son anniversaire de naissance en 2014, il espère recevoir un cadeau particulier. Ce cadeau, c’est un
carré 4 × 4 personnalisé dans lequel la somme des nombres de chacune des 10 rangées de quatre cases est identique. La dernière ligne doit
comporter dans l’ordre les quatre nombres : 20, 14, 4, 9 qui est la date de l’anniversaire de ses 14 ans.
Voici cinq indices pour compléter ce carré :
B + C = 29
F + G = 31
M - H = D
B + F = 32
D - H = 13
Formez ce carré personnalisé.
2
11
18
16
13
21
10
3
12
1
15
19
20
14
4
9
Résolution
Somme
20 + 14 + 4 + 9 = 47
M - H = D
D + H = M
D + H + M + 9 = 47
2M = 47 - 9 = 38
M = 19
B + F = 32
B + F + K + 14 = 47
K = 47 - 32 - 14 = 1
K = 1
B + C + F + G = 29 + 31 = 60
B + C + F + G + K + L + 14 + 4 = 47
L = 2 x 47 - 60 - 1 - 18 = 15
L = 15
J = 47 - 1 - 15 - 19 = 12
J = 12
D + H = 47 - 19 - 9 = 19
D - H = 13
2D = 32
D = 16
H = 47 - 16 - 19 - 9 = 3
G = 47 - 16 - 1 - 20 = 10
C = 47 - 10 - 15 - 4 = 18
B = 29 - 18 = 11
F = 31 - 10 = 21
Le reste suit facilement
Résultat
Voir la grille à droite.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
0
L’ascenseur peut contenir 12 adultes, ou 20 enfants. Combien d’enfants au maximum peuvent monter avec 9 adultes ?
1 adulte = 5/3 d'enfant ; 12 - 9 = 3 ; 5 enfants
5 enfants peuvent monter avec 9 adultes.
a
Francine choisit deux nombres qui ont ensemble six lettres. Elle les additionne et obtient 16 comme résultat.
Quels sont ces deux nombres ?
dix + six = 16
Ces deux nombres sont 10 et 6.
b
Combien de rectangles 2 x 3 peut-on agencer pour remplir un rectangle 6 × 15 ?
15 = 5 x 3 ; 6 = 3 x 2 ; 5 x 3 = 15
On peut agencer 15 rectangles.
c
Germain écrit les nombres à la suite en commençant par 55. Quel est le 22ème chiffre écrit ?
55 + 22 - 1 = 76. Faux 55 - 1 + 22/2 = 65
76 est le 22ème. 5 est le 22ème chiffre .
d
Louisette a fait les multiplications suivantes. En vous basant sur ces résultats, quel est le carré de 99 999 ?
9 x 9 = 81 ; 99 x 99 = 9 801 ; 999 x 999 = 998 001
Le carré est : 9 999 800 001
11. La couleur sur le front
Enoncé
La princesse Ludmilla est aussi belle qu’intelligente et trois princes lui font une cour assidue. Elle leur déclare qu’elle les trouve
tous aussi sympathique et accordera sa main au plus intelligent des trois. Elle leur propose l’épreuve suivante : elle fait une petite marque
rouge ou bleue sur le front de chacun d’eux. Le premier qui sera capable de dire de quelle couleur est la marque sur son front l’épousera.
« Maintenant, finit-elle, levez la main si vous apercevez une marque bleue sur le front de l’un des deux autres ».
Les trois hommes lèvent la main. Un prince s’écrie alors : « J’ai compris quelle couleur est sur mon front ! »
Quel est son raisonnement ?
Solution du prof
Puisque les trois hommes ont levé la main, le vainqueur a compris qu’il ne pouvait y avoir que deux possibilités : soit deux marques bleues
et une rouge, soit trois bleues.
Si l’un d’entre eux avait une marque rouge, les deux autres verraient chacun une marque bleue et une rouge ; auraient-ils une marque rouge
eux aussi ? Dans ce cas, l’un d’eux n’aurait pas levé la main, apercevant deux marques rouges. Si les trois lèvent la main, il n’y a donc pas
deux marques rouges.
Le vainqueur s’est dit : « Si j’avais une marque rouge sur le front, l’un des deux autres en aurait immédiatement déduit que son front ne
pouvait être marqué de rouge. Puisque personne ne peut en déduire sa couleur, c’est donc que les trois marques sont bleues ».
12. Jeux de piles
Enoncé
Sur un bureau il y a trois piles de cinq dossiers chacune. Ève et Bob jouent chacun leur tour, Ève commençant. Ils choisissent une pile
et retirent autant de dossiers qu'ils le veulent dans cette pile. Celui qui ne peut plus jouer perd.
L'un des deux joueurs a-t-il une stratégie gagnante ?
Solution Calendrier 2020 Mercredi 16.
Ève peut commencer par prendre tous les dossiers d'une pile. Ensuite, lorsque Bob retire des dossiers dans une pile, Eve en retire autant
dans l'autre pile. Ainsi, après le tour d'Eve, il y a toujours autant de dossiers dans les deux piles. Lorsque Bob videra l'une des piles,
Eve videra la dernière pile et gagnera.
13. 97 de plus
Enoncé
Soient x et y deux entiers tels que x2 = y2 + 97
Combien vaut x2 + y2 ?
Résolution
x2 - y2 = 97 ; 97 ; (x + y)(x - y) = 97; 97 étant premier il n'y a que les facteurs 1 et 97 qui
conviennent
x + y = 97 ; x - y = 1 ; 2x = 98 ; x = 49 ; y = 97 - 49 = 48 ; x2 + y2 = 2401 + 2304 = 4705
Résultat
x2 + y2 = 4705.
14. Un petit groupe
Enoncé
Un groupe de personnes assiste à une fête. Chacune connaît aux plus trois personnes et si deux personnes ne se connaissent pas, elles
ont au moins une connaissance commune.
Combien y a-t-il de personnes au maximum ?
Solution "Mardi 22"
Soit A une personne du groupe. Alors A connaît au plus trois personnes, disons B, C et D. Chacune des personnes B, C et D connaît au plus
trois personnes, mais cela inclut A. Par conséquent, B connaît au plus deux autres personnes en dehors de A, B, C, D. De même C et D connaissent
chacune au plus deux personnes en dehors de A, B, C, D. Mais toute personne du groupe est connue de A ou de B, ou de C, ou de D. Donc il y a
au plus 1+3+6= 10 personnes dans ce groupe. Réciproquement, on voit sur le dessin ci-dessous une configuration de 10 personnes où chacune
connaît trois personnes et où deux personnes quelconques ont une connaissance commune. (Dessin absent).
Résultat
Il y a 10 personnes au maximum.
15. Pavage du carré avec des carrés
Enoncé
Vous devez couvrir un carré de 23 x 23 avec des petits carrés de 1x1, 2x2 et 3x3, mais en utilisant le
moins de carrés 1x1 possible.
Indice : vérifier qu’il faut au moins un carré 1x1.
Résolution
Solution du professeur :
Résultat
Il faut au moins 1 carré 1 x 1.
16. RIRI + FIFI + LOULOU = NEVEUX
Enoncé
Problème proposé par Daniel. On donne N = 2 (mais vous pouvez essayer d’autres valeurs pour N, il y a peut-être également des solutions).
Résolution
Effectivement, ça marche aussi avec N = 3. En définitive il y a 4 solutions :
N° de la colonne
VI
V
IV
III
II
I
Retenue
e
d
c
b
a
O
E
N
L
I
U
X
R
F
V
R
I
R
I
3
4
3
4
5
4
5
4
5
8
5
8
6
8
6
8
9
0
2
1
4
8
6
3
5
7
F
I
F
I
5
4
5
4
3
4
3
4
6
8
6
8
5
8
5
8
9
0
2
1
4
8
6
5
3
7
L
O
U
L
O
U
1
9
8
1
9
8
1
9
8
1
9
8
2
9
1
2
9
1
2
9
1
2
9
1
9
0
3
2
8
1
7
5
6
4
N
E
V
E
U
X
2
0
7
0
8
6
2
0
7
0
8
6
3
0
4
0
1
7
3
0
4
0
1
7
9
0
3
2
8
1
7
6
5
4
Résultat
Voir la grille ci-dessus
La démonstration de Christophe
Etape 1 :
Il faut d’abord s’intéresser aux chiffres de gauche :
L et N étant différents et L n’ayant rien au-dessus, la différence provient forcément d’une retenue. Cette retenue est égale à 1 puisque O
est tout seul dans sa colonne. Donc N = L + 1.
On prend N = 2 comme une donnée de l’énoncé. D’où L = 1 Etape 2 :
Même constat pour les lettres O et E. O est alimenté par une retenue qui ne peut-être supérieure à deux. O + la retenue doit donner un
résultat >= 10 pour qu’il y ait une retenue de 1.
Donc on a O = 8 (+ une retenue de 2) ou O = 9 (+ une retenue de 1 ou 2).
Retenons donc en premier l’hypothèse que O = 9 et que la retenue est de 1, donc E = 0 (si la retenue était de 2, le total ferait 11 ce qui
serait impossible puisque le 1 est déjà pris. Etape 3 :
Regardons maintenant la colonne des centaines :
Nous devons obtenir un total de 10 (car E = 0), et nous pouvons remarquer que si nous ne recevons pas une retenue de 1 de la colonne des
dizaines, le total ne pourrait jamais être pair ( I + I est forcément pair, + 1 → total impair).
Nous pouvons en déduire que nous avons déjà un résultat de 2 (1 + la retenue) et que pour faire 10 il manque 8. Donc I = 4. Etape 4 :
A ce stade il est important de regarder les chiffres restant disponibles :
La colonne des unités ayant déjà un total de 8 (2I), il y aura forcément une retenue. Nous devons donc trouver U tel que U + 8 = 10 + X, donc
U = X + 2
Les binômes (U,X) possibles sont donc (5,3), (7,5) et (8,6).
On constate rapidement que la première solution n’est pas possible car en monopolisant le 5 et le 3 il n’est plus possible d’avoir une retenue
de seulement 1 dans la colonne des dizaines.
Le 2ème binôme ne marche pas non plus, car il faudrait que R + F donne 7 dans la colonne des dizaines, ce qui est impossible avec
les chiffres restants.
Nous avons donc U = 8 et X = 6 … Etape 5 :
Nous cherchons maintenant R et F dans la colonne des dizaines, tels que R + F + 9 + 1 (retenue) = 18. Il faut donc que R + F = 8.
Ça tombe bien, le 5 et le 3 sont disponibles. Etape 6 :
La minute de vérité approche :
Nous n’avons plus qu’un chiffre disponible, le 7 et il doit être attribué au V.
Miracle, le total de la colonne des milliers donne justement 17 !
Remarque : les valeurs de R et F peuvent être permutées. Il y a donc deux solutions.
Si O = 8, il faut obtenir une retenue de 2 dans la colonne des milliers, Reprenons l’étape 3
On trouve I = 4 retenue de 1 venant des dizaines. Etape 4
La colonne des unités ayant déjà un total de 8, il y aura forcément une retenue. Nous devons donc trouver U tel que U + 8 = 10 + X, donc
U = X + 2
Les chiffres disponibles sont 3, 5, 6 7 et 9 . Les binômes possible pour U et X sont (5,3), (7, 5) et (9,7) Etape 4 bis
La retenue des unités est de 1
R + F + 8 + 1 = 10 + U , la retenue pour les milliers étant 1 soit R + F = U + 1
Si u = 5 , X = 3 pas de solution pour R + F = 6 avec les chiffres restants
Si U = 7 , X = 5 pas de solution pour R et F
Si U = 9 , X = 7 pas de solution
Donc O = 8 n’apporte pas de solution.
Complément MR
Formulaton globale
N° de la colonne
VI
V
IV
III
II
I
Retenue
e
d
c
b
a
R
I
R
I
F
I
F
I
L
O
U
L
O
U
N
E
V
E
U
X
Retenues
Valeurs des lettres
a, b, c = 0 à 2
d, e = 0 ou 1
VI
e + L = N
L <> N
e = 1
L = N - 1
V
d + O = 10e + E
Si d = 0 alors O - E = 10 ; non
d = 1
O - E = 10 - d
O - E = 9
O = 9
E = 0
III
b + 2I + L = 10c + E = 10 c
I = (10c - b - L)/2
I
2I + U = 10a + X
X - U = 2I - 10a
II
a + R + F + O = 10b + U
R + F = U - O + 10b - a
Tableau des différentes tentatives
b
c
a
N
L
I
X - U
U
X
R + F
R
F
V
Remarques
1
0
Non, le 0 est déjà pris
2
1
1
2
9
b impair ; Non, le 9 est déjà pris
0
-1
Non, I négatif
1
4
0
8
1
9
Non, 1 et 9 sont déjà pris
2
-12
Non
1
-2
5
3
5
1
4
Non, 1 et 4 sont déjà pris
2
3
Non, 2 est déjà pris
7
5
7
3
4
Non, le 4 est déjà pris
1
1
1
2
1
4
8
6
8
3
5
7
Ou R = 5 et F = 3
3
2
0
0
-1
b pair ; Non, I négatif
2
9
Non, 9 est déjà pris
1
4
0
8
1
9
Non, 1 et 9
sont déjà pris
2
-12
Non
1
-2
5
3
-5
Non
7
5
-3
Non
8
6
-2
Non
2
0
-2
Non, I négatif
1
3
Non, 3 déjà pris
2
8
0
16
Non
2
-12
2
2
1
3
2
8
6
1
7
11
5
6
4
Ou R = 6 et F = 5
4
3
b impair
1
0
-2
Aucune ne convient
Je n'ai pas le courage
de continuer mais je sais par Excel qu'il n'y a pas d'autre solution.