Un bijoutier dispose de 7 pépites d’or de poids différents, respectivement 1, 2, …. 7 grammes d’or. Il confectionne trois bijoux de 4, 9 et 13 grammes.
Il n’a pas utilisé une pépite, laquelle ?
Somme des 7 pépites : 7.8/2 = 28 ; Masse des trois bijoux : 4 + 9 + 13 = 26 ; 28 - 26 = 2.
Il n'a pas utilisé la pépite de 2 grammes.
Trois amis, musiciens complets, Alexis, Bruno et Charlie, disposent de deux guitares, un piano et une batterie. Ils décident d'exécuter ensemble un morceau avec les contraintes suivantes :
Alexis peut-il jouer du piano ? de la guitare ? de la batterie ?
Il nous faut rechercher les compatibilités des 5 suppositions entre-elles :
1 n'est compatible qu'avec 3 : A au piano, B à la guitare, C à la guitare,
2 n'est compatible qu'avec 5 : A à la guitare, C au piano, B à la guitare,
3 n'est compatible avec aucune autre supposition,
4 est compatible avec 5 : A à la batterie, C au piano, B à la guitare.
Il faut aller un peu plus loin dans le raisonnement.
Dans le cas de l'association 2.5 ; on obtient bien Alexis à la guitare, Charlie au piano et Bruno à la guitare. En deuxième conséquence,
d'après 3, Bruno étant à la guitare devrait entrainer Charlie à le guitare.
Dans le cas de l'association 4.5 ; la conclusion est la même.
Oui, Non, Alexis ne peut pas jouer du piano, de la guitare ou de la batterie.
À l'école Migno, les cours d'économie, de français, d'anglais, d'histoire, de latin et de mathématiques sont donnés par, en ordre alphabétique, Mme Arthur, Mlle Blais, Mme Côté, M. Duval, M. Élie et M. Ferron.
| Professeurs | Economie | Français | Anglais | Histoire | Latin | Mathématiques |
| Mme Arthur | Oui | |||||
| Mlle Blais | Non | Oui | ||||
| Mme Côté | Oui | |||||
| M Duval | Oui | Non | ||||
| M Elie | Non | Oui | ||||
| M Ferron | Non | Non | Oui |
Avec 1 et 3 on arrive à séparer les professions des hommes et des femmes, ce qui ramène le problème à deux problèmes 3x3.
Mme Arthur : Mathématiques ; Mlle Blais : Histoire ; Mme Côté : Anglais ; M Duval : Economie ; M Elie : Français ; M Ferron : Latin.
Combien de nombres, entre 1 et 1000, sont multiples de 3 mais pas de 4, de 5 mais pas de 6, de 7 mais pas de 8 ?
Les multiples de 3, 5 et 7 sont multiples de 3.5.7 = 105 ; 105 est impair il n'est pas divisible par 2 (ni 4, ni 6, ni 8)
Le suivant 210 est pair Il ne convient pas. On poursuit ensuite de 210 en 210 à partir de 105 :
105, 315, 525, 735, 945.
Cinq nombres répondent à la question.
LUI + LUI + LUI + LUI + LUI + LUI + LUI = EUX
On a 7I = 10r1 + x ; r1 + 7U = 10r3 + U ; r2 + 7L = E ; 6U = 10r2 - r1 ; 6U est pair ; 10r2 est pair ; r1 doit être pair
Avec r1 = 4, r1 = 6, r1 = 8 on est bloqué par la suite. Avec r1 = 2, on peut faire r2 = 2 et U = 3
On obtient finalement : 7 x 134 = 938.
7 x 134 = 938
Bastien rêve de partir en voyage. Il imagine une locomotive. Mais avant de quitter, il doit s’assurer que la locomotive est en équilibre. Pour cela, il doit écrire chacun des nombres de 1 à 9 dans les cellules. La somme des trois nombres de chaque triangle doit être 13. Bastien commence par placer 3 et 5 comme ci-contre.
Trouvez une façon d’équilibrer la locomotive.
Ce problème a déjà été traité en 717.03 le 31 mai 2021.
| 9 | 8 | 7 | 6 | ||||||
| 3 | 1 | 4 | 2 | 5 | |||||
Si deux clous, 5 vis et 8 chevilles pèsent 150 g, et que, un clou, trois vis et 5 chevilles pèsent 80 g , combien pèsent un clou, une vis et une cheville.
2cl + 5v + 8ch = 150 ; 1cl + 3v + 5ch = 80 ; 2cl + 6v + 10 ch = 160 ; 1v + 2ch = 10 ; ch = 5 - v/2
v est pair. On a 4 solutions :
| Masse d'une vis en g | 2 | 4 | 6 | 8 |
| Masse d'une cheville en g | 4 | 3 | 2 | 1 |
| Masse d'un clou en g | 54 | 53 | 52 | 51 |
Il fallait comprendre la question dans le sens : combien pésent ensemble 1 clou, 1 vis et une cheville ?
En appliquant les coefficients 2 et -3 aux deux équations, on trouve :
| 2cl + 5v + 8ch = 150 | 2 fois | 4cl + 10v + 16ch = 300 |
| 1cl + 3v + 5ch = 80 | -3 fois | -3cl -9v -15ch = -240 |
| Somme | 1cl + 1v + 1 ch = 60 |
Un clou plus une vis plus une cheville pèsent 60 grammes.
a) On place 4 cartes A, B, C, D dans cet ordre
Les as rouges ne sont pas en B
L’as de trèfle n’est pas à coté d’un as rouge
L’as de pique ne côtoie pas l’as de carreau
b) 4 as et jocker
Ni l’as de cœur ni le jocker ne sont à coté d’un as noir
L’as de cœur est plus vers la gauche que le jocker
L’as de cœur est juste à droite de l’as de carreau
Il y a deux cartes entre le jocker et l’as de pique
| 4 as | 4 as et joker | ||||||||
| Trèfle | Pique | Cœur | Carreau | Trèfle | Pique | Carreau | Cœur | Joker | |
Après leur victoire à une émission culinaire, quatre candidats profitent de leur notoriété pour lancer un projet. Grâce aux propositions
retrouvez pour chacun le mois et l'activité.
| Candidats | Corinne ; Davy ; Julien ; Lydia |
| Mois | Avril ; Mai; Juin ; Juillet |
| Activité | Animateur TV ; Cinéma ; Livre ; Restaurant |
| Corinne | Cinéma | en mai |
| Davy | Restaurant | en juillet |
| Julien | Animateur Télé | en avril |
| Lydia | Livre | en juin |
| N° | Enoncé | Calcul | Résultat |
|---|---|---|---|
| a | Rosalie est née un jour de la semaine qui a autant de voyelles que de consonnes. Quel est ce jour ? | Rosalie est née un samedi. | |
| b | Amélie dessine deux hexagones de même forme et de même grandeur. Elle les accole par un côté. Combien la nouvelle figure a-t-elle de côtés ? | 10 côtés. | |
| c | Régine a écrit 6, 7, 8 et 9 au moyen de cure-dents. Quel est le plus grand nombre de trois chiffres qui nécessitent 16 cure-dents ? | On peut faire 994. | |
| d | Distribuez les nombres 3, 5, 7, 8 dans les cases pour que l’égalité (꙱ + ꙱)/꙱ = ꙱ soit vraie. | (7 + 8)/3 = 5 ; (7 + 8)/5 = 3. |
Cryptarithme inventé par Bernard : BONNE + ANNEE + 2023 = DIVINE
| r5 | r4 | r3 | r2 | r1 | ||
| B | O | N | N | E | ||
| + | A | N | N | E | E | |
| + | 2 | 0 | 2 | 3 | ||
| = | D | I | V | I | N | E |
| On appellera | r1, r2, r3, r4, r5 | Les retenues reportées | des unités aux dizaines, des diz aux cent ... |
| 2E + 3 = 10 + E | E = 10 - 3 = 7 | r1 = 1 | E = 7 |
| D est seul | r5 = 1 | D = 1 | |
| 1 + N + 7 + 2 = 10r2 + N | 10 = 10r2 | r2 = 1 | |
| 1 + 2N = 10r3 + I | I = 1 + 2N - 10r3 | I est impair (3, 5 ou 9) | |
| 2N = I - 1 + 10r3 | 6 possibilités | 4 exclues, 2 retenues | |
| r4 + A + B = 10 + I | A + B = 10 + I - r4 | A et B sont interchangeables | |
| r3 + O + N + 2 = 10r4 + V | V - O = N + 2 + r3 - 10r4 |
| E | D | r3 | I | N | r4 | A | B | Reste | V - O | V | O |
| 7 | 1 | 0 | 3 | 1 | non | ||||||
| 7 | 1 | 0 | 5 | 2 | 0 | 6 | 9 | 0348 | 4 | 4 | 0 |
| 7 | 1 | 0 | 5 | 2 | 0 | 6 | 9 | 0348 | 4 | 8 | 4 |
| 7 | 1 | 0 | 5 | 2 | 1 | 6 | 8 | 0349 | -6 | 3 | 9 |
| 7 | 1 | 0 | 9 | 4 | 0 | A + B = 19 | non | ||||
| 7 | 1 | 0 | 9 | 4 | 1 | A + B = 18 | non | ||||
| 7 | 1 | 1 | 3 | 6 | 0 | 4 | 9 | 0258 | 9 | non | |
| 7 | 1 | 1 | 3 | 6 | 0 | 5 | 8 | 0249 | 9 | 9 | 0 |
| 7 | 1 | 1 | 3 | 6 | 1 | 4 | 8 | 0259 | -1 | non | |
| 7 | 1 | 1 | 5 | 7 | non | ||||||
| 7 | 1 | 1 | 9 | 9 | non | ||||||
| D | E | I | N | A | B | O | V | 8 | 0 | 6 | 6 | 7 | 5 | 0 | 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 2 | 2 | 7 | 9 | 0 | 2 | 2 | 7 | ||||||||
| 1 | 7 | 3 | 6 | 5 | 8 | 0 | 9 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 6 | 6 | 7 | 7 | 6 | 2 | 2 | 7 | 7 | 6 | 2 | 2 | 7 | 7 | ||||||||
| 1 | 7 | 3 | 6 | 8 | 5 | 0 | 9 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | ||||||||||||
| 1 | 7 | 5 | 2 | 6 | 8 | 9 | 3 | 1 | 3 | 9 | 3 | 6 | 7 | 1 | 3 | 9 | 3 | 6 | 7 | 1 | 5 | 3 | 5 | 2 | 7 | 1 | 5 | 4 | 5 | 2 | 7 | ||||
| 1 | 7 | 5 | 2 | 6 | 9 | 0 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 7 | 5 | 2 | 6 | 9 | 4 | 8 | 9 | 4 | 2 | 2 | 7 | 6 | 9 | 2 | 2 | 7 | 6 | 0 | 2 | 2 | 7 | 6 | 4 | 2 | 2 | 7 | ||||||||
| 1 | 7 | 5 | 2 | 8 | 6 | 9 | 3 | 6 | 2 | 2 | 7 | 7 | 8 | 2 | 2 | 7 | 7 | 9 | 2 | 2 | 7 | 7 | 9 | 2 | 2 | 7 | 7 | ||||||||
| 1 | 7 | 5 | 2 | 9 | 6 | 0 | 4 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | ||||||||||||
| 1 | 7 | 5 | 2 | 9 | 6 | 4 | 8 | 1 | 5 | 8 | 5 | 2 | 7 | 1 | 5 | 3 | 5 | 2 | 7 | 1 | 5 | 4 | 5 | 2 | 7 | 1 | 5 | 8 | 5 | 2 | 7 |
Il y a 8 solutions.
CINQ + CINQ + VINGT = TRENTE
| 6 | 4 | 8 | 3 | ||||||||||||
| C | E | G | I | N | Q | R | T | V | 6 | 4 | 8 | 3 | |||
| 6 | 7 | 5 | 4 | 8 | 3 | 0 | 1 | 9 | 9 | 4 | 8 | 5 | 1 | ||
| 1 | 0 | 7 | 8 | 1 | 7 | ||||||||||
Prenons le nombre 48 :
- si j'ajoute 1, j'obtiens 49, qui est un carré parfait (carré d'un entier) ;
- si j'ajoute 1 à sa moitié, j'obtiens 25, qui est aussi un carré parfait.
Question : trouver les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.
J'ai trouvé 840 et 1 680 ; 28 560 et 57 120 ; 970224 et 1 940 448; mais je ne sais pas le démontrer.
Avec Excel ou un autre programme on trouve facilement.
Une petite équation de Pell Fermat à résoudre N + 1 = 2a2 - 1 = b2
On remarque que si (a ; b) est solution alors (3a + 2b ; 4a + 3b) est solution. (je n’y aurais pas pensé tout seul mais si on cherche des
combinaisons linéaires de a et b, on peut trouver) Un petit raisonnement par l'absurde suivit d'un raisonnement par récurrence permet de
montrer que l'ensemble de ces couples est le seul ensemble solution avec (1;1) comme plus petit élément.
On obtient donc les couples solutions suivant : (29 ; 41) - (169 ; 239) - (985 ; 1393)
Solution : 1680 ; 57120 ; 1940448.
1680 ; 57120 ; 1940448.
Gaston fabrique des cubes en bois bicolores. Pour cela, il peint chaque face soit toute noire soit toute blanche.
De combien de façons peut-il peindre ses cubes ?
A la première approche, 2 couleurs possibles, 6 faces : 26 = 64 possibilités. Mais en fait il y a beaucoup de symétriques.
On pourrait prendre comme référence une bande de 4 faces (linéaires): 24 = 16 possibilités.
On devra éliminer celles qui sont identiques par retournement et par glissement :
| n° de la combinaison | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Combinaison | NNNN | NNNb | NNbN | NNbb | NbNN | NbNb | NbbN | Nbbb | bNNN | bNNb | bNbN | bNbb | bbNN | bbNb | bbbN | bbbb |
| Identique à | 2 | 2 | 4 | 2 | 4 | 6 | 8 | 4 | 8 | 8 |
Ensuite il nous faut colorier le dessus et le dessous. 22 = 4. Il y a 4 possibilités mais ...
Avec NNNN on peut faire A : NNNNNN (dessus, 4 faces latérales, dessous). NNNNNb sera B ; bNNNNN est identique à B ; bNNNNb sera C
Avec NNNb ; NNNNbN identique à B ; NNNNbb est D ; bNNNbN identique à D ; bNNNbb est E
Avec NNbb ; NNNbbN identique à D ; NNNbbb identique à E ; bNNbbN identique à E ; bNNbbb est F
Avec NbNb ; NNbNbN identique à C ; NNbNbb identique à E ; bNbNbN identique à E ; bNbNbb est G
Avec Nbbb ; NNbbbN est H ; NNbbbb est I ; bNbbbN identique à I ; bNbbbb est J
Avec bbbb ; NbbbbN est K ; Nbbbbb identique à J ; bbbbbN identique à J ; bbbbbb est L ; Cela nous fait 12 combinaisons.
Mais peut-être qu'on aurait pû examiner les possibilités suivant les nombres de faces pour chacune des deux couleurs,
Si on fait les 6 faces de la même couleur, c'est ou tout blanc ou tout noir : 2 possibilités.
Si on fait 5 + 1, c'est 5 N et 1 b ou 5 b et I N, donc à nouveau 2 possibilités.
Si on fait 4 + 2, les 2 couleurs peuvent être adjacentes, espacées de 1 face ou opposées (espacées de 2 faces). Cela conduit à 2 x 3 =
6 possibilités.
Si on fait 3 + 3, on peut avoir 3 en ligne, 3 en L, 2 adjacentes et la troisième disjointe (pas possible),
Mais attention, lorsque 3 sont en ligne, les 3 autres sont en ligne. De même pour la position en L.Donc 2 possibilités.
Somme : 2 + 2 + 6 + 2 = 12. En accord avec l'analyse précédente.
Première erreur : il s'agit d'un cube bicolore, on doit donc exclure le deux solutions, tout blanc ou tout noir.
Deuxième erreur : dans les 4 + 2, espacées de 2 faces ou adjacentes c'est la même chose. Donc on retire encore 2.
12 - 4 = 8.
Il y a 12 8 façons de peindre les cubes.