Olivin fait sa provision de biscuits veloutés pour son petit chien Kado. Il se présente à une boutique spécialisée et demande 100 biscuits.
Le commis lui répond :
- J’ai seulement des sacs de cinq biscuits et des sacs de sept biscuits. Je vais essayer d’arranger cela.
- Je veux le moins de sacs possible, de reprendre Olivin.
Combien de sacs de chaque quantité Olivin recevra-t-il ?
Résolution
Avec (14 x 7) + (1 x 5) on a 103 biscuit. Il faut que 7x se termine par 5 ou 0. Avec x = 10, 7 x 10 = 70. on complète avec 30/5 = 6
Résultat
Olivin recevra 16 sacs, 10 de 7 biscuits et 6 de 5 biscuits.
02. Bâtons de réglisse
Enoncé
Jérôme achète des bâtons de réglisse et les découpe en huit bâtonnets d’égale longueur. Avec 28 bâtonnets, il représente un escalier
de quatre marches comme ci-contre.
Combien de bâtons de réglisse devra-t-il acheter pour représenter un escalier dont la base contient 20 petits carrés ?
Résolution
Nombre de marches
1
2
3
4
5
n
20
Somme des lignes précédentes
0
4
10
18
28
n2 + n - 2
418
Ajout pour la ligne en cours
4
6
8
10
12
2( n + 1)
42
Nombre total de bâtonnets de réglisse
4
10
18
28
40
n(n + 3)
460
Nombre de bâtons = 460/8 arrondi à l'unité supérieure = 58.
La solution très rapide de Bernard
Du fait de la symétrie de la figure, il suffit de compter par exemple les batonnets horizontaux et de multiplier par 2.
Le nombre de batonnets horizontaux de la figure à 20 escaliers est : 1 + 2 + 3 + ... + 20 + 20 encore pour la rangée du bas = 20*21/2 + 20 = 230
D'où le nombre de batonnets : 230*2 = 460
Résultat
Il faudra 58 bâtons de réglisse.
03. Epreuves de natation
Enoncé
Quatre amies de 15 à 18 ans vivant dans des quartiers différents s'adonnent à la natation.
Amies : Anabelle, Cyrielle, Isabelle et Métabelle
Âges : 15, 16, 17 et 18 ans
Quartiers : Est, Nord, Ouest, Sud
La fille de 17 ans est meilleure nageuse que Métabelle et Isabelle.
Cyrielle pratique souvent avec la fille de 16 ans et celle du Nord.
Isabelle a parlé avec la fille de l’Ouest.
La fille du Nord est arrivée première suivie d’Isabelle et de la fille de 16 ans.
La fille de 16 ans plonge moins souvent que Métabelle.
Isabelle a gagné plus d’épreuves que la fille de 15 ans et moins que celle de 16 ans.
Cyrielle se repose avec la fille de l’Ouest et de l’Est.
Trouvez l’âge et le quartier habité par chaque fille.
Résolution
Amies
Anabelle
Cyrielle
Isabelle
Métabelle
Âges
16
17
18
15
Quartiers
Ouest
Sud
Est
Nord
04. Verre d'eau
Enoncé
V
E
R
+
R
E
=
E
A
U
Chaque lettre représente un chiffre différent. Indice : U = 3
Déchiffrez cette addition. Il y a deux dispositions possibles.
Résolution
5
6
7
7
8
5
+
7
6
+
5
8
=
6
4
3
=
8
4
3
05. Nombres à trois chiffres distincts multiples de 6
Enoncé
Considérons tous les nombres à trois chiffres distincts formés avec les chiffres 0, 1, 2, 3 et 5.
Combien de ces nombres sont multiples de 6 ?
Résolution
les nombres divisibles par sont divisibles par 2 et par 3. Le chiffres des unités doit être pair (0 ou 2).
Les triplets sont : 0 1 2 ; 0 1 5 ; 1 2 3.
Les nombres sont :
102
120
210
150
510
132
312
Résultat
7 de ces nombres sont divisibles par 6.
06. Quatre personnes discutent
Enoncé
Quatre personnes discutent de leur âge. Deux d'entres elles mentent et les deux autres sont honnêtes.
Alfred dit : " Bernard est le plus jeune. "
Louis : " Je suis le plus jeune. "
Hector : " Bernard est le plus vieux et je suis le plus jeune. "
Bernard: " Je ne suis ni le plus jeune ni le plus vieux. "
Qui dit la vérité ?
Résolution
Si Alfred et Louis disent vrai : Bernard et Louis sont tous le deux les plus jeunes. Non.
Si Alfred et Hector disent vrai : Bernard est à la fois le plus jeune et le plus vieux. Non
Si Alfred et Bernard disent vrai : Bernard est à la fois le plus jeune et pas jeune. Non
Si Louis et Hector disent vrai : Louis et Hector sont tous les deux les plus jeunes. Non
Si Louis et Bernard disent vrai : Louis est le plus jeune, Hector n'est pas jeune, Bernard est ni jeune, ni vieux, pas jeune, pas vieux. Ces
affirmations sont compatibles. Oui.
Si Hector et Bernard disent vrai : Bernard est à la fois le plus vieux et pas le plus vieux. Non?
Résultat
Les personnes qui disent la vérité sont : Louis et Bernard.
07. Plaza Mayor
Enoncé
Mon ami Leopoldo et moi habitons Plaza Mayor. Quand je sors de chez moi, et que je tourne dans le sens des aiguilles d'une montre,
je trouve le Café Castellano dans la cinquième maison à partir de la mienne et la Banco del Espiritu Santo y Comercio dans la onzième.
Quand Leopoldo sort de chez lui, et qu'il tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, il trouve le Café Castellano dans la
troisième maison à partir de la sienne et la Banco del Espiritu Santo y Comercio dans la douzième.
Combien y a-t-il de maisons sur la Plaza Mayor ? À vous de jouer
Résolution
En tournant dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant de ma maison (M), je trouve le café (C) à la position 5, puis la maison de
Léopoldo à la position 8, puis la banque (B) à la position 11 et je retrouve ma maison à la position 15. Je vérifie :
- C est à la position 5 et B à la position 11, par construction et comme défini dans l'énoncé,
- De L à C : 5 - 8 = -3 et de L à B : 11 - 15 - 8 = -12.
Résultat
Il y a 15 maisons sur la ¨laza Mayor.
08. Sudoku expert
Enoncé
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
3
8
14
7
19
5
6
B
6
9
5
14
2
8
34
C
14
7
2
3
149
6
5
D
7
5
18
6
3
4
9
E
28
24
9
5
7
1
34
F
14
6
3
2
8
9
7
G
89
14
4678
1489
146
3
2
H
29
124
46
19
5
7
8
3469
349
I
5
3
678
489
46
2
1
4679
479
Regardez cette grille. Les chiffres en petit sont les possibilités. Regardez plus particulièrement les deux cases 3x3 en bas à gauche.
Vous pouvez éliminer la possibilité 4 d’une de ces cases.
Laquelle ?
Résolution
Dans cette grille on ne trouve pas de solutions uniques. Cependant l'analyse montre qu'on peut mettre des 4 en G1, H1, H4, I3.
On peut essayer de placer la valeur 4 dans chacune des cellules G1:H4 ; G5 ; I3:I5 ; aucune n'entraine une incohérence à la première
saisie.
Une résolution plus avancée montre que : G1 = 9 ; H1 = 2 ; H3 = 6.
Le raisonnement de Christophe
Christophe nous propose de tenter de prendre le 4 parmi les solutions possibles de G4.
Dans ce cas, Il apparait 1 en G2 et 6 en I5 et du coup il n'y a plus de possibilités en G5. Donc le 4 de G4 ne convient pas, on peut l'éliminer.
C'est un raisonnement fait sur le seul contenu des possibilités données dans l'énoncé. Mais en regardant la grille complète,
on constate qu'en réalité dans les cellules G5 et I5 il y a plus de possibilités que celles données.
En réalité les chiffres possibles sont :
En G5 : 1, 4, 6, 9
En I5 : 4, 6, 9
09. Natation chronométrée
Enoncé
Le professeur de natation chronomètre chacun de ses élèves sur la longueur de la piscine, en crawl. Le meilleur a mis 2 secondes de
moins que le second, qui a mis lui-même 2 secondes de moins que le troisième, qui a mis lui-même 2 secondes de moins que le quatrième, etc.
Le chronomètre a ainsi marché pendant 1007 secondes. Car le nombre des élèves est égal à ...?
A vous de jouer
Résolution
Appelons t le temps du meilleur élèves et n le nombre d'élèves. Le temps total est nt augmenté de 2 fois la somme des nombres de 1 à n - 1
Temps total = nt + n(n-1) = 1007 ; t = 1007/n - (n - 1) ; n doit être un diviseur de 1007 ; C'est 19.
Vérifions : n = 19 ; t = 53 - 19 + 1 = 35 ; 35.19 + 19.18 = 665 + 342 = 1007.
Résultat
Il y a 19 élèves.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
Combien y a-t-il de cercles qui sont reliés à au moins
trois cercles voisins dans cette figure ?
Il y en a 3.
b
Alice a un sac de pommes. Elle donne à une amie la moitié de son sac et une pomme. Puis, elle donne à un
ami la moitié du reste. Elle possède alors trois pommes. Combien Alice avait-elle de pommes dans son sac ?
reste : x/2 - 1 puis x/4 - 1/2 = 3
Elle avait 14 pommes.
c
Chaque lettre est la première d’un nombre. Trouvez la lettre qui devrait logiquement suivre :
C D Q V V
5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30
La lettre suivante est T.
d
Baltazar distribue 100 macarons à trois amis. Chaque fois qu’il donne 5 macarons au premier, il donne 3 macarons
au deuxième et 2 macarons au troisième. Combien le deuxième recevra-t-il de macarons ?
5 + 3 + 2 = 10 à chaque tour 100/10 = 10 tours : 10 x 3 = 30
Le deuxième recevra 30 macarons.
11. Marchand de champagne
Enoncé
Un marchand se fait adresser une caisse de champagne qu'il se propose de vendre de façon à gagner 10% sur le prix d'achat. Il charge un de
ses garçons du placement qui s'effectue en trois jours. Le premier jour, le garçon détourne une bouteille et verse à la caisse le produit de sa
vente. Le deuxième jour, il détourne le gain réalisé sur la vente d'une bouteille et verse à la caisse l'argent qu'il lui reste. Dans la soirée,
le marchand compte ce qui lui reste de bouteille et estime que la vente de ce reliquat doit produire 264 euros. Enfin le troisième jour, le
commis détourne une bouteille, le gain réalisé sur la vente d'une bouteille et verse sa recette à la caisse. Le marchand une fois ses comptes
faits, constate que le gain réalisé n'est que de 0,60 euro par bouteille et que les sommes portées comme gains journaliers sont égales.
Déterminer d'après cela le nombre de bouteilles vendues chaque jour. On sait d'ailleurs que le nombre de
bouteilles contenues dans la caisse est un multiple de 5.
Corrigé
Solution mathmuse
p = prix d'achat d'une bouteille ;q = quantité de bouteilles contenues dans la caisse (multiple de 5) ;qi = quantité de bouteilles réellement
vendues (non détournées) le jour i. 1 bouteille vendue produit 1,1p, soit un gain de 1,1p - p = 0,1p (10% du prix d'achat d'une bouteille).
1 bouteille détournée produit 0, soit un gain de 0 - p = -p.
1er jour : bouteilles vendues : q1 dont gain détourné : 0 bouteilles détournées : 1 bouteilles restantes : q - q1 - 1gain : p(0,1*q1 - 1)
2e jour : bouteilles vendues : q2 dont gain détourné : 1 bouteilles détournées : 0 bouteilles restantes : q - q1 - q2 - 1gain : p*0,1*(q2 - 1)
3e jour : bouteilles vendues : q3 dont gain détourné : 1 bouteilles détournées : 1 bouteilles restantes : q - q1 - q2 - q3 - 2 = 0 => q = q1 + q2
+ q3 + 2 gain : p(0,1*(q3 - 1) - 1)
Gains journaliers égaux => 0,1*q1 - 1 = 0,1*q2 - 0,1 = 0,1*q3 - 1,1 => q2 = q1 - 9 et q3 = q1 + 1
D'où q = 3*q1 - 6 = 3(q1 - 2)
Gain réalisé 0,60 €/bouteille => p[0,1*(q1+q2+q3) - 2,2] / q = 0,6 D'où p(q1 - 10) = 6(q1 - 2)
La vente du reliquat du 2e jour doit produire 264 €=> 1,1p*(q - q1 - q2 - 1) = 264 D'où p(q1 + 2) = 240
On en déduit que 240(q1 - 10) = 6(q1 - 2)(q1 + 2) q1 est donc solution de l'équation en x : x² - 40x + 396 = 0 = (x - 18)(x - 22) q1 = 18 ou
22 Or q doit être un multiple de 5 => 3(q1 - 2) est un multiple de 5.D'où q1 = 22, q2 = 13, q3 = 23, q = 60, p = 10. Conclusions :
1. le nombre de bouteilles est donc de 60.
2. Du point de vue du marchand, 23 bouteilles ont été vendues le premier jour, 13 le deuxième jour et 24 le troisième jour Du point de vue du
garçon, 22 bouteilles réellement vendues le premier jour, 13 le deuxième jour et 23 le troisième jour
3. le marchand a intérêt de se débarrasser rapidement du garçon détourneur de bouteilles.
12. Autre Sudoku (règle peu connue)
Enoncé
Regardez la case C5L3 de la grille ci-dessous à gauche. Est-ce un 7 ou un 2 ?
Résolution
Plutôt que de travailler par cellule, la résolution de cette grille est faite sur la base des chiffres possibles par élément :
6
3
289
15
258
189
7
7
28
4
6
3
18
9
1
5
29
4
27
79
8
4
78
78
3
9
2
5
2
9
6
8
1
5
3
5
1
3
7
4
6
2
9
67
1
2
67
3
4
8
26
25
9
56
4
1
7
3
3
4
57
15
578
178
6
9
2
6
3
2
5
8
9
7
1
4
7
8
4
6
3
1
9
2
5
1
5
9
4
2
7
8
3
6
4
7
8
3
9
2
5
6
1
2
9
6
8
1
5
3
4
7
5
1
3
7
4
6
2
8
9
9
6
1
2
7
3
4
5
8
8
2
5
9
6
4
1
7
3
3
4
7
1
5
8
6
9
2
6
3
7
1, 2, 4, 5, 8, 9
7
4
6
3
9
1, 2, 5, 8
1
5
4
8
2, 3, 6, 7, 9
4
3
9
2
5
1, 6, 7, 8
2
9
6
8
1
5
3
4, 7
5
1
3
7
4
6
2
8, 9
9
1
2
3
4
5, 6, 7, 8
8
9
4
1
7
3
2, 5, 6
3
4
6
9
2
1, 5, 7, 8
2 6 7 8
2 5 7 8
9
1 5
2 5 6 7 8
1
7 8 9
1 2 3 4 5 6 8
1 4 5 6 7 8 9
2, 8, 9
1, 2, 5, 7, 8, 9
1, 2, 3, 4, 5, 6
7, 8
1, 4, 6, 7, 8, 9
2, 5, 6, 7
1, 5, 6, 7, 8
5, 8
Le corrigé
Cette résolution est obtenue après une hypothèse, dont on aurait pu se dispenser en tenant compte de la remarque donnée dans la solution :
Si on dit que C5 vaut 7, il y a un échange possible entre les 4 et les 7 de C4 avec C5 et de F4 avec F5. Cela entraine deux solutions
pour la grille et donc 7 en C5 ne convient pas .
Résultat
En ligne 3 et colonne 5, c'est un 2.
13. Somme de cubes
Enoncé
Si x3 + y3 = 40 et x2y + xy2 = 8, quelle est la valeur de xy ? En déduire les valeurs de x et y.
Résolution
On peut faire y = f(x) avec la première relation : y = (40 - x3) puissance (1/3)
Avec "Valeur cible d'Excel" pour arriver à x2y + xy2 = 8 on trouve x = 0,585786 et y = 3,414213.
Assez curieusement, on trouve xy = 2 et en remarquant que x2y + xy2 = xy(x + y) cela donne x + y = 4
Comment démontrer que xy = 2 ? En tout cas ces valeurs permettent de calculer rigoureusement x et y : x = 2 - √2 et y = 2 + √2.
Corrigé
La démonstration passe par le développement de (x + y)3 qui aboutit à : (x + y)3 = x3 +
y3 + 3(x2y + x2) = 40 + 3.8 = 64 = 43 et donc x + y = 4
Résultat
xy = 2 ; x + y = 4 ; x = 2 - √2 ; y = 2 + √2.
14. Crypta de Bernard
Enoncé
HA + HA + HA + HI + HI + HI + HO + HO + HO + FOUS = RIRES
Corrigé
Solution
On trouve vite R=1 F=9 I = 0
On voit que A + O + I =10
Puis en essayant différentes valeurs de O …
J’en connais deux paires : HA = 43, HI = 40 , HO=47, Fous = 9762 ou 9768 et Rires= 10152 ou 10158
Ou HA = 86, HI = 80 , HO=84, Fous = 9423 ou 9425 et Rires= 10173 ou 10175.
