908, Récréations escargot, le 27 février 2023

01. L'escargot

Enoncé

Un bon matin, un escargot veut grimper un mur de 10 mètres. En sachant que durant la journée, il grimpe de 3 mètres, et que durant la nuit, il tombe de 2 mètres,

Au bout de combien de temps arrivera-t-il au sommet ?

Résolution

3 - 2 = 1. L'escargot monte globalement de 1 mètre par jour.
Mais, le soir du premier jour il a atteint 3 mètres. Il lui faut encore 7 jours pour atteindre les 10 mètres (10 - 3 = 7).
Donc il lui faudra 1 + 7 = 8 jours pour atteindre les 10 mètres.

Résultat

Il arrivera au sommet en huit jours.

02. Alexandrine au bureau

Enoncé

Alexandrine arrive au bureau tous les matins à 9 heures et en sort à 4 heures de l'après-midi. Mais ce matin, alors qu'elle se dépêchait pour être à l'heure, sa montre s'est détachée de son poignet, est tombée sur le carrelage de l'entrée du bureau et retarde depuis de 4 minutes par heure. Alexandrine, ignorant cela, ne quittera son travail que lorsque sa montre marquera précisément 4 heures.

Quelle heure sera-t-il en réalité ?

Résolution

je crois qu'on doit considérer que le retard est de 4 mn par heure réelle.
Autrement dit lorsqu'il s'est réellement écoulé 1 heure la montre a avancé de 56 mn.
A chaque heure indiquée par la montre il s'est réellement écoulé : 60/56 = 1,071 h = 1 h 4 mn et 17 s.
A 16 heures indiqué par la montre, il s'est écoulé (16 - 9)60/56 ) = 7,5 heures. 7,5 + 9 = 16,5 = 16 h et 30 minutes.

Résultat

Alexandrine quittera son travail à 16 heures et 30 minutes.

03. La somme est multiple de 10

Enoncé

Combien existe-t-il de nombres à quatre chiffres dont la somme des chiffres est un multiple de 10 ?

Résolution

L'analyse faite ici est un peu longue. Il y a surement plus simple, on verra lundi.
Avec 9999 la somme des chiffres est 36. On n'a donc que trois sommes à essayer de construire : 10, 20 et 30.
Dans un premier temps on essaye d'assembler une liste ordonnée de 4 chiffres pour obtenir 10, 20 ou 30.
Dans un deuxième temps on se sert du nombre de possibilités de construire des nombres de 4 chiffres, suivant la configuration des 4 chiffres.
C'est cette table qu'on va faire en premier avec abcd (4 chiffres différents) ; aabc, abbc, abcc (2 chiffres identiques) ; aabb (2 fois 2 chiffres identiques) ; abbb, aaab (3 chiffres identiques) ; aaaa (4 chiffres identiques).

219 + 597 + 84 = 900.

Deuxième approche

On peut considérer le nombre de quatre chiffres comme l'association de deux nombres de deux chiffres, chacun apportant leurs contributions au total des chiffres. On appellera mc l'association du chiffre des milliers et des centaines et du, les dizaines et unités.

10 + 18 + 2 + 24 + 6 + 28 + 12 + 30 + + 20 + 30 + 30 + 28 + 42 + 24 + 56 + 18 + 72 + 9 + 81 + 80 + 63 + 7 + 48 + 12 +35 + 15 + 24 + 16 + 15 + 15 + 8 + 12 + 3 + 7 = 900

Correction

Si on considère mcd (les chiffres des milliers, centaines et dizaines) du nombre à quatre chiffres, quelle que soit leur somme m + c + d, il n'y aura qu'une valeur possible pour u le chiffre des unités qui permettra d'atteindre le total de 10, 20 ou 30. Le problème se ramène à compter le nombre de nombres de trois chiffres qu'on peut faire excepté bien sûr les nombres 1 à 99 puisqu'on ne commence qu'à 100.
Donc de 100 à 999 on a 999 - 99 = 900 nombres.

Résultat

Il existe 900 nombres de 4 chiffres dont la somme des chiffres est divisible par 10.

04. Nicole et ses sous

Enoncé

Dans sa tirelire, Nicole a 15 pièces de 10 sous et six de 5 sous. Elle désire placer cette monnaie dans les cases de la grille ci-contre. Il doit y avoir le même montant dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale. Le nombre de pièces pour les deux cases indiquées est de un. Il ne peut jamais y avoir deux pièces de 5 sous dans la même case. Il n’y a pas de 5 sous dans la diagonale partant en haut et à gauche. Il y a au moins une pièce dans chaque case.

Disposez les pièces dans cette grille.

Résolution

La somme totale disponible est : (15 x 10) + (6 x 5) = 180 ; Le total de chaque ligne, colonne, diagonale sera 180/3 = 60
La valeur au centre est la moyenne de toutes les valeurs : 180/9 = 20 ; donc comme on ne peut mettre que des pièces de 10 on a 2 de 10
En bas à droite on ne peut mettre qu'une pièce et une de 10, donc 1 de 10
En haut à gauche on ne peut poser que des pièces de 10 et il en faut 3 pour compléter la diagonale à 60
En haut au milieu, une seule pièce. Essayons avec 1 de 5. on complète enbas au milieu avec 1 de 5 et 3 de 10
En bas à gauche on complète avec 1 de 5 et 1 de 10, de même à gauche au milieu.
Il reste à droite, en haut et au centre avec 1 de 5 et 2 de 10.
Si on met une pièce de 10 en haut et au milieu on est bloqué par la suite.

Résultat

Voir la grille à droite.

05. Trois cercles égaux

Enoncé

Dans les cellules, disposez chacun des nombres de 1 à 6 pour que la somme des trois cellules disposées sur chacun des trois cercles soit 12.

Résolution

On remarque qu'on peut faire 12 avec : 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5 = 12
1, 2 et 3 n'apparaissent qu'une fois tandis que 4, 5 et 6 apparaissent 2 fois.
1, 2 et 3 ont les positions a, d ou f tandis que 4, 5 et 6 prennent les places b, c ou e.
Une possibilité est : a = 1 ; b = 5 ; c = 6 ; d = 3 ; e = 4 ; f = 2. Les rotations ou symétries possibles donnent 6 solutions.

Résultat

a = 1 ; b = 5 ; c = 6 ; d = 3 ; e = 4 ; f = 2

06. Bouffes routinières

Enoncé

Trois cousines prennent des repas dans des endroits et en des jours différents.

• Noms : Manon, Noémie, Patricia
• Repas : déjeuner, dîner, souper
• Endroits : à la maison, au restaurant, chez des amis
• Jours de la semaine : lundi, mardi, mercredi

1. Le déjeuner ne se prend pas chez des amis.
2. Personne ne va au restaurant le mardi.
3. Noémie ne prend pas son repas au restaurant.
4. Le déjeuner se prend le lundi.
5. Patricia prend le dîner, mais ce n'est pas à la maison.
6. Manon prend son repas le mardi ou le mercredi chez des amis

Pour chacune, déterminez le repas, l'endroit et le jour de la semaine.

Résultat

Manon : Souper, Amis, Mardi ; Noémie : Déjeuner, Maison, Lundi ; Patricia : Diner, Restaurant, Mercredi.

07. Marjo achète

Enoncé

Marjo a fait les achats suivants :
8 livres à LB écus chacun pour un total de LLA écus
2 boîtes de cassettes à AB écus chacune pour un total de BM écus
6 logiciels à DA écus chacun pour un total de LNA écus
À chaque lettre correspond un chiffre différent. Par exemple, A pourrait valoir 3 ; mais, ce n’est pas le cas. Par ailleurs, le coût de tout article est inférieur à 40 écus.

Quel est le total de la facture ?

Résolution

Chaque article est inférieur à 40 € ; L, A et D < 4
3^ème ligne : 6 x A = A à l'unité ; 6 x 2 = 12 ; A = 2
2^ème ligne : 2 x 2B = BM ; 2 x 24 = 48 ou bien 2x 25 = 50
Appliqué dans la 1^ère ligne : 8 x 5 = 40 (non) ; 8 x 4 = 32 (oui on retrouve le A) ; B = 4
Pour faire correspondre le L de la 1^ère ligne, il faut faire L = 1 : 8 x 14 = 112
Pour D et N de la 3^ème ligne, il faut faire D = 3 et N = 9 : 6 x 32 = 192.

Résultat

A = 2 ; B = 4 ; D = 3 ; L = 1 ; M = 8 ; N = 9 ; 8 x 14 = 112 ; 2 x 24 = 48 ; 6 x 32 = 192. Total de la facture : 112 + 48 + 192 = 352.

08. Passes de 4 à 5

Enoncé

La moyenne de six nombres est 4. Lorsque l'on rajoute un septième nombre, la moyenne passe alors à 5.

Quel est le nombre rajouté ?

Résolution

La somme des 6 nombres est 4 x 6 = 24. Avec x le 7^ème nombre ; (24 + x)/7 = 5 ; 24 + x = 35 ; x = 35 - 24 = 11.

Résultat

Le nombre rajouté est 11.

09. Triangle isocèle en nombres entiers

Enoncé

Toutes les longueurs des côtés d'un triangle isocèle sont des nombres entiers. Le périmètre de ce triangle mesure 20 cm.

Combien existe-t-il de possibilités pour les longueurs de ses côtés? (triangle plat exclu)

Résolution

Avec a la dimension de chacun des côtés égaux et b la dimension de la base, on a 2a + b = 20 ; b = 20 - 2a.

Correction

Attention, il faut que le triangle isocèle existe. 2a doit être > b. Il reste 4 solutions.

Résultat

Il y a 9 possibilités. Faux ! Il n'y a que quatre possibilités.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
a	Dans un jeu de dominos formé de 28 pièces, combien y a-t-il de pièces qui a huit points ?	6 + 2 = 5 + 3 = 4 + 4 = 8	Trois pièces ont 8 points en tout.
b	Déplacez une allumette pour que l’égalité soit vraie.
c	Un libraire vend un certain nombre de livres. Le triple de ce nombre augmenté de 8 est égal à 41. Combien le libraire a-t-il vendu de livres ?	3x + 8 = 41 ; x = 11	Le libraire a vendu 11 livres.
d	Combien y a-t-il de points communs à exactement quatre segments dans cette figure ?	4 segments n'ont que des points partiellement communs	Aucun point totalement communs.
	Il fallait comprendre qu'on considère les segments de longueur l'unité, qui ont des points communs, leur extrémité. 10 points sont à l'extrémité de quatre segments.

11. a b c d

Enoncé

Déterminer le nombre N s'écrivant en numération décimale " a b c d ", tel que l'addition suivante soit vérifiée :
" a b c " + "d a b" + "c d a" + "b c d" = "a b c d "
( "a b c" est le nombre qui s'écrit avec les chiffres a, b et c par exemple " 2 3 6 " = 236 )
Les chiffres a,b,c,d peuvent être égaux ( mais non nuls quand même ! )

Résolution

On a : 100a + 10b + c +100d + 10a + b + 100c + 10d + a + 100b + 10c + d = 111 (a + b + c + d) = N ; N est un multiple de 111
Dans l'expression de N = 1000a + 100b + 10c + d ; la somme de a + b + c doit être un multiple de 10
Si on prend 99 pour bc, il faut a = 2 pour avoir 2 + 9 + 9 = 20
Le plus proche multiple de 111 à partir de 299x est 2997
Essayons : 299 + 729 + 972 + 997 = 2997. C'est la solution.

Résultat

N = 2997.

12. Différence des cubes égale 485

Enoncé

Si a et b sont des entiers positifs tels que a³ - b³ = 485, combien vaut a³ + b³ ?

Résolution

b³ = a³ - 485 ; a³ mini = racine cubique de 485 = 7,85 ; essayons avec a = 8
Si a = 8 alors b³ = 8³ - 485 = 512 - 485 = 27 ; b = 3 ; a³ + b³ = 512 + 27 = 539.

Résultat

a³ + b³ = 539.

13. Surface du trapèze

Enoncé

Si les surfaces des triangles colorés sont 18 et 32 cm², combien mesure la surface du trapèze ?

Résolution

On trace la hauteur GH du trapèze. Entre les deux parallèles AB et CD les triangles AJB et DJC sont homothétiques.
Le rapport d'homothétie est la racine du rapport des surfaces : racine de 32/18 = racine de 16/9 = 4/3. Si AB = a alors CD = 4a/3
La surface du triangle AJB est a.JG/2 = 18 ; JG = 36/a ; Celle du triangle DJC est (4a/3).JH/2 = 32 ; JH = 48/a ; GH = 84/a
Aire totale du trapèze ABDC : (AB + CD)GH/2 = (a + 4a/3)84/2a = 98.

Résultat

L'aire du trapèze est 98 cm².

14. Nombres parents

Enoncé

Nous dirons qu'un nombre entier positif n est parent du nombre à deux chiffres ab si son chiffre des unités est b et si ses autres chiffres sont différents de 0 et que leur somme est a. Par exemple, les parents de 31 sont 31, 121, 211 et 1111.

Combien de nombres à deux chiffres sont diviseurs de tous leurs parents ?

Résolution

Ce problème a déjà été traité. Voir 606.12
C'est assez évident pour les nombres 11 à 19 qui n'ont un seul parent, le nombre lui-même et donc qui sont divisibles par eux-mêmes.
Ensuite il y a un cas isolé, celui du nombre 45 qui est diviseur de tous ses parents :

Résultat

Il y a 10 nombres de deux chiffres diviseurs de tous leurs parents : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 et 45.

Correction du lundi

Il y a d'autres solutions, par exemple 30 et 90. Attendons le corrigé de la fin de semaine.