Une dame a dans son porte-monnaie un certain nombre de billets de dix francs et rien d'autre. 1. Elle dépense la moitié de son argent
pour l'achat d'un chapeau et donne dix francs à un mendiant qui quêtait devant le magasin. 2. Elle dépense la moitié de l'argent restant pour
déjeuner et laisse vingt francs de pourboire au garçon. 3. Elle dépense la moitié de l'argent restant pour acheter un livre ; puis, avant de
rentrer chez elle, elle dépense trente francs dans un salon de thé. Il lui reste un billet de dix francs.
Combien de billets avait-elle au début de ses courses.
Résolution
Elle dépense 30 F dans le salon de thé et il lui reste 10 F. Donc elle avait 40 F avant d'entrer dans le salon de thé.
En 3 le livre a couté 40 F et donc elle avait 80 F avant l'achat.
Après l'achat 2 elle donne 20 F de pourboire, donc elle avait 80 + 20 = 100 F et du coup le déjeuner lui a couté 100 F. Elle avait 200 F avant le
déjeuner.
Après l'achat du chapeau elle avait 200 + 10 (qui ont été donné au mendiant) = 210 F. Le chapeau lui a couté 210 F.
Avant l'achat du chapeau elle avait 2 x 210 = 420 F.
Résultat
Elle avait 42 billets de 10 Francs avant de faire ses courses.
02. Un carré, deux carrés
Enoncé
Prenez un carré. Couper le en 4 quadrilatères non carrés égaux avec deux droites perpendiculaires.
Avec les 4 morceaux de papier, dessinez 2 carrés.
Résolution
Cela fonctionne aussi si l'intersection des obliques perpendicualires n'est pas au centre.
03. Un commerçant auvergnat
Enoncé
Un commerçant auvergnat (en hommage à Fernand Raynaud qui nous contait ce délice de savourer les airelles) décide de se lancer dans le
commerce des airelles.
Son fournisseur, cantonnier de son état, les lui cède à 50 € le kilo. Il espère faire un bénéfice de 50 % sur le prix d’achat et donc en tirer 75 €.
Comme chacun le sait, l'airelle est un fruit très délicat qui contient 99 % d'eau et qui a la réputation de ne pas se conserver (c'est pour ça
qu'on n'en trouve pas à Paris). Dès le second jour, son stock restant s’est asséché et ne contiennent plus que 98 % d'eau.
Elles sont alors impropres à la commercialisation, mais notre commerçant a trouvé un débouché dans une fabrique de confitures qui lui prendra
ses invendus à la moitié de leur prix fraiches.
Sachant que notre commerçant espère en vendre la moitié fraîches et écouler l'autre moitié à la fabrique de confitures, à quel prix devra-t-il les proposer pour réaliser son ambition ?
Résolution
Avec ce problème on se fait facilement avoir par les valeurs de 99 et 98 % d'eau qui sont très voisines.
Pourtant le gramme de matière séche à côté des 99 g d'eau (dans le produit frais) doit être accompagné de 49 g d'eau pour obtenir le produit
dégradé à 98 % d'eau.
Il faut vraiment divisé la masse par 2 pour obtenir le produit dégradé à 98 % d'eau.
Soit donc P kg de fruit frais acheté à 50 € le kg. Le prix d'achat est : 50P €.
Le premier jour il vend P/2 kg à un taux t (€/kg). Le prix de vente n° 1 est : PV1 = Pt/2 €
Le deuxième jour il vend (P/2)/2 = P/4 kg de fruit dégradé au taux t/2. Le prix de vente n° 2 est : PV2 = Pt/8 €
Le prix de vente total doit être égal à 1,5 fois le prix d'achat : PV1 + PV2 = Pt/2 + Pt/8 = 5Pt/8 = 3x50P/2 = 75P ; t = 75x8/5 = 120.
Résultat
Le prix de vente devra être de 120 € le kg.
04. On rond avec un trou
Enoncé
On prend un rond de diamètre 2R. Au milieu de ce rond on perce un trou rond de diamètre 2r. On trace une droite tangente au cercle intérieur.
La longueur de cette droite qui est à l’intérieur du grand cercle est de 1m.
Quelle est la surface du rond troué (grand rond moins petit rond) en m2 ?
Vous conduisez un véhicule qui roule à vitesse constante.
Vous passez devant des panneaux kilométriques indiquant la distance de la ville d'où vous venez. Le premier panneau comporte un nombre à deux
chiffres. Une heure après, vous passez devant un autre panneau indiquant un nombre avec les 2 mêmes chiffres mais inversés. Une heure après,
vous passez devant un troisième panneau qui indique le même nombre que le premier panneau mais avec un zéro entre les 2 chiffres.
Quelle est la vitesse du véhicule ?
Résolution
Avec a le chiffre des dizaines du premier panneau et b le chiffre des unités du premier panneau,
Le premier panneau indique 10a + b ; le deuxième indique 10b + a ; la valeur du troisième est 100a + b.
L'écart entre le 2ème et le 1er est identique à l'écart entre le 3ème et le 2ème.
10b + a - 10a - b = 100a + b - 10b - a ; 108a = 18b ; b = 108a/18 = 6a ; Si a = 2 alors b = 12 (trop grand) ; Si a = 1 alors b = 6.
Vitesse du véhicule : 61 - 16 = 106 - 61 = 45.
Résultat
Vitesse du véhicule : 45 km/h.
06. Les enfants du village
Enoncé
Quinze couples vivent dans un village. Chacun a un, trois ou cinq enfants mais il y a autant de couples ayant un seul enfant que de couples
en ayant cinq.
Combien y a-t-il d'enfants dans ce village ?
Résolution
Avec x le nombre de couples qui ont un enfant comme le nombre de couples qui ont 5 enfants. Le nombre de couples avec 3 enfants
est : 15 - 2x
Le nombre total d'enfants est : x + 3(15 - 2x) + 5x = 6x + 45 - 6x = 45.
Résultat
Il y a 45 enfants dans ce village.
07. Le moins de pairs possible
Enoncé
Si nous prenons 50 nombres distincts dans l'ensemble {1, 2, ..., 100} dont la somme vaut 3000, quelle est la quantité
minimale de nombres pairs que nous aurons pris ?
Un service de trains réguliers est organisé entre les villes de Mathville et Amuseville dans les deux sens. Tous les trains vont à la même
vitesse. Un train part de chaque ville toutes les dix minutes.
Partant de Mathville, je compte 24 trains croiseurs.
Donnez la plage de temps de parcours possibles entre les deux villes pour mon train.
Résolution
Ce problème a un air de famille avec le 809.05. Du fait de la circulation en sens inverse les croisements des trains en lieu toutes les 5
minutes.
L'exemple avec deux croisements montre qu'on peut parcourir un peu plus d'un intervalle ou un peu moins de trois intervales.
Avec 24 croisements, les intervalles parcourus vont de 23 à 25, bornes non comprises.
Les temps de parcours vont de 23 x 5 = 115 = 1 h et 55 mn à 25 x 5 = 125 = 2 h 5 mn, bornes non comprises.
Résultat
La plage de temps de parcours est comprise entre 1 h 55 et 2 h 05, bornes non comprises.
09. Fonctions à démasquer
Enoncé
La fonction ƒ(x) définie pour x réel > 0 vérifie 2ƒ(x) + 3ƒ(2022/x) = 5x.
Quelle est la valeur de ƒ(6) ?
Résolution
Le système se résout en donnant les deux valeurs 6 et 2022/6 = 337 à f(x)
2f(6) + 3f(337) = 5x ; 3f(337) + 2f(6) = 1685 ; 5f(6) = 15x337 -4x15 = 4995 ; f(6) = 999 ; 3f(337) = 30 - 2x999 = -1968 ; f(337) = -656
On peut aussi résoudre le système algébrique : 2f(x) + 3f(2022/x) = 5x avec 2f(2022/x) + 3f(x) = 5x2022/x
5f(x) = 15x2022/x - 10x ; f(x) = 6066/x - 2x ; 3f(2022/x) = 5x - 6x2022/x + 4x ; f(2022/x) = 3x - 4044/x
Quelques valeurs entières
x
1
2
3
6
337
674
1011
2022
f(x)
6064
3029
2016
999
-656
-1339
-2016
-4041
f(2022/x)
-4041
-2016
-1339
-656
999
2016
3029
6064
Résultat
f(6) = 999
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
(꙱ + ꙱ - ꙱)/꙱ = ꙱
Distribuez les jetons 2, 4, 5, 6 et 8 dans chaque position pour
que l’égalité soit vraie.
(8 + 6 - 4)/2 = 5 (8 + 6 - 4)/5 = 2.
b
LL + LN = NP
Chaque lettre a sa propre valeur et correspond à un chiffre.
Trouvez la plus grande valeur de LL
33 + 36 = 69 Faux : 44 + 49 = 93
LL maxi : 33. LL maxi : 44.
c
BA FE JI NM RQ
Trouvez le groupe de deux lettres qui devrait logiquement
suivre.
VU.
d
À l’aide d’opérations simples, représentez 60 avec trois 4 et un autre chiffre au choix, sauf le 6.
(4 x 4 x 4) - 4 = 60 Non !
4(4 + 4 + 7). Solution du prof : 3(4 x 4 + 4).
11. Le partage du vin
Enoncé
Une personne a une bonbonne de 12 litres de vin ; elle veut donner 6 litres à un ami. Pour les mesurer, elle n'a que deux autres bouteilles,
l'une contenant 7 litres, l'autre contenant 5 litres.
Comment doit-elle opérer pour avoir les 6 litres dans la bonbonne de 7 litres ?
Résolution
Contenu de la bonbonne de 12 litres
12
7
7
2
2
9
9
4
4
11
11
6
6
Contenu de la bouteille de 7 litres
0
0
5
5
7
0
3
3
7
0
1
1
6
Contenu de la bouteille de 5 litres
0
5
0
5
3
3
0
5
1
1
0
5
0
12. Il faut partir à point
Enoncé
On part de deux nombres entiers naturels A et B tels que A soit inférieur à B. Ce sont les deux premiers termes.
On écrit la suite de nombres, construite selon la règle suivante : chaque terme est égal à la somme des deux termes qui le précèdent dans la suite.
Exemple : (la suite dite de Fibonacci) ; 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Quels doivent être les deux premiers nombres de départ pour que le dixième terme de la suite soit égal à 2004 ?
Résolution
Nombres de A et de B dans les termes
Terme n°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nombre de A
1
1
1
2
3
5
8
13
21
Nombre de B
1
1
2
3
5
8
13
21
34
Le terme de rang 10 a la valeur 21A + 34B. Cette valeur doit être égale à 2004.
On peut calculer B en fonction de A ; B = (2004 - 21A)/34. Le reste de la division de 2004 par 34 est 32.
Pour que B soit entier il faut que le terme soustractif 21A divisé par 34 ait aussi un reste de 32.
A = 1 → 21A/34 reste 21 ; A = 2 → reste 8 ; A = 4 → reste 16 ; le reste augmente de 8, il faut encore l'augmenter de 16.
A = 8 → reste = 32 ; c'est une solution. Le prochain devrait être 8 + 34 ; A = 42 → reste = 32. C'est une solution possible.
Si A = 8 alors B = (2004 - 21.8)/34 = 54. Si A = 42 alors B = 33. B < A ; Cette solution ne convient pas.
Vérification : 21A + 34B = 21.8 + 34.54 = 168 + 1836 = 2004.
Résultat
A = 8 ; B = 54.
13. Triplets à somme divisible par 3
Enoncé
Combien existe-t-il de triplets, constitués de trois nombres entiers distincts compris entre 1 et 13 inclus,
tels que la somme de ces trois nombres soit divisible par 3 ?
Résolution
Reste nul
3
6
9
12
Reste = 1
1
4
7
10
13
Reste = 2
2
5
8
11
On peut classer les nombres de 1 à 13 en trois catégories, ceux dont le reste de la division par 3 est 0, ceux dont le reste est 1, et
ceux avec un reste de 2. Il y a ensuite plusieurs combinaisons de ces types de nombres pour obtenir un trio dont la somme est divisible par 3.
Il faut que la somme des restes soit divisible par 3. On fait le comptage des combinaisons dans chaque type d'assemblage.
Somme des restes
0 + 0 + 0 = 0
0 + 1 + 2 = 3
0 + 2 + 1 = 3
1 + 0 + 2 = 3
1 + 1 + 1 = 3
1 + 2 + 0 = 3
2 + 0 + 1 = 3
2 + 1 + 0 = 3
2 + 2 + 2 = 6
Total
Nombre de combinaisons
20
10
10
10
35
20
20
10
20
155
Correction
Il aurait fallu lire correctement l'énoncé : triplets constitués de trois nombres entiers distincts .
Nombres de type 0 (reste = 0) : 3, 6, 9, 12. On en prend 3 parmi 4. Il y a 4 combinaisons.
Nombres de type 1 (reste = 1) : 1, 4, 7, 10, 13. On en prend 3 parmi 5. Il y a 10 combinaisons.
Nombres de type 2 (reste de la division par 3 = 2) : 2, 5, 8, 11. On en prend 3 parmi 4. Il y a 4 combinaisons.
Les assemblages de types 012, 021, 102, 120, 201, 210. Quel que soit l'ordre, à chaque fois on prend un nombre 0, un nombre 1 et 1 nombre 2.
On a donc 4 x 5 x 4 = 80 possibilités. Le nombre total de triplets est : 4 + 10 + 4 + 80 = 98.
Résultat
Il y a 155 triplets. Faux, il y a 98 triplets.
14. Nombre de diviseurs
Enoncé
Combien de diviseurs possède le nombre N = 235 - 23 ?
Résolution
235 - 23 = 23(234 - 1) = 23(232 + 1)(232 - 1) = 23.530.528 ; 23 est premier.
530 = 2.5.53 ; 528 = 24.3.11 ; Finalement 235 - 23 = 25.3.5.11.23.53
Dans un premier temps on laisse les puissances de 2 de côté, on compte toutes les combinaisons possibles des autres facteurs.
Les combinaisons d'un seul facteur, il y en a 5.
Les combinaisons de 2 facteurs parmi 5 = 5!/[2!(5 - 2)!] = 10.
Les combinaisons de 3 facteurs parmi 5 = 5!/[3!(5 - 3)!] = 10.
Les combinaisons de 4 facteurs parmi 5 = 5. Il reste à ajouter le produit des 5 facteurs.
Nombre total de combinaisons des facteurs autres que les puissances de 2 : 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31.
Chacun de ces 31 produits peut être multiplié ou pas par un des 5 facteurs puissance de 2. Cela nous amène à 31 x 6 = 186.
On a encore à ajouter chacune des puissances de 2 prise isolément : 186 + 5 = 191, et à retirer le produit de tous les facteurs : 191 - 1 = 190.
Correction
1 et le nombre N lui même sont des diviseurs de N, on doit les compter. Il y a donc 190 +2 = 192 diviseurs.
