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01. Cinq fruits pour 6 petits-enfants

Enoncé

Un grand-père possède cinq fruits différents qu'il souhaite répartir entre ses six petits-enfants afin qu'ils reçoivent tous au plus un fruit.

De combien de manières peut-il procéder ?

Solution "Calendrier janvier 21"

Pour le 1^er enfant il y a 6 possibilités, soit un des cinq fruits différents, soit pas de fruit.
Pour le second, il reste 5 possibilités, puis 4 pour le 3^ème, ... et une possibilité pour le 6^ème et dernier.
Le nombre de possibilités est 6! = 720

Résultat

Il y a 720 manières de procéder.

02. Puissance 4

Enoncé

Comme beaucoup de nombres, 2000 est divisible par la somme des chiffres qui le composent, c'est-à-dire 2. Mais en l'occurrence, il est également divisible par le carré de ce nombre, le cube et même la puissance quatrième de cette somme.

Dans combien d'années aura-t-on la même propriété ?

Solution "Mathmuse"

Le nombre cherché (l'année postérieure à 2000) est (avec n la somme des chiffres) de la forme E = kn⁴. Avec k = 1, sachant que 2000^1/4 = 6,69 ; n est >= 7
E = 7⁴ = 2401. Et on a bien n = 2 + 4 + 1 = 7 ; On peut essayer de chercher des solutions entre 2001 et 2400 avec n compris entre 2 et 6
Si on fait n = 2, il n'y a aucune année de 2001 à 2400 dont la somme des chiffres est 2.
Si on fait n = 3, il y a 2001, 2010 et 2100. Aucun n'est divisible par 16.
Avec n = 4 ; c'est à dire 4⁴ = 256 ; Il y a 256.8 = 2048 et 256.9 = 2304. Aucun n'a une somme des chiffres égale à 4.
Avec n = 5 ; le premier est 2500 > 2400. Un des suivants est 5000 dont la somme des chiffres est 5. Mais 5000 est > 2401.
Avec n = 6 ; le premier est 2592 > 2400.

Résultat

On aura la même propriété en 2401, c'est à dire dans 401 années.

03. 4 filles

Enoncé

Le problème suivant fera connaître une relation linéaire, fondamentale en logique formelle, connue sous le nom d'implication. Cette relation s'énonce sous la forme : « Si... alors...
Quatre étudiantes, qui partagent le même appartement, écoutent de la musique pendant que l'une se fait les ongles, une autre se coiffe, une troisième se maquille et la dernière lit.

Etudiante	Myria	Maud	Marie	Mona
Se fait les ongles	Non		Non	Oui
Se coiffe		Non	Oui
Se maquille	Oui	Non		Non
Lit	Non	Oui	Non	Non

Myra ne se fait pas les ongles et ne lit pas.
Maud ne se maquille pas, ni ne se coiffe.
Si Myra ne se maquille pas, alors Mona ne se fait pas les ongles.
Marie ne lit pas et ne se fait pas les ongles.
Mona ne lit ni ne se maquille.

Que fait chacune des filles ?

Résolution

L'hypothèse que Myria ne se maquille pas entraine qu'elle se coiffe, comme Mona. Mais comme deux étudiantes ne font pas la même chose, l'hypothèse est fausse.

Résultat

Myria se maquille, Maud lit, Marie se coiffe et Mona se fait les ongles.

04. Âge d'Albane

Enoncé

Maxime a 32 ans. Il a deux fois l’âge qu’Albane avait quand il avait l’âge qu’Albane a maintenant.

Quel est l’âge d’Albane ?

Résolution

Aujourd'hui	Maxime a 32 ans	Albane a x années
Il y a (32 - x) années	Maxime avait x années	Albane avait : x - (32 - x) = 2x - 32 années
L'égalité est :	2(2x - 32) = 32	4x = 96	x = 24

Résultat

Aujourd'hui, Albane a 24 ans.

05. Bipèdes et quadripèdes

Enoncé

Un petit cirque possède un certain nombre de chevaux et de cavaliers. Ils ont ensemble 50 pieds et 18 têtes. Le cirque possède également quelques animaux sauvages qui ont ensemble 11 têtes et 20 pieds. Il y a deux fois plus d'animaux sauvages quadrupèdes que de créatures sauvages bipèdes.

Combien de chevaux, de cavaliers et d'animaux sauvages bipèdes sont-ils réunis dans ce cirque ?

Vous ne devriez pas avoir trop de difficultés à trouver 7 chevaux et 11 cavaliers. Mais pour les animaux sauvages ?

Résolution

En effet pour la première partie avec x chevaux et y cavaliers, on a 4x + 2y = 50 et x + y = 18
D'où : y = 18 - x ; 4x + 36 - 2x = 50 ; 2x = 14 et x = 7 ; y = 18 - 7 = 11
Pour la deuxième partie, avec x le nombre de créatures sauvages bipèdes, le nombre d'animaux quadrupèdes est 2x
Nombre de pieds : 2x + 4(2x) = 10x = 20; D'où x = 2 ; 2 bipèdes et 4 quadrupèdes
Nombre de têtes : 2 + 4 = 6. Il en manque 5. Il faut imaginer qu'il y a 5 animaux à 2 têtes.

Solution "Livre Ung Chan"

L'astuce est de considérer des serpents qui n'ont pas de pied. Donc on retrouve les 2 animaux à 2 pids et les 4 animaux à 4 pieds plus y serpents.
Nombre de têtes = 2 + 4 + y = 11 ; y = 5

Résultat

Mauvaise version (MR) : Il y a 6 animaux sauvages, 4 à 4 pieds et 2 à 2 pieds, mais aussi 5 d'entre eux ont 2 têtes.
Version officielle : il y a 7 chevaux, 11 cavaliers, 2 animaux sauvages à 2 pieds, 4 animaux sauvages à 4 pieds et 5 serpents.

06. Un autre panier de citrons

Enoncé

Vous vous souvenez du problème 9.3.3
Rosalie a un panier de N citrons. Elle dit à Simon :
- Si je partage mes citrons en sept sacs de même quantité, il m’en reste six.
- ...
- Si je partage mes citrons en cinq sacs de même quantité, il m’en reste quatre.
La solution était simple en calculant N + 1.
Voici un autre énoncé :
Si je divise mes citrons en 7, il m’en reste 2 ; si je les divise en 5, il m’en reste 3.

Combien ai-je de citrons, au minimum

Résolution

k1	1	2	3	4
7k1 + 2	9	16	23	30
k2	1	2	3	4
5k2 + 3	8	13	18	23

Il faut trouver la valeur de 7k1 + 2 = 5k2 + 3 ; voir ci-contre.

Résultat

Rosalie a 23 citrons au minimum.

07. Des carrés dans un carré

Enoncé

2	a	4
b	c	d
x	e	3

Jeanne veut écrire des nombres dans les cases d’un tableau 3 × 3 de telle sorte que les sommes des nombres de chacun des quatre carrés 2 × 2 contenus dans le tableau soient égales. On a déjà écrit des nombres dans trois des coins.

Quel nombre Jeanne doit-elle écrire dans le quatrième coin ?

Résolution

Dans toutes les sommes des quatre carrés on peut retirer la valeur au centre c	T1 = a + b + 2 = T2 = a + d + 4 = T3 = d + e + 3 = T4 = b + e + x
Les valeurs a et b du premier carré peuvent définir toutes les autres	T1 = T2 = a + b + 2 = a + d + 4	d = b - 2
	T2 = T3 = a + d + 4 = d + e + 3	e = a + 1
	T3 = T 4 = d + e + 3 = b + e + x	x = 1

Résultat

Jeanne doit écrire 1 dans le quatrième coin.

08. Carré de 9

Enoncé

Si N s’écrit avec m chiffres 9, quelle est la somme des chiffres de son carré ?

Résolution

Si m = 1 ; 9² = 81 ; Les chiffres sont 8 et 1 ; leur somme est 9
Si m = 2 ; 99² = 9801 ; Les chiffres sont 9 ; 8 ; 0 ; 1 ; la somme est : 9 + (8 + 1) = 2.9 = 18
Si m = 3 ; 999² = 998001 ; On a 2 fois le chiffre 9, puis 8, puis 2 fois le chiffre 0, puis 1 ; La somme des chiffres est 3.9 = 27

	1	000	000	000	001
-				002	000
=		999	999	998	001

Si m = 9 ; 999 999 999² = (10⁹ - 1)² = 10¹⁸ + 1 - 2.10⁹
Le carré est donc composé de 8 fois le chiffre 9, 1 fois le chiffre 8 et 1 fois le chiffre 1.La somme des chiffres est 9 x 9 = 81.
Avec m chiffres 9 on a vraisemblablement (m - 1) chiffres 9, un chiffre 8, (m - 1) chiffres 0 et un chiffre 1. La somme des chiffres est 9m

Résultat

La somme des chiffres du carré est 9m.

09. Combien de zéros

Enoncé

Combien y a-t-il de 0 à la fin de 1997! (factorielle 1997). n! (factoriel n) = n x (n-1) x .... x 2 x 1

Résolution

La factorielle étant un produit de facteurs, on peut la ramener à un produit de nombres premiers.
Parmi les nombres premiers il y en a 2 qui produisent une dizaine entière, ce sont les facteurs 2 et 5 (2.5 = 10).
Les facteurs 2 sont très nombreux car issus de tous les nombres pairs. Il nous suffit donc de compter les facteurs 5,
en tenant compte du fait que 25 génère 2 fois le chiffre 5, 125 en génère 3 et on a 4 chiffres 5 pour 625.
1997/5 = 399 facteurs 5 ; 1997/25 = 79 facteurs 25 (déjà comptés 1 fois, on rajoute une fois) ; 1997/125 = 15 fois ; 1997/625 = 3 fois.
399 + 79 + 15 + 3 = 496

Résultat

Il y a 496 zéros à la fin de 1997!.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°

Enoncé

Calcul

Résultat

Insérez un signe +, –, ´ ou ÷ entre les chiffres pour que le résultat soit 15.

(8/2) + 7 + 4 = 15

Joachim fait la somme de quatre nombres différents et obtient 21. Combien y a-t-il de façons de réaliser cette somme en excluant le 0, le 1 et le 2 ?

3 + 4 + 5 + 9 = 3 + 4 + 6 + 8 =
3 + 5 + 6 + 7 = 21

3 façons d'obtenir 21.

Sofia dépose des dominos sur une grille 6 x 6 dont les cases de deux coins opposés ont été coupées. Combien peut-elle placer de dominos ?

16 dominos.

Distribuez les jetons de 3 à 7 de façon à obtenir une somme de 16 dans chaque rangée. Le jeton 8 est déjà posé.

Deux solutions

		3					5
	5	4	7			3	6	7
8				6	8				4

11. Un triangle très spécial

Enoncé

Je ne suis pas un triangle isocèle, mais si vous tracez la médiane et la hauteur issues de mon sommet le plus au Nord, l’angle entre cette médiane et mon coté Ouest est égale à l’angle entre cette hauteur et mon coté Est.

Bref, quel est ma caractéristique principale ?

Résolution

tg α = a/h	tg β = b/h	tg (α + γ) = (a + c)/h
tg γ = tg (α + γ - α)	tg γ = [tg (α + γ) - tg α]/[1 + tg(α + γ) tg α	tg γ = ch/(h² + a² + ac)
β = γ	tg β = tg γ	ch/(h² + a² + ac) = b/h
bh² + a²b + abc = ch²	a(ab + bc) = ch² - bh²	ab + bc = (ch² - bh²)/a
tg(β + α + γ) = [tg β + tg (α + γ)]/[1 - tg β tg(α + γ)]	tg(α + β + γ) = h(a + b + c)/(h² - ab - bc)
Dénominateur de la tangente	D = h² - ab - bc = h² - (ch² - bh²)/a
D = h²(a - c + b)/b	avec c = a + b	D = h²(a - a - b + b)/a = 0
Le dénominateur est nul	L'angle α + β + γ est droit.

Analyse géométrique

Est-ce qu'il est possible de faire un raisonnement par l'absurde ?
Partons du triangle ABC rectangle en A, avec sa hauteur AH et sa médiane AM. MB = MA = MC. Les triangles BMA et CMA sont isocèles.
Les hauteurs MP et MQ sont aussi médianes (pas besoin). Les angles MBA et MAB sont égaux, de même que MAC = MCA
HA est perpendiculaire à HB, CA est perpendicualire à AB. Les angles HAC et ABH sont égaux. cela entraine BAM = CAH
On a toutes les conditions : AH hauteur, AM médiane, MAB = HAC. Le triangle est rectangle.

Solution "301 Enigmes 171"

il y a une construction géométriques qui permet de faire une démonstration simple. On ajoute le tracé de la médiatrice en M qui coupe BA en D.
BDC est isocèle. Les angles BDM et MDC sont égaux. Par construction et par homthétie, CAM = HAB = MDC.
L'angle CMD est droit (médiatrice), le cercle de diamètre CD passe par M. Les angles CDM et CAM sont égaux, ils sont inscrits dans le même cercle.
A est sur le cercle. CAD est inscrit dans un arc de 180°, CAD vaut 90°. BAC est rectangle.
Dommage que le dessin du corrigé ait sa médiane du côté Est. C'est sans importance.

Résultat

Il s'agit d'un triangle rectangle au Nord.

12. Surface du triangle

Enoncé

Soit ABC un triangle isocèle en A de périmètre mesurant 32 cm et dont la hauteur issue de A mesure 8 cm.

Quelle est l'aire du triangle ABC ?

Résolution

Avec x	La dimension d'un des côtés du triangle isocèle
La demi base vaut	√(x²-64)
Le périmètre vaut 32 et il est	2(x + √(x²-64) = 32	√(x²-64) = 16 - x
(x²-64) = 256 - 32x + x²	x = 10	Demi base = √(100 - 64) = 6
Aire	(10 x 6 = 60) Erreur !	Pardon, la hauteur n'est pas 10 mais 8	6 x 8 = 48

Résultat

Aire du triangle : 48 cm².

13. Pommes et poires

Enoncé

On dispose de six pommes et de six poires.

De combien de façons différentes est-il possible d'arranger six de ces fruits sur une ligne de manière à ce qu'il n'y ait jamais une poire entre deux pommes ?

Résolution

Les 64 combinaisons binaires sont listées (a pour pomme et B pour poire). On élimine les b seuls entre deux a.

Corrigé "Solution mars 2020"

Le dessin ci-dessus permet de visualiser les retraits à faire, c'est à dire les arrangements interdits sur les 64 combinaisons possibles.
On trouve en bleu les 8 combinaisons de type aBaxxx, en jaune les 8 combinaisons xaBaxx, il y a encore 8 - 2 = 6 xxaBax
dont 2 ont déjà été comptées, et enfin en rose il y a 8 - 3 = 5 combinaisons de type xxxaBa dont 3 déjà comptées.
64 - (8 + 8 + 6 + 5) = 37

Résultat

Il y a 37 façons différentes d'arranger les fruits.

14. Solution entière

Enoncé

Prenons un nombre entier k et supposons que l'équation x¹⁰ + kx² + 4 = 0 possède une solution entière.

Quelles sont alors les valeurs possibles pour k ?

Résolution

Examinons k = f(x), avec des x entiers : k = -(x¹⁰ + 4)/x².

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
k	-390 625,16	-65 536,25	-6 561,44	-257	-5	/0	-5	-257	-6 561,44	-65 536,25	-390 625,16

Corrigé "Solution mars 2020"

Avec x entier, x¹⁰ est entier, et avec l'entier 4, kx² est entier. x est diviseur de 4.
Si x = + ou - 1 ; 1 + k + 4 = 0 ; k = -5
Si x = + ou - 2 ; 2¹⁰ + 4k + 4 = 0 ; -(2¹⁰/2² + 1) = -(2⁸ + 1) = -257

Résultat

Valeurs possibles : k = -5 et k = -257.