905, Récréations "Forêt", le 2 janvier 2023

01. Forêt en ville

Enoncé

Agressif, Loquace et Rapace résident dans la même ville mais sur des rues différentes.
Numéros de rue : 147, 235, 368
Noms des rues : Bouleaux, Érables, Tilleuls
Sens des rues : est, nord, sud

1. La rue des Bouleaux a le numéro 368 et a le sens sud.
2. Loquace ne demeure pas rue des Tilleuls ; sa rue n'a pas le sens est.
3. Rapace ne demeure pas au 147 ; sa rue n'a pas le sens nord.
4. La rue des Tilleuls a le sens nord.

Déterminez l’adresse de chaque personne.

Résolution

a, b, c, d : Les affirmations directes 1, 2, 3, 4
e : Il reste Erables, Est
f : Loquace pas dans la rue des Tilleuls qui va au nord, en plus pas à l'est, donc il est dans la rue qui va au Sud;
g : Il reste Rapace à l'Est
h : Il reste Agressif au Nord
i : Loquace est au Sud, où se trouve le 368, donc LOquace est au 368
j : Rapace est dans la rue de l'Est qui est la rue des Erables, Rapace est dans la rue des Erables et il est au 235
k : Pour Loquace il reste la rue des Bouleaux
l : Agressif est au 147 rue des Tilleuls
m : On peut compléter : 147 au Nord, 235 à l'Est, 235 dans la rue des Erables et 147 dans la rue des Tilleuls

Résultat

Agressif au 147 rue des Tilleuls vers le Nord, Loquace au 368 rue des Bouleaux vers le Sud et Rapace au 235 rue des Erables vers l'Est

02. Festival d'automne

Enoncé

C’est l’automne. Charlotte est à la recherche de feuilles d’érable colorées. Elle trouve huit souches d’arbre bien propres. Celles-ci sont disposées comme sur le dessin ci-contre.
Depuis son arrivée au bord de la forêt, elle a recueilli 48 feuilles. Elle les classe selon leur teinte et les empile sur les souches.

1. Il y a 17 feuilles dans chacune des quatre rangées obliques de trois souches.
2. Il y a 16 feuilles sur les souches A, B et C.
3. Il y a 22 feuilles sur les souches F, G et H.
4. Il y a six feuilles de plus sur la D que sur la E.
5. Il y a une feuille de moins sur la B que sur la F.

Combien y a-t-il de feuilles sur la souche H ?

Résolution

Correction

La résolution "Magique Série A, Solution 84" nous montre une voie très séduisante et simple.
D + E = A + B + C + D + E + F + G + H - (A + B + C) - (F + G + H) = 48 - 16 - 22 = 10. Par ailleurs D = E + 6. Donc 2E = 10 - 6 ; E = 2 ; D = 8
B + F = B + D + F - D = 17 - 8 = 9. Par ailleurs F = B + 1. Donc 2B = 9 - 1 ; B = 4 ; F = 5
H = 17 - B - E = 17 - 4 - 2 = 11 ; G = F + G + H - F - H = 22 - 5 - 11 = 6; A = 17 - D - G = 17 - 8 - 6 = 3 ; C = 17 - G - E = 17 - 6 - 2 = 9

Résultat

Il y a 11 feuilles sur la souche H.

03. On veut le même bonbon

Enoncé

Dans le bocal à bonbons, il reste 9 bonbons rouges, 8 jaunes et un bleu. Les trois enfants veulent tous un bonbon, mais du même type.

Combien de bonbons au maximum doit piocher la maman pour les satisfaire ?

Résolution

Dans le pire des cas, elle pioche : le bleu, puis 1 jaune, puis 1 rouge, puis (1 rouge ou 1 jaune), puis (1 jaune ou 1 rouge), puis (1 jaune ou un rouge).

Résultat

La maman doit piocher 6 bonbons au maximum.

04. Mystère Cinq

Enoncé

Il était une fois cinq mystérieuses inconnues positives qui vérifiaient les cinq équations suivantes :
ab = 1    ;    bc = 2    ;    cd = 3    ;    de = 4    ;    ea = 6
Et si vous les découvrez toutes les cinq, vous méritez une note égale à : 2a + 3b + c + 3d + 2e, tout simplement...

À vous de jouer

Résolution

Correction

Dans la correction il est proposé de faire le même problème en remplaçant les signes "multiplié" par des "+".
En appliquant la même variante : 2(a + b + c + d + e) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 ; a + b + c + d + e = 8
a = 8 - (2 + 4) = 2 ; b = 8 - (3 + 6) = -1 ; c = 8 - (1 + 4) = 3 ; d = 8 - (6 + 2) = 0 ; e = 8 - (1 + 3) = 4

Résultat

a = 3/2 ; b = 2/3 ; c = 3 ; d = 1 ; e = 4 ; Note : 19.

05. Hermione soustrait

Enoncé

Hermione a tracé six carrés comme ci-contre. Elle a ajouté le signe – indiquant ainsi qu’elle veut faire une soustraction. Elle veut écrire les chiffres 2, 3, 5, 6, 7 et 8 dans les carrés. Hermione m’a confié que 8 est le dernier chiffre du résultat.

Disposez les cinq autres chiffres.

Résolution

La retenue est obligatoire. Pour les unités on peut avoir : 13 - 5 = 8 ou 15 - 7 = 8. On ne peut pas continuer avec 13 - 5.
La soustraction est 65 - 37 = 28.
On a vu en cours qu'il y a une deuxième solution en intervertissant 3 et 2 : 65 - 27 = 38

Résultat

La soustraction est : 65 - 37 = 28 ou bien 65 - 27 = 38.

06. Etiquettes de Ginette

Enoncé

Ginette place huit cubes comme ci-conctre et donne à Gino huit étiquettes numérotées de 1 à 8. Elle dit à Gino :
- Sur chaque cube, appose une étiquette. La somme des chiffres de chaque rangée verticale de trois cubes et la somme des chiffres du losange doivent être 15. Les cubes jaunes peuvent recevoir un chiffre pair et les rouges un impair.

Disposez les étiquettes.

Résolution

Pour les 2 rangées verticales il faut faire 15 avec 2 pairs et 1 impair,
On a 15 = 2 + 4 + 9 (Non) = 2 + 6 + 7 = 4 + 8 + 3 = 2 + 8 + 5 = 4 + 6 + 5 = 6 + 8 + 1
Les associations possibles de 2 colonnes sont : (1) 2, 6, 7 avec 4, 8, 3 ou bien (2) 2, 8, 5 avec 4, 6, 5 (Non)
Seule (1) 2, 6, 7 avec 4, 8, 3 convient et il reste 1 et 5 pour compléter le losange.

Résultat

Il y a quatre solutions. Voir à droite.

07. Tresses

Enoncé

Olivia fabrique une tresse à quatre brins, nommés de gauche à droite a, b, c, d, et 20 rangs :
(1) à chaque rang impair, elle fait passer le brin de gauche sur les deux brins du milieu ;
(2) à chaque rang pair, elle fait passer le brin de droite sur les deux du milieu.

Dans quel ordre, de gauche à droite, se trouvent les brins à la fin ?

Résolution

Résultat

A la fin, au vingtième rang, les brins se trouvent dans l'ordre : b, d, c, a.

08. Contrôle de médicament

Enoncé

La pharmacie de l’hôpital à reçu 4 bocaux de gélules contenant 1000 gélules chacun.
Elle reçoit ensuite un mail de son fournisseur lui disant qu’un des bocaux contient des gélules de 450 mg alors que les autres sont des gélules de 500 mg.

Comment trouver le bocal défectueux en une pesée ?
Même question mais le mail dit qu’il y a plusieurs bocaux défectueux

Résolution

On peut effectuer une pesée en donnant un "poids", une "importance" différente aux gélules de chacun des différents bocaux.
Par exemple je prélève 10 gélules du bocal A, 20 gélules du bocal B, 40 gélules du bocal C et 80 gélules du bocal D.
Si toutes les gélules pesaient 0,5 g, la masse totale serait : 0,5(10 + 20 + 40 + 80) = 75 g. La diminution de masse sera fonction du bocal défectueux.
S'il y a plusieurs bocaux défectueux, le principe reste le même. On perd 0,05 grammes par gélule défectueuse, ou 0,5 g par groupe de 10 gélules.

Résultat

En pesant la somme d'un nombre croissant de gélules de chacun des bocaux, en progression géométrique de raison 2.

09. Un nombre pas pair du tout

Enoncé

Quel est le plus petit nombre entier positif à trois chiffres vérifiant que la somme de ce nombre avec le nombre obtenu en inversant l'ordre de ses chiffres, soit un nombre composé uniquement de chiffres impairs ?

Résolution

Pour que x soit impair, il faut c impair et a pair ou l'inverse.
Pour que y soit impair, 2b étant pair, il faut une retenue aux unités. Par ailleurs a + c étant impair, pour avoir z impair il ne faut pas de retenue aux dizaines.
On peut commencer avec le plus petit b, b = 0. Si on fait a = 1, c sera supérieur à 9. Si on fait a = 2 on peut faire c = 9.
Il se trouve que cette hypothèse fonctionne : 209 + 902 = 1111.

Résultat

Le plus petit nombre est 209.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

11. Démographie

Enoncé

Dans une société, le personnel est réparti entre deux groupes, les employés et l'encadrement. 80% des personnels sont des hommes. 95 % des employés sont des hommes et 65% des hommes de la société sont des employés.

Pouvez-vous dire si les femmes sont majoritaires dans l'encadrement ?

Résolution

Essai de tout ramener à l'effectif total Et. Nombre total d'hommes, employés et cadres : Ht = 0,8 Et
Donc nombre total de femmes, employées et cadres : Ft = 0,2 Et
Nombre d'hommes employés Hp = 0,65 Ht = 0,65 . 0,8 Et = 0,52 Et
Nombre total (H et F) d'employés Pt ; 0,95 Pt = Hp ; Pt = Hp / 0,95 = 0,52 Et / 0,95 = 0,5474 Et
Nombre de femmes employées Fp = 0,05 Pt = 0,5474 . 0,05 Et = 0,0274 Et
Nombre de femmes cadres Fc = Ft - Fp = (0,2 - 0,0274) Et = 0,1726 Et
Nombre d'hommes cadres Hc = Ht - Hp = (0,8 - 0,52) Et = 0,28 Et
Pourcentage de femmes dans l'encadrement : 17,26/(0,1726 + 0,28) ) = 38,1 %

Résultat

Les femmes sont minoritaires dans l'encadrement (38,1 %).

12. Un drôle de jeu de dé

Enoncé

On lance deux dés classiques « numérotés » de 1 à 6 et on s'intéresse à la somme des « numéros » obtenus sur les deux faces supérieures après un lancer :
2 est obtenu d'une seule façon, 3 de deux façons, etc.
Maintenant considérons deux dés classiques dans la forme mais dont aucun n'est classique dans la « numérotation » (néanmoins on n’utilise que des entiers strictement positifs).

Comment numéroter chacun de ces deux dés (qui ne le sont pas nécessairement de la même manière) de sorte que le nombre de façons d'obtenir chaque somme des « numéros » obtenus soit la même que pour deux dés classiques ?
(2 doit être obtenu d'une seule façon, 3 de deux façons, etc.)
On demande une solution.

Nb : J’en ai une, je ne sais pas si elle est unique.

Solution "Ile de Math"

13. La promenade des demoiselles

Enoncé

Un pensionnat de 2022 jeunes filles se promène chaque jour, en procession par rangs de deux.

Combien de promenades peut-on faire en sorte qu’aucune jeune fille n’ait deux fois la même voisine ?

Le même problème, avec 8 demoiselles à été donné l’an dernier.

Résolution

Si on se réfère à la résolution de 804.11,
On cherche le nombre de couples différents possibles, c'est à dire le nombre de combinaisons de 2 parmi 2022 = 2022!/2!/2020! = 2021.2022/2
Dans la promenade d'un jour il y a 2022/2 couples. On devrait donc pouvoir faire au maximum : (2021.2022/2)/(2022/2) = 2021 promenades différentes.

Correction

On démontre graphiquement que toutes les combinaisons sont utilisables à condition de mettre une fille au centre du cercle.
Avec n filles, le nombre de combinaisons de 2 parmi n est n!/[2!(n - 2)!] = n(n - 1)/2. Dans une promenade on prend n/2 couples.
Nombre de promenades possibles : [n(n - 1)/2]/(n/2) = n - 1. Si n = 2022, le nombre de promenades différentes est 2021.

Dans cet exemple graphique avec n = 8 (le problème 804.11) on retrouve bien les 28 couples répartis dans les 7 promenades.

Résultat

On peut faire 2021 promenades.

14. Tous les entiers x, y

Enoncé

Trouver tous les couples (x, y) formés de nombres entiers positifs ou nuls vérifiant l'équation
x³y + x + y = xy + 2xy².

Résolution

On peut calculer y = f(x)     2xy² + (x - x³ - 1)y - x = 0
y = (x³ - x + 1 + racine((x - x³ - 1)² + 8x²))/4x
Deux couples de valeurs ont l'air de convenir : x = 1 et y = 1 puis x = 2 et y = 2

Correction

le couple x = 0 et y = 0 convient aussi. La démonstration passe par le fait que x = y
L'équation peut se mettre sous les formes y = x(y + 2y² - 1 - x²y) et x = y(x - x³ - 1 + 2 xy). Autrement dit, y = k1 x et x = k2 y. x et y étant entiers, positifs ou nuls on en déduit que x = y.
On peut alors reprendre l'équation sous la forme x⁴ - 2x³ - x² 2x = 0 ; x(x² - 1)(x - 2) = 0 ; x(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 0
D'où (1) x = y = 0 ; (2) x = y = 1 ; (3) x = y = 2 ; La valeur -1 est exclue.

Résultat

3 Couples x, y trouvés : (0, 0) ; (1, 1) et (2, 2).