Azélie a acheté un certain nombre de pêches un vendredi ; puis elle en a donné quatre. Elle a acheté cinq pêches le jour suivant ; puis elle en a donné trois. Le dimanche, elle en a acheté sept ; puis elle en a donné encore trois. Le dimanche au soir, elle a huit pêches.
Combien Azélie a-t-elle acheté de pêches le vendredi ?
| x - 4 + 5 - 3 + 7 - 3 = 8 | x + 2 = 8 | x = 6 |
Le vendredi Azélie a acheté 6 pêches.
Une sorcière porte un panier de pommes. Elle rencontre trois garçons et leur donne la moitié de ses pommes. Chacun des garçons se retrouve avec le même nombre de pommes. Il reste à cette sorcière 30 pommes de plus que chacun des garçons.
Combien y avait-il de pommes dans le panier de la sorcière avant qu’elle ne rencontre les garçons ?
| x/2 - x/6 = 30 | x/3 = 30 | x = 90 |
La sorcière avait au départ 90 pommes dans son panier.
Yves a acheté 12 pommes un vendredi 2 mai ; puis il en a donné deux à une amie. Il a acheté 11 pommes le jour suivant ; puis il en a donné trois à un autre ami. Le dimanche, il en a acheté 10 ; puis il en a donné quatre à une autre amie. Il continue de même à chaque jour en achetant une pomme de moins et en donnant une pomme de plus à l’un ou l’autre de ses amis.
Trouvez en quel jour Yves n’aura plus de pommes ?
| d, date du mois de mai | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Achat = 14 - d | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | |
| Donné = d | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| Achat - donné = 14 - 2d | 10 | 8 | 6 | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | -8 | -10 | |
| Total (il reste) | 0 | 10 | 18 | 24 | 28 | 30 | 30 | 28 | 24 | 18 | 10 | 0 |
Remarque : on n'est pas obligé de faire tous les calculs, car on voit bien que du 2 au 12 mai toutes les valeurs (achat - don) sont opposées deux à deux et donc s'annulent.
Yves n'aura plus de pommes le 12 mai.
Rosalie a un panier de citrons. Elle dit à Simon :
- Si je partage mes citrons en sept sacs de même quantité, il m’en reste six.
- Si je partage mes citrons en cinq sacs de même quantité, il m’en reste quatre.
Combien Rosalie a-t-elle de citrons au minimum ?
| k1 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| 7k1 + 6 | 13 | 20 | 27 | 34 | ||
| k2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 5k2 + 4 | 9 | 14 | 19 | 24 | 29 | 34 |
Il faut trouver la valeur de 7k1 + 6 = 5k2 + 4 ; voir ci-contre.
Mais il y a une façon plus asticieuse de procéder qui consiste à rechercher la valeur v + 1 = 7k1 + 7 = 7k3 = 5k2 + 5 = 5k4
v + 1 = 7k3 = 5k4 ; v + 1 = 35 ; v = 34.
Rosalie a au minimum, 34 citrons.
Mélissa possède un champ carré destiné à la culture du maïs. Elle a l’intention de partager son champ en quatre parcelles carrées de même grandeur et en six parcelles triangulaires aussi de même grandeur. Son ami lui a proposé le partage suivant, mais elle n’en est pas satisfaite.
Trouvez une autre façon de partager le champ en respectant les mêmes conditions.
Un élève a proposé la première figure. Il y a d'autres possibilités.
Pierrette et Pierrot ont ensemble 29 ans. Le double de l’âge de Pierrette ajouté au triple de l’âge de Pierrot est égal à 74.
Lequel des deux est le plus âgé ?
| Âge de Pierrot : x | Âge de Pierrette : y | x + y = 29 | 2y + 3x = 74 |
| y = 29 - x | 58 - 2x + 3x = 74 | x = 16 | y = 13 |
Pierrot est le plus âgé (16 ans contre 13 ans pour Pierrette)
Dominique et Serge exploitent une fraisière. Le samedi de la première semaine de juillet, ils calculent la quantité de seaux qu’ils ont remplis à partir du lundi.
Combien Dominique et Serge ont-ils récolté de seaux de fraises le jeudi ?
| Avec LMe (lundi + mercredi), MaV (mardi + vendredi), J (jeudi), S (samedi) | ||||
| LMe = S + 4 | MaV = S + 12 | J = S + 2 | ||
| LMe + MaV + J + S = 250 | S + 4 + S + 12 + S + 2 + S = 4S + 18 | 4S + 18 = 250 | 4S = 232 | |
| S = 58 | J = S + 2 = 60 | |||
Le jeudi, la récolte est de 60 seaux.
Smith, Jones et Robinson sont mécanicien, chef de train et chauffeur sur un train, mais pas nécessairement dans cet ordre. Voyageant
dans ce train se trouvent trois passagers portant le même nom que les cheminots mais que nous identifierons, avec le respect dû aux gens qui
ont payé leur billet de chemin de fer, en faisant précéder leur nom de " Mr ".
D'après les observations suivantes vous devez être capable de trouver le nom du mécanicien.
Je n'ai pas su faire.
Le Chef de train et le Maths habitent Omaha. Mr Robinson qui habite Los Angeles n'est donc pas Maths et comme Mr Jones n'est pas Maths, le Maths est Mr Smith qui habite Omaha. Donc Mr Jones habite Chicago. Et le Chef de train est Jones. Alors Smith, qui n'est pas chauffeur, est mécanicien.
Le mécanicien est Smith.
Rosalie est très jolie. Elle est surtout très élégante. Jamais elle ne porte son chapeau à aigrette sans ses petites bottes de daim noir. Mais quand elle ne porte pas son corset baleiné de satin rose, elle ne porte pas non plus sa redingote en velours vert. Lorsqu'elle n'a pas ses bottines de veau blanc, elle met sa redingote en velours vert. Aujourd'hui, top secret, Rosalie n'a pas mis son corset baleiné en satin rose.
Porte-t-elle néanmoins son chapeau à aigrette ?
La donnée comporte trois implications successives. D'après la seconde, si Rosalie ne porte pas de corset, elle ne porte pas non plus de
redingote. Or d'après la troisième, si elle n'avait pas ses bottines blanches, elle aurait sa redingote. Donc elle porte ses bottines blanches.
Or d'après la première proposition, quand elle porte son chapeau à aigrette, elle porte aussi ses bottes noires. Ce qui n'est pas le cas.
En conclusion, Rosalie n'a pas mis aujourd'hui son chapeau à aigrette.
Autre méthode : On suppose qu’elle a son chapeau, donc elle a ses bottes noires, donc elle met sa redingote verte.
Or elle n’a pas son corset rose, donc elle ne porte pas sa redingote verte. Il y a contradiction.
L’hypothèse est fausse : elle n’a pas son chapeau. Elle n’a pas son corset rose.
Aujourd'hui, Rosalie n'a pas mis son chapeau à aigrette.
| N° | Enoncé | Calcul | Résultat | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | On a : 15 carrés 1 x 1, 8 carrés 2 x 2, 3 carrés 3 x3, 15 + 8 + 3 = 26 | Il y a 26 carrés. | ||||||||||||||||
| b | Benjamin retire les deux tiers d’une boîte qui contient des manuels scolaires. La boîte contient alors 42 manuels. Combien y avait-il de manuels initialement dans la boîte ? | x/3 = 42 | Il y a 126 manuels | |||||||||||||||
| c |
| Je suis un RECTANGLE. | ||||||||||||||||
| d | Cinq élèves se réunissent trois par trois une fois par semaine. Pendant combien de semaines, ces élèves pourront-ils se réunir tant que les trios sont différents ? | 5!/3!/2! | Réunions pendant 10 semaines. |
Le professeur de natation chronomètre chacun de ses élèves sur la longueur de la piscine, en crawl. Le meilleur a mis 2 secondes de moins que le second, qui a mis lui-même 2 secondes de moins que le troisième, qui a mis lui-même 2 secondes de moins que le quatrième, etc. Le chronomètre a ainsi marché pendant 1 007 secondes. Car le nombre des élèves est égal à ... ?
| Avec | x | le temps du premier | n | le nombre d'élèves |
| Somme des temps | S = x + x + 2 + x + 4 + ... + x + 2n - 2 | S = nx + n(n - 1) = 1007 | ||
| S = n(x + n - 1) | n est un diviseur de 1007 | 1007 = 1.19.53 | ||
| x = [1007 - n(n - 1)]/n | Si n = 53 | x négatif | ||
| Si n = 19 | x = 35 |
Le meilleur temps est 35 secondes et il y a 19 élèves.
Vous achetez des œufs au marché pour deux euros et 40 centimes. Puis le marchand vous offre deux œufs de plus, ce qui fait que le prix à la douzaine est ainsi rabaissé de 20 centimes.
Combien d’œufs cela vous fait-il alors ?
| Avec | x | le nombre d'œufs initial |
| Prix à la douzaine | 2,40 x 12/x = 28,80/x | |
| Nombre d'œufs final | x + 2 | |
| Prix à la douzaine final | 28,80/(x+2) | |
| Ecart | 28,8/x - 28,8/(x + 2) = 0,2 | x2 - 288 + 2x = 0 |
| Racine positive | x = 16 |
Le nombre d'œufs reçus (final) est 16 + 2 = 18.
De combien de manières peut-on écrire 273 comme somme de trois entiers positifs de la forme a, ar et ar², où r est un entier positif ?
J'ai trouvé 4 diviseurs car je n'ai considéré que les diviseurs premiers. Il y a d'autres diviseurs. En effet, après consultation de la solution "Calendrier février 2021",
| 273 = a + ar + ar2 | 273 = a(1 + r + r2) | a est un diviseur de 273 | ||
| Liste des diviseurs de 273 | 1, 3, 7, 13, 21, 39, 91, 273 | |||
| Si a = 1 | r2 + r + 1 = 273 | r2 + r - 272 = 0 | r = 16 | Oui |
| Si a = 3 | r2 + r + 1 = 91 | r2 + r - 90 = 0 | r = 9 | Oui |
| Si a = 7 | r2 + r + 1 = 39 | r2 + r - 38 = 0 | r fractionnaire | Non |
| Si a = 13 | r2 + r + 1 = 21 | r2 + r - 20 = 0 | r = 4 | Oui |
| Si a = 21 | r2 + r + 1 = 13 | r2 + r - 12 = 0 | r = 3 | Oui |
| Si a = 39 | r2 + r + 1 = 7 | r2 + r - 6 = 0 | r = 2 | Oui |
| Si a = 91 | r2 + r + 1 = 3 | r2 + r - 2 = 0 | r = 1 | Oui |
| Si a = 273 | r2 + r + 1 = 1 | r2 + r = 0 | r = 0 | Non, r est nul |
Il y a six solutions :
| a | 1 | 3 | 13 | 21 | 39 | 91 |
| r | 16 | 9 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| ar | 16 | 27 | 52 | 63 | 78 | 91 |
| ar2 | 256 | 243 | 208 | 189 | 156 | 91 |
| a + ar + ar2 | 273 | 273 | 273 | 273 | 273 | 273 |
Si un certain nombre possède exactement 32 diviseurs positifs distincts, combien de ces diviseurs sont premiers ?
Le nombre 2310 = 2x3x5x7x11 possède 5 diviseurs premiers et 32 diviseurs.
En effet :
| Liste des diviseurs de 2310 | Nombre | ||||||||||
| Liste des 5 nombres premiers | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 5 | |||||
| Produits de 2 nombres premiers : 5!/2!/3! = 10 | 6 | 10 | 14 | 15 | 21 | 22 | 33 | 35 | 55 | 77 | 10 |
| Produits de 3 nombres premiers : 5!/3!/2! = 10 | 30 | 42 | 66 | 70 | 105 | 110 | 154 | 165 | 231 | 385 | 10 |
| Produits de 4 nombres premiers : 5!/4!/1! = 5 | 210 | 330 | 462 | 770 | 1155 | 5 | |||||
| Les extrêmes | 1 | 2310 | 2 | ||||||||
| Total | 32 | ||||||||||
Parmi les 32 diviseurs de 2310, 5 sont premiers.