902, Récréations Progrès, le 10 octobre 2022

01. Les habitants d'un village

Enoncé

Dans un village, le tiers des habitants travaille dans les champs, la moitié du reste travaille à la mine, et les 600 autres habitants travaillent en ville.

Combien y-a-t-il d’habitants dans le village ?

Résolution

Le reste des habitants qui ne sont pas dans les champs est : 1 - 1/3 = 2/3
La moitié de ces 2/3, c'est à dire 2/6 = 1/3 sont à la mine ; nombre x de ceux qui sont en ville : x - x/3 - x/3 = x/3 = 600
Le nombre total d'habitants est donc : x/3 = 600 ; x = 1 800.

Résultat

Il y a 1 800 habitants dans le village.

02. Les tas de Manon

Enoncé

Manon a quatre tas qui contiennent respectivement 9, 9, 5, et 1 jetons. Un mouvement consiste à sélectionner trois des tas, leur enlever un jeton chacun et rajouter les trois jetons au tas restant.

Est-il possible d'avoir quatre tas de six jetons chacun après trois mouvements ?

Résolution

La stratégie à adopter est de choisir le tas le plus faible (celui en rose clair) pour lui ajouter 3 jetons provenant de chacun des trois autres tas.

Résultat

En effet il est possible d'obtenir quatre tas de six jetons en trois mouvements.

03. Quatre pierres précieuses

Enoncé

Voilà les 4 pierres précieuses :
le Saphir, et le Rubis (qui ont la même composition mais sont de couleurs différentes, bleu pour le Saphir et rouge pour le Rubis),
le Diamant (transparent) et l’Emeraude (couleur verte).

Mais savez-vous de quoi sont composées ces 4 pierres et savez-vous les classer de la moins dure à la plus dure ?

Indices :

• La pierre précieuse composée d'Oxyde d'Aluminium qui a une dureté de 9 n'est pas l'Emeraude. (Les duretés sont : 7,5 ; 9 et 10).
• Le Diamant est la plus dure des pierres précieuses, il n'est pas composé de Silicate d'Aluminium et de Béryllium. (Les compositions sont : carbone; oxyde d'aluminium et silicate d'aluminium et béryllium).

Résolution

Voir le tableau de droite.

Résultat

De la moins dure à la plus dure : Emeraude (7,5) en silicate d'Al Br ; Saphir et Rubis (9) en alumine ; Diamant (10) en carbone.

04. Date anniversaire

Enoncé

Albane et Béatrice viennent de se lier d’amitié avec Caroline et aimeraient connaître la date de son anniversaire. Elles savent qu’il n’y a que dix dates possibles : 15, 16 ou 19 mai, 17 ou 18 juin, 14 ou 16 juillet et 14, 15 ou 17 août. Caroline donne à Albane le mois et à Béatrice le jour de son anniversaire.
Albane dit alors : je ne connais pas la date de l’anniversaire de Caroline mais je sais que Béatrice non plus.
Béatrice répond : je ne savais pas quelle était la date de l’anniversaire de Caroline mais maintenant, je sais.
Albane : maintenant je le sais aussi.

Résolution

Albane est la première qui parle. Elle connait le mois, mais comme il y a plus d'un jour possible dans chaque mois, elle ne peut pas en déduire la date anniversaire. De son côté elle réfléchit à la déduction que peut faire Béatrice. Elle voit que les jours 18 et 19 n'apparaissent qu'une fois, et comme elle sait, elle, que ce ne sont pas les mois de mai ou juin, elle peut donc affirmer que Béatrice elle-même ne peut pas répondre.
Ensuite, par le même raisonnement, Béatrice comprend que les mois possibles ne sont que ceux de juillet ou août. C'est la raison pour laquelle elle dit qu'elle ne savait pas. Mais maintenant qu'elle sait qu'il s'agit d'un des mois mois 7 ou 8, c'est qu'il n'y a qu'une seule possibilité. Il s'agit donc du 16 juillet.
Enfin, sachant que Béatrice a pu répondre, avec le même raisonnement, Albane connait la solution.

Résultat

L'anniversaire de Caroline est le 16 juillet.

05. Lapins de Karina

Enoncé

Karina a acheté MD figurines de lapins. Sa sœur en a acheté BM. Ensemble, elles possèdent maintenant DG figurines qu’elles vont partager équitablement. Chacune des quatre lettres représente un chiffre différent.

Combien Karina et sa sœur ensemble ont-elles de figurines si B = 6 ?

Résolution

Voir 811.2. il y a cependant une correction à faire. Le 28 mars 2022 deux solutions ont été trouvées, l'une en faisant l'hypothèse qu'il y a une retenue à l'addition des chiffres des unités, et l'autre sans retenue. Les deux hypothèses donnent une solution. cependant, celle avec retenue donne DG impair. Donc pour le partage équitable, seule la solution paire obtenue sans retenue convient.

Résultat

Karina et sa sœur ont ensemble 78 figurines.

06. Un carré parfait

Enoncé

Un certain nombre de deux chiffres ajouté au nombre de deux chiffres obtenu en échangeant ces chiffres donne un carré parfait.

Combien y a-t- il de telles paires (non ordonnées) de tels nombres ?

Résolution

La somme du nombre et de son "inversé" est : 10a + b + 10b + a = 11(a + b). Ce nombre doit être un carré parfait. Donc : a + b = 11
Les possibilités sont : 92 + 29 ; 83 + 38 ; 74 + 47 ; 65 + 56.

Résultat

Il y a quatre paires de nombres.

07. Cases de Raoul

Enoncé

Raoul a dessiné cette figure. On y trouve horizontalement trois additions et verticalement deux autres additions dont les sommes sont données. Raoul veut placer chacun des nombres de 1 à 10, sauf le 3, dans les cases vides. Le 1 et le 7 ne sont pas sur la même ligne ; le 6 et le 8 ne sont pas dans la même colonne.

Disposez ces nombres.

Résolution

On aboutit à la solution donnée à droite. Il y a évidemment possibilité de permuter les lignes, donc 6 solutions.

Résolution de Christophe

Il est à remarquer que le total de la 3^ème colonne (les sommes) vaut 12 + 14 = 26.
Comment faire 26 ? Il n'y a qu'une possibilité : 10 + 9 + 7. Ensuite on ne peut faire 9 qu'avec 1 + 8 ; puis 7 avec 5 + 2 et 10 avec 6 + 4.
Il ne reste qu'à trouver les bonnes positions.

Résultat

Voir la disposition à droite.

08. Antoine et ses cailloux

Enoncé

Le petit Antoine s’amuse à disposer des cailloux dans une ruelle. Il forme des carrés liés ensemble et dont chaque côté est constitué successivement de 3, 4, 5 et 6 cailloux comme ci-contre.
Il continue à faire des carrés de 7, 8 et 9 cailloux de côté. Il s’arrête quand il a complété le carré 9 x 9.

De combien de cailloux Antoine a-t-il besoin ?

Résolution

Il faut remarquer en préalable que pour le carré qui a n cailloux sur un côté, le nombre d'intervalles d'un côté est n - 1
Donc le nombre d'intervalles du périmètre égale le nombre de cailloux égale 4n - 4 = 4(n - 1)
Le premier carré avec ses 3 cailloux par côté (n = 3) a un périmètre de 4(n - 1) = 8 cailloux.
Pour un carré de rang n > 3 le nombre de cailloux est le périmètre moins (n - 1) = 4(n - 1) - (n - 1) = 3n - 3 = 3 (n - 1).
Vérification pour n = 4 ; Nombre de cailloux : 3(4 - 1) = 9 = 4 + 3 + 2 = 9
Le nombre total de cailloux est 8 + (pour n = 4 à 9) somme de 3(n - 1) = 8 + 3 fois (pour n = 4 à 9) somme de (n - 1)
Nombre total de cailloux : 8 + 3(3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 8 + 3(33) = 107
On pourrait aussi faire : 2 + (pour n = 3 à 9) 3 fois somme de (n - 1) = 2 + 3(2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 2 + 3(35) = 107

Résultat

Antoine a besoin de 107 cailloux.

09. Roses et bleus

Enoncé

André dessine trois cercles roses qui vont accueillir des jetons pairs et trois cercles bleus pour les impairs. Il découpe six jetons et il les numérote de 3 à 8.

Placez les jetons sur les cercles pour que la somme des numéros soit la même dans chacune des trois rangées.

Résolution

Les trois chiffres pairs 4, 6, 8 sont utilisés. Leur somme est 18. Les trois sommes doivent être 18.
Nommons les valeurs des jetons utilisés comme indiqué ci-contre.
Stratégie : On part de B (4, 6 ou 8) ; puis C + D = 18 - B ; puis F (le 3^ème impair) ; puis A = 18 - D - F ; Puis E et F.

Résultat

On a deux résultats reportés tout à droite.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
a	Camille agence des nombres différents de 1 à 12. Combien y a-t-il de trios dont la somme est 17 ?	14 trios : 1+4+12 ; 2+3+12 ; 1+5+11 ;2+4+11 ; 1+6+10 ; 2+5+10 ; 3+4+10 1+7+9 ; 2+6+9 ; 3+5+9 ; 2+7+8 ; 3+6+8 ; 4+5+8 ; 4+6+7
b	12 15 27 26 18 21 13 22 Un cavalier qui se déplace en L parcourt trois cases de la grille. La somme des numéros des cases visitées est 54. Quels sont les numéros de ces trois cases ?	Solution Quiz 92	Les cases 15, 21, 18
c	Combien y a-t-il de triangles de deux parties dans cette figure ?	ab ; ad ; cd ; cf ; de ; ef	6 triangles de deux parties.
d	Victor met le même nombre de fleurs par rangée. Quand il fait six rangées, il lui reste cinq fleurs. Quand il fait huit rangées, il lui reste encore cinq fleurs. Combien a-t-il de fleurs au minimum ?	6k = 8k' ; 3.2.k = 23.k' ppcm : 23.3 = 24 ; 24 + 5 = 29	Victor a 29 fleurs.

11. Multiples de 5 et 9

Enoncé

On souhaite ajouter à droite du nombre 579 trois chiffres de manière à ce que le nombre obtenu soit divisible par 5 et par 9.

Combien de tels triplets de nombres peut-on ajouter ?

Résolution

Voir 703.13 ; Il y a 22 triplets : 015 ; 060 ; 105 ... 915 ; 960.

Résultat

22 triplets.

12. Produit abc avec des cubes et des carrés

Enoncé

Si a, b, c sont trois nombres qui satisfont     a³+ b³ + c³ = a² + b² + c² = a + b + c = 1,

Trouver la valeur du produit abc.

Résolution

Pour que abc soit nul, il faut qu"au moins 1 des facteurs soit nul. La somme des deux autres doit être 1, sachant que les cubes peuvent compenser (cube d'un négatif, négatif), mais les carrés ne peuvent que s'ajouter. Donc on a intérêt à ne pas dépasser 1.
Finalement on peut faire a = 1 ou b = 1 ou c = 1 et les deux autres nuls.

Résultat

Trois solutions : 1^ère a = 1 ; b = 0 ; c = 0 - 2^ème a = 0 ; b = 1 ; c = 0 - 3^ème a = 0 ; b = 0 ; c = 1

13. Les bœufs de Newton

Enoncé

Le célèbre physicien Isaac NEWTON s’intéressait aussi aux mathématiques. Voici un problème qu’il proposa dans son “Arithmétique universelle” :
-3 bœufs broutent en 2 semaines l’herbe d’un pré de 2 arpents plus l’herbe qui y a poussé pendant ces 2 semaines
-2 bœufs broutent en 4 semaines l’herbe d’un pré de 2 arpents plus l’herbe qui y a poussé pendant ces 4 semaines.

Combien faudrait-il de bœufs pour brouter en 6 semaines l’herbe d’un pré de 6 arpents plus l'herbe qui y a poussé pendant ces 6 semaines ?

On suppose que l’herbe croît uniformément et que les bœufs broutent de la même manière avec le même appétit.

Résolution

Voir 503.14 ; 603.14 ; 705.9 ; qui ressemblent à celui-ci, mais avec des valeurs différentes. Donc à reprendre.

Résultat

Il faudra 5 bœufs.

14. L'âne et les poires

Enoncé

Un paysan habite dans une zone désertique, à l'exception de son petit domaine, et éloignée de toute civilisation, il a récolté 3000 poires. Il désire les conduire, pour les vendre, à la ville la plus proche mais qui est située à une distance énorme, soit 1000 km.
Pour le transport, il utilise son âne. Mais celui-ci ne peut porter au maximum que 1000 poires à la fois. De plus, l'âne mange une poire à chaque kilomètre qu'il parcourt et ceci quelle que soit sa charge.

Combien de poires au maximum, le paysan peut-il amener jusqu'à la ville et comment s'y prendra-t-il ?

Résolution

Il semble bien qu'avec le premier chargement de 1000 poires, au bout des 1000 km il n'y a plus de poires et l'âne ne peut même pas retourner chez lui.

Résultat

Cela ne semble pas possible ?

Solution Ile Math

On suppose que l'âne va d'abord transporter en trois voyages les poires x km plus loin pour qu'il ne lui en reste plus que 2000. Il devra donc faire 3 allers et 2 retours et consommera 5x poires. De plus, il en transporte 1000 à chaque fois. Il lui restera 3000-5x poires. En résolvant: 3000-5x=2000 on a: x=200
Ainsi, après 3 voyages ( 2 AR et un aller), la récolte n'est plus que de 2000 poires mais elle a parcouru (elle a avancé) de 200 km !
On suppose que l'âne va transporter en deux voyages les poires y km plus loin pour qu'il n'en reste que 1000. Il va faire 2 allers et 1 retour et va manger 3y poires. Mais il en transporte 1000 à chaque fois. Il lui restera 2000-3y poires.En résolvant: 2000-3y=1000 on a: y=333,333... (ie 333+1/3)
Ainsi, après ces deux nouveaux voyages (1 AR et 1 aller), il ne reste plus que 1000 poires mais la récolte a avancé de 533,333... km (200+333,333=533,333...km). Maintenant, les 1000 poires sont transportées en un seul voyage à la ville. Il reste à parcourir 1000-533,333... km. Il va rester le nombre de poires suivant à destination: 1000-(1000-533,333...)=533,333...
Le paysan va donc, au maximum, amener 533 poires et 1/3 d'une poire (il reste à partager une poire en trois parties égales ! )