814, Récréations finales, le 23 mai 2022

01. Divisible par 4

Enoncé

On a glissé cent cartes numérotées de 1 à 100 dans cent enveloppes. Chaque enveloppe contient une seule carte. Quel nombre minimum d’enveloppes dois-je prendre pour être sûr que le produit des nombres qu’elles contiennent soit divisible par 4 ?

Résolution

Dans le pire des cas, on va tirer les 50 enveloppes contenant des nombres impairs, puis on tirera nécessairement 2 enveloppes avec des nombres pairs, qui nous donneront la divisibilité par 4.

Résultat

Il faut prendre au moins 52 enveloppes.

02. Tomates séchées

Enoncé

Pauline a récolté 12kg de tomates. La masse d’eau représente 95 % de la masse des tomates. Pour les conserver, elle décide de les sécher : une partie de l’eau va s’évaporer. Au bout d’un certain temps, la masse d’eau ne représente plus que 60 % de la masse des tomates.

Combien pèsent alors les tomates ?

Résolution

Matière séche dans les tomates fraiches : 100 - 95 = 5 %
Matière sèche dans les tomates séchées : 100 - 60 = 40 % ; Masse des tomates séchées : 100 x 0,6/40 = 1,5 kg.

Résultat

Les tomates séchées pèsent 1,5 kg.

03. Peter Pan et les cercles magique

...

Enoncé

Placer les nombres de 1 à 9 de telle manière que, sur chacun des cinq cercles, la somme des nombres soit égale à 22.
(Les nombres 4, 5, 6, et 7 sont déjà placés.

Résolution

Sommes dans les 5 cercles (1) a + b = 22 - 12 = 10 (2) a + c = 22 - 13 = 9 (3) b + d = 22 - 11 = 11 (4) c + e = 22 - 11 = 22 (5) a + b + c = 22 - 4 = 18
(5 - 2) b = 9 (1) a = 1 (5) c = 8 (3) d = 2 (4) e = 3

Résultat

04. Tir à l'arc

Enoncé

...

Examinez les impacts des tirs et les scores obtenus pour les trois premières cibles, de la figure ci-contre :

Déterminez le score obtenu dans la quatrième cible.

Résolution

Avec les coefficients a, b, c Valeur d'un point du centre vers l'extérieur
On a (1) a + b + c = 24 (2) a + 2c = 19 (3) 2b + c = 16
On peut faire (4) = (1) + (3) a + 3b + 2c = 40
Puis (4) - (2) 3b = 40 - 19 3b = 21

Résultat

La score de la quatrième cible est 21.

05. Le sphinx de la licorne

Enoncé

Le sphinx ment le lundi, le mardi et le mercredi.
La licorne ment le jeudi, le vendredi et le samedi.
Tous les autres jours, ils disent la vérité.
Un jour, la licorne déclare : « hier, je mentais ».
Le sphinx lui répond : « moi aussi ».

Quel jour de la semaine est-on ?

Résolution

Autant pour le sphinx que pour la licorne, l'affirmation est plausible dans deux circonstances :

En définitive l'affirmation est cohérente à chaque fois qu'il y a un changement.
On doit donc chercher à repérer le jour où il y a un changement commun aux deux, Sphinx et licorne.
Ce changement commun est le jeudi.

Résultat

Nous sommes donc un jeudi.

06. Chacun chez soi

Enoncé

...

Cinq voisines et, néanmoins, amies, Alice, Bernadette, Chantal, Dany et Elisabeth rentrent chez elles après leur journée de travail.

Donnez à chacune son domicile.

Mais, voici quelques indices :
La maison 1 est verte.
La maison 2 est blanche.
La maison 3 est jaune.
La maison 4 est bleue.
La maison 5 est rose.
On voit la maison d’Alice juste à gauche de celle de Bernadette.
Chantal et Bernadette ne sont pas directement voisines.
Dany n’habite ni dans la maison jaune, ni dans la maison verte.
Chantal et Elisabeth habitent deux maisons directement voisines.
Elisabeth habite soit dans la maison rose, soit dans la maison verte.

Résolution

Ce problème a été traité le 11 février 2019, voir 508.13

Résultat

Habitantes de gauche à droite : Elisabeth, Chantal, Alice, Bernadette et Dany.

07. Vérités et mensonges

Enoncé

Dans la ville d’Enganavera, il existe deux sortes, et deux seulement, de citoyens : les [sincères] qui disent toujours la vérité et les [trompeurs] qui mentent toujours. Un visiteur, arrivant à Enganavera s’adresse à un habitant, A, de la ville et il lui demande à quelle catégorie de citoyen il appartient. Celui-ci lui répond, mais, au même moment, une moto passe dans la rue en pétaradant et il n’entend pas la réponse. Alors, il s’adresse à un deuxième habitant, B et lui demande ce qu’à répondu A. B lui répond « A a dit qu’il était un [sincère] ».
Il s’adresse à un troisième habitant, C, auquel il pose la même question et il reçoit la réponse opposée : « A a dit qu’il était un [trompeur] ».

Pouvez-vous déterminer ce qu’a vraiment dit A ?

Résolution

Parmi les 8 possibilités il y a deux cas qui sont plausibles.

Type de A S S S S T T T T
Type de B S S T T S S T T
Type de C S T S T S T S T
Conclusion Non Oui Non Non Non Oui Non Non

Il y a donc 2 cas où le comprtement de A est opposé, mais en fait, pour chacun de ces deux cas, A dit la même chose. Il dit qi'il est sincère.

Résultat

Quelle que soit son attitude, A dit toujours qu'il est sincère.

08. Alerte au paradis

Enoncé

Les diables ont réussi à crocheter la porte gardée par le bon vieux Saint Pierre et se sont introduits au paradis déguisés en anges, pour semer le désordre. Cinq suspects viennent d’être arrêtés. Mais, on ne sait pas qui est diable et qui est ange. On procède à leur interrogatoire. Bien sûr, les anges disent toujours la vérité, tandis que les diables mentent constamment.
Georges prétend que Jean est un diable.
Jean jure que Paul est un ange.
Paul soutient que Joseph est un diable.
Joseph affirme que Jacques est un ange.
Pour Jacques, Georges et Jean sont tous les deux des diables.

Qui sont les anges ? Qui sont les diables ?

Résolution

Ce problème a été traité trois fois,
Le 17 décembre 2018, voir 505.9,
Le 11 février 2019, voir 508.13,
Le 10 février 2020, voir 608,13.
Après la version 505.09 du 17/12/18, le nom des personnages a été changé. Arthur est devenu par la suite Georges ; Philippe a pris le nom de Jean, Pierre s'est ensuite appelé Paul, Claude est devenu Joseph et François a été renommé Jacques.

Résultat

Jean et Paul sont anges, Georges, Joseph et Jacques sont des diables.

09. Un libraire comptable

Enoncé

Robert Colin est un libraire qui a vécu au 20e siècle.
Un jour, il a vérifié le nombre de livres qu’il avait vendus pendant les trois dernières semaines écoulées.
A cette occasion, il a remarqué que :

En quelle année le libraire a-t-il fait ses calculs ?

Résolution

Avec a, l'année, et t le nombre de livres vendus la troisième semaine. Le total des livres vendus pendant les 3 semaines est :
t - 444 + t - 222 + t = 3t - 666 = a. L'année a est donc un multiple 3. La plus petite année est 1923, la plus grande est 1986.
3t - 666 = a ; t = (a + 666)/3 ; Si a = 1923 ; t = 863 ; Si a = 1986 ; t = 884. ;
On a donc à tester : 863, 873 et 883. On peut déjà exclure 883 qui a 2 fois le chiffre 8.
Hypothèse n° 1 avec t = 863 : 419 + 641 + 863 ; Les chiffres 1, 4 et 6 sont doublés et il manque les 2, 5 et 7. Ne convient pas.
Hypothèse n° 2 avec t = 873 : 429 + 651 + 873 ; Tous les chiffres sont présents et une seule fois.

Résultat

Le libraire a fait ses calculs au cours de l'année 1953.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Distribuez les chiffres 2, 3, 4, 5 et 9 dans les carrés pour que l’égalité soit vraie :
(☐ + ☐ - ☐)/☐ = ☐
On peut faire : (9 + 4 - 3) = 2 x 5 ou (9 + 5 - 2) = 3 x 4
b Le nombre de billes de Paul correspond à la somme des 10 plus petits nombres pairs à partir de 2. Le nombre de billes de Julie correspond à la somme des 10 plus petits nombres impairs. Combien Paul a-t-il de billes de plus que Julie ? 110 - 100 = 10
c Je suis une figure géométrique dont les lettres sont données : P E R E T A Z. Qui suis-je ? Je suis un TRAPEZE.
d Marc joue aux dominos. Son jeu est formé de 28 pièces et comporte toutes les combinaisons de 0 à 6 points. Combien y a-t-il de pièces ayant au moins un zéro ? 01 à 06 Cela fait 7 pièces.

11. Blanche-Neige et les sept nains

Enoncé

  1. Atchoum, qui porte un bonnet de nuit, joue aux échecs le mardi avec Grincheux.
  2. Dormeur, qui a des pantoufles roses, fait la sieste tous les jours de la semaine et rend visite à Simplet tous les vendredis.
  3. Grincheux, qui habite dans une maison blanche, mange des pâtisseries tous les dimanches.
  4. Joyeux, qui porte des lunettes, joue de la guitare dans un orchestre tous les lundis et tous les mercredis.
  5. Prof, qui aime le chocolat, nettoie sa voiture tous les jeudis.
  6. Simplet, qui a un petit chat, tond la pelouse tous les samedis.
  7. Timide, qui a des cheveux blonds, se promène le lundi avec Joyeux, le mercredi avec Prof et le vendredi avec Atchoum.
  8. Blanche Neige qui n’aime pas les pommes, rend visite à sa voisine tous les mardis et réunit les sept nains pour une assemblée générale suivie d’un apéritif dînatoire tous les dimanches.

Un jour :

  1. Simplet dit à Atchoum : « hier, Joyeux a mangé des gâteaux ».
  2. Prof dit à Blanche Neige : « demain, je ferai la lessive ».
  3. Atchoum dit à Joyeux : « aujourd’hui, il fait beau, je vais me promener ».
  4. Blanche Neige dit à Simplet : « hier, ton petit chat a bu tout le lait ».
  5. Timide dit à Dormeur : « Blanche Neige a une robe magnifique, aujourd’hui ».
  6. Grincheux dit à Prof : « avant-hier, Dormeur a fait la sieste ».
  7. Dormeur dit à Grincheux : « Timide a l’air en forme, aujourd’hui ».
  8. Joyeux dit à Timide : « hier, Grincheux a pris les pantoufles de Dormeur ».

Quel jour de la semaine sommes-nous ?

Résolution

Résultat

12. Quatre dés tétraédriques

Enoncé

Quatre dés tétraédriques identiques et réguliers ont, sur chaque face, un chiffre différent pris parmi 2, 0, 1 et 7. Si on jette les quatre dés,

quelle est la probabilité de pouvoir composer le nombre 2017 en utilisant, sur chacun des quatre dés, un des trois chiffres visibles ?

Résolution

Si les faces cachées sont toutes les mêmes (aaaa), on n'aura pas accès au chiffre a, on ne pourra pas composer 2017.
Si les faces cachées sont aaab, on trouvera a en 4 et tous les autres en 123.
Si les faces cachées sont aabb, on trouvera a en 34, b en 12 et c et d sur les dés qui restent.
Si les faces cachées sont aabc, on trouvera a en 34, b en 124, c en 123 et d sur le dé qui reste.
Si les faces cachées sont abcd, on trouvera a partout sauf en 1, b partout sauf en 2, c partout sauf en 3 et d partout sauf en 4.
En conclusion on pourra faire 2017 dans tous les cas, sauf pour la configuration aaaa, même face cachée pour les 4 dés.
Proba que le 2ème soit le même que le 1er : 1/4,
Proba que le 3ème soit le même que le 2ème : 1/4,
Proba que le 4ème soit le même que le 3ème : 1/4,
Donc proba que les 4 dés soient identiques : (1/4)3 = 1/64.
Proba de pouvoir composer 2017 : 1 - 1/64 = 63/64 = 98,4 %

Résultat

Probabilité de pouvoir composer 2017 : 63/64 = 98,4 %

13. Jour de la semaine

Enoncé

Il fait beau aujourd'hui. Nous sommes à midi le 22 du mois et mon bureau, bien exposé au sud, reçoit les rayons du soleil.
Tout cela n'incite pas au travail et je reporte le rendez-vous prévu à dans trois semaines jour pour jour à la même heure, le soleil entrera moins dans mon bureau. Cela donne le 13 du mois prochain.

Inutile de vous préciser quel mois nous sommes, vous l'avez deviné.

Résolution

Ce problème a été traité le 8 novembre 2021. Voir 803.14.

Résultat

Nous sommes en avril.

14. La bataille de Hastings

Enoncé

Le 14 octobre 1066 se déroula la fatidique bataille de HASTINGS entre les Saxons et les Normands. Les hommes de Harold se tenaient ensemble et formaient 13 carrés et dans chaque carré, ils étaient également nombreux. Malheur au valeureux Normand qui pénétrait leur redoute car un seul coup de hache brisait sa lame et pénétrait sa cotte de maille. Quand Harold se lança dans la mêlée, les Saxons formèrent avec lui un seul et puissant carré allant à l'ennemi aux cris de "ot ! Olicrosse ! Godemite ! "
Tous les auteurs contemporains s'accordent à dire que les Saxons combattirent effectivement dans cette formation. Dans le "Carmen de bello Hastingens ", poème attribué à Guy, évêque d'Amiens, on lit : " les Saxons se tinrent fermes en dense masse ". Henri de Huntingdon parle de "ce carré, tel une forteresse imprenable aux Normands ".
Mais combien donc pouvaient être ces Saxons ?
(il est demandé une démonstration, la recherche de solutions au tableur est d'une trop grande facilité!
NB : la démonstration donnée sur le site ne me plait pas beaucoup, mais vous trouverez peut être mieux )

Résolution

Résultat

15. l'énigme du chapeau

Enoncé

...

Ci-contre il y a 4 hommes enterrés dans le sol jusqu'au cou. Ils ne peuvent pas bouger donc ils ne peuvent voir que devant eux. Entre A et B il y a un mur de brique au travers duquel ils ne peuvent pas voir. Ils savent que deux d'entre eux portent un chapeau noir et les deux autres un chapeau blanc (2 chapeaux blancs et 2 chapeux noirs au total). Mais ils ne savent pas de quelle couleur ils sont eux-même coiffés. Afin d'éviter d'être fusillés, l'un d'eux doit crier au bourreau la couleur de son chapeau. S'ils donnent une fausse réponse, tous seront fusillées. Ils ne sont pas autorisés à parler et ils ont dix minutes pour trouver la solution.
Question 1 : Au bout des dix minutes lequel appelle le bourreau ?
Question 2 : Pourquoi est-il certain à 100% de la couleur de son chapeau ?

Résolution

C'est évidemment D qui a le plus d'informations puisqu'il voit deux chapeaux. Si ces deux chapeaux étaient de la même couleur il pourrait à coup sûr répondre rapidement et dire la couleur du sien.
Mais C qui se rend compte que D hésite peut conclure que B et C ont des couleurs différentes.
Donc si B et C sont de même couleur, D répondra rapidement en donnant la couleur opposée pour son chapeau.
Si B et C sont de couleur différente, c'est C qui répondra plus tard en donnant la couleur opposée à celle de B.

Résultat

Ou bien D répond rapidement avec la couleur opposée à celles de B et C, ou bien C répond plus tard avec la couleur opposée à celle de B.

16. Un pique-nique

Enoncé

Un homme fait une fête avec des amis, ils partent faire un pique-nique à l'extérieur de la ville en char.
Au départ, chaque char transporte le même nombre de passagers. 10 des chars deviennent inutilisables à mi-chemin, si bien que chacun des chars restant doivent prendre une personne de plus à son bord.
Au retour, 15 autres chars tombent en panne, et il faut à nouveau répartir équitablement les passagers entre les autres véhicules, si bien qu'à l'arrivée, chaque char contient 3 personnes de plus qu'au départ.

Combien y avait-il de chars au départ pour ce pique-nique et combien y avait-il de participants ?

Résolution

Ce problème a été traité le 2 décembre 2019. Voir 604.15.

Résultat

Il y avait au départ 100 chars et 900 participants.