809, Récréations Âges, le 28 février 2022

01. Céline cache

Enoncé

Céline est une vieille dame un peu moqueuse. À une nièce qui lui demandait son âge, elle répondit :
- Si tu multiplies le tiers de mon âge par un septième et que tu divises le nombre renversé (échange des deux chiffres, renversé de 72 est 27) de mon âge par ce résultat qui est un entier, tu obtiendras ton âge.
La nièce reprit :
- Je sais que vous avez plus de 70 ans ; mais, vous n'êtes pas encore centenaire.

Quel est l'âge de la nièce ?

Résolution

Avec C, l'âge de Céline R, le renversé de C N, l'âge de la nièce
Le résultat de C/3/7 étant entier C est multiple de 21 C = 21k = 20 k + k
Renversé de C R = 10k + 2k = 12k
Âge de la nièce N = R/(C/21) = 21R/C N = 21(12k)/21k N = 12

Résultat

La nièce a 12 ans.

02. Questions d'âges

Enoncé

J’ai trois fois l’âge que vous aviez quand j’avais l’âge que vous avez.
Quand vous aurez l’âge que j’ai, nous aurons 84 ans à nous deux.

Quels sont nos âges respectifs aujourd’hui.

Résolution

Aujourd'hui, Vous avez V années, J'ai M années M > V
Il y a M - V années, J'avais, M - (M - V) = V J'avais votre âge actuel , et vous aviez : V - (M - V) = 2V - M
1ère égalité : M = 3(2V - M) 2M = 3V
Dans M - V années, Vous aurez, V + (M - V) = M Vous aurez mon âge actuel, et j'aurai : M + (M - V) = 2M - V
2ème égalité M + 2M - V = 84 7M = 252 M = 36 V = 24

Résultat

Aujourd'hui, j'ai 36 ans et vous avez 24 ans.

03. Une nouvelle question d'âges

Enoncé

En 2021, l'âge d'une personne étant née un 1er janvier est égal à la somme des chiffres de son année de naissance.

Quel est l'âge de cette personne ?

Résolution

En prenant u comme chiffre des unités, le problème peut se résoudre par décade.
Avec S la somme des chiffres et A l'âge
De 2010 à 2019 S = 3 + u A = 11 - u S = A pour u = 4 Solution 1 : 2014
De 2000 à 2009 S = 2 + u A = 21 - u u non entier
De 1990 à 1999 S = 19 + u A = 31 - u u = 6 Solution 2 : 1996
De 1980 à 1989 S = 18 + u A = 41 - u u non entier et > 9
De 1970 à 1978 S = 17 + u A = 51 - u u = 17 > 9

Résultat

Cette personne peut avoir 7 ou 25 ans.

04. Trois fois plus âgé

Enoncé

Sylvestre est né le huit juin 1987, et son père Henri est né le vingt août 1962.

Y aura-t-il un jour de leur vie où Henri aura trois fois l'âge (arrondi à l'année) de son fils ?

Résolution

Avec A l'année recherchée sous la forme "du" (dizaines, unités)
Âge du père l'année A A - 62
Âge du fils l'année A A - 87
Il faut A - 62 = 3(A - 87) 261 - 62 = 2A A = 99,5
Âges dans la plage 1/1/99 au 8/6/99 8/6/99 au 20/8/99 20/8/99 au 31/12/99
du père 36 36 37
du fils 11 12 12

Résultat

Le père aura trois fois l'âge du fils entre le 8 juin 1999 et le 20 août 1999.

05. Les trains se croisent

Enoncé

Les villes de Pézenas et Lagarenne sont reliées par chemin de fer.
A chaque heure, un train part de Pézenas et à chaque demi de l’heure un train part de Lagarenne.
Le trajet dure cinq heures. Gontran part de Pézenas vers Lagarenne à bord d'un train et s'amuse à compter tous les trains qu'il croise venant de Lagarenne.

...

Durant son trajet, combien Gontran va-t-il compter de trains ?

Résolution

Admettons que Gontran prenne le train à Pézenas en directon de Lagarenne à midi (12 h).
5 heures plus tôt, à 7 heures, ou plus exactement à 6h30, le train parti de Lagarenne arrive à Pézenas à 11h30, avant le départ de Gontran.
Le premier train croisé pendant le trajet de Gontran sera celui de 7h30 qui arrive à 12h30, une demi heure après le départ de Gontran.
Les trains roulants à la même vitesse, le croisemant a lieu à 12h15.
La rencontre suivante a lieu avec le train de 8h30 qui arrive à 13h30, une heure et demi après le départ de Gontran. Donc rencontre à 12h45.
...
Le dernier croisement est celui avec le train de 16h30, une demi heure avant l'arrivée de Gontran à Lagarenne. Croisement à 16h45.
Les croisements ont lieu toutes les demi heures : 12h15, 12h45, 13h15, 13h45, 14h15, 14h45, 15h15, 15h45, 16h15, 16h45.
Cela fait 10 croisements.

Résultat

Gontran compte 10 trains.

06. Le bel âge

Enoncé

Combien y avait-il d'invités à cet anniversaire ? Combien sont venus ?

Résolution

Avec x le nombre total d'invités
Nombre de tartelettes 2x
Nombre d'invités venus 3x/4 Nombre de filles 3x/4 - 3 = (3x - 12)/4
3 tartelettes par fille et 2 par garçon (9x -36)/4 + 2(12/4) = (9x - 36 + 24)/4 = 8x/4 x = 12

Résultat

Il y avait 12 invités à cet anniversaire et 9 sont venus.

Complément du prof

On peut aussi compter la personne qui invite comme non invitée mais consommant des tartelettes. Il y a deux cas de figures, 1 - cette personne qui invite est une fille - 2 - cette personne est un garçon.

  1. L'invitation est lancée par une fille. Le nombre de tartelettes est 2x + 2. Le nombre de présents est : 3x/4
    Il y a 3 garçons qui consomment 2 tartelettes chacun et (3x/4 - 3 + 1) filles qui consomment 3 tartelettes chacune.
    Nombre de tartelettes consommées : 6 + 3(3x/4 - 2) = 2x + 2 ; x = 8 ; Réponse : 8 invités et 6 présents.
  2. L'invitation est lancée par un garçon. Nombre de tartelettes : 2x + 2. Nombre de présents : 3x/4
    Il y a 3 + 1 garçons qui consomment 2 tartelettes chacun et (3x/4 - 3) filles qui consomment 3 tartelettes chacune.
    Tartelettes consommées : 8 + 3(3x/4 - 3) = 2x + 2 ; x = 12. Réponse : 12 invités et 9 présents.

07. Hockey entre gars

Enoncé

Quatre pères assistent à un match de hockey en compagnie de chacun de leurs deux fils.
Pères : Claude, Gaston, Hermel, Patrice
Fils aînés : Gabriel, Jérémie, Maxime, Paul
Fils cadets : Isaac, Jacob, Tristan, Xavier

  1. Gaston n’a pas de fils qui s’appelle Xavier.
  2. Dans la famille de Claude, le cadet passe en avant de l’aîné par ordre alphabétique.
  3. Gaston n’a pas de fils qui s’appelle Isaac.
  4. L’aîné de Claude n’est pas Jérémie.
  5. Ni Hermel ni Claude n’ont un fils qui s’appelle Tristan.
  6. Pour deux des pères, l’initiale du prénom de leur aîné est identique à leur initiale.

Quels sont les fils de chaque père ?

Résolution

D'après 6, Gabriel et Paul sont les fils respectifs de Gaston et Patrice.
D'après 4, Jérémie va à Hermel et il reste Maxime à Claude.
D'après 2, il y a deux possibilités pour le cadet de Claude : Isaac ou Jacob.
D'après 1 et 3, le cadet de Gaston est : Jacob ou Tristan.
Pas trouvé pour les fils cadets.

Complément du prof

Pas trouvé pour les fils cadets.

08. Presque centenaire

Enoncé

Grand-père Youbli Letemps célèbre ses 99 ans de naissance. Il ne se rappelle pas en quelle année il est, mais il se souvient de certains événements et il peut encore réussir n'importe quel calcul.
Il dit à ses trois filles venues pour le fêter :
- Vous avez fait un voyage en Europe en des années différentes, n'est-ce pas ?
- Ouais !!!
- Chacune va écrire l’année où elle a fait son voyage. Flora va additionner ces trois nombres. Chacune va écrire le nombre d’années écoulées depuis ce voyage. Maria va additionner ces trois nombres. Alicia va additionner les deux résultats et y soustraire mon âge. Elle me donnera alors le résultat final.
- J'ai trouvé 5892, répondit Alicia après des calculs.
- Je pense que vos calculs sont bons, dit fièrement le grand-père. J’ai suffisamment de données pour trouver l’année en cours.

En quelle année ce dialogue a-t-il eu lieu ?

Résolution

Avec A, l'année du dialogue A1, A2, A3 Les années des voyages des trois filles.
S1, somme des années des voyages S1 = A1 + A2 + A3
S2, somme des années écoulées S2 = A - A1 + A - A2 + A - A3
S3 = S1 + S2 - 99 S3 = 3A - 99 = 5892 3A = 5991 A = 1997

Résultat

Le dialogue a eu lieu en 1997.

09. Les petits enfants

Enoncé

Un retraité dit à un inconnu sur un banc :
- Vous voyez les 3 jeunes (moins de 80 ans) sportifs qui courent là-bas? Sachant que le produit de leurs âges est égal à 2548 et que la somme de leurs âges est égale au produit des âges de mes 3 petits-enfants, pouvez-vous me dire leurs âges ?
- Evidemment non, répond l'inconnu.
- Et si je vous dis que l'âge de l'une de ces personnes est égal à la somme des âges de mes petits enfants ?
Alors l'inconnu donna l'âge des 3 personnes, ainsi que les âges des petits-enfants du retraité.

Et vous ?

Résolution

2548 = 22.72.13

Groupages en trois facteurs 52.7.7 49.26.2 49.13.4 28.13.7 26.14.7 14.14.13
Somme 66 77 66 48 47 41
Facteurs premiers 2.3.11 7.11 2.3.11 24.3 47 41
Groupages de 48 en trois facteurs 1.1.48 1.2.24 1.3.16 1.4.12 1.6.8 2.2.12 2.3.8 2.4.6 3.4.4
Somme 50 27 20 17 15 16 13 12 11

Résultat

Âge des trois sportifs : 28, 13 et 7 ans ; âge des trois petits enfants : 8, 3 et 2 ans.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N° Enoncé Calcul Résultat
a Aurélia agence quatre jetons : un 2, un 4, un 6 et un 8. Elle forme ainsi des nombres de quatre chiffres. Elle divise chaque nombre par 6. Combien y a-t-il de nombres divisibles par 6 ? 2 + 4 + 6 + 8 = 20, non divisible par 3 Aucun
b
55 × 99 = 5445
555 × 999 = 554 445
5555 × 9999 = 55 544 445
Louise a fait les opérations suivantes. En vous basant sur ces résultats, trouvez le produit de
5 555 555 et de 9 999 999. 		Avec n le nombre de chiffres (5 et 9),
le résultat est :
(n - 1) fois le chiffre 5 suivi de,
n fois le chiffre 4, suivi du chiffre 5. 		(n = 7) Résultat : 55 555 544 444 445.
c Deux nombres ont ensemble 10 lettres. Leur somme est 9. Quels sont ces deux nombres ? Quatre et Cinq.
d Les lettres L, M, N représentent trois chiffres différents supérieurs à 1. Quel est le plus petit nombre entier qui correspond à cette fraction ?
(L + M)/(L + N) 		(5 + 9)/(5 + 2) = 2
(4 + 8)/(4 + 2) = 2
(3 + 7)/(3 + 2) = 2
(2 + 8)/(2 + 3) = 2 		La fraction vaut toujours 2.

11. Diane et Francine

Enoncé

Quand Francine avait un an de plus que Diane avait quand Francine avait deux fois l'âge que Diane avait quand Francine avait la moitié de l'âge que Diane a maintenant, Diane avait la moitié de l'âge que Francine avait quand Diane avait la moitié de l'âge que Francine a maintenant. Une de ces personnes est dans la soixantaine.

Quel est l'âge de Francine ?

Résolution

Période 1 2 3 4 5
Décalage D/2 - F 4D - 4F + 1 3D - 3F F/2 - D 0
Âge de Francine D/2 4D - 3F + 1 3D - 2F 3F/2 - D F
Âge de Diane 3D/2 - F 5D - 4F + 1 4D - 3F F/2 D
Solution, décalage -41 -39 -30 -26 0
Solution, âge de Francine 31 33 42 46 72
Solution, âge de Diane 21 23 32 36 62

Avec F, l'âge de Francine et D, l'âge de Diane aujourd'hui. L'équation se forme sur la relation entre deux informations, chacune étant formée d'une cascade de relations à prendre à reculons.
A un moment donné, on a, une période passée, repérée n° 1 sur la tableau, où l'âge de Francine était la moitié de l'âge actuel de Diane, donc D/2.
Le décalage est donc de D/2 - F, et l'âge de Diane, à ce moment là était D + D/2 - F = 3D/2 - F.
A une autre période (n° 3), Francine avait 2 fois l'âge de Diane à la période 1, donc 3D - 2F. Le décalage est 3D - 2F - F = 3D - 3F. L'âge de Diane à la période n° 3 est D + 3D - 3F = 4D - 3F.
A une autre période encore (n° 2), l'âge de Francine est celui de Diane à la période n° 3 augmenté de 1, donc 4D - 3F + 1.
Le décalage est donc 4D - 3F + 1 - F = 4D - 4F + 1. Donc l'âge de Diane à cette périose n° 2 devient D + 4D - 4F + 1 = 5D - 4F + 1.
C'est cette valeur qu'il faudra comparer à une autre valeur qu'on va déterminer maintenant.
Donc on prend à la fin. L'âge de Francine maintenant, c'est à dire F, on prend la moitié (F/2) pour avoir l'âge de Diane à une autre période.
Il s'agit de la période n° 4. Le décalage est de F/2 - D. A la même période (n° 4), l'âge de Francine est F + F/2 - D = 3F/2 - D.
Il faut prendre la moitié de cette valeur pour avoir la précédente : 3F/4 - D/2 = 5D - 4F + 1 ; 22D + 4 = 19F
La première égalité trouvée est pour D = 5 et F = 6. Ensuite, on fait progresser D de 19 et F de 22.
Pour arriver à 60 ans pour D : (60 - 5)/19 = 2,9. Si on applique 3, D = 5 + 19*3 = 62 et F = 6 + 22*3 = 72.

Résultat

Diane a 62 ans et Francine en a 72.

12. Casse-tête de Karl

Enoncé

6 13 11 3 6 13 11 3
11 4 11 5 6 3 1 4
8 10 8 1 7 8 2 10
5 11 5 2 3 6 5 11
12 4 12 4 8 1 3 4
6 11 7 8 6 11 7 8

En s’inspirant du Kakuro, Karl a inventé un nouveau solitaire. Il trace une grille 6 x 6. Les nombres de la périphérie sont la somme des deux chiffres adjacents dans la même rangée. Par exemple, sur la première ligne, 11 est la somme des deux premiers chiffres de la ligne ; 4 est la somme des deux derniers chiffres.

Remplissez la grille avec les chiffres de 1 à 8 en respectant chacune des sommes. Aucun chiffre ne doit apparaître plus d’une fois dans une même rangée (ligne, colonne ou diagonale) de quatre chiffres.

Résolution

La grille se résout en 4 quarts, en commençant par le quart du bas à droite.

Résultat

Voir la grille à droite.

13. Œufs d'Euler

Enoncé

Problème posé par Euler dans son Introduction à l’algèbre. Deux paysannes apportent ensemble 100 œufs au marché. Le nombre d’œufs pour chacune est différent, mais toutes les deux reçoivent le même montant d’argent. La première dit alors à la seconde : "Si j’avais eu tes œufs, j’aurais reçu 15 kreutzers." L’autre répondit : "Et moi, si j’avais eu tes œufs, j’aurais reçu six kreutzers et 2/3".

Combien d’œufs chaque paysanne avait-elle ?

Résolution

On a x œufs pour la première paysanne et (100 - x) pour la deuxième
Prix de vente de l'œuf T1 pour la première T2 pour la deuxième
Egalité des gains T1x = T2(100 - x)
Deuxième équation (100 - x)T1 = 15 Troisième équation xT2 = 20/3
T1 = 15/(100 - x) T2 = 20/3x (100 - x)20/3x = 15x/(100 - x) 45x2 = 20(100 - x)2
25x2 + 4000x - 200000 = 0 x = 40

Résultat

Une des paysannes avait 40 œufs, l'autre en avait 60.

14. Distance de K à P

Enoncé

Dans le triangle PQR, rectangle en P, les bissectrices des angles aigus se coupent en K. Si la distance de K à l’hypoténuse est √8, quelle est la distance de K à P ?

Résolution

...
Le calcul général est très complexe. Le problème a été résolu pour le cas particulier où PQ = 3; PR = 4 et QR = 5.
Tangente de l'arc double tg(a) = 2tg(a/2)/[1 - tg2(a/2)]
Tangente de l'arc moitié tg(a/2) = [racine(1 + tg2(a)) - 1]/tg(a)
Angle KQS = PQR/2 tg(PQR) = PR/QP = 4/3 tg(KQS) = [racine(1 + 16/9) - 1]/(4/3) = 1/2
Angle KRS = PRQ/2 tg(PRQ) = PQ/PR = 3/4 tg(KRS) = [racine(1 + 9/16) - 1]/(3/4) = 1/3
Avec QS = x ; RS = 5 - x KS = xtg(KQS) = x/2 = (5 - x)tg(KRS) = (5 - x)/3
KS = x/2 = (5 - x)/3 3x = 10 - 2x x = 2 KS = 1
PK est la diagonale du carré de côté = le rayon du cercle PK = racine(2)
Avec KS de l'énoncé = racine(8) PK de l'énoncé = racine(2)racine(8) = racine(16) = 4

Vérif avec 5, 12, 13

Il existe un autre triangle rectangle caractéristique, le triangle 5, 12, 13 (52 + 122 = 132)
tg(PQR) = PR/QP = 12/5 tg(KQS) = [racine(1 + 144/25) - 1]/(12/5) = 2/3
tg(PRQ) = PQ/PR = 5/12 tg(KRS) = [racine(1 + 25/144) - 1]/(5/12) = 1/5
Avec QS = x ; RS = 13 - x KS = xtg(KQS) = 2x/3 = (13 - x)tg(KRS) = (13 - x)/5
KS = 2x/3 = (13 - x)/5 10x = 39 - 3x x = 3 KS = 2
Diagonale du carré PK = 2racine(2)
Avec KS de l'énoncé = racine(8) PK de l'énoncé = 2racine(2)racine(8)/2) = racine(16) = 4

Résultat

La distance de K à P est 4.