808, Récréations "Dénombrement", le 31 janvier 2022

01. Combien de pages a lu Anna

Enoncé

Anna, Emma et Léa lisent à tour de rôle les 231 pages d'un roman : tous les soirs, elles lisent 20 pages, en changeant de lectrice à chaque page, dans l'ordre Anna, Emma, Léa. Anna a manqué la première séance : ce soir-là, Emma et Léa ont commencé la lecture à deux, alors qu'Anna a rattrapé son retard, en lisant les pages qui lui manquaient, seule.

Combien de pages a lu Anna en tout ?

Résolution

Le premier jour Anna a lu 20 pages toute seule et, Emma et Léa ont lu chacune 10 pages A20 ; E10 ; L10
Les jours suivants, il reste 231 - 20 = 211 pages à lire à 3, c'est à dire 211/3 = 70 pages chacune A90 ; E80 ; L80
Il reste une page qui sera lue par Anna. Anna a lu 20 + 70 + 1 = 91 pages A91 ; E80 ; L80

Résultat

Anna a lu 91 pages en tout.

02. Nombre à 4 chiffres

Enoncé

Combien de nombres à 4 chiffres ont à la fois 1 comme chiffre des milliers et ont au moins trois chiffres égaux ?

Résolution

Avec x de 0 à 9 on a 10 nombres de la forme 1xxx 10
Avec y de 0 à 9 excepté 1 (car 1111 est déjà compté), on a 9 nombres de la forme 111y 9
Avec z de 0 à 9 excepté 1 (car 1111 est déjà compté), on a 9 nombres de la forme 11z1 9
Avec u de 0 à 9 excepté 1 (car 1111 est délà compté), on a 9 nombres de la forme 1u11 9
Total : 10 + 9 + 9 + 9 = 37 37

Résultat

Il existe 37 nombres qui répondent à la question.

03. Tour de cadran

Enoncé

Combien de fois les aiguilles d'une montre se recouvrent exactement entre six heures du matin et du soir ?

Résolution

Excepté à midi où les aiguilles se rencontrent exactement sur le douze, les autres renconcontres se font dans les intervalles :
6-7 ; 7-8 ; 8-9 ; 9-10 ; 10-11 ; 1-2 ; 2-3 ; 3-4 ; 4-5 ; 5-6

Résultat

Les aiguilles se rencontrent 11 fois.

04. Suite pour un carré

Enoncé

Trouvez le premier nombre de la suite de 18 nombres consécutifs dont la somme est un carré parfait.

Donnez le premier nombre de la suite. Quel est le plus petit nombre solution ?

Résolution

Avec n le premier nombre de cette suite de 18
La somme de ces 18 nombres est S = 18n + (0 + 1 + 2 + ... + 17) S = 18n + (17.18)/2 S = 18n + 9.17 S = 9(2n + 17)
9 étant un carré, il faut trouver n pour que 2n + 17 soit un carré 17 étant impair et 2n pair, Il s'agit d'un carré impair
Essayons avec 9, 25, 49, 81 2n + 17 = 9 n est négatif
2n + 17 = 25 n = 4 S = 225 = 152
2n + 17 = 49 n = 16 S = 441 = 212
2n + 17 = 81 n = 32 S = 729 = 272

Résultat

Le plus petit nombre de la suite est 4.

05. Affichage digital

Enoncé

Combien de fois dans la journée, les quatre chiffres d'un réveil à affichage digital sont tous différents ?

Résolution Christophe

Christophe nous a fait une démonstration par retrait sur le nombre total de minutes en 24 heures.

Nombre de minutes en 24 heures 24 x 60 = 1440 1440
Il y a trois classes de retraits à faire 1 : pour les heures 00, 11, 22 3 représentants
2 : pour les heures 0x, 1x, x0, x1, xx 10 + 10 + 4 + 4 + 4 = 32 représentants
3 : heures 06, 16, 07, 17, 08, 18, 09, 19 8 représentants
Minutes de la classe 1 60 60 x 3 = 180 180
Minutes de la classe 2 01 à 05, 11 à 15, 20, 21, 23 13 x 32 = 416 416
Minutes de la classe 3 0x (10 fois) ; et 5 fois chacun des x0, x6, xx 25 x 8 = 200 200
Calcul final Différence 1440 - 180 - 416 - 200 644

Autre résolution

Avec abcd Les quatre digits de l'affichage de l'heure
Digits b et d de 0 à 9 100 possibilités, 10 doublons Il en reste 90
Dans lesquelles chacun des chiffres est sur 18 lignes différentes
Ajout du digit c de 0 à 5 On déduit le doublon c : 90 - 18 = 72 72 x 6 = 432 lignes
Dans lesquelles Le chiffre de 0 à 5 est utilisé 40 + 40 + 72 = 152 fois
Limitation de la liste à b = 0 à 3 40 x 4 = 160 lignes
Dans laquelle Le chiffre de 0 à 3 est utilisé 12 + 40 + 23 = 76 fois
Ajout du digit a de 0 à 1 Déduction du doublon a : 432 - 152 = 280 280 x 2 = 560 560
Ajout du digit a = 2 Déduction du doublon a : 160 - 76 = 84 84 x 1 = 84 84
Somme 560 + 84 = 644

Résultat

644 fois les chiffres sont tous différents.

06. Hex d'Isidore

Enoncé

...

Isidore veut placer des nombres dans les cercles de l’hexagone. Il doit y avoir un 2 entre un 8 et un 13. Il doit y avoir un autre 2 entre un 10 et un 11. Les deux 2 sont opposés l’un à l’autre.
Disposez les nombres pour que la somme des trois nombres sur chaque côté de l'hexagone soit 16.

Combien y-a-t-il de solutions différentes ?

Résolution

Le nombre 2 ne peut pas être en position médiane d'un côté car 2 + 8 + 13 = 23 <> 16, de même 2 + 10 + 11 = 23 <> 16.
Ils sont donc sur un angle et complètement opposés. Chacun des nombres 2 peut avoir 6 positions possibles.
De plus les nombres accompagnateurs peuvent être directs ou croisés et enfin il y a la position retournée (symétrique par rapport à la ligne des 2.
8.2.13 / 10.2.11 -- 8.2.13 / 11.2.10 -- 13.2.8 / 11.2.10 -- 13.2.8 / 10.2.11
Finalement cela fait : 6 x 4 = 24 possibilités.
Les autres nombres se placent très facilement.

Résultat

Il y a 24 solutions différentes.

07. Bocaux de billes

Enoncé

...

Jacinthe a construit un support triangulaire en métal auquel on peut suspendre sept bocaux. Elle constitue des bocaux respectivement de 6, 7, 9, 10, 11, 13 et 14 billes. Dans chaque groupe de trois bocaux reliés par une tige, il doit y avoir le même nombre de billes.

Répartissez les billes pour que le support soit en équilibre.

Résolution

10 10 10 10 10 10
6 13 11 14 7 9
14 7 9 6 13 11
La somme des billes est S = 6 + 7 + 9 + 10 + 11 + 13 + 14 S = 70
On remarque que dans la somme des 5 additions une des billes est comptée 3 fois les autres sont comptées 2 fois
Avec x La valeur de la bille qui est comptée 3 fois
3S - 2x = 70 2S + x = 70 7S = 210 S = 30 x = 10
Liste des possibilités de faire 30
6 + 10 + 14 6 + 11 + 13 7 + 9 + 14 7 + 10 + 13 9 + 10 + 11

En disposant les billes comme ci-dessus à droite on a deux solutions qui chacune produisent 6 formes différentes par permutations verticales.

Résultat

Voir à droite. Il y a 12 solutions.

08. Ton enchevêtré

Enoncé

T O N 1 6 5 2 7 5 3 8 5 4 9 5
+ N T + 5 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4
= E T O = 2 1 6 = 3 2 7 = 4 3 8 = 5 4 9

Chaque lettre représente un chiffre différent.

Déchiffrez cette addition. Combien de solutions ?

Résolution

T étant différent de E il y a obligatoirement une retenue à l'addition des dizaines.
On a : N + T = O et O + N = 10 + T ; 2N = 10 ; N = 5 ; Et O - T = 5 ; On a 4 solutions :
N = 5 toujours et pour O et T on a : 6 - 1 ; 7 - 2 ; 8 - 3 ; 9 - 4.

Résultat

Il y a quatre solutions. Voir ci-dessus à droite.

09. Messes de minuit

Enoncé

J'ai 79 ans. Nous sommes juste avant Noël. Chaque année, depuis l'âge de 4 ans, je vais à la messe de minuit s'il ne neige pas et si je n'ai pas de rhume. Or il neige ici un jour de Noël sur 5; quand il neige, une fois sur 3 je suis enrhumé et quand j'ai un rhume, il neige une fois sur 4. Sauriez-vous déduire de toutes ces passionnantes remarques le nombre approximatif de messes de minuit auxquelles j'ai assisté dans ma vie ?

À vous de jouer.

Résolution

79 - 4 = 75. Intervalle de temps : 75 ans. Nombre de Noël enneigés : 75/5 = 15.
Nombre de rhumes un jour de neige : 15 / 3 = 5. Cela représente 1/4 des rhumes. Donc 3/4 des rhumes sont en dehors d'un jour de neige.
Nombre de rhumes en dehors des jours de neige : 5 x 3 = 15.
Nombre de jours d'absence à la messe de minuit : 15 + 15 = 30.
Nombre de jours de présence à la messe de minuit : 75 - 30 = 45.

Résultat

Pendant sa vie il a assisté à 45 messes de minuit.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Combien d’allumettes sont nécessaires pour construire une grille rectangulaire 2 × 5 ? (6 x 2) + (3 x 5) = 27 Il faut 27 allumettes.
b
...
Monica numérote cinq jetons de 3 à 7. Le 8 étant en bonne position, placez ces jetons de façon à obtenir une somme de 15 dans chaque rangée.
7 = 3 + 4 ;
15 = 3 + 5 + 7 = 4 + 5 + 6
...
c Murielle attribue un nombre différent à chaque lettre et donne la somme des nombres pour chaque mot. MAL = 30, LAC = 25, LAMA = 42, CAC = 22. Quelle est la valeur de CLAMA ? LAMA - MAL = A = 42 - 30 = 12
2C = 22 - 12 ; C = 5 ; L = 25 - 12 - 5 = 8
M = 30 - 12 - 8 = 10
CLAMA = 5 + 8 + 2.12 + 10 = 47.
d
1
1
1
1
Dans cette grille, Hippolyte désire placer des chiffres 2, 3 et 4. Complétez la grille de telle manière que les chiffres soient différents sur chaque ligne et dans chaque colonne.
Une solution possible :
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1

11. Coffre-fort

Enoncé

Un coffre fort s’ouvre avec une combinaison de trois chiffres. Sachant que la somme de ces trois chiffres est égale à 10,

Combien de combinaisons sont possibles ?

Résolution

Liste des combinaisons de trois chiffes dont la somme est 10
Combinaisons ordonnées 019 028 037 046 055 118 127 136 145 226 235 244 334
Nombre de permutations 6 6 6 6 3 3 6 6 6 3 6 3 3
Nombre total de combinaisons : (8 x 6) + (5 x 3) = 63

Résultat

63 combinaisons sont possibles.

12. Famille Moyen

Enoncé

M. François Moyen et son épouse ont des âges différents et des enfants qui ont tous un âge différent. La moyenne arithmétique des âges de tous les membres de la famille est égale à 16,5 ans. De plus, la moyenne des âges des parents est égale à 16 fois la moyenne des âges de leurs enfants. Enfin, les chiffres qui composent les âges des parents sont différents de ceux des âges des enfants.

Question : Quel est l'âge de chacun des membres de la famille ?

Résolution

Avec P La somme des âges des parents
n Le nombre d'enfants
Moyenne des âges des parents P/2
Moyenne des âges des enfants P/32 Somme des âges des enfants nP/32
Moyenne générale Mg = (P + nP/32)/(n + 2) Mg = P(32 + n)/[32(n + 2)] = 16,5 P = 16,5[32(n + 2)]/(32 + n)
n, nombre d'enfants 1 2 3 4 5 6 7 8
P, somme des âges des parents 48 62,12 75,43 88 99,89 111,16 121,85 132
E, somme des âges des enfants 1,5 11 33
Moyenne des âges des enfants 1,5 2,75 4,125

1,5 enfant est décimal. Faire une moyenne de 4 avec 8 enfants d'âges différents, ce n'est pas possible. Donc n vaut 4.
Pour faire 11, on ne peut prendre que 1 + 2 + 3 + 5. Pour les parents il reste 40 + 48.

Résultat

Les parents ont donc 48 et 44 ans et il y a 4 enfants d'âges : 5, 3, 2 et 1 ans.

13. Produit égale trois fois la somme

Enoncé

Le produit de trois entiers positifs est égal à trois fois la somme de ces entiers.

Combien de triplets de nombres entiers positifs vérifient cette propriété ?

Résolution

Calcul d'un des termes en fonction des deux autres : abc = 3(a + b + c) ; c (ab - 3) = 3(a + b)
c = 3(a + b)/(ab - 3)

a 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3
b 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 3 4
c -3 -9 ind 15 9 7 6 12 5 3,6 3 2,33

Résultat

Six triplets vérifient cette propriété.

14. Le cauchemar des lampadaires

Enoncé

Le responsable de l'éclairage d'une ville a fait un cauchemar dans la nuit de la Saint-Sylvestre. Il raconte à un collègue :

Combien de lampadaires pouvait-il y avoir sur cette route ? S'il existe plusieurs solutions donnez-les toutes.

Résolution

N° du dernier lampadaire éteint en fonction du nombre de lampadaire

La méthode par les nombres binaires est très efficace et rapide. Il suffit de prendre le digit de poids le plus élevé du nombre de lampadaires exprimé en binaire et de le déplacer à l'unité pour trouver le n° du dernier lampadaire éteint. Exemples :

nb de lampadaires n° du dernier éteint
2032 11 111 110 000 11 111 100 001 2017
3056 101 111 110 000 11 111 100 001 2017
9200 10 001 111 110 000 11 111 100 001 2017

Nombre de lampadaires en fonction du n° de dernier éteint

Avec nf Le n° du dernier lampadaire éteint
et nb Le nombre de lampadaires
On calcule k1 = log((nf + 1)/2)/log(2) arrondi à l'entier supérieur Avec nf = 2017 k1 = 10
k2 = (nf - 1)/2 Avec nf = 2017 k2 = 1008
Il y a une infinité de solutions numérotées à partir de k = 0
Solution n° k nb = k2 + 2k1 + k
Avec nf = 2017 Solution n° 0 nb = 1008 + 1024 nb = 2032
Solution n° 1 nb = 1008 + 2048 nb = 3056
Solution n° 2 nb = 1008 + 4096 nb = 5104
Solution n° 3 nb = 1008 + 8192 nb = 9200 214 > 10 000
Voir
DigiSchool
C'est un forum
Excel
Exploration en trois étapes

Résultat

Il y a quatre solutions : 2032, 3056, 5104, 9200.