806, Récréations Hiver, le 3 janvier 2022

01. Trois mathématiciens

Enoncé

Ces trois mathématiciens sont nés avant J.C. dans trois villes ... Perge, Syracuse et Cyrène
En 276 avant J.C.à Cyrène naquit l'un d'entre eux mais ce n'est pas Archimède.
Apollonius est né à Perge, mais ce n'est pas le plus ancien des trois.

Résultat

Erathostène à Cyrène en -276 ; Archimède à Syracuse en -287 ; Apollonius à Perge en -262.

02. Les Maîtresses de Louis XIV

Enoncé

Louis IV a eu plusieurs maîtresses parmi lesquelles Madame de Maintenon , Madame de Montespan , Louise de La Vallière ainsi que Marie Angélique de Fontanges,
mais combien d'enfants a t-il eu avec chacune d'elle ? dans quel ordre les a t-il rencontré ? à quel âge sont elles mortes ?
Indices :
La maîtresse qui a vécu jusqu'à 67 ans n' est pas Louise de La Vallière, n'a pas eu 6 enfants avec Louis XIV et n'est pas la première maîtresse de Louis XIV.
La dernière maîtresse de Louis XIV qui a vécu le moins longtemps n'est ni Louise de La Vallière ni Madame de Montespan et n'a eu ni 8 , ni 6 enfants.
Madame de Maintenon morte a 84 ans n'a pas eu d'enfant avec Louis XIV, elle n'est ni la deuxième ni la première maîtresse de Louis.

Résultat

1 :Louise de la V, 6 enfants, + à 66 ans ; 2 : Mad de Montespan, 8 enf, + à 67 ans ; 3 : Mme de Maintenon, 0 enf, + à 84 ans ; 4 : Marie-Ang de F, 1 enf, + à 20 ans.

03. Parenté

Enoncé

Je suis un homme.
Si le fils de cet autre homme est le père de mon fils, quel est le lien de parenté entre cet homme et moi ?

Résultat

Solution Mathmuse : c'est mon père.

04. Chiffre des centaines du plus grand

Enoncé

Considérons les nombres à quatre chiffres divisibles par 6 et dont les chiffres respectent, de la gauche vers la droite, un ordre strictement croissant.

Combien vaut le chiffre des centaines du plus grand d'entre eux ?

Résolution

Ce nombre de 4 chiffes divisible par 6, est divisible par 2 et par 3, c'est un nombre pair. Il se termine par 8.
Au maximum, on peut avoir 5678. Mais 5678 n'est pas divisible par 3. (5 + 6 + 7 + 8) = 26. Il faut diminuer de 2.
On peut faire 4578.

Résultat

Le chiffre des centaines est 5.

05. Quatre footballeurs

Enoncé

Quatre footballeurs se rejettent la paternité d'un but. Kylian dit que l'auteur du but est Antoine. Antoine dit qu'il s'agit d'Éden, mais Éden accuse en réponse Antoine de mentir. Enfin, Léo jure ne pas avoir mis le but.

En sachant que seul l'un des quatre dit la vérité, qui est l'auteur du but ?

Résolution

Deux hypothèses cohérentes : 3 et 4. A revoir avec la correction.

La solution "Calendrier janvier 2020"

Éden et Antoine affirmant des choses exactement contradictoires, l'un des deux ment et l'autre dit la vérité. Puisqu'un seul des quatre footballeurs dit la vérité, on peut déjà être sûr que Léo et Kylian mentent. Puisque Léo ment, il est l'auteur du but.

Résultat

Léo est l'auteur du but.

06. Partage de galettes

Enoncé

Armel se rendant au château, rencontre en chemin Bernard. Ils décident de continuer leur chemin ensemble. A l'heure du déjeuner, Armel sort de sa besace cinq galettes de blé, et Bernard trois galettes.
Arrive alors un vieillard à l'air fatigué. Les deux hommes décident d'un commun accord de diviser équitablement leur repas à trois.
Une fois le déjeuner terminé, le vieillard se lève, lance huit pièces d'or sur la table, remercie les deux hommes, et s'en va. Armel dit alors : "Puisque j'ai apporté 5 galettes et toi 3, je dois prendre 5 pièces, et toi 3."
Bernard répond : "Puisqu'on devait partager le repas à deux, on doit partager la somme en deux, soit 4 pièces chacun."
Ils décident, pour résoudre ce dilemme, de le soumettre au souverain du château.

Quelle réponse doit faire le souverain pour le juste paiement des galettes payées par le vieillard ?

Résolution

Huit galettes partagées en trois. Part de chacun : 8/3.
Sur les cinq galettes, Armel en mange 8/3. Il en donne donc 15/3 - 8/3 = 7/3 au vieillard.
Sur les trois galettes, Bernard en mange 8/3. Il en donne donc 9/3 - 8/3 = 1/3 au vieillard. Le vieillard a bien reçu sa part : 7/3 + 1/3 = 8/3.
Une pièce d'or est le pris d'un tiers de galette. Il y en a une pour Bernard et sept pour Armel.

Résultat

Armel reçoit 7 pièces d'or et Bernard en reçoit une.

07. Un problème éclair

Enoncé

Le dimanche à midi, maman achète 3 éclairs : un pour elle, un pour papa, un pour moi. Quand je choisis l'éclair au chocolat, papa prend l'éclair à la pistache. Mais quand je prends l'éclair à la pistache, alors papa prend l'éclair au café. Et quand papa ne prend pas l'éclair au chocolat, alors maman prend l'éclair à la pistache.

Bref qui prend quoi ?

Résolution

Avec l'aide de "150 énigmes de logique préparation 53".

3d (départ), papa, café arrive à 3a, maman, pistache ; de même que 3d, papa, pistache arrive à 3a, maman, pistache. Ce n'est pas possible.
1d, fils, chocolat arrive à 1a, papa pistache. Papa et fils ne peuvent pas prendre pistache. C'est donc maman.
Et puisque le fils ne peut prendre chocolat, il prend café.

Résultat

Papa prends chocolat, maman pistache et le fils café.

08. Soustraction 1805

Enoncé

Si on retranche 1805 au produit de 2 entiers naturels consécutifs, on trouve la somme de ces deux entiers.

Quels sont-ils?

Résolution

Résultat

Les deux nombres sont : 43 et 44.

09. Le criminel

Enoncé

Une affaire ancienne mettait en cause deux jumeaux. L'un au moins mentait systématiquement, mais on ne savait pas lequel. Celui qui s'appelait Jean avait commis un crime (ce n'était pas nécessairement celui qui mentait toujours). Le juge d'instruction cherchait à savoir qui était Jean.
" Etes-vous Jean ? " demanda-t-il à l'un des jumeaux.
" Oui " répondit celui-ci.
" Et vous, êtes-vous Jean ? " ajouta le juge à l'intention de l'autre. Celui-ci répondit par oui ou non, et le juge découvrit aussitôt le criminel.

Qui était Jean, le premier ou le second jumeau ?

Résolution

Résultat

Jean est le second jumeau.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
a	Q T D O D Hilaire a écrit la première lettre de cinq nombres. Trouvez la lettre qui devrait logiquement suivre.	Quatorze, Treize, Douze, Onze, Dix	La lettre suivant est N pour Neuf.
b	Gontran dispose des allumettes de façon à représenter 54. Combien d’allumettes au minimum devront être déplacées pour représenter 45 ?		On doit déplacer trois allumettes.
c	Partagez ces neuf nombres en trois groupes de trois nombres. La somme des nombres de chaque groupe doit être identique. De plus, le 12 ne doit pas être avec le 7. 2 4 5 6 7 8 9 10 12	2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 = 63 63/3 = 21	4 + 5 + 12 = 2 + 9 + 10 = 6 + 7 + 8 = 21.
d	Douze automobiles sont placées en trois files de quatre automobiles et accolées par les côtés. Les automobiles d’une file visible ont deux portes et les autres ont quatre portes. Combien de portes ne peuvent pas être ouvertes ?	2(4(1 + 2)) Pas compris l'énoncé : 4 x (2 + 4 + 4) 8 X 3 + 4	28 portes.

11. Pair ou impair

Enoncé

Pour obtenir un nombre le plus grand possible, vaut-il mieux additionner tous les entiers de 1000 à 9999 dont tous les chiffres sont pairs ou ceux dont les chiffres sont impairs ?

Résolution

• C'est relativement facile avec les nombres impairs, car la suite (1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25) se répète un certain nombre de fois.
• Avec les nombres impairs de 2 chiffres, la suite se répète 5 fois aux dizaines et 5 fois aux unités. La somme est donc : 5 x 25 x 11 = 1 375
• Pour les nombres de 3 chiffres, la suite se répète 25 fois à chaque "digit". La somme est : 25 x 25 x 111 = 69 375
• Pour les nombres à 4 chiffres, il y a 125 (5³) répètitions de la suite. Somme : 125 x 25 * 1 111 = 3 471 875.
• Cela se complique pour les nombres pairs car il y a des zéros qui peuvent être utilisés au milieu, mais pas au début. La suite est : 2 + 4 + 6 + 8 = 20
• C'est simple pour les nombres à un chiffre. La liste est utilisée une fois, la somme est 20.
• Pour les nombres à 2 chiffres, la suite apparaît 5 fois aux dizaines et 4 fois aux unités. La somme est : 20(50 + 4) = 1 080.
• Pour les nombres à 3 chiffres, on a 20 apparitions aux dizaines et unités et 25 aux centaines. Somme : 20(2500 + 20 x 11) = 54 400.
• Nombres à 4 chiffres : 125 fois aux milliers et 100 fois aux autres chiffres. Somme : 20(125 000 + 11 100) = 2 722 000.

Résultat

Il vaut mieux aditionner les nombres dont les chiffres sont impairs.

12. Un problème de bouteille

Enoncé

On s’intéresse à la bouteille représentée ci-contre : bouteille classique, de forme cylindrique, avec un fond qui rentre à l'intérieur, et un rétrécissement pour aller jusqu'au goulot.
Le diamètre intérieur de la partie principale est de 7 cm.
La distance entre le fond de la bouteille et le dessous du bouchon est de 27 cm : cette partie peut contenir au maximum 760 ml de liquide.
Actuellement, la bouteille n'est pas pleine. Posée normalement, le liquide a une hauteur de 14 cm, et posée à l'envers, la hauteur de liquide est de 19 cm.

Question : Quelle est le volume de liquide contenu dans la bouteille ?

Vous donnerez la réponse en ml, en arrondissant au dixième de ml si nécessaire.

Résolution

Avec la bouteille retournée, le niveau du liquide est à 27 - 19 = 8 cm du fond.
Le retournement permet de déterminer le milieu volumique de la bouteille qui est à 14 - (14 - 8)/2 = 11 cm du fond.
Donc par rapport au volume moitié qui est 760/2 = 380, on a un excédent de 3 cm pour le diamètre intérieur de 7.
Excédent = pi r² h = pi x 3,5² x 3 = 115,45 ml.
Volume de liquide = 380 + 115,45 = 495,45 ml.

Résultat

Le volume de liquide contenu dans la bouteille est : 495,5 ml.

13. Les purs, les Pires et les Versatiles

Enoncé

Sur une île voisine, vivaient en plus des Purs et des Pires, les Versatiles. Ceux-ci mentent ou disent la vérité au gré de leur fantaisie, sans qu'on puisse le prévoir.
Un jour que je parcourais cette île, j'ai rencontré deux habitants A et B. Je savais qu'un des deux était un Pur et l'autre un Versatile, mais je ne savais pas qui était le Pur. J'ai demandé à A si B était un Versatile, et il m'a répondu par oui ou par non. J'ai su alors qui était quoi.

Lequel était le Versatile?

Résolution

Si A répond Oui/Non, c'est qu'il est lui-même versatile.

Solution de "livre qui rend fou, chap 7 n° 4"

Si A avait répondu oui, il pouvait être un Pur ou un Versatile, mais je n'aurais pas su quoi exactement. Si A avait répondu non il ne pouvait pas être un Pur, car alors B aurait été un Versatile et A aurait menti. Par conséquent, si A répond non, c'est un Versatile. La seule façon pour moi de savoir qui est quoi, c'est que A réponde non.

Résultat

Je ne suis pas sûr, mais j'en conclus que B est versatile.

14. L'espion

Enoncé

Et voici un métajeu beaucoup moins facile que les précédents! Un juge d'instruction interroge trois suspects A, B, et C. Il sait qu'un d'entre eux est un pur (qui dit toujours la vérité), un autre un Pire (qui ment toujours) et le dernier un Versatile (qui ment selon sa fantaisie), mais il ne sait pas qui est quoi. Le Versatile est un espion, et l'interrogatoire a pour but de le démasquer.
Le juge demande d'abord à A de faire une déclaration. On ne nous dit pas précisément ce qu'il déclare mais, soit il accuse C d'être un Pire, soit il accuse C d'être l'espion. Ensuite B prend la parole. Nous ne savons pas ce qu'il dit, mais soit il affirme que A est un Pur, soit il affirme que A est un Pire, soit il affirme que A est l'espion. Enfin C fait une déclaration et, soit il affirme que B est un Pur, soit il accuse B d'être un Pire, soit il accuse B d'être l'espion. A ce moment le juge découvre qui est l'espion et le fait arrêter.
On raconte cette histoire à un logicien. Après avoir réfléchi un moment celui-ci déclare : « Je n'en sais pas assez pour déterminer qui est l'espion ». Alors on lui apprend ce qu'a déclaré A, et il trouve immédiatement qui est l'espion.

Qui est-ce?

Solution du prof

• Première possibilité A accuse C d'être un Pire. Selon ce que B a déclaré, il y a trois cas que nous allons étudier l'un après l'autre.
• Cas 1: B dit que A est un Pur.
• (1) Si A est un Pur, C est un Pire, car A l'accuse d'être un Pire, et par conséquent B est l'espion;
• (2) Si A est un Pire, B est un Pur, ou un Versatile; comme son affirmation est fausse il est Versatile; c'est donc lui l'espion, et C est un Pur;
• (3) Si A est l'espion, l'affirmation de B est fausse, et puisque A est le Versatile, B est le Pire, et C est le Pur.
  En résumé nous avons trois éventualités: (1) A est un Pur, B est l'espion, C est un Pire, (2) A est un Pire, B est l'espion, C est un Pur, (3) A est l'espion, B est un Pire, C est un Pur.
  A présent supposons que C ait déclaré: « B est l'espion ». Alors les éventualités (1) et (3) sont éliminées (la première parce que C, un Pire, n'a pas pu affirmer la vérité, la seconde parce que C, un Pur, n'a pas pu mentir). Il ne reste que (2), et le juge sait que B est l'espion. Maintenant supposons que C ait déclaré: « B est un Pur ». Dans ce cas, (1) est la seule possibilité, et le juge sait une fois encore que B est l'espion.
  Enfin supposons que C ait déclaré : « B est un Pire ». Dans les éventualités (1) ou (3) le juge ne sait pas qui, de A ou de B, est l'espion, c'est pourquoi C n'a pas accusé B d'être un Pire (Bien sûr tout cela en supposant que B a dit que A était un Pur). En conclusion, si le cas 1 est vraiment ce qui est arrivé, le juge a reconnu l'espion en la personne de B.
• Cas 2: B déclare que A est l'espion. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'il y a trois éventualités:
• (1) A est Pur, B est l'espion, C est un Pire.
• (2) A est un Pire, B est l'espion, C est un Pur.
• (3) A est l'espion, B est un Pur, C est un Pire.
  Si C a accusé B d'être l'espion, les éventualités (2) et (3) sont toutes les deux possibles, et le juge n'a pas pu découvrir l'espion.
  Si C a déclaré que B est un Pur, seule l'éventualité (1) pouvait se produire, et le juge aurait démasqué B. Enfin, si C avait accusé B d'être un pire, (1) ou (3) étaient possibles et le juge n'a pas pu découvrir l'espion. Par conséquent, dans le cas 2, la seule possibilité est que C ait déclaré: « B est un Pur », et alors B est l'espion.
• Cas 3: B accuse A d'être un Pire. Le lecteur vérifiera qu'il y a quatre éventualités :
• (1) A est un Pur, B est l'espion, C est un Pire,
• (2) A est un Pire, B est l'espion, C est un Pur,
• (3) A est un Pire, B est un Pur, C est l'espion,
• (4) A est l'espion, B est un Pire, C est un Pur.
  Si C a accusé B d'être l'espion, (2) et (3) sont possibles et le juge n'a pas pu déterminer qui est l'espion. Si C a déclaré que B est un Pur et (3) sont possibles et une fois encore le juge n'a pas découvert l'espion. Enfin, si C a accusé B d'être un Pire, (1), (3) et (4) sont possibles mais une fois de plus le juge n'a pas pu démasquer l'espion. Ainsi, le cas 3 est à éliminer, et seuls les deux premiers sont à considérer. De plus nous savons que dans ces deux cas B est l'espion. Par conséquent, si l'on dit au logicien que A avait accusé C d'être un Pire, le logicien en a déduit que B est l'espion.
• Deuxième Possibilité A accuse C d'être l'espion. Nous allons démontrer qu'alors le logicien ne pouvait pas résoudre le problème car l'espion pouvait être A aussi bien que B. Montrons d'abord que A est l'espion quand, à la fois, A accuse C d'être l'espion, B affirme que A est un Pur et C accuse B d'être un Pire. En effet, dans ces conditions, si B était l'espion il serait le Versatile, mais A aurait menti et C aussi, ce qui n'est pas possible; si C'était l'espion, A serait le Pur, car il aurait dit la vérité, et B serait donc le Pire, mais B aussi aurait dit la vérité, ce n'est donc pas possible et il ne reste qu'une seule éventualité, la bonne, A est l'espion et il a menti, B est un Pire, et C est un Pur. Montrons à présent que B est l'espion quand, à la fois, A accuse C d'être l'espion, B affirme que A est un Pur, et C accuse B d'être l'espion. En effet, dans ces conditions, si A était l'espion, il serait Versatile, mais B et C auraient menti tous les deux, ce qui n'est pas possible; si C était l'espion, il serait Versatile, mais A d'abord, puis B ensuite auraient dit la vérité, ce qui est impossible. Par contre, si B est l'espion, il n'y a pas d'impossibilité, A est un Pire et C est un Pur.

En conclusion, si A a accusé C d'être l'espion, nous venons de démontrer que, selon les déclarations de B et C, le juge aurait pu tout aussi bien inculper A que B. C'est pourquoi, si l'on avait dit au logicien: "A a accusé C d'être l'espion", il n'aurait pas su qui le juge avait inculpé; comme il l'a su, c'est qu'on lui a dit : "A a accusé C d'être un Pire", et alors le juge n'a pu inculper que B. Par conséquent B est l'espion.

Résultat

B est l'espion.