Zacharie a dessiné la figure ci-contre tout d’un trait.
Reproduisez cette figure sans passer deux fois sur une même ligne et sans lever le crayon.
Vous pouvez passer plus d'une fois sur un même point d'intersection.
Résolution
Il y a deux points dont le nombre de liaisons est impair, ce sont les points f et g. On doit donc partir d'un de ces points.
Un chemin possible est : f d g i f e b a e j k h l k b c h g.
02. Amélie voyage
Enoncé
Amélie a dessiné la figure ci-dessous sur le plancher de sa chambre. Chacun des segments reliés par deux points d’intersection mesure 1 ou 2
mètres. (Amélie a fait une marque quand le segment mesure 2 mètres). Depuis plusieurs jours, elle essaie de parcourir toutes les lignes de cette
figure avec une petite auto en passant une seule fois sur un même segment. Elle n’y parvient pas.
Combien mesure le chemin le plus long que pourrait parcourir l’auto d’Amélie sans devoir s’arrêter ?
Résolution
Il y a en effet 6 points dont le nombre de segments égale 3. 6 étant suprieur à 2, il n'est pas possible de parcourir toute la figure sans
passer deux fois sur un même segment.
Le chemin le plus long qu'on peut parcourir est indiqué sur la 2ème figure. Il mesure 2(4 + 3) + 7 = 21 mètres.
Résultat
Le chemin le plus long mesure 21 mètres.
03. Urbanisme en retard
Enoncé
Dans un village où on ne connaît pas encore les plans d’urbanisme, 10 maisons sont parsemées dans un quadrilatère d’un kilomètre carré.
Comme on a beaucoup le sens de la communication, chaque maison est reliée à chacune des autres par une route personnelle. Voici l’illustration
lorsqu’il y avait cinq maisons :
Combien y a-t-il de routes personnelles dans ce village ?
Résolution
De la maison n° 1 il part 9 routes vers chacune des 9 autres maisons.
De la maison n° 2, la liaison 1 vers 2 étant déjà comptée, il y a 8 routes vers les maisons n° 3 à 10.
De même, on doit compter 7 routes pour la maison n° 3, 6 pour la 4 ... et 1 pour la 9 vers la 10.
En définitive le nombre de routes est égal à : 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (9 x 10)/2 = 45.
Résultat
Il y a 45 routes personnelles dans ce village.
04. Parc forestier
Enoncé
La longueur d'un parc forestier est de dix kilomètres et sa largeur est de six kilomètres. Le conseil d'administration a décidé de
partager le parc en quatre parties rectangulaires, chaque côté étant exprimé par un nombre entier de kilomètres. La superficie de trois parties
est respectivement de 8, 16 et 30 kilomètres carrés.
Partagez le parc.
Résolution
La quatrième partie fait 6 x 10 - 8 - 16 - 30 = 6, soit 1 x 6 ou 2 x 3.
On peut découper 8 km2 en faisant :
1 x 8 = 2 x 4 = 8 . On peut obtenir 16 avec 2 x 8 = 4 x 4 = 16. (1 x 16 ne convient pas car 16 est > à 10).
30 est obtenu avec 3 x 10 = 30. (1 x 30 et 2 x 15 ne conviennent pas).
05. Jade jardine
Enoncé
Jade a un potager qui mesure sept mètres de largeur. Elle ignore sa longueur. Elle couvre presque totalement son potager par 12 parcelles
rectangulaires mesurant 2 × 3 mètres.
Quelle est la longueur minimale du potager de Jade ?
Résolution
On doit obtenir 12 parcelles de 6 m2, donc une surface totale de 6 x 12 = 72 m2.
La longueur minimum à utiliser est 72/7 = 10,3, donc au moins 11 mètres.
On range assez facilement les 12 parcelles dans une longueur de 12 mètres, mais on peut aussi le faire dans une longieur de 11 mètres.
Résultat
La longieur minimale du potager de Jade est 11 mètres.
06. Cible de Laurette
Enoncé
Laurette lance des fléchettes sur cette cible. Si elle atteint le centre, elle gagne trois points. Si elle atteint la couronne, elle gagne
un point. Si elle atteint l’extérieur de la couronne, elle perd deux points.
Après 60 lancers, elle a atteint la couronne 10 fois de plus que l’extérieur. Son score est alors de 27 points.
Combien de fois Laurette a-t-elle atteint le centre ?
Résolution
Avec
x
Le nombre de lancers au centre
y
Le nombre de lancers dans la
couronne
A l'extérieur il y a
y - 10
lancers
Nombre de lancers
x + y + y - 10 = 60
x + 2y = 70
x = 70 - 2y
Nombre de points
3x + y - 2(y - 10) = 27
3x - y = 7
210 - 6y - y = 7
7y = 203
y = 29
x = 70 - 58 = 12
Résultat
Laurette a atteint 12 fois le centre.
07. Jetons de Miguel
Enoncé
40
60
80
100
Miguel prend quatre jetons marqués 40, 60, 80 et 100. Il calcule 15 % d’un de ces nombres, 20 % d’un autre de ces nombres, 25 % d’un autre
et 30 % du nombre restant. Il additionne les quatre résultats et obtient 60.
Quelles sont les opérations effectuées par Miguel ?
Résolution
Table des pourcentages et les différentes sommes.
Facteur
0,15
0,2
0,25
0,3
40
6
8
10
12
6
6
6
6
6
6
8
8
10
12
10
12
8
8
10
12
10
12
8
8
10
12
10
12
60
9
12
15
18
12
12
15
18
15
18
9
9
9
9
9
9
15
12
12
12
18
15
15
18
12
12
18
15
80
12
16
20
24
20
24
16
16
24
20
20
24
16
16
24
20
12
12
12
12
12
12
24
20
24
20
16
16
100
15
20
25
30
30
25
30
25
20
20
30
25
30
25
20
20
30
25
30
25
20
20
15
15
15
15
15
15
Somme
68
67
67
65
65
64
67
66
65
62
63
61
65
57
64
61
60
59
62
61
61
59
59
58
Résultat
Les opérations effectuées par Miguel sont : 40 x 0,25 + 60 x 0,3 + 80 x 0,15 + 100 x 0,2
08. Les billes
Enoncé
On dispose de 7 boites numérotées de 1 à 7 et d’un grand nombre de billes. On place les billes dans les boites en commençant par la boite 1
que l’on remplit, puis on passe à la boite 2, etc. jusqu'à la boite 7 . Chaque boite peut contenir exactement une bille de plus que la
précédente.
On sait que la bille 26 à été mise dans la boite 3 et la bille 55 dans la boite 6.
Combien de billes contient la boite 7 ?
Résolution
Avec x le nombre de billes dans la boîte n° 1
n° de la boîte
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Nombre de billes
x
x + 1
x + 2
x + 3
x + 4
x + 5
x + 6
8
9
10
11
12
13
14
n° de la première bille
1
x + 1
2x + 2
3x + 4
4x + 7
5x + 11
6x + 16
1
9
18
28
39
51
64
n° de la dernière bille
x
2x + 1
3x + 3
4x + 6
5x + 10
6x + 15
7x + 21
8
17
27
38
50
63
77
La bille n° 26 est dans la boîte 3
2x + 2 <= 26
26 <= 3x + 3
x <= 12
x < 13
x >= 23/3 = 7,67
x > 7
La bille n° 55 est dans la boîte 6
5x + 11 <= 55
55 <= 6x + 15
x <= 44/5 = 8,8
x < 9
x >= 40/6 = 6,67
x > 6
x = 8
Avec x = 8
La boite n° 7 contient
x + 6 = 8 + 6 = 14
billes .
Résultat
La boîte n° 7 contient 14 billes.
09. Hauteurs du triangle
Enoncé
Les cotés d’un triangle mesurent 15, 20 et 25 cm.
Quelles sont les longueurs de ses hauteurs ?
Résolution
Il s'agit du triangle rectangle des maçons : 3, 4, 5. En effet, l'hypotènuse 5 est la racine de la somme des carrés des côtés de l'angle
droit. 9 + 16 = 25. On a donc deux hauteurs sur les côtés de l'angle droit et la troisème hauteur forme un triangle homothétique.
Elle vaut les 15/25 de 20 = 12.
Résultat
Les trois hauteurs mesurent : 12, 15 et 20 cm.
10. Questions simples
Enoncé, Calculs et Résultats
N°
Enoncé
Calcul
Résultat
a
Marjolaine a 40 élèves dans sa classe : 24 élèves de 13 ans et 16 élèves de 14 ans. Elle constitue des équipes
telles que chacune est formée de trois élèves de 13 ans et de deux élèves de 14 ans. Combien d’équipes peuvent être formées ?
24/3 = 8 ; 16/2 = 8
On peut former 8 équipes.
b
R
I
T
N
R
Chaque lettre est la troisième d’un mois. Trouvez le mois qui devrait logiquement suivre.
Les mois de : 4, 7, 10, 1, 4
progressent de 3 en 3.
Le mois suivant est juillet (7).
c
Manuelle dispose 69 fleurs en six rangées. Elle les plante de façon à ce qu’il y ait trois fleurs de plus d’une
rangée à l’autre. Combien y a-t-il de fleurs dans la première rangée ?
Je suis une figure géométrique dont les lettres sont données. Dans les cases rouges, les lettres sont dans la bonne
position. Qui suis-je ?
Je suis un cylindre.
11. Triangle dans un cercle
Enoncé
Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle de rayon 2 cm.
Entre le triangle et le cercle, on peut placer trois petits cercles tangents au cercle et au triangle.
Quelle est le diamètre de ces petits cercles ?
Résolution
La hauteur du triangle équilatéral vaut les 3/4 du diamètre du cercle circonscrit, donc 3 cm.
Le diamètre du petit cercle vaut : 4 - 3 = 1 cm.
Résultat
Le diamètre des petits cercles est de 1 cm.
12. Cercles inscrit et circonscrit d'un hexagone
Enoncé
On considère les cercles inscrit et circonscrit d’un hexagone, dont le coté vaut 2 cm.
Quelle est la surface entre ces deux cercles ?
Résolution
Ri, le rayon du cercle inscrit est la hauteur du triangle équilatéral de côté = 2 cm
Ri = racine(3)
Rc, le rayon du cercle cironscrit est le côté du triangle équilatéral
Rc = 2 cm
Aire du cercle inscrit
π(racine(3))2 = 3π
Aire du cercle circonscrit
π22 = 4π
Différence des aires
4π - 3π = π
Résultat
La surface entre les deux cercles vaut π cm2
13. Un triangle très spécial
Enoncé
Je ne suis pas un triangle isocèle, mais si vous tracez la médiane et la hauteur issue de mon sommet nord, l’angle entre cette médiane et
mon coté ouest est égale à l’angle entre cette hauteur et mon coté est.
Quelle est ma caractéristique principale ?
Résolution
Solution 301, énigmes 171.
Une construction géométrique permet de démontrer que les points A, D, M et C appartiennent à un même cercle.
En plus de la hauteur AH et de la médiane AM on trace la médiatrice MD. Il y a quatre angles égaux : BDM, BAH, MDC et MAC ce dernier étant moins
évident. La demande est BAM = HAC. A chacun on peut ajouter MAH et on obtient effectivement BAH et MAC.
Les deux angles égaux MDC et MAC sont sous-tendus par le même segment MC. Cela implique que les quatre points M, D, A et C sont sur le même
cercle.
DMC étant un angle droit, DC est le diamètre du cercle, et du coup DAC ou BAC est droit. BAC est bien un triangle rectangle.
Quelques relations peuvent aider à construire la figure.
Avec
BD = DC = a
BM = MC = b
MH = c
AH = h
On a
BH = b + c
HC = b - c
BA = BD.BH/BM = a(b + c)/b
BC = BD.BA/BM
2b = a2(b + c)/b2
2b3 = a2(b + c)
c = (2b3 - a2b)/a2
DM = d = racine(BD2 - BM2) = racine(a2 - b2)
AH = DM.BH/BM
h = d(b + c)/b
AC = DM.BC/BD
AC = 2bd/a
Application numérique
a
b
c
d
h
BA
AC
5
4
1,12
3
3,84
6,4
4,8
Résultat
Il s'agit d'un triangle rectangle.
14. Il était une fois un joli triangle
Enoncé
Il était une fois un triangle ABC dont l’angle C valait 30° de plus que l’angle B.
Soit D sur AB tel que AD = AC
Quel est donc l’angle BCD ?
Résolution
C'était pourtant bien simple ! Le pire, c'est que je l'ai trouvée cette valeur de 15°, mais pourquoi ai-je cherché autre chose ?
Solution 301, énigmes 108.
On a donc un angle B en ABC, un angle C1 en BCD (à déterminer), et un angle C2 en DCA
CDB vaut 180 - B - C1 ; CDA vaut 180 - CDB = B + C1 = ACD
ACB = DCB + DCA = C1 + B + C1 = B + 2C1 = B + 30 ; 2C1 = 30 ; C1 = 15
Résultat
L'angle BCD vaut 15°.
15. Egalité de surface
Enoncé
Trois carrés sont positionnés comme le montre la figure.
Est-ce que les aires des deux triangles coloriés sont égales ?
Résolution
Il y a beaucoup d'homothéties dans cette figure, et donc les dimensions a et b des côtés des deux carrés principaux se retrouvent à de
multiples endroits.
La base du triangle de droite vaut a et la hauteur b. L'aire est ab/2
La base du triangle de gauche vaut b et la hauteur a. L'aire est ba/2
Résultat
Les aires des triangles coloriés sont parfaitement égales.