805, Récréations géométriques, le 6 décembre 2021

01. Trait de Zacharie

Enoncé

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Zacharie a dessiné la figure ci-contre tout d’un trait.

Reproduisez cette figure sans passer deux fois sur une même ligne et sans lever le crayon.

Vous pouvez passer plus d'une fois sur un même point d'intersection.

Résolution

Il y a deux points dont le nombre de liaisons est impair, ce sont les points f et g. On doit donc partir d'un de ces points.
Un chemin possible est : f d g i f e b a e j k h l k b c h g.

02. Amélie voyage

Enoncé

Amélie a dessiné la figure ci-dessous sur le plancher de sa chambre. Chacun des segments reliés par deux points d’intersection mesure 1 ou 2 mètres. (Amélie a fait une marque quand le segment mesure 2 mètres). Depuis plusieurs jours, elle essaie de parcourir toutes les lignes de cette figure avec une petite auto en passant une seule fois sur un même segment. Elle n’y parvient pas.

Combien mesure le chemin le plus long que pourrait parcourir l’auto d’Amélie sans devoir s’arrêter ?

Résolution

Il y a en effet 6 points dont le nombre de segments égale 3. 6 étant suprieur à 2, il n'est pas possible de parcourir toute la figure sans passer deux fois sur un même segment.
Le chemin le plus long qu'on peut parcourir est indiqué sur la 2ème figure. Il mesure 2(4 + 3) + 7 = 21 mètres.

Résultat

Le chemin le plus long mesure 21 mètres.

03. Urbanisme en retard

Enoncé

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Dans un village où on ne connaît pas encore les plans d’urbanisme, 10 maisons sont parsemées dans un quadrilatère d’un kilomètre carré. Comme on a beaucoup le sens de la communication, chaque maison est reliée à chacune des autres par une route personnelle. Voici l’illustration lorsqu’il y avait cinq maisons :

Combien y a-t-il de routes personnelles dans ce village ?

Résolution

De la maison n° 1 il part 9 routes vers chacune des 9 autres maisons.
De la maison n° 2, la liaison 1 vers 2 étant déjà comptée, il y a 8 routes vers les maisons n° 3 à 10.
De même, on doit compter 7 routes pour la maison n° 3, 6 pour la 4 ... et 1 pour la 9 vers la 10.
En définitive le nombre de routes est égal à : 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (9 x 10)/2 = 45.

Résultat

Il y a 45 routes personnelles dans ce village.

04. Parc forestier

Enoncé

La longueur d'un parc forestier est de dix kilomètres et sa largeur est de six kilomètres. Le conseil d'administration a décidé de partager le parc en quatre parties rectangulaires, chaque côté étant exprimé par un nombre entier de kilomètres. La superficie de trois parties est respectivement de 8, 16 et 30 kilomètres carrés.

Partagez le parc.

Résolution

La quatrième partie fait 6 x 10 - 8 - 16 - 30 = 6, soit 1 x 6 ou 2 x 3.
On peut découper 8 km2 en faisant : 1 x 8 = 2 x 4 = 8 .
On peut obtenir 16 avec 2 x 8 = 4 x 4 = 16. (1 x 16 ne convient pas car 16 est > à 10).
30 est obtenu avec 3 x 10 = 30. (1 x 30 et 2 x 15 ne conviennent pas).

05. Jade jardine

Enoncé

Jade a un potager qui mesure sept mètres de largeur. Elle ignore sa longueur. Elle couvre presque totalement son potager par 12 parcelles rectangulaires mesurant 2 × 3 mètres.

Quelle est la longueur minimale du potager de Jade ?

Résolution

On doit obtenir 12 parcelles de 6 m2, donc une surface totale de 6 x 12 = 72 m2.
La longueur minimum à utiliser est 72/7 = 10,3, donc au moins 11 mètres.
On range assez facilement les 12 parcelles dan une longueur de 12 mètres, mais on peut aussi le faire dans une longieur de 11 mètres.

Résultat

La longieur minimale du potager de Jade est 11 mètres.

06. Cible de Laurette

Enoncé

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Laurette lance des fléchettes sur cette cible. Si elle atteint le centre, elle gagne trois points. Si elle atteint la couronne, elle gagne un point. Si elle atteint l’extérieur de la couronne, elle perd deux points.
Après 60 lancers, elle a atteint la couronne 10 fois de plus que l’extérieur. Son score est alors de 27 points.

Combien de fois Laurette a-t-elle atteint le centre ?

Résolution

Avec x Le nombre de lancers au centre y Le nombre de lancers dans la couronne
A l'extérieur il y a y - 10 lancers
Nombre de lancers x + y + y - 10 = 60 x + 2y = 70 x = 70 - 2y
Nombre de points 3x + y - 2(y - 10) = 27 3x - y = 7 210 - 6y - y = 7 7y = 203
y = 29 x = 70 - 58 = 12

Résultat

Laurette a atteint 12 fois le centre.

07. Jetons de Miguel

Enoncé

40 60 80 100

Miguel prend quatre jetons marqués 40, 60, 80 et 100. Il calcule 15 % d’un de ces nombres, 20 % d’un autre de ces nombres, 25 % d’un autre et 30 % du nombre restant. Il additionne les quatre résultats et obtient 60.

Quelles sont les opérations effectuées par Miguel ?

Résolution

Table des pourcentages et les différentes sommes.

Facteur 0,15 0,2 0,25 0,3
40 6 8 10 12 6 6 6 6 6 6 8 8 10 12 10 12 8 8 10 12 10 12 8 8 10 12 10 12
60 9 12 15 18 12 12 15 18 15 18 9 9 9 9 9 9 15 12 12 12 18 15 15 18 12 12 18 15
80 12 16 20 24 20 24 16 16 24 20 20 24 16 16 24 20 12 12 12 12 12 12 24 20 24 20 16 16
100 15 20 25 30 30 25 30 25 20 20 30 25 30 25 20 20 30 25 30 25 20 20 15 15 15 15 15 15
Somme 68 67 67 65 65 64 67 66 65 62 63 61 65 57 64 61 60 59 62 61 61 59 59 58

Résultat

Les opérations effectuées par Miguel sont : 40 x 0,25 + 60 x 0,3 + 80 x 0,15 + 100 x 0,2

08. Les billes

Enoncé

On dispose de 7 boites numérotées de 1 à 7 et d’un grand nombre de billes. On place les billes dans les boites en commençant par la boite 1 que l’on remplit, puis on passe à la boite 2, etc. jusqu'à la boite 7 . Chaque boite peut contenir exactement une bille de plus que la précédente.
On sait que la bille 26 à été mise dans la boite 3 et la bille 55 dans la boite 6.

Combien de billes contient la boite 7 ?

Résolution

Avec x le nombre de billes dans la boîte n° 1

n° de la boîte 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
Nombre de billes x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 8 9 10 11 12 13 14
n° de la première bille 1 x + 1 2x + 2 3x + 4 4x + 7 5x + 11 6x + 16 1 9 18 28 39 51 64
n° de la dernière bille x 2x + 1 3x + 3 4x + 6 5x + 10 6x + 15 7x + 21 8 17 27 38 50 63 77
La bille n° 26 est dans la boîte 3 2x + 2 <= 26 26 <= 3x + 3
x <= 12 x < 13 x >= 23/3 = 7,67 x > 7
La bille n° 55 est dans la boîte 6 5x + 11 <= 55 55 <= 6x + 15
x <= 44/5 = 8,8 x < 9 x >= 40/6 = 6,67 x > 6 x = 8
Avec x = 8 La boite n° 7 contient x + 6 = 8 + 6 = 14 billes .

Résultat

La boîte n° 7 contient 14 billes.

09. Hauteurs du triangle

Enoncé

Les cotés d’un triangle mesurent 15, 20 et 25 cm.

Quelles sont les longueurs de ses hauteurs ?

Résolution

Il s'agit du triangle rectangle des maçons : 3, 4, 5. En effet, l'hypotènuse 5 est la racine de la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
9 + 16 = 25. On a donc deux hauteurs sur les côtés de l'angle droit et la troisème hauteur forme un triangle homothétique.
Elle vaut les 15/25 de 20 = 12.

Résultat

Les trois hauteurs mesurent : 12, 15 et 20 cm.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Marjolaine a 40 élèves dans sa classe : 24 élèves de 13 ans et 16 élèves de 14 ans. Elle constitue des équipes telles que chacune est formée de trois élèves de 13 ans et de deux élèves de 14 ans. Combien d’équipes peuvent être formées ? 24/3 = 8 ; 16/2 = 8 On peut former 8 équipes.
b
R I T N R
Chaque lettre est la troisième d’un mois. Trouvez le mois qui devrait logiquement suivre.
Les mois de : 4, 7, 10, 1, 4
progressent de 3 en 3.
Le mois suivant est juillet (7).
c Manuelle dispose 69 fleurs en six rangées. Elle les plante de façon à ce qu’il y ait trois fleurs de plus d’une rangée à l’autre. Combien y a-t-il de fleurs dans la première rangée ? 69/6 - 1,5 - 3 - 3 = 4
4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 69
Il y a 4 fleurs dans le 1ère rangée.
d
E N L Y C D I R
Je suis une figure géométrique dont les lettres sont données. Dans les cases rouges, les lettres sont dans la bonne position.
Qui suis-je ?
Je suis un cylindre.

11. Triangle dans un cercle

Enoncé

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Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle de rayon 2 cm.
Entre le triangle et le cercle, on peut placer trois petits cercles tangents au cercle et au triangle.

Quelle est le diamètre de ces petits cercles ?

Résolution

La hauteur du triangle équilatéral vaut les 3/4 du diamètre du cercle circonscrit, donc 3 cm.
Le diamètre du petit cercle vaut : 4 - 3 = 1 cm.

Résultat

Le diamètre des petits cercles est de 1 cm.

12. Cercles inscrit et circonscrit d'un hexagone

Enoncé

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On considère les cercles inscrit et circonscrit d’un hexagone, dont le coté vaut 2 cm.

Quelle est la surface entre ces deux cercles ?

Résolution

Ri, le rayon du cercle inscrit est la hauteur du triangle équilatéral de côté = 2 cm Ri = racine(3)
Rc, le rayon du cercle cironscrit est le côté du triangle équilatéral Rc = 2 cm
Aire du cercle inscrit π(racine(3))2 = 3π
Aire du cercle circonscrit π22 = 4π
Différence des aires 4π - 3π = π

Résultat

La surface entre les deux cercles vaut π cm2

13. Un triangle très spécial

Enoncé

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Je ne suis pas un triangle isocèle, mais si vous tracez la médiane et la hauteur issue de mon sommet nord, l’angle entre cette médiane et mon coté ouest est égale à l’angle entre cette hauteur et mon coté est.

Quelle est ma caractéristique principale ?

Résolution

Solution 301, énigmes 171.
Une construction géométrique permet de démontrer que les points A, D, M et C appartiennent à un même cercle.
En plus de la hauteur AH et de la médiane AM on trace la médiatrice MD. Il y a quatre angles égaux : BDM, BAH, MDC et MAC ce dernier étant moins évident.
La demande est BAM = HAC. A chacun on peut ajouter MAH et on obtient effectivement BAH et MAC.
Les deux angles égaux MDC et MAC sont sous-tendus par le même segment MC. Cela implique que les quatre points M, D, A et C sont sur le même cercle.
DMC étant un angle droit, DC est le diamètre du cercle, et du coup DAC ou BAC est droit. BAC est bien un triangle rectangle. Quelques relations peuvent aider à construire la figure.

AH = DM.BH/BM
Avec BD = DC = a BM = MC = b MH = c AH = h
On a BH = b + c HC = b - c BA = BD.BH/BM = a(b + c)/b
BC = BD.BA/BM 2b = a2(b + c)/b2 2b3 = a2(b + c) c = (2b3 - a2b)/a2
DM = d = racine(BD2 - BM2) = racine(a2 - b2) h = d(b + c)/b
AC = DM.BC/BD AC = 2bd/a
Application numérique
a b c d h BA AC
5 4 1,12 3 3,84 6,4 4,8

Résultat

Il s'agit d'un triangle rectangle.

14. Il était une fois un joli triangle

Enoncé

Il était une fois un triangle ABC dont l’angle C valait 30° de plus que l’angle B.
Soit D sur AB tel que AD = AC

Quel est donc l’angle BCD ?

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Résolution

C'était pourtant bien simple ! Le pire, c'est que je l'ai trouvée cette valeur de 15°, mais pourquoi ai-je cherché autre chose ?
Solution 301, énigmes 108.
On a donc un angle B en ABC, un angle C1 en BCD (à déterminer), et un angle C2 en DCA
CDB vaut 180 - B - C1 ; CDA vaut 180 - CDB = B + C1 = ACD
ACB = DCB + DCA = C1 + B + C1 = B + 2C1 = B + 30 ; 2C1 = 30 ; C1 = 15

Résultat

L'angle BCD vaut 15°.

15. Egalité de surface

Enoncé

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Trois carrés sont positionnés comme le montre la figure.

Est-ce que les aires des deux triangles coloriés sont égales ?

Résolution

Il y a beaucoup d'homothéties dans cette figure, et donc les dimensions a et b des côtés des deux carrés principaux se retrouvent à de multiples endroits.
La base du triangle de droite vaut a et la hauteur b. L'aire est ab/2
La base du triangle de gauche vaut b et la hauteur a. L'aire est ba/2

Résultat

Les aires des triangles coloriés sont parfaitement égales.