802, Récréations bis, le 11 octobre 2021

01. Tableau de Côme

Enoncé

7 4 7
a b c
5 d e

Côme a écrit au hasard quatre nombres dans le tableau ci-contre. Sa sœur examine attentivement le tableau et lui dit :

Trouvez les cinq nombres qui manquent.

7 4 7
6 6 6
5 8 5

Calcul

La somme doit être partout : 7 + 4 + 7 = 18
a = 18 - 7 - 5 = 6 ; b = 18 - 7 - 5 = 6 ; c = 18 - 6 - 6 = 6 ; d = 18 - 4 - 6 = 8 ; e = 18 - 7 - 6 = 5

Résultat

Voir la solution à droite.

02. Pommes de Zénon

Enoncé

Zénon a numéroté 14 pommes, soit deux fois les numéros de 1 à 7. Il place les 14 pommes en ligne devant lui.

  1. Une pomme 4 n’est pas en quatrième position.
  2. Une pomme 5 est en cinquième position.
  3. Une pomme 3 est en troisième position.
  4. Une pomme 7 est en sixième position.
  5. Entre deux pommes 1, il doit y avoir une pomme. Entre deux 2, il doit y avoir deux pommes. Entre deux 3, il doit y avoir trois pommes et ainsi de suite.

Dans quel ordre sont les 14 pommes ?

Calcul

Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Première lecture 3 Pas 4 5 7
Deuxièmes pommes 3, 5 et 7 3 5 7
Les deux pommes 2 2 2
Les deux pommes 4 4 4
Les deux pommes 1 1 1
Les deux pommes 6 6 6
Résultat 2 6 3 2 5 7 3 4 6 1 5 1 4 7

03. Poètes du Québec

Enoncé

Trois écrivains québécois : Alfred Desrochers, Louis Fréchette, Émile Nelligan ont marqué la littérature du Québec.

  1. Émile Nelligan est décédé à l'âge de 62 ans.
  2. Louis Fréchette est né 40 ans avant Émile Nelligan.
  3. Alfred Desrochers a vécu huit ans de plus que Louis Fréchette.
  4. Émile Nelligan est décédé 37 ans avant Alfred Desrochers.
  5. Louis Fréchette est décédé 29 ans après la naissance de Nelligan.
  6. Louis Fréchette est né en 1839.

Découvrez l'année de la naissance et du décès de chacun de ces écrivains québécois.

Calcul

Avec Dn Dd Fn Fd Nn Nd
Date de naissance décès naissance décès naissance décès
de Alfred Desrochers Louis Fréchette Emile Nelligan
6 Fn = 1839
2 Fn = Nn - 40 Nn = 1839 + 40 Nn = 1879
5 Fd - Nn = 29 Fd = Nn + 29
1 Nd = Nn + 62
a ; 5 et 1 Nn = Fd - 29 = Nd - 62 Nd - Fd = 62 - 29 = 33 Fd = Nd - 33
4 Dd - Nd = 37 Dd = Nd + 37
b ; a et 4 Dd - Fd = Nd + 37 - Nd + 33 Dd - Fd = 70
3 Dd - Dn = Fd - Fn + 8 Fd + Dn - Dd = 1839 - 8 = 1831 Dn = 1831 + Dd - Fd
3 et b Dn = 1831 + 70 = 1901 Dn = 1901
Fd = 1879 + 29 = 1908 Nd = 1879 + 62 = 1941 Dd = 1908 + 70 = 1978

Résultat

Ecrivain Alfred Desrochers Louis Fréchette Emile Nelligan
Année de naissance 1901 1839 1879
Année de décès 1978 1908 1941
Âge au décès 77 69 62

04. Code à 4 chiffres

Enoncé

Le 1er chiffre est 2 fois plus grand que le 2ème.
La somme des 4 chiffres fait 14.
Le 3ème chiffre est 3 fois plus grand que le 4ème.

Quel est le code ?

Calcul

Avec le 2ème chiffre égal à b et le 4ème égal à d,
La somme des chiffres est : 2b + b + 3d + d = 3b + 4d = 14       d = (14 - 3b)/4
14 - 3b doit être un multiple de 4 ; Avec b = 0 ou 1 (non) ; Avec b = 3 ou 4 (non) ; Avec b > 4 (négatif) ; Seul b = 2 convient.
Avec b = 2 ; d = (14 - 6)/4 = 2 ; Le code est : 4262

Résultat

Le code est : 4262.

05. Code à 3 chiffres

Enoncé

123 : Rien n’est bon.
612 : Un chiffre est bon et mal placé.
456 : Un chiffre est bon et mal placé.
158 : Un chiffre est bon et bien placé, un chiffre est bon et mal placé.
834 : Un chiffre est bon.

Quel est le code ?

Calcul

123, rien n'est bon, on doit retirer tous les chiffres 1, 2 et 3
Dans 612, après retrait des 1 et 2, il reste le 6 qui est soit en 2, soit en 3ème position.
Dans 456, il y a un 6 en 3ème position, et mal placé. Donc 6 est en 2. Du coup, on retire les 4 et les 5
Dans 834, il reste le 8 mal placé.
Dans 158, il ne reste que le 8 qui a une double casquette. Il est à la fois bien placé en 3, et aussi mal placé pour la position 1.

Résultat

Le code est : 868.

06. Qui dit la vérité ? Qui ment ?

Enoncé

André, Benjamin, Céline et Delphine forment un groupe de 4 amis. Certains sont honnêtes et disent toujours la vérité. Les autres mentent toujours.

André déclare : " Un de nous quatre au moins est honnête ".
Benjamin déclare : " Au moins deux d'entre nous sont honnêtes ".
Céline déclare : " Il y a exactement deux menteurs parmi nous ".
Delphine déclare : " Il y a au moins un menteur parmi nous ".

Qui ment ? Qui dit la vérité ?

Calcul

Si Delphine était menteuse, en disant qu'il y a au moins un menteur, cela voudrait dire qu'il n'y a pas de menteur. C'est incompatible.
Delphine dit vrai. Et comme André déclare qu'un au moins est honnête, il dit vrai. On a déjà 2 amis qui disent vrai.
Donc Benjamin dit vrai. On arrive à trois amis qui disent vrai.
Et donc finalement Céline ment.

Résultat

Il y a une menteuse : Céline, les autres amis disent tous vrai.

07. Le plus grand nombre pair

Enoncé

En barrant 5 chiffres, obtenir le plus grand nombre pair possible.
En barrant 5 chiffres, obtenir le plus petit nombre impair possible.
5078210652

Calcul

Est-ce que je peux démarrer à 8 ? Oui. Est-ce que je peux sauter à 6 ? Oui. Il reste 82652.
Je doit terminer avec 5. Si je prends les 2 zéros, je n'ai plus assez de chiffres. Je peux en prendre 1, puis sauter à 1. Il reste 01065.

Résultat

Le plus grand nombre pair : 82652. Le plus petit impair : 01065.

08. Balayage diagonal du carré

Enoncé

x
11
10 12 19
4 9 13 18
3 5 8 14 17
1 2 6 7 15 16

On dessine un grand carré, que l’on divise en carrés plus petits. Puis on écrit les entiers successifs dans chaque petit carré comme indiqué sur la figure ci-contre (en suivant l'ordre croissant).

Parmi les valeurs proposées, quelle est celle que le nombre x ne peut pas prendre ? A) 128 ; B) 256 ; C) 81 ; D) 121 ; E) 400

Calcul

Avec un carré de côté n, la valeur de x est n2. x est un carré. Parmi 128, 256, 81, 121, et 400 seul 128 n'est pas un carré.

Résultat

x ne peut pas prendre la valeur 128.

09. Bolumbo - Kotumba

Enoncé

Chaque jour, à midi, un Dakota quitte l'aéroport de Bolumbo pour celui de Kotumba. Chaque jour, à midi, un autre Dakota quitte l'aéroport de Kotumba pour celui de Bolumbo. Comme la météorologie locale est très calme et qu'il n'y a pas de vent, les deux avions se croisent à mi-distance de Kotumba et de Bolumbo. On prévoit maintenant de remplacer un des deux Dakota par un DC 4, qui vole une fois et demie plus vite. En décollant toujours à midi, l'avion de Kotumba et celui de Bolumbo se croiseront à 70 km du lieu où ils se croisent aujourd'hui.

Pouvez-vous en déduire la distance entre Bolumbo et Kotumba ?

Calcul

Avec 2d La distance entre Bolumbo et Kotumba
Distance parcourue par le Dakota d - 70 Temps à la vitesse 1 d - 70
Distance parcourue par le DC4 d + 70 Temps à la vitesse 1,5 2d/3 + 140/3
Les temps sont égaux 3d - 210 = 2d + 140 d = 350

Résultat

La distance entre Bolumbo et Kotumba est : 700 km.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Je suis un nombre inférieur à 100 qui a une seule voyelle. Je n’ai pas de N ni de I. Qui suis-je ? Sept remplit les conditions.
b Insérez des signes +, –, * ou / entre les chiffres pour que le résultat soit 7.
2 3 4 5
2 * 3 - 4 + 5
c Trouvez les nombres qui utilisent ces trois mots : QUATRE, QUARANTE, MILLE. 4 040 et 40 004.
Il y en a encore 2 autres :
1 044 et 44 000.
d Mélodie a écrit l’égalité suivante. Les deux nombres manquants sont identiques. Trouvez le nombre doublement manquant.
(꙱ + 8)/(13 - ꙱) = 6
x + 8 = 78 - 6x x = 10

11. Match de football

Enoncé

Cinq amis assistent régulièrement à des matchs de football. Lors du premier match de la saison, ils ont occupé les sièges dans cet ordre :

Lysanne Magalie Nestor Odile Pierre-Luc

Par la suite, ils ont toujours occupé les cinq mêmes sièges dans des positions différentes.
Mais comme, dans la première partie, leur équipe a subi un revers dramatique, ils ont décidé que, lors des matchs suivants, chacun n’occuperait plus la place prise lors du premier match.
Par exemple, Lysanne n’occupera plus jamais le siège de l'extrémité.

À combien de matchs les amis ont-ils assisté (à l’exclusion du premier), s’ils ont pris toutes les positions possibles ?

Généraliser à n amis.

Calcul

Avec n le nombre d'amis, et S le nombre de solutions,

Résultat général, global

Les matheux de haut niveau, dont je ne fais pas partie, en passant par la formule du crible, l'hérédité, les permutations sans point fixe, le principe de récurrence, aboutissent à la formule :      S = ∑ pour k de 0 à n de (-1)kn!/k!
Ainsi : avec n = 5,      5! = 120      S(5) = 120 - 120 + 120/2 - 120/6 + 120/24 - 120/120 = 60 - 20 + 5 - 1 = 44.

A remarquer que cette formule fonctionne même avec n = 1.

Exploration MR

On sait qu'il y a n! façon d'arranger n objets. Dans la liste il y a beaucoup d'arrangements pour lesquels un ami donné se retrouve à la place qu'il occupait le premier jour. Ces arrangements doivent être retirés. Mais il y a aussi des répétitions ... Les différents comptages et corrections aboutissent à un calcul en quatre étapes :
1 - Calcul d'un tableau de termes T - 2 - Calcul d'un tableau de facteurs F - 3 - Calcul d'un tableau du produit FT - 3 - Calcul de S.

1 - Termes
T(n,1) = (n - 2)! - 1
T(n,j) = T(n,j-1) - T(n-1,j-1)
2 - Facteurs
F(n,j) = n - j
3 - Produit FT
FT(n,j) = F(n,j)*T(n,j)
4 - Solutions
S = n - 1 +
∑ FT(n,j)
j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5 j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5 j = 1 j = 2 j = 3 j = 4 j = 5
n = 1 0
n = 2 0 n = 2 1 0 n = 2 0 n = 2 1
n = 3 0 0 n = 3 2 1 0 n = 3 0 0 n = 3 2
n = 4 1 1 1 n = 4 3 2 1 0 n = 4 3 2 1 n = 4 9
n = 5 5 4 3 2 n = 5 4 3 2 1 0 n = 5 20 12 6 2 n = 5 44
n = 6 23 18 14 11 9 n = 6 5 4 3 2 1 n = 6 115 72 42 22 9 n = 6 265

il faut reconnaitre que ce n'est pas simple.

La formule de Christophe

Chistophe, notre professeur, a obtenu un résultat très simple : S(n) = (n - 1)[S(n-2) + S(n-1)]. On a donc un résultat en fonction des deux précédents, et comme les deux premiers sont faciles à calculer ...

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S 2(0 + 1) 3(1 + 2) 4(2 + 9) 5(9 + 44) 6(44 + 265) 7(265 + 1 854) 8(1 854 + 14 833) 9(14 833 + 133 496)
S 0 1 2 9 44 265 1 854 14 833 133 496 1 334 961

Recherche des éléments de la formule de Christophe

Pour la démonstration, voir le corrigé de Christophe. Ici, on va juste essayer de sentir d'où viennent les éléments de cette formule. La démarche est d'établir les listes des solutions, de trier, et de faire le lien avec les solutions précédentes.

S(1), S(2), S(3) et S(4), les solutions pour n = 1, 2, 3, 4.

n = 1 Le joueur "a", tout seul, ne peut pas occuper une autre place. S(1) = 0
n = 2 Deux joueurs "ab" ne peuvent faire que : ba S(2) = 1
n = 3 Trois joueurs "abc", peuvent faire : bca et cab S(3) = 2
n = 4 Quatre joueurs "abcd", peuvent faire : badc, bcda, bdac, cadb, cdab, cdba, dabc, dcab, dcba S(4) = 9

Examen de la liste des solutions pour n = 4

Dans cette liste il faut séparer trois groupes suivant le joueur qui occupe la place n° 1, et à l'intérieur de chaque groupe il faut distinguer deux catégories de solutions.
Il y a un cas particulier où on a conjointement en position 1, un joueur x qui occupait initialement la place n° p, et en position p, le joueur a qui occupait initialement la place n° 1. Ce sont les solutions sur fond rose dans le tableau suivant, dans lequel le groupe est le nom du joueur qui occupe la position n° 1.

Groupe b c d
Les solutions S(4) badc bcda bdac cadb cdab cdba dabc dcab dcba

Pour ces cas particuliers (sur fond rose), on a le joueur de la position 1 et le joueur de la position p qui sont "bloqués" mutuellement. Il reste deux joueurs à placer sur les deux positions autres que 1 ou p. on a déjà répondu à cette question lorsqu'on a cherché les solutions S(2). La réponse était S(2) = 1. Et effectivement, ici, avec n = 4, dans chacun des groupes b à d, on n'a une qu'une solution de ce cas particulier.
Pour les cas non particuliers, il n'y a qu'un joueur bloqué, celui de la position 1. La question est donc de placer 3 joueurs. On a répondi à cette question lorsqu'on a cherché S(3). On avait S(3) = 2, et effectivement ici, dans chacun des groupes on a 2 solutions correspondant aux cas non particuliers.
En définitive, pour un des trois groupes, on a S(2) + S(3) = 1 + 2 = 3 solutions. Le nombre de groupes étant n - 1 = 3, le nombre total de solutions est
S(4) = (n - 1)[S(n-2) + S(n-1)] = 3(1 + 2) = 9.

Vérification pour n = 5 avec les joueurs abcde

Groupe b badec baecd bcaed bcdea bcead bdaec bdeac bdeca beacd bedac bedca
Groupe c cabed cadeb caebd cdaeb cdbea cdeab cdeba ceabd cebad cedab cedba
Groupe d dabec daebc daecb dcaeb dcbea dceab dceba deabc deacb debac debca
Groupe e eabcd eadbc eadcb ecabd ecbad ecdab ecdba edabc edacb edbac edbca

Dans chacun des groupes on a bien 2 solutions particulières (S(3) = 2) et 9 solutions non particulières (S(4) = 9).

Dernière vérification avec n = 6, sur le 1er groupe

badcfe badefc badfce baecfd baefcd baefdc bafcde bafecd bafedc 9 = S(4)
bcaefd bcafde bcdafe bcdefa bcdfae bceafd bcefad bcefda bcfade bcfead bcfade 11 x 4
= 44
= S(5)
bdacfe bdaefc bdafce bdeafc bdecfa bdefac bdefca bdface bdfcae bdfeac bdfeca
beacfd beafcd beafdc bedafc bedcfa bedfac bedfca befacd befadc befcad befcda
bfacde bfaecd bfaedc bfdace bfdcae bfdeac bfdeca bfeacd bfeadc bfecad bfecda

12. Le jardinier et ses rosiers

Enoncé

Zig vient de planter un vaste massif de rosiers. Pour favoriser leur croissance, il s'apprête à leur apporter de l'engrais liquide (1).

Cas n° 1 ** : il dispose de 8 bouteilles d'engrais et le fournisseur vient de l'informer peu de temps après son achat que deux d'entre elles sont mal dosées et qu'une seule goutte suffit à griller les feuilles des rosiers en 24 heures. Pour déceler les bouteilles défectueuses Zig décide de faire des tests avec un maximum de 4 rosiers qu'il a identifiés et qu'il est prêt à sacrifier. Peut-il en 48 heures identifier les deux bouteilles mal dosées ?

Cas n° 2 **** : même question que ci-dessus avec 12 bouteilles d'engrais dont deux mal dosées, toujours les tests réalisés sur 4 rosiers au maximum et un laps de temps de 3 jours pour identifier ces deux bouteilles.

(1) avec l'étiquette "bio", cela va de soit ! !

Calcul

Pas trouvé la solution.

Solution transmise par le prof

En effet, le plus simple est de tester chaque bouteille séparément. Mais il faut comprendre que les quatre rosiers sacrifiés ne sont pas n'importe lesquels, ce sont des rosiers bien identifiés (en espèce ou localisation). Le principe est donc d'appliquer une goutte d'une bouteille, (exceptionnellement 2 bouteilles) sur un des quatre rosiers réservés pour les tests.

Cas n° 1 **

Bouteilles testées Résultat, conclusion Bouteilles testées Résultat, conclusion
1, 2, 3, 4 1 rosier atteint, 1 bouteille identifiée 5, 6, 7 Aucun rosier atteint. C'est la bouteille 8
1 rosier atteint, 1 bouteille identifiée
0 rosier atteint 5, 6, 7, 8 2 rosiers atteints, 2 bouteilles identifiées
2 rosiers atteints, 2 bouteilles identifiées

Cas n° 2 ****

Bouteilles testées Résultat, conclusion Bouteilles testées Résultat, conclusion Bouteilles testées Résultat, conclusion
1, 2, 3, 4 Aucun rosier atteint 5, 6, 7, 8 Aucun rosier atteint 9, 10, 11, 12 2 rosiers atteints,
2 bouteilles identifiées
1 rosier atteint,
1 rosier identifié
9, 10, 11 Aucun rosier atteint.
C'est la bouteille 12
1 rosier atteint,
1 bouteille identifiée
2 rosiers atteints,
2 bouteilles identifiées
1 rosier atteint,
1 bouteille identifiée
(5, 6) ; (7, 8) ; (9, 10) Aucun rosier atteint 11, 12 1 rosier atteint,
1 bouteille identifiée
1 rosier atteint,
celui des bouteilles
(z, t)
z, t 1 rosier atteint,
1 bouteille identifiée
2 rosiers atteints,
2 bouteilles identifiées

13. La fourmi

Enoncé

. . .

Sur une boîte paralélépipédique, suspendue par 2 coins comme indiqué (ficelles bleues), une fourmi se trouve sur la face extérieure ABCD, au point repéré en rouge (I). La fourmi veut se rendre au point jaune (J) de la face EFGH.

La boîte est parfaitement hermétique et la fourmi ne peut y pénétrer. La fourmi ne peut donc se déplacer que sur les parois extérieures de la boîte.

Quelle est la longueur minimum du trajet de la fourmi pour effectuer son déplacement ?

Calcul

En passant par les faces ABCD, EABF et EFGH, et en suivant l'axe, la longueur du trajet est : 1 + 30 + 11 = 42 cm.

On peut aussi développer les trois faces ABCD, BFGC et EFGH. Le trajet se trouve être l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont le grand côté vaut : 6 + 30 + 6 = 42 cm,
et le petit côté : 12 - 1 - 1 = 10 cm. Dans ce cas, racine de 422 + 102 = 43,17 cm.

Résultat

Le trajet le plus court est celui qui suit l'axe longitudinal. Il mesure 42 cm.

Correction

Erreur, il y a plus court, en passant par les 5 faces, DABC, AEFB, BFGC, CGHD et GFEH. L'hypotènuse du triangle rectangle de dimension 32 par 20 cm, vaut 40 cm.

14. Somme de cosinus

Enoncé

Avec les angles en degrés, Combien vaut cos(1) + cos(2) + cos(3) + ... + cos(358) + cos (359) ?

Calcul

On peut faire des couples en utilisant la relation : cos(a) = - cos(180 - a). Donc les sommes suivantes sont nulles :

a 1 2 ... 88 89 ||| 181 182 ... 268 269
b = 180 - a 179 178 92 91 -1 (359) -2 (358) -88 (272) -89 (271)
cos(a) 0,9998 0,9994 0,0349 0,0175 -0,9998 -0,9994 -0,0349 -0,0175
cos(b) -0,9998 -0,9994 -0,0349 -0,0175 0,9998 0,9994 0,0349 0,0175
cos(a) + cos(b) 0 0 0 0 0 0 0 0

Finalement, la somme cos(1) + cos(2) + cos(3) + ... cos(358) + cos(359) est égale à cos(90) + cos(180) + cos(270) = 0 - 1 + 0 = -1

Résultat

La somme des cosinus des angles de 1 à 359° (pris de 1 en 1°) vaut -1.