801, Récréations Introduction, le 28 septembre 2021

01. Au tableau

Enoncé

T R C
+ R C T
1 5 0 1

Alice a écrit l'addition suivante au tableau.
- Je t'indique, dit-elle, que le carré(C) vaut 3 ou 5 et que la valeur du triangle (T) est 2 ou 8.

Quels sont les deux nombres additionnés ?
Peut-on trouver sans l’indication sur les valeurs possibles du carré et du triangle ?

Résolution avec utilisation des indications supplémentaires

8 6 3
+ 6 3 8
1 5 0 1

Si C = 5, il faut T = 6 (non disponible). Donc C = 3, T = 8 et R = 10 - 1 - 3 = 6. On a bien 863 + 638 = 1501

Résolution sans utiliser les valeurs possibles de C et T

Sans connaître les valeurs possibles de C et T, à partir de C = 2, il y a une retenue 1 aux dizaines et aux centaines. Donc examinons d'abord les deux cas particuliers de C = 0 et C = 1.

C = 0 entraine T = 1 ; pas de retenue ; R = 10 n'est pas un chiffre.
C = 1 entraine T = 0 ; pas de retenue ; R = 9. Cela donnerait : 91 + 910 = 1001 ; addition fausse.
Pour C > 1 T = 11 - C R = 10 - 1 - C = 9 - C T + R - 1 = 15 T + R = 14 11 - C + 9 - C = 14 2C = 6 C = 3 R = 9 - 3 = 6 T = 11 - 3 = 8

La solution très simple du prof

C + T = 11 C + R = 9 T + R = 14 C + T + R = 34/2 = 17
C = C + T + R - (T + R) C = 17 - 14 C = 3
T = C + T + R - (C + R) T = 17 - 9 T = 8
R = C + T + R - (C + T) R = 17 - 11 R = 6

Résultat

Les deux nombres additionnés sont 863 et 638 ; Oui on peut trouver l'addition sans connaître les possibilités pour C et T.

02. Fruits et légumes

Enoncé

Maryse Renée Vincent
Légumes
Fruits

Maryse, Renée, et Vincent ont chacun un légume préféré : radis, navets et carottes. Ils ont aussi chacun un fruit préféré : pommes, bananes et raisins.

  1. Renée n'aime ni les navets ni les pommes.
  2. Maryse aime les navets et les radis et n'aime pas les bananes.
  3. Vincent aime les bananes et les pommes et n’aime pas les radis.
  4. La personne qui aime les raisins préfère les carottes.

Trouvez le légume et le fruit préféré de chacun.

Calcul

Maryse Renée Vincent
Légumes Radis Carottes Navets
Fruits Pommes Raisins Bananes

Les informations sont utilisées dans l'ordre 1, 2, 3, 4 et on en tire les conclusions a, b, c, d.

Maryse Renée Vincent
Légumes b : R (oui) ; 2 : N (possible), C (non) 1 : N (non) ; 4 : C (oui) 3 : R (non) ; a : N (oui)
Fruits c : P (oui) ; 2 : B (non) ; 4 : R (non) 1 : P (non) ; 4 : R (oui) 3 : R (non) ; d : B (oui)

Résultat

Voir à droite.

03. Sudoku de Sophie

Enoncé

3 6
4 3 5
6 3 5 1
3 1
1 4
6 4 2

Sophie veut remplir la grille suivante. Chaque ligne, comme chaque colonne, est formée d’entiers différents de 1 à 6. Les nombres donnés sont dans la bonne position.

Complétez la grille avec des entiers de 1 à 6.

1 2 3 4 5 6
a 3 1 6 5 4 2
b 1 4 2 6 3 5
c 6 2 3 4 5 1
d 4 3 5 1 2 6
e 2 5 1 3 6 4
f 5 6 4 2 1 3

Calcul

2 en c2 ; 4 en c4 ;
1 en a2 ; 5 en e2 ;
2 en b3 ; 5 en d3 ;
1 en b1 ; 6 en b4 ;
5 en f1 ; 2 en e1 ; 4 en d1 ;
2 en a6 ; 5 en a4 ; 4 en a5;
1 en f5 ; 2 en d5 ; 6 en e5;
6 en d6 ; 3 en e4 ; 3 en f6

04. Cahier d'images

Enoncé

Dans un cahier d’images, Lucille découpe cinq tigres et deux moutons. Elle place les animaux en ligne droite. Les deux moutons sont en sécurité s’ils sont toujours l’un à côté de l’autre. Voici une disposition :

Tigre Tigre Mouton Mouton Tigre Tigre Tigre

Un mouton peut prendre la place de l’autre, sans que ce soit une disposition différente. Il en est de même des tigres.

Combien y a-t-il de façons en tout de placer les sept animaux en ligne droite ?

Résolution

Les positions possibles des deux moutons sont : 1.2 - 2.3 - 3.4 - 4.5 - 5.6 - 6.7

Résultat

Il y a six façons de placer les nimaux.

05. Bottes de Guillaume

Enoncé

. . .

Guillaume est gérant d’un magasin de chaussures. Du mois de mars au mois de septembre, il a vendu autant de paires de bottes que le rang du mois dans l’année. Il dessine le schéma suivant et inscrit 8 dans la position donnée. Il inscrit dans les autres cases le nombre de paires vendues chaque mois sauf en août. Il doit y avoir alors 18 paires dans chaque rangée de trois cases reliées par une droite.

À quel mois correspond le nombre qu’on devra écrire dans la case marquée d’un x ?

Résolution 1

Il y a 5 façons de grouper 3 mois parmi 3 (mars) à 9 (septembre) pour avoir un total de 18 : 369, 378, 459, 468 et 567.
Le chiffre 6 apparait 3 fois : 369, 468 et 567. C'est la forme 468 qui contient aussi le 8. Donc x = 4

Résolution 2 de Christophe

Avec y pour la case du bas,
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 2y = 3 x 18 = 54 = 42 + 2y      2y = 54 - 42 = 12      y = 6      x = 18 - 6 - 8 = 4

Résultat

Dans la case x on devra écrire 4 pour le mois d'avril.

06. Colonnes de Laurie

Enoncé

8 2 1

Laurie désire remplir la grille avec chacun des nombres de 1 à 9. D’abord, elle écrit 8, 2 et 1 sur la première ligne.

Complétez cette grille pour que la somme soit 15 dans chaque colonne et que la deuxième ligne comporte uniquement des nombres impairs.

Calcul

8 2 1
3 7 5
4 6 9

Colonne de droite, pour obtenir 15 à partir de 1, on peut faire 1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8 = 15. 6 et 8 étant pairs c'est 1, 5 et 9 qui conviennent.
Pour la colonne du milieu, avec 2 et avec les chiffres restant on peut faire : 2 + 6 + 7 = 15
Colonne de gauche, il reste 8 + 3 + 4 = 15. Tous les chiffres ont été utilisés, et, une seule fois.

07. Covid

Enoncé

8 personnes sur 10 en réanimation fin aout n’étaient pas vaccinées.
Sachant que 75% des personnes étaient vaccinées à cette date, quel est le facteur de protection du vaccin ?
Si tout le monde était vacciné, combien y aurait-il de personnes en réanimation en comparaison à la situation de l’époque ?

Calcul

Pas trouvé.

Solution du prof

On utilisera les paramètres constants R et T, R étant le nombre de personnes en réanimation et T le nombre total de Français.

Population T (tous) R (en réa) Taux
Vaccinés 0,75T = 3T/4 0,2R = R/5 Tv = (4/15)(R/T) = 0,267(R/T)
Non vaccinés 0,25T = T/4 0,8R = 4R/5 Tnv = (16/5)(R/T) = 3,2(R/T)

L'efficacité du vaccin est l'amélioration du taux : Tnv/Tv = (16/5)(15/4) = 4 x 3 = 12
Le rapport Tv est le nombre de patients vaccinés en réanimation ramené à 1 habitant vacciné. Si on multiplie par T on a le nombre réél de patients en réanimation :
TvT = (4/15)(R/T)T = 4R/15.
Lorsque 75 % de la population était vaccinée il y avait R personnes en réanimation. Le factuer de diminution est R/(4R/15) = 15/4 = 3,75.

Résultat

Le facteur de protection du vaccin est 12. Avec toute la population vaccinée le nombre de personnes en réanimation est divisé par 3,75.

08. Mises partagées

Enoncé

Aline, Carmen et Gilles jouent quatre parties aux dés et mettent sur la table 1200 euros ensemble. Aline perd la première partie, Carmen la deuxième et Gilles les deux dernières. À chaque partie, le perdant verse à chacun des deux autres le montant de leur avoir (il double leur avoir). À la fin, chaque joueur possède 400 euros.

Quel était l’avoir misé par chacun au début du jeu ?

Résolution algébrique

N° de la partie Avoir des joueurs
Aline Carmen Gilles
0 (avant de jouer) a c g
1 a - c - g 2c 2g
2 2a - 2c - 2g 2c - a + c + g - 2g = 3c - a - g 4g
3 4a - 4c - 4g 6c - 2a - 2g 4g - 2a + 2c + 2g - 3c + a + g = 7g - a - c
4 8a - 8c - 8g 12c - 4a - 4g 7g - a - c - 4a + 4c + 4g - 6c + 2a + 2g = 13g - 3a - 3c
Le système d'équations à résoudre est donc :
8a - 8c - 8g = 400 12c - 4a - 4g = 400 13g - 3a - 3c = 400
Ou a - c - g = 50 3c - a - g = 100 13g - 3a - 3c = 400
a = 50 + c + g 3c - 50 - c - g - g = 100 13g - 150 - 3c - 3g - 3c = 400
2c - 2g = 150 10g - 6c = 550
c = g + 75 10g - 6g - 450 = 550 4g = 1000
g = 250
c = 325
a = 625

Vérification

Aline Carmen Gilles
Avoir initial 625 325 250
Partie 1 625 - 325 - 250 = 50 650 500
Partie 2 100 650 - 50 - 500 = 100 1000
Partie 3 200 200 1000 - 100 - 100 = 800
Partie 4 400 400 800 - 200 - 200 = 400

Résolution par retour de l'étape 4 vers l'étape 0

Sachons que, à l'étape n - 1, les 2 gagnants avaient la moitié et le perdant avait ce qu'il a plus ce qui a été distribué aux 2 autres.

Aline Carmen Gilles
Partie 4 400 400 400
Partie 3 200 200 400 + 200 + 200 = 800
Partie 2 100 100 800 + 100 + 100 = 1000
Partie 1 50 100 + 50 + 500 = 650 500
Avoir initial 50 + 325 + 250 = 625 325 250

Résultat

L'avoir initial était : 625 € pour aline, 325 € pour Carmen et 250 € pour Gilles.

09. Bas d'Ariane

Enoncé

BA/A + AS/S = 43

Mets tes bas, Ariane, on va faire un pique-nique en bas de la côte des Petits-Bas.
- Tu veux dire quoi ?
- C’est une blague. Regarde cette addition. La somme des deux fractions est égale à 43.
- Je vois.
- Chaque lettre B, A ou S représente un chiffre différent. Lorsque deux lettres sont accolées, elles forment un nombre de deux chiffres. De plus, A + S = 7 tout comme la somme des chiffres de 43.

À quel nombre correspond BAS ?

Calcul

Sachant que A + S = 7, Il y a 8 possibilités.

A 0 1 2 3 4 5 6 7
S 7 6 5 4 3 2 1 0
AS/S 7/7 = 1 16/6 25/5 = 5 34/4 43/3 52/2 = 26 61/1 = 61 73/0
Terme 1, T1 = BA/A = 43 - AS/S 42 38 17

A présent, on peut calculer B = f(A), avec A de 0 à 9 : T1 = 10B/A + A/A ; B = A(T1 - 1)/10

T1 Valeur de B en fonction de A et de T1
A = 0 A = 1 A = 2 A = 3 A = 4 A = 5 A = 6 A = 7 A = 8 A = 9
42 0 4,1 8,2 12,3 16,4 20,5 24,6 28,7 32,8 36,9
38 0 3,7 7,4 11,1 14,8 18,5 22,2 25,9 29,6 33,3
17 0 1,6 3,2 4,8 6,4 8 9,6 11,2 12,8 14,4

Résultat

La valeur de BAS est 852.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Louise a fait les opérations suivantes. En vous basant sur ces résultats, quel est le carré de
333 334 ?
34 x 34 = 1 156
334 x 334 = 111 556
3334 x 3334 = 11 115 556
Le carré d'un nombre formé de n chiffres 3 et 1 chiffre 4 est un nombre qui contient : (n + 1) chiffres 1, n chiffres 5 et 1 chiffre 6 333 3342 = 111 111 555 556
b Angélina soutient qu’en 2016, le 10 avril et le 10 juillet tombent le même jour de la semaine. Angélina a-t-elle raison ? Bissextile ou non, cela ne change pas 91 jours entre le 10/4 et le 10/7
Divisible par 7. Réponse : oui.
c À l’aide d’opérations simples, représentez 100 avec deux 1 et quatre 0, sans utiliser l’addition. 1 000/10 = 100
d Basile numérote quatre jetons : 2, 3, 4, 5. Distribuez les jetons sur les cases vides pour que le résultat soit 44.
꙱꙱/꙱ + (꙱ x 6)
42/3 + 5x6 = 44

11. Ages de Victor et Jean

Enoncé

Lorsque Victor et Jean se sont rencontrés, il y a quelques années à Paris, le jour de leur anniversaire commun, Victor avait déclaré à son (très) jeune ami Jean : "quand j'aurai 5 fois ton âge j'aurai 3 fois ton âge”.
Les années ont passé... En 2018, Victor et Jean se sont retrouvés à Nouméa le jour de leur anniversaire. Une occasion pour Victor de faire remarquer à Jean : "quand j'avais 3 fois ton âge j'avais 5 fois ton âge".

Quels sont les âges (en années entières) de Victor et Jean ?
En quelle année se sont-ils rencontrés à Paris ?

Calcul

On fixe t0 Le moment de la rencontre à Paris
t1 Le futur de la 1ère affirmation
t2 Le passé de la 2ème affirmation
t3 L'année 2018, rencontre à Nouméa
On a (1) V + t1 = 5J (2) V + t1 = 3(J + t1) (3) V + t2 = 3(J + t3) (4) V + t2 = 5(J + t2)
4 équations pour 5 inconnues. Il faudra trouver un rapport et choisir des valeurs vraisemblables.
(1) t1 = 5J - V (2) V = 3J + 2t1 = 3J + 10J - 2V (7) 3V = 13J (5) V = 13J/3
(4) t2 = (V - 5J)/4 (3) V = 3J - 3t3 - (V - 5J)/4 4V = 12J - 12t3 - V + 5J (6) 5V = 17J + 12t3
(5) et (6) 65J/3 = 51J/3 + 36t3 14J = 36t3 7J = 18t3
J est un multiple de 18. Essayons avec J = 18
t3 = 7 (7) V = 18 x 13/3 = 78 (1) t1 = 90 - 78 = 12 (4) t2 = (78 - 90)/4 = -3

Donc finalement :

Repère Passé affirmation 2 Paris Nouméa Futur affirmation 1
Année 2008 2011 2018 2023
Âge de Victor 75 78 85 90
Âge de Jean 15 18 25 30

Résultat

En 2018, à Nouméa, Victor a 78 ans et Jean en a 18. La rencontre à Paris a eu lieu en 2011.

12. Timbre poste 8.1

Enoncé

Je dois envoyer 15 lettres qui doivent être affranchies de 1 euro pour la première, de 2 euros pour la seconde, de trois euros pour la troisième, etc, et de quinze euros pour la dernière.
Sur chaque lettre, je n'ai de la place que pour mettre trois timbres au maximum, et je dispose de trois catégories de timbres différents.

Quel est le montant de chaque catégorie de timbres ?

Calcul

Premier tas de 1 € obligatoire. Sachant qu'on peut faire 15 avec 3 fois 5, on peut avoir un tas de 5 €.
Avec 1, 2 et 5 €, on ne peut pas faire 13 € avec 3 timbres. Avec 1, 3 et 5, on ne peut pas faire 12. Essayons 1, 4 et 5.

Timbrage à € 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Nb de timbres à 1 € 1 2 3 0 1 2 2 0 1 0 1 0 0 0 0
Nb de timbres à 4 € 0 0 0 1 1 1 0 2 2 0 0 3 2 1 0
Nb de timbres à 5 € 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 2 0 1 2 3
Total 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Résultat

Les catégories de timbres sont : 1, 4 et 5 €uros.

13. Dés tétraèdriques

Enoncé

Quatre dés tétraédriques identiques et réguliers ont, sur chaque face, un chiffre différent pris parmi 2, 0, 1 et 7. Si on jette les quatre dés, quelle est la probabilité de pouvoir composer le nombre 2017 en utilisant, sur chacun des quatre dés, un des trois chiffres visibles ?

Calcul

Une fois sur quatre le 1er dé cachera le 2 dessous. On a donc 3 chances sur 4 de gagner. Idem pour les trois autres chiffres.
Sur l'ensemble des quatre dés les chances de voir 2017 au-dessus sont de 0,754 = 81/256 = 0,316

Résultat

La probabilité est exactement de 81/256, c'est à dire approximativement 0,316.

14. Intersection de droites

Enoncé

50 droites L1 , L2 , L3 , … , L50 sont tracées dans le plan. Les 25 droites L51 , L52 , L53 , … , L75 sont parallèles. Les 25 droites L76 , L77 , L78 , … , L100 sont concourantes.

Quel est le nombre maximum de points d’intersection de ces 100 droites ?

Calcul

Si toutes les droites étaient concourantes on aurait : 99 + 98 + . . . + 1 = 99.100/2 = 4950 intersections.
Si les 25 parallèles se rencontraient, il y aurait : 24 + 23 + . . . + 1 = 24.25/2 = 300 intersections.
Le nombre maximum d'intersections, si aucune des 75 n'est parallèle, est 4950 - 300 = 4650.

Résultat

Il y a 4650 intersections au maximum.

Correction du prof

Mal lu l'énoncé : les 25 dernières droites sont concourantes en un seul point. Donc :
Pour les 50 premières droites quelconques : 49 x 50/2 = 1225 points d'intersection.
Les 25 parallèles ne se coupent pas, mais elles rencontrent chacune 50 autres droites : 50 x 25 = 1250
Les 25 concourantes en un point, se coupent en 1 point plus chacune avec les 75 autres : 1 + 25 x 75 = 1876
1225 + 1250 + 1876 = 4351

Résultat corrigé

Il y a 4351 intersections au maximum.