716

01. Omer en mer

Enoncé

		M	E	R
+		E	R	M
+		R	M	E
=	P	A	I	X

		8	4	7
+		4	7	8
+		7	8	4
=	2	1	0	9

Omer a écrit l'addition ci-contre dans laquelle chaque lettre est mise pour un chiffre différent.
M est supérieur de 6 à P ; E est la moitié de M.

Quel est le nombre qui correspond à PAIX ?

Calcul

M = 6 + P = 2E	M = 2E	E = P/2 + 3
100(M + E + R) + 10(E + R + M)+ R + M + E = 1000P + 100A + 10I + X = 111(M + E + R) = 111(3E + R)
P vaut 1 ou 2	Mais comme E = P/2 + 3,	P = 2	E = 4
Chiffres restants : 1, 3, 5, 6, 7, 9, 0	MER = 847	Paix = 2109

Résultat

Nombre correspondant à PAIX : 2109

02. Produit d'Alice

Enoncé

		A	A	B
x			B	C
		D	E	A
	F	F	E
=	G	H	D	A

		2	2	3
x			3	4
		8	9	2
	6	6	9
=	7	5	8	2

Alice fait une multiplication. Chaque lettre représente un chiffre différent. Voir à droite ce qu’elle a écrit :
Alice m’a informé de ceci :

A = 2, 6 ou 9

B = 3, 5 ou 7

C = 2, 4 ou 8

Trouvez la valeur de GDHA.

Calcul

Avec A = 9 et B = 3, 5 ou 7, non.
Avec A = 9 et B = 3, 5 ou 7, non.
Avec A = 2 et B = 5 ou 7, non
Avec A = 2, B = 3 et C = 4, ça marche.

Résultat

GDHA = 7852. Mais GHDA = 7582.

03. Poires de Gildas

Enoncé

Gildas a vendu des caisses de poires 60 florins chacune ; puis il a acheté une caisse de pamplemousses. Il lui reste 1200 florins. S’il avait vendu ses caisses de poires 50 florins chacune et acheté une caisse de pamplemousses au demi prix, il lui resterait 1060 florins.

Combien coûte une caisse de pamplemousses ?

Calcul

Avec	x	Le nombre de poires par caisse.
Avec	P	Le prix d'une caisse de pamplemousses.
60x - P = 1200	50x - P/2 = 1060	100x - P = 2120	40x = 920	x = 23
P = 60x - 1200	P = 1380 - 1200	P = 180

Résultat

La caisse de pamplemousses coûte 180 florins.

04. Féderer contre Nadal

Enoncé

Lors du dernier match de tennis entre Federer et Nadal, j'ai remarqué que :
la différence du nombre des jeux que Nadal a gagné sur son service et du nombre de ceux qu'il a gagné sur le service de Federer est supérieure à la différence entre le nombre de jeux que Federer a gagné sur son service et celui de ceux qu'il a gagné sur le service de Nadal.

Mais qui a donc servi au premier jeu du premier set ?

Calcul

Au tennis, le service est donné alternativement par l'un ou l'autre joueur.
Le nombre de services de Nadal est N avec Ng gagnés et Np perdus.	N = Ng + Np
Le nombre de services de Federer est F avec Fg gagnés et Fp perdus.	F = Fg + Fp
Le nombre de jeux ggnés par Nadal sur le service de Federer est égal à Fp
De même, le nb de jeux gagnés par Federer sur le service de Nadal est égal à Np
La remarque est :	Ng - Fp > Fg - Np	Ng + Np > Fg + Fp	N > F

Résultat

Le premier à jouer est Nadal.

05. Chevelures

Enoncé

Un sculpteur nommé Blanc, un violoniste nommé Noir et un poète nommé Roux se rencontrent dans un café.
L'un d'eux dit:
"Mes cheveux sont noirs, les vôtres sont respectivement roux et blancs, mais aucun de nous trois n'a une couleur de cheveux correspondant à son nom."
"C'est ma foi vrai", répond Blanc.

Quelle est la couleur des cheveux du poète ?

Calcul

Nom des personnes	BLANC	NOIR	ROUX
Activité	Sculpteur	Violoniste	Poète
Couleur des cheveux	Noir ou Roux	Blanc ou Roux	Blanc ou Noir

La personne qui parle n'est pas M NOIR, elle est soit M BLANC, soit M ROUX.
M BLANC qui répond n'a pas les cheveux blancs, ni noirs. Il a les cheveux roux.
M NOIR a les cheveux blancs. C'est M ROUX qui est poète avec les cheveux noirs.

Résultat

Le poète a les cheveux noirs.

06. Albums de Marc

Enoncé

Tablette	A	B	C	D	E	F
Albums		38	26	31		36

Marc possède 200 albums de bandes dessinées. Dans sa bibliothèque, ces albums sont répartis sur six tablettes.
- Regarde ce tableau, dit-il à son ami. Tu y trouves le nombre d’albums par tablette sauf pour A et E.

Sur deux tablettes parmi les trois premières, il y a 61 albums.
Sur deux tablettes parmi les trois dernières, il y 65 albums.

Combien y a-t-il d’albums sur la tablette A et sur la E ?

Calcul

A + E = 200 - 38 - 26 - 31 - 36 = 69	A = 61 - 38 = 23 ou A = 61 - 26 = 35	E = 65 - 31 = 34 ou E = 65 - 36 = 29
23 + 34 = 57	23 + 29 = 52	35 + 34 = 69	35 + 29 = 64

Résultat

A contient 35 albums et E en contient 34.

07. Flore et ses amies

Enoncé

Quatre amies discutent de leur lettre préférée et de leur chiffre préféré.
Prénoms : Flore, Joane, Linda, Maria
Lettres préférées : E, F, L, N
Chiffres préférés : 3, 5, 6, 7

La lettre préférée de chacune n’est pas dans son prénom.
Celle qui préfère la lettre F préfère aussi le chiffre 5.
Flore : Mon chiffre préféré n’est ni 3 ni 7.
Joane : Mon chiffre préféré n’est pas 3.
Linda : Ma lettre préférée n’est pas E.

Trouvez la lettre préférée et le chiffre préféré de chacune.

Calcul

D'après 1, F, L et E étant dans Flore, la lettre préférée de Flore est N.
L et N étant dans Linda, et N étant pris, il reste F pour Linda.
E étant dans Joanne, et N et F étant pris, il reste L pour Joanne.
Il reste E pour Maria.
D'après 2, F et 5 allant ensemble, c'est Linda qui aime le 5.
D'après 3, Flore n'aime pas, ni le 3, ni le 7, et comme le 5 est pris, Flore préfère le 6.
Joane ne veut pas le 3, il lui reste le 7, et le 3 ira à Maria.

Résultat

Voici les préférences : N et 6 pour Flore ; L et 7 pour Joane ; F et 5 pour Linda et E et 3 pour Maria.

08. Héritage du trésor

Enoncé

Golipe, en mourant laisse à ses enfants un beau capital à partager comme suit :
- l'ainé, servi en premier, recevra 100 000 euros plus un dixième du reste,
- après que l'ainé ait été servi, viendra le tour du cadet qui obtiendra 200 000 euros plus un dixième de ce qui reste,
- de même, le troisiéme recevra 300 000 euros plus un dixième du reste,
- et ainsi de suite ...
Golipe, fin mathématicien, avait prévu que chacun de ses enfants obtiendrait la même somme.

Combien Golipe a-t-il eu d'enfants et quelle était sa fortune?

Calcul

Les sommes son traitées en k€	Avec	F	La fortune de Golipe en k€.
L'ainé reçoit	100 + (F - 100)/10 = 90 + F/10	Il reste	9F/10 - 90
Le cadet reçoit	200 + 9F/100 - 29 = 171 + 9F/100
L'ainé et le cadet reçoivent la même somme	90 + F/10 = 171 + 9F/100	9000 + 10F = 17100 + 9F	F = 8100
La part de chaque enfant	90 + 810 = 171 + 729 = 900
Nombre d'enfants	8100/900 = 9

Résultat

Golipe a eu 9 enfants et sa fortune s'élève à 8 100 000 €uros.

09. Bourse de Valérie

Enoncé

Valérie a 100 florins dans sa bourse. Le premier jour, elle donne 99 florins. Le deuxième jour, elle en reçoit 98. Le troisième jour, elle en donne 97. Le quatrième jour, elle en reçoit 96. Le cinquième jour, elle en donne 95. Le sixième jour, elle en reçoit 94. Successivement, elle donne deux florins de moins et en reçoit deux de moins.

Quel sera l’avoir de Valérie après avoir reçu deux florins ?

Calcul

Jour	1	2	3	4	5	6	. . .	n impair	n pair
Bourse	100	1	99	2	98	3		100,5 - n/2	n/2
Mouvement	-99	98	-97	96	-95	94		n - 100	100 - n
Nouvel avoir	1	99	2	98	3	97		(n + 1)/2	100 - n/2

Valérie reçoit les jours pairs. Elle reçoit 2 florins lorsque : 100 - n = 2 ; lorsque n = 98.
A ce moment là son avoir sera : 100 - n/2 = 100 - 98/2 = 100 - 49 = 51.

Résultat

A la réception de deux florins, Valérie possède 51 florins.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°

Enoncé

Calcul

Résultat

Coralie plante cinq rangées de fleurs. Elle met deux fleurs de plus d’une rangée à l’autre. Elle a ainsi planté 55 fleurs. Combien y a-t-il de fleurs dans la première rangée ?

5n + 20 = 55 | n = 7

Il y a 7 fleurs dans la 1^ère rangée.

2	4	6	8	10	12	14
22	24	26	28	30	32	34
42	44	46	48	50	52	54
62	64	66	68	70	72	74

Cette grille contient des nombres pairs. Trouvez quatre nombres dont la somme est 252 et qui sont disposés en T dans la position illustrée.

4n + 18 + 20 + 22 = 252 | n = 48

48 + 66 + 68 + 70 = 252.

Quatre jeunes font régulièrement la visite de personnes âgées. Ils se déplacent toujours en équipes de deux. Combien de visites ont été faites par des couples différents ?

4!/(2!.2!)

6 couples différents.

d) Partagez ces huit nombres en trois groupes. La somme des nombres de chaque groupe doit être identique.

(3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11)/3
= 19

Groupe 1 : 3 + 4 + 5 + 7 = 19
Groupe 2 : 8 + 11 = 19
Groupe 3 : 9 + 10 = 19.

11. Nombre premier

Enoncé

Chercher p tel que p et p² + 8 soient premiers tous les deux. Est ce que la solution est unique ?

Calcul

On trouve la première solution assez vite avec p = 3 (premier) et p² + 8 = 17 (premier).
Pour vérifier qu'il s'agit d'une solution unique, il faut examiner la liste des premiers p² + 8

p	1	2	3	4	5	6	7	8	9
p² + 8	9	12	17	24	33	44	57	72	89
Forme de p	3k + 1	3k - 1	3k	3k + 1	3k - 1	3k	3k + 1	3k - 1	3k

On constate un cycle de base 3. On peut généraliser avec : p = 3k + 1 | ou p = 3k - 1 | ou p = 3k
Si p = 3k + 1 alors p² + 8 = 9k² + 6k + 1 + 8 = 9k² + 6k + 9 | divisible par 3 | ne convient pas.
Si p = 3k - 1 alors p² + 8 = 9k² - 6k + 1 + 8 = 9k² - 6k + 9 | divisible par 3 | ne convient pas.
Si p = 3k alors p lui même n'est pas premier, ne convient pas, sauf avec k = 1 , c'est à dire p = 3, la solution unique.

Résultat

Il n'y a qu'une solution, unique, p = 3.

12. La prédiction du kabbaliste

Enoncé

Cette histoire s'est passée au XVIe siècle à Safed, en Palestine, qui était alors le centre de la Kabbale. Quelques-uns des maîtres de cette mystérieuse doctrine jouissaient de pouvoirs magiques que leur procurait la "connaissance des nombres". Un de ces maîtres fut un jour consulté par un voisin, alors âgé d'une cinquantaine d'années, qui vint lui demander de lui faire connaître la date de sa mort. "Tu n'atteindras pas cent ans, dit le Kabbaliste. - Ne pourrais-tu être plus précis ? -Tu le veux vraiment ? Eh bien, tu mourras l'année où le carré de ton âge pourra s'écrire avec deux chiffres seulement, chacun utilisé deux fois. La prédiction s'accomplit.

A quel âge mourut le voisin ?

Calcul

Approche MR

Il n'y a que 50 valeurs à tester et avec Excel on trouve que l'âge de la mort du voisin est 88 ans.

Solution du prof

Christophe nous a donné la solution "algébrique".

Dans les démonstrations suivantes il y a un point critique. A un moment on a, à rechercher les conditions pour qu'une expression soit un carré parfait. Cette expression est sous la forme d'un produit de facteurs PQ dans lequel le facteur P est un nombre premier. Pour qu'on puisse avoir un carré il faut que ce facteur P existe aussi dans l'autre facteur. Donc lorsqu'on a PQ = N², on cherchera à faire Q/P = n².

Avec l'âge entre 50 et 100, le carré est compris entre 2500 et < 10000. C'est un nombre de 4 chiffres.
Le carré a trois formes possibles : abab ou abba ou aabb

Forme abab. Valeur : 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101 b = 101(10a + b) = N² | 101 est premier | 10a + b = 101n²
Cela entraîne N² >= 101² | N >= 101, en dehors de la plage acceptable. Pas de solution.
Forme abba. Valeur : 1001a + 110b = 11(91a + 10b) = N² | 11 est premier | 91a + 10b = n²
91a + 10b = 88a + 11b +3a - b = 11n² | 8a + b +(3a - b)/11 = n² | L'expression 3a - b doit être multiple de 11
Avec a de 1 à 9 et b de 0 à 9, l'étendue de 3a - b est -6 à 27. Il y a trois multiples de 11 possibles : 0, 11, 22

Si 3a - b = 0 alors b = 3a | 8a + b = 11a = n² | a mini = 11, ce n'est pas un chiffre | non | de plus n² >= 121 et N² >= 14641
Si 3a - b = 11 alors b = 3a - 11 et 8a + b + 1 = 11a - 11 + 1 = n² | 11(a - 1) = n² - 1 = (n + 1)(n - 1)

Avec n + 1 = 11 | n = 10 | a - 1 = n - 1 | a = 10 | a n'est pas un chiffre | non
Avec n - 1 = 11 | n = 12 | a - 1 = n + 1 | a = n + 2 = 14 | Ce n'est pas un chiffre | non

Si 3a - b = 22 alors b = 3a - 22 et 8a + b + 2 = n² | Il y a deux possibilités | (1) a = 8 et b = 2 | (2) a = 9 et b = 5

Si a = 8 et b = 2 alors le carré 8a + b + 2 = 68 n'est pas un carré parfait | non
Si a = 9 et b = 5 alors le carré 8a + b + 2 = 79 n'est pas un carré parfait | non

Cette deuxième hypothèse correspondant à la forme abba ne convient pas non plus.
Forme aabb. Valeur : 1100 a + 11b = 11(100a + b) = N² | 11 est premier | 100a + b = 11n²
100a + b = 99a + a + b = 11n² | 9a + (a + b)/11 = n² | On doit avoir a + b divisible par 11 | a + b = 11
9a + 1 = n² | 9a = n² - 1 = (n + 1)(n - 1)

Si on applique 9 à n - 1 alors n = 10 et a = 11 | interdit
On applique donc 9 à n + 1 et a à n - 1

n = 9 - 1 = 8 | a = 8 - 1 = 7 | b = 11 - a = 4 | N² = (aabb) = 7744 = 88².

Résultat

Le voisin décèdera à 88 ans.

13. Les grains de riz

Enoncé

Tout le monde connait l'anecdote de ce roi qui s'engagea un peu hâtivement à récompenser l'inventeur du jeu d'échec selon ses souhaits, alors que celui-ci demandait à ce qu'on lui donne un grain de riz pour la première case de l'échiquier, deux grains de riz pour la seconde, quatre pour la troisième, et ainsi de suite en doublant le nombre de grains de riz à chaque case, jusqu'à la 64^ème.

On connait moins la façon dont le roi se tira de cette embarrassante situation :
Il exigea de ses sept seigneurs qu'ils fournissent chacun leur part du tribut, égale pour chacun d'eux et arrondie au grain de riz inférieur.
Lui même se contenterait de fournir les grains de riz nécessaires pour faire le compte exact.

Combien le roi dut-il fournir de grains de riz ?

Calcul

Le reste de la division entière par 7 de chacun des contenus des cases est cyclique.

k	0		1			2			n			21
c	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1	2	1
n° de la case : n = 3k + c	1	2	3	4	5	6	7	8	n = 3k	n = 3k + 1	n = 3k + 2	64
NGR, nb de grains de riz sur la case	1	2	4	8	16	32	64	128	2^{n - 1} = 2^{(3k - 1)}	2^{n - 1} = 2^(3k)	2^{n - 1} = 2^{(3k + 1)}	2⁶³
NGRT, nb de grains de riz total	1	3	7	15	31	63	127	255	2ⁿ - 1 = 2^3k - 1	2ⁿ - 1 = 2^{(3k + 1)} - 1	2ⁿ - 1 = 2^{(3k + 2)} - 1	2⁶⁴ - 1
Reste de la division entière de NGRT par 7	1	3	0	1	3	0	1	3	0	1	3	1

Résultat

Le roi n'a à fournir qu'un seul grain de riz.

14. Récipients

Enoncé

Les quantités de liquide contenues dans trois vases A, B et C sont entre elles comme les nombres 3, 2 et 1 et les prix par litres de ces mêmes liquides sont respectivement entre eux comme 1, 2 et 3.
On prend une certaine quantité du contenu de A et on la verse dans B, la même quantité du mélange contenu alors dans B est enlevée de ce vase et versée dans C ; la même quantité est encore prise dans le mélange contenu dans C puis versée dans B ; enfin on puise toujours la même quantité de B et on la verse dans A.
La valeur du liquide contenu dans A vaut les 35/27 de ce qu'elle était au début.
On sait également que, si la même opération était reprise mais cette fois-ci en enlevant 1 litre de plus à chaque fois, la valeur finale du liquide contenu dans A serait à sa valeur initiale comme 3 à 2.

Trouver les quantités de liquide contenues dans chaque vase.

Calcul

C'est la solution du prof, un peu plus détaillée.

	Vase A	Vase B	Vase C
0 \| Etat initial, volumes relatifs du contenu (par rapport à celui de C pris à 1)	3	2	1
0 \| Etat initial,valeurs relatives unitaires du contenu (par rapport à celle de A prise à 1)	1	2	3
0 \| Etat initial,valeurs relatives totales du contenu	3	4	3
1 \| Transfert d'un volume x de A dans B \| Nouveaux volumes	3 - x	x + 2	1
1 \| Valeur du transfert : x \| Nouvelle valeur totale		4 + x
1 \| Nouvelle valeur unitaire		(x + 4/(x + 2)
2 \| Transfert d'un volume x de B dans C \| Nouveaux volumes	3 - x	2	x + 1
2 \| Valeur du transfert : x(x + 4)/(x + 2) \| Nouvelle valeur totale			3 + x(x + 4)/(x + 2)
2 \| 3 + x(x + 4)/(x + 2) = (3x + 6 + x² + 4x)/(x + 2) = (x² + 7x + 6)/(x + 2) = (x + 1)(x + 6)/(x + 2)			(x + 1)(x + 6)/(x + 2)
2 \| Nouvelle valeur unitaire			(x + 6)/(x + 2)
3 \| Transfert d'un volume x de C dans B \| Nouveaux volumes	3 - x	2 + x	1
3 \| Valeur du transfert : x(x + 6)/(x + 2) \| Nouvelle valeur totale		[2(x + 4) + x(x + 6)]/(x + 2)
3 \| [2(x + 4) + x(x + 6)]/(x + 2) = (2x + 8 + x² + 6x)/(x + 2) = (x² + 8x + 8)/(x + 2)		(x² + 8x + 8)/(x + 2)
3 \| Nouvelle valeur unitaire		(x² + 8x + 8)/(x + 2)²
4 \| Transfert d'un volume x de B dans A \| Nouveaux volumes	3	2	1
4 \| Valeur du transfert : x(x² + 8x + 8)/(x + 2)² \| Nouvelle valeur totale	3 - x + x(x² + 8x + 8)/(x + 2)²
4 \| 3 - x + x(x² + 8x + 8)/(x + 2)² = (3x² + 12x + 12 - x³ - 4x² - 4x + x³ + 8x² + 8x)/(x + 2)² =	(7x² + 16x + 12)/(x + 2)²
4 \| Nouvelle valeur unitaire	(7x² + 16x + 12)/[3(x + 2)²]
Valeur du contenu de A par rapport à ce qu'elle était au début	(7x² + 16x + 12)/[3(x + 2)²]
Ce rapport vaut 35/27	189x² + 432x +324 = 105x² + 420x + 420
84x² + 12x - 96 = 0 \| 7x² + x - 8 = 0	Déterminant : 1 + 224 = 225 = 15²
x = (-1 ± 15)/14	Racine positive : x₁ = (15 - 1)/14 = 1. Le volume du contenu transféré (4 fois de suite) est celui du vase C.
Si on transfère 1 litre de plus à chaque opération, le rapport des valeurs de A devient 3/2	14x² + 32x + 24 = 9x² + 36x + 36
5x² -4x - 12 = 0 \| Déterminant = 16 + 240 = 256 = 16²	x₂ = (4 + 16)/10 = 2.
x₂ - x₁ = 1 = 1 litre	Les contenus relatifs initiaux sont des litres.

Vérification

	Vase A			Vase B			Vase C
	Vol en l	Val tot	Val unit	Vol en l	Val tot	Val unit	Vol en l	Val tot	Val unit
0 \| Etat initial	3	3	1	2	4	2	1	3	3
1 \| 1 litre de A à B	2	2	1	3	4 + 1 = 5	5/3	1	3	3
2 \| 1 litre de B à C	2	2	1	2	10/3	5/3	2	3 + 5/3 = 14/3	7/3
3 \| 1 litre de C à B	2	2	1	3	10/3 + 7/3 = 17/3	17/9	1	7/3	7/3
4 \| 1 litre de B à A	3	2 + 17/9 = 35/9	35/27	2	34/9	17/9	1	7/3	7/3
0 \| Etat initial	3	3	1	2	4	2	1	3	3
1 \| 2 litres de A à B	1	1	1	4	4 + 2 = 6	3/2	1	3	3
2 \| 2 litres de B à C	1	1	1	2	3	3/2	3	3 + 3 = 6	2
3 \| 2 litres de C à B	1	1	1	4	3 + 4 = 7	7/4	1	2	2
4 \| 2 litres de B à A	3	1 + 7/2 = 9/2	3/2	2	7/2	7/4	1	2	2

Résultat

La vase A contenait et contient à la fin, 3 litres, le B en contient 2 et le C, 1 litre.