715 (11), Arithmétique cryptée, le 3 mai 2021

01. Un Carol prude

Enoncé

Carol donne une valeur numérique n’excédant pas 9 à chaque lettre, puis il additionne ces valeurs. Ainsi, si M = 3, A = 8 et L = 5, MAL = 3 + 8 + 5 = 16. Carol écrit les cinq mots suivants et leur valeur numérique.

(1) DUR = 20 (2) PEU = 20 (3) PUR = 21 (4) RUDE = 28 (5) RUE = 22

Quelle est la valeur numérique de PRUDE ?

Calcul

(6) = (4) - (5) RUDE - RUE = D = 28 - 22 = 6 D = 6
(7) = (3) - (1) PUR - DUR = P - D = 21 - 20 = 1 P - D = 1
(8) = f[(6), (7)] P = D + 1 = 6 + 1 = 7 P = 7
(9) = f[(4), (8)] PRUDE = P + RUDE = 7 + 28 = 35 PRUDE = 35

Résultat

La valeur de PRUDE est : 35.

02. Yves et ses cars

Enoncé

C A R
+ C A R
+ C A R
= 1 C 6 9
5 2 3
+ 5 2 3
+ 5 2 3
= 1 5 6 9

Yves a écrit l'addition ci-contre. Chaque lettre est mise pour un chiffre différent.

Quel est le nombre qui correspond à CAR ?

Calcul

R = 9 (ou 19 ou 29)/3 19 et 29 ne sont pas divisibles par 3 R = 3 et il n'y a pas de retenue
A = 6 (ou 16 ou 26)/3 16 et 26 ne sont pas divisibles par 3 A = 2 et il n'y a pas de retenue
10 + C = 3C 2C = 10 C = 5

Résultat

Le nombre correspondant à CAR est : 523.

03. Livres de Martine

Enoncé

A = 5
M + I 6

Martine a trois boîtes de livres marquées A, M et I. Celles-ci contiennent en tout 154 livres. La boîte I contient trois fois plus de livres que la M. De plus, le rapport du nombre de livres de la boîte A et du nombre de livres des boîtes M et I est de 5 à 6 comme il est illustré.

Combien y a-t-il de livres dans chacune des boîtes ?

Calcul

I = 3M A/4M = 5/6 6A = 20M 3A = 10M A = 10M/3
A + M + I = 154 10M/3 + 3M/3 + 9M/3 = 22M/3 = 154 22M = 462 M = 21
A = 10M/3 = 210/3 = 70 I = 3M = 3.21 = 63

Résultat

Il y a 70 livres dans la boite A, 21 dans la boite M et 63 dans la boite I

04. Achat de pêches

Enoncé

Éva a acheté AB pêches. De son côté, Yvon a acheté CB pêches. En tout, cela fait un achat de GUY pêches. Yvon m’a confié que c’est lui qui a fait le plus gros achat.
Par ailleurs, U = 0 et Y = G + G.

A B
+ C B
= G U Y
4 6
+ 5 6
= 1 0 2

Combien chacun a-t-il acheté de pêches ?

Calcul

U = 0 et Y = 2G GUY = 102 ou 204 ou 306 ou 408
Si B = Y/2 = aussi G Non, il faut une retenue
Par ailleurs, avec U = 0, il y a une retenue aux centaines qui est 1 G = 1 GUY = 102
B = 12/2 = 6 1 + A + C = 10 ; A + C = 9
Les chiffres disponibles restants sont 3, 4, 5, 7, 8, 9 Pour faire 9, on ne peut prendre que 4 et 5
CB > AB ; C > A A = 4 ; C = 5

Résultat

Eva a acheté 46 pêches et Yvon en a acheté 56.

05. Dossier de Poussin

Enoncé

A B C
5 3 7 2 1 0 4 9 6

Le numéro d’assurance sociale de Poussin est formé de trois nombres de trois chiffres. Chaque lettre correspond à un nombre de trois chiffres. Voir à droite la représentation.

  1. Tous les chiffres sont différents.
  2. La somme des chiffres de A est 15 et celle de B est 3.
  3. Le chiffre 6 est immédiatement après le 9.
  4. La somme des chiffres de C dépasse la somme des chiffres de A de 4.
  5. La somme des dizaines de A et de B est 4 ; celle des unités est 7.
  6. La différence des chiffres des centaines de A et de C est de +1

Trouvez le numéro d’assurance sociale de Poussin.

Calcul

La somme de tous les chiffres de 0 à 9 est : (9x10)/2 ) = 45
La somme des chiffres de A, de B et de C est : 15 + 3 + 15 + 4 = 37
45 - 37 = 8 Le chiffre 8 n'est pas utilisé
Les chiffres de B ne peuvent être que 0, 1 et 2 (pour faire 3) Il reste les chiffres 3, 4, 5, 6, 7 et 9 pour A et C
Pour les chiffres de A il faut obtenir 15 Une seule possibilité : 3 + 5 + 7
Pour les chiffres de C il faut obtenir 15 + 4 = 19 Une seule possibilité : 4 + 6 + 9
Comment faire 4 avec d'une part 3, 5, 7 et d'autre part 0, 1, 2 ? Ce n'est que 3 et 1 qui viennent aux dizaines
Pour C, 9 et 6 se suivent C est donc soit 496, soit 964 Centaines de C : 4 ou 9
Comment avoir 1 par différence de, d'une part 5, 7 et d'autre part 4, 9 ? C'est 5 et 4
A est C sont ordonnés A = 537 C = 496
Comment faire 7 avec d'une part 7 et d'autre part 0, 2 ? 7 = 7 + 0 B = 210

Résultat

Le numéro de l'assurance sociale de Poussin est : 537 210 496.

06. C'est un pour cent

Enoncé

7 1 pour 100
j'ai dessiné une pyramide à 5 étages.
Tout a gauche, j'ai mis un 7 et à coté, j'ai mis un 1.

Quels autres chiffres dois-je mettre EN BAS pour obtenir 100 au sommet de la pyramide sans répéter deux fois le même chiffre en bas.

PS : dans une pyramide, une brique est toujours egale a la somme des 2 briques sur lesquelles elle repose.
Expl: la brique qui est au dessus de 7 ET 1 est 8.
Une solution suffit, mais une deuxième fera office de bonus.

Calcul

5ème étage 6a + 4b + c + 11
4ème étage 3a + b + 10 3a + 3b + c + 1
3ème étage a + 9 2a + b + 1 a + 2b + c
2ème étage 8 a + 1 a + b b + c
1er étage 7 1 a b c

L'équation est donc : 6a + 4b + c = 89 ; c = 89 - 6a - 4b

a 6 6 8 9
b 5 9 9 8
c 39 17 5 3

Résultat

Il y a deux solutions. Les autres chiffres à ajouter sont : 8, 9 et 5 ou 9, 8 et 3.

07. Fabriques de meubles

Enoncé

Tabourets Chaises Fauteuils Canapés Total
Attia a b 7 c d
Bellfab e 5 f 8 19
Créameuble g h i j 15
D Design k l m n o
Total 4 17 p q 57
Tabourets Chaises Fauteuils Canapés Total
Attia 0 5 7 0 12
Bellfab 3 5 3 8 19
Créameuble 1 4 4 6 15
D Design 0 3 8 0 11
Total 4 17 22 14 57

Quatre petites fabriques de meubles se sont regroupées et tiennent leurs statistiques en commun. Complétez pour elles le tableau récapitulatif du mois ci-contre avec les nombres qui conviennent en tenant compte des valeurs déjà données et des précisions suivantes :

  1. Ce mois-ci, Bellefab a produit autant de tabourets que de fauteuils.
  2. Attia a fabriqué une chaise de plus que Créameuble et 2 de plus que D Design.
  3. Créameuble a fabriqué un fauteuil de plus que Bellefab et plus de tabourets qu'Attia.
  4. Les artisans tous réunis ont fabriqué ce mois-ci, 3 chaises de plus que de canapés.

Calcul

e = f = (19 - 5 - 8)/2 = 3
b = h + 1 = l + 2 b + h + l = 17 - 5 = 12 b + b - 1 + b - 2 = 12 3b = 15 b = 5
h = b - 1 = 4 l = b - 2 = 3
i = f + 1 = 4
g > a et total 4 tabourets, avec e = 3 g = 1 ; a = 0 et k = 0
j = 15 - g - h - i = 15 - 9 = 6
q = 17 - 3 = 14 p = 57 - 4 - 17 - q = 22
m = p - 7 - f - i = 8 c + n = q - 8 - j = 0 c = 0 ; n = 0
d = 5 + 7 = 12 o = 57 - 12 - 19 - 15 = 11

Résultat

Voir le tableau des résultats à droite.

08. Rampe de Jérémie

Enoncé

MP + AR = 81
EM + AR = 38
RA + MR = 85

Papa Marc s'adresse à Jérémie.
- Jérémie, il faut que tu trouves un nombre qui correspond à RAMPE.
- Qu’est-ce que je fais ?
Papa Marc lui montre les égalités ci-contre :
- Tu dois donner une valeur différente à chaque lettre.

À quel nombre correspond RAMPE ?

Calcul

Remarque 1 : il n'y a pas de retenue aux additions des chiffres des dizaines.
Remarque 2 : avec EM + AR = 38, 8 à l'unité ce n'est par 9 + 9 = 18 car 9 serait appliqué à M et à R. Donc E + A = 3.
Il y a 2 possibilités : A = 1 et E = 2 ou bien A = 2 et E = 1.

Lettre A E R = 5 - A P = 11 - R M = 8 - R Conclusion
Hypothèse 1 1 2 4 7 4 Non, E = M = 4
Hypothèse 2 2 1 3 8 5 Oui

R = 3 ; A = 2 ; M = 5 ; P = 8 ; E = 1

Résultat

RAMPE correspond au nombre 32581

09. Balance de Lumina

Enoncé

(1) A + B = C
(2) B = A + 2D
(3) 3A = B + D
C + D = ?

Lumina fait trois pesées d’une balance à deux plateaux. La masse totale des quatre objets utilisés est entre 25 et 60 grammes. Toutes les masses sont en valeurs entières.
Les figures ont été traduites : carré = A ; rond = B ; figure = C ; étoile = D.

Quelle sera la masse (en grammes) à poser dans le plateau droit de la quatrième balance pour que celle-ci demeure en équilibre ?

Calcul

(4) = (3) D = 3A - B
(5) = f[(2), (4)] B = A + 6A - 2B 3B = 7A B = 7A/3
(6) = f[1), (5)] C = A + B = A + 7A /3 C = 10A/3
(7) = f[(3), (5)] D = 3A - B = 3A - 7A/3 D = 2A/3
Le plus petit est D D = 2A/3
En fonction de D A = 3D/2 B = 7D/2 C = 10D/2 = 5D
Valeurs minimum D = 2 A = 3 B = 7 C = 10
Masse totale des 4 objets A + B + C + D = 3 + 7 + 10 + 2 = 22 Trop petit, on double 25 < 44 < 60
Nouvelles masses A = 6 ; B 14 ; C = 20 ; D = 4 C + D = 20 + 4 = 24

Résultat

L'équilibre à la quatrième pesée est obtenu avec 24 grammes à droite.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a Philippe dessine cinq hexagones de même forme et de même grandeur. Il les accole côté par côté. Combien la figure a-t-elle de côtés, au minimum, sur son contour ? La figure a 16 côtés au minimum.
b
. . .
Annabelle a écrit quatre chiffres au moyen de cure-dents. Combien peut-on écrire de nombres de deux chiffres utilisant les chiffres 6, 7, 8 et 9 au moyen de 13 cure-dents ?
6 cure dents pour écrire le 6,
4 pour le 7, 7 pour le 8 et 6 pour le 9,
13 = 6 + 7.
On peut écrire 4 nombres :
68 ou 86 et 89 ou 98.
c
D V T Q
Chaque lettre de cette série est la première d’un nombre. Trouvez le nombre qui devrait logiquement suivre.
Dix, Vingt, Trente, Quarante Le nombre qui suit est Cinquante.
d Un roman a 853 pages. Combien y a-t-il de numéros de pages dont la somme des chiffres est 24 ? 24 = 9 + 9 + 6 = 9 + 8 + 7 Il y a 3 n° de page : 699, 789, 798.

11. Multiplication cryptée

Enoncé

A B C D
x E D
C F D E D
A B C D
= G D H I D
5 4 3 6
x 1 6
3 2 6 1 6
5 4 3 6
= 8 6 9 7 6

Dans ce cryptarithme sur l'image ci-contre chaque lettre représente toujours un même chiffre différent de zéro et à deux lettres différentes correspondent deux chiffres différents.

Reconstituez la multiplication.

Calcul

E = 1 car le 2ème produit est égal au multiplicande.
A l'unité, quels sont les chiffres D tels que D2 = 10x + D ? On a D = 1 ou D = 5 ou D = 6.
C doit être tel que CD + retenue = 10x + 1. Si D = 1, alors C = 1 (non). Si D = 5, alors non. D = 6 ; dans ce cas C = 3 ou C = 8.
B doit être tel que 6B + retenue = 10x + 6. Si C = 3, alors B = 4 ou B = 9. Si C = 8, alors non. Donc C = 3, I = 7, H = 9 et B = 4.
Il reste 2, 5, 8. Pas de retenue aux centaines, donc F = D - B = 2. Donc A tel que 6A + 2 = 32 ; 6A = 30 ; A = 5. Il reste 8 pour G.
Vérif, à droite.

Résultat

Voir à droite.

12. Cadenas

Enoncé

Julie vient d’acheter un beau cadenas avec une combinaison à 5 chiffres. Elle dit à son copain Bernard, en lui tendant le cadenas fermé : Tiens essaie donc de l’ouvrir, pour t’aider voici quelques informations :
La somme des chiffres du nombre formant la combinaison est 27.
Si on divise le nombre formant la combinaison par 27, la somme des chiffres du résultat trouvé est encore 27.
Si on multiplie le nombre formant la combinaison par 27, la somme des chiffres du résultat trouvé est encore 27.
Julie est sûre que Bernard échouera, cependant Bernard étant un mathématicien brillant, lui rend rapidement son cadenas ouvert.

D’après les informations données par Julie, combien y a t-il de possibilités de combinaisons ouvrant le cadenas et quelles sont-elles ?

Calcul

Un nombre de 5 chiffres divisé par 27 donne un nombre de 4 chiffres maximum. La valeur maxi est 99 999 /27 = 3 703.
Pour que la somme des chiffres soit 27 il faut au moins trois chiffres. La valeur mini est 999.
Liste des nombres n1 de 3 et 4 chiffres dont la somme est 27 (11 possibilités).

Liste des nombres n1 999 1 899 1 989 1 998 2 799 2 889 2 898 2 979 2 988 2 997 3 699
n2 = 27n1 (parmi lesquels, les combinaisons) 26 973 51 273 53 703 53 946 75 573 78 003 78 246 80 433 80 676 80 919 99 873
Somme des chiffres 27 18 18 27 27 18 27 18 27 27 36
n3 = 27n2 728 271 1 456 542 2 040 471 2 112 642 2 178 252 2 184 813
Somme des chiffres 27 27 18 18 27 27

Résultat

Il y a 4 combinaisons qui ouvrent le cadenas : 26 973 ; 53 946 ; 80 676 ; 80 919.

13. Champion de formule 1

Enoncé

Matthieu concourt pour le championnat du monde de formule 1.
Ce championnat comporte seize courses, dont les six premières places sont dotées pour chacune des courses respectivement de 9, 6, 4, 3, 2 et 1 points.
Un voyant extralucide prédit à Matthieu le nombre de points qu'il gagnera au championnat du monde.
Matthieu lui répond qu'il en est heureux car un tel score lui indique qu'il sera champion du monde.
Comme il est aussi bon en maths il rajoute: "c'est d'ailleurs le plus petit score qui peut me donner cette assurance".

Quel est ce score?

Calcul

S'il est premier à 8 courses, il a 72 points et un autre peut avoir 72 points aux 8 autres courses. Il y a égalité.
ll faut qu'il soit premier à au moins 9 courses.

Résultat

Il semble que Matthieu doit être le premier au moins 9 fois. Mais que fait le meilleur coureur dans ce cas ?
Question 2 : quel est le score minimum pour être obligé d'être le premier au moins 9 fois ?

Nombre de points de Matthieu Nombre de points maxi adverses Conclusion
Matthieu
9 6 4 3 2 1 0 Total 9 6 4 3 2 1 0 Total
12 1 1 2 116 4 12 108 Gagne
11 2 1 1 1 116 5 11 111 Gagne
10 4 1 1 116 6 10 114 Gagne
9 5 1 1 116 7 9 117 Perd
8 7 1 116 8 8 120 Perd
10 4 1 1 117 6 10 114 Gagne
9 6 1 117 7 9 117 Egalité
9 5 2 117 7 9 117 Egalité
9 4 3 117 7 9 117 Egalité
8 7 1 117 8 8 120 Perd
10 4 1 1 118 6 10 114 Gagne
9 6 1 118 7 9 117 Gagne
9 5 1 1 118 7 9 117 Gagne
8 7 1 118 8 8 120 Perd
10 4 1 1 119 6 10 114 Gagne
9 6 1 119 7 9 117 Gagne
9 5 2 119 7 9 117 Gagne
10 5 1 120 6 10 114 Gagne
9 6 1 120 6 10 114 Gagne
8 8 120 8 8 120 Egalité
10 5 1 121 6 10 114 Gagne
9 6 1 121 6 10 114 Gagne
10 5 1 122 6 10 114 Gagne

Seul le score de 119 points assure la victoire (et ceux au-dessus de 120). Avec 120 points on n'est pas sûr de gagner à tous les coups.

14. L'équipage du train

Enoncé

Smith, Jones et Robinson sont mécanicien, chef de train et chauffeur sur un train, mais pas nécessairement dans cet ordre. Voyageant dans ce train se trouvent trois passagers portant le même nom que les cheminots mais que nous identifierons, avec le respect dû aux gens qui ont payé leur billet de chemin de fer, en faisant précéder leur nom de " Mr ".

D'aprés les observations suivantes vous devez être capable de trouver le nom du mécanicien.

  1. Mr Robinson vit à Los Angeles.
  2. Le chef de train habite à Omaha.
  3. Il y a bien longtemps que Mr Jones a oublié l'algébre qu'il apprit à l'école.
  4. Le passager qui porte le même nom que le chef de train habite à Chicago.
  5. Le chef de train et l'un des passagers, mathématicien réputé, vont à la même église le Dimanche.
  6. Smith bat régulièrement le chauffeur au billard.

Calcul

C'est la solution du prof.

Résultat

Le nom du mécanicien est Smith.