714 (10), Divers Âges, le 29 mars 2021

01. Le Marathon

Enoncé

Un coureur fait son premier marathon et c'est difficile.
Il vient de parcourir les 42 premiers kilomètres du marathon. Il est épuisé, en plus le soleil commence à chauffer car il est midi. La première minute après midi, il parcourt 100 mètres, et va de moins en moins vite. La deuxième minute, il parcourt 50 mètres, et chaque minute suivante la distance parcourue est divisée par 2.

Sauriez-vous renseigner les organisateurs sur l'heure d'arrivée de notre courageux marathonien ?

Calcul

la longueur du marathon est 42,195 km.

Heure 12h 12h01 12h02 12h03 12h04 12h05 12h06
Distance parcourue en 1 minute 0,1 0,05 0,025 0,0125 0,00625 0,003125
Distance totale en km 42 42,1 42,15 42,175 42,1875 42,19375 42,196875

Résultat

L'heure d'arrivée sera midi et 6 minutes.

02. Décollage immédiat

Enoncé

A quelques minutes du décollage, une hôtesse de l’air constate des interférences. Elle demande alors aux passagers :

03. Nombre égal au quadruple de la somme des chiffres

Enoncé

Le nombre dix-huit est égal au double de ses chiffres.
Le nombre vingt-sept est égal au triple de ses chiffres.

Quels sont tous les nombres qui sont égaux au quadruple de la somme des chiffres qui les composent ?

Calcul

Avec un nombre n = 100c + 10d + u n ayant 1, 2 ou 3 chiffres
Hypothèse 1, n a 3 chiffres, donc c > 0 4(c + d + u) = 100c + 10d + u u = 32c + 2d Non
Hypothèse 2, n a 1 chiffre 2u = u ou 3u = u ou 4u = u Non
Donc n a 2 chiffres
Pour avoir le double 2(d + u) = 10d + u u = 8 d Une solution : n = 18
Pour avoir le triple 3(d + u) = 10d + u 2u = 7d Une solution : n = 27
Pour avoir le quadruple 4(d + u) = 10d + u u = 2d Quatre solutions : 12 ; 24 ; 36 ; 48

Résultat

Il y a quatre solutions : 12 ; 24 ; 36 ; 48.

04. La jardinière et l'arrosoir

Enoncé

Pour arroser son jardin, Clémence a besoin de 100 litres d'eau. Le robinet est à 80 mètres du jardin. Elle prend un arrosoir de 10 litres. Tous les 20 mètres, elle aura perdu un litre d'eau car son arrosoir a une fuite.

Quelle distance parcourt Clémence ? (Elle démarre à coté du robinet)

Calcul

1 x (80/20)= 4 litres d'eau, perdus. Il lui en reste 6 pour arroser.
100/6 = 16,6 ; 17 voyages ; 17 allers et 16 retours ; 33 x 80 = 2 640 mètres.

Résultat

Clémence a parcouru 2 640 mètres.

05. Les 5 bougies

Enoncé

. . .

Cinq personnes ont chacune une bougie :
La 1 est petite et rose,
la 2 est grande et verte,
La 3 est petite et bleue,
La 4 est grande et bleue,
La 5 est petite et verte.
Les bougies d’Alain et de Béatrice ont la même taille. Celles de Béatrice et de Claire ont la même couleur. Celles de Claire et de Daniel n’ont pas la même taille. Enfin celles d’Alain et de Daniel n’ont pas la même couleur.

Quelle est la taille de la bougie d’Elodie ?

Calcul

Les différentes possibilités, avec p = petite, g = grande, r = rose, v = verte et b = bleue.

Alain pr pr gv pb pb gb pv pv
Béatrice pb pv gb pr pv gv pr pb
Claire gb gv pb r gv pv r gb
Daniel pv pb g pr g pr
Elodie gv gb Non Non gb Non Non gv

Résultat

Elodie a une grande bougie.

06. L'héritage des enfants naturels

Enoncé

L'article 759 du Code Civil français est ainsi rédigé: "Le droit héréditaire de l'enfant naturel dans la succession de ses père ou mère est fixé ainsi qu'il suit : Si le père ou la mère a laissé des descendants légitimes, ce droit est de la moitié de la portion héréditaire qu'il aurait eue s'il eût été légitime." Des parents meurent laissant deux enfants légitimes et deux enfants naturels.

Quelle est la part de chaque enfant naturel ?

Répartition

Le partage se résume en 1 part + 1 part + 1/2 part + 1/2 part = 3 parts en tout.

Solution du prof

Ce résultat est faux, car le légiste applique le texte à la lettre.
On appelle A et B les deux enfants légitimes et X et Y les deux enfants naturels.
On calcule d'abord une part provisoire de Y en considérant que X est légitime.
Dans ce cas, si Y est lui aussi légitime les 4 enfants sont considérés légitimes et reçoivent 1/4 de l'héritage.
Mais Y étant naturel il reçoit provisoirement la moitié, c'est à dire 1/8 de l'héritage.
Il reste : 1 - 1/8 = 7/8 à partager entre A, B et X.
X reçoit la moitié de 1/3 de 7/8 = 7/48. Et il s'agit là de la part définitive appliquée à X et à Y.
La part de chaque enfant légitime est donc : [1 - 2(7/48)]/2 = 24/48 - 7/48 = 17/48.
Vérification : 17/48 + 17/48 + 7/48 + 7/48 = 48/48.

Résultat

Chaque enfant naturel reçoit 7/48.

07. Les 5 filles du Dr March

Enoncé

Le Docteur March cherche une combinaison pour son nouveau coffre-fort à six chiffres.
Le docteur calcule le triple de la somme des âges de ses cinq filles, ce qui lui donne trois chiffres. Il lui suffit de juxtaposer deux fois cette série de trois chiffes pour obtenir les six chiffres de la combinaison.
Il est alors surpris de constater que cette combinaison vaut précisément le triple du produit des âges de ses filles.

Sauriez-vous ouvrir le coffre du Docteur March, sachant que ses filles sont au total aussi jeunes que possible, et que leur âge est soit premier soit carré parfait ?

Calcul

Avec S et P La somme et le produit des âges
Le code vaut 1001(3S) = 3P 1001S = P = 7.11.13.x.y = 1001(7 + 11 + 13 + x + y)
xy = 31 + x + y y = (31 + x)/(x - 1)
Il y a 3 solutions x = 2 ; y = 33 (interdit) x = 3 ; y = 17 (trop grand) x = 5 ; y = 9
Solution à retenir x = 5 : y = 9 Code = 3P = 5.7.9.11.13.3 = 135135 = 3003(5 + 7 + 9 + 11 + 13)

Résultat

Le code du coffre est : 135135

08. Le code du coffre de Grieco

Enoncé

Le code du coffre de Griego est un nombre de 6 chiffres tous différents, composés des chiffres de 1 à 6.
Le 1er chiffre est multiple de 1
Les 2 premiers forment un multiple de 2
Les 3 premiers forment un multiple de 3.
...
Les 6 forment un multiple de 6.

Quel est le code du coffre ? La solution est elle unique ?

Calcul

On réserve le chiffre 5 pour la position 5. Le chiffre 0 n'est pas autorisé.
On s'occupe ensuite des positions 3 et 4 pour les combinaisons divisibles par 4. Parmi les chiffres restants, il y a 6 possibilités.

12 16 24 32 36 64

Pour chacune de ces possibilités on peut ajouter 1 ou 2 chiffres pairs différents en position 2. Cela amène à 9 possibiltés. Il reste 2 chiffres disponibles. L'un doit être ajouté en position 1 pour avoir 1, 2, 3 divisible par 3 ; et l'autre en position 6 pour avoir l'ensemble divisible par 6.

Les positions 2, 3, 4, 5 4125 6125 2165 4165 6245 4325 6325 2365 4365 2645
Il reste 36 34 34 23 13 16 14 14 12 13
La solution Non Non 321654 Non Non Non Non 123654 Non Non

Résultat

Il y a deux solutions : 321654 ; 123654.

09. La famille du talmudiste

Enoncé

Comme un rabbin demandait à un vieux talmudiste l'âge de ses trois fils, il répondit : l'âge de l'aîné multiplié par l'âge du second donne 999, multiplié par l'âge du troisième, 888.
- Je vois, dit le rabbin. Et vous-même ...
- Si vous multipliez mon âge par celui de mon fils aîné, puis par celui de ma fille, vous obtiendrez un nombre curieusement formé de six 1. Quant à ma femme, vous saurez son âge en renversant l'ordre des chiffres qui composent le mien. Je pense que maintenant votre curiosité est satisfaite ?
- Entièrement, dit le rabbin. A ce moment entra dans la pièce une ravissante jeune femme.
Je vous présente mon épouse, dit le talmudiste. Et, voyant la mine stupéfaite de son interlocuteur, il ajouta en riant.
- Vous aviez fait une erreur.
- En effet ! Toutes mes félicitations, et mes excuses à votre fille.

Vous aussi, vous devez maintenant connaître les âges de toutes les personnes de la famille du rabbin.

Calcul

ab = 999 = 37.27 ac = 888 = 37.24 a = 37 b = 27 c = 24
111 111 = 3.7.11.13.37 37, le fils ainé 33 < 37 Le père a 7.13 = 91 La fille : 3.11 = 33 ans

Résultat

Le père : 91 ans ; le fils ainé : 37 ans ; le cadet : 27 ans ; le 3ème 24 ans ; la fille : 33 ans ; l'épouse : 19 ans.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a
. . .
Noémie numérote cinq jetons : 1, 3, 4, 5 et 6. Le jeton 8 étant posé, placez ces jetons de façon à obtenir une somme de 15 dans chaque rangée.
. . .
b Dans un champ, Lucien compte 32 pattes et note qu’il y deux vaches de plus que de poules. Combien y a-t-il de vaches ? 4v + 2(v - 2) = 32 ; v = 6 Il y a 6 vaches.
c
1 2 3 4
3
4
2
Complétez cette grille pour qu’il y ait des chiffres différents sur chaque ligne et dans chaque colonne.
1 2 3 4
3 1 4 2
4 3 2 1
2 4 1 3
d Trouvez les nombres de trois chiffres qui utilisent ces trois mots : QUATRE, VINGT, CENT. 124 ; 180 : 420.

11. Les 12 diamants

Enoncé

A la veille de sa retraite, un riche diamantaire décide de récompenser ses 5 employés les plus anciens (par ordre d'ancienneté : Albert, Bernard, Charles, David et Étienne) en leur léguant 12 gros diamants d'égale valeur.
Il impose cependant une règle stricte pour le partage. L'employé ayant le plus grand nombre d'années de service (Albert) doit proposer aux autres une certaine répartition des pierres qui doit être approuvée par une majorité des légataires. S'il n'obtient pas cette majorité, il perd son droit de vote et n'aura droit à aucun diamant dans le partage final.
Ce sera alors le tour du second (Bernard) à faire sa proposition qui doit obtenir la majorité parmi les 4 légataires restants. Comme pour Albert, s'il n'obtient pas l'assentiment de la majorité éligible à voter, il perd tout, et ce sera au tour de Charles à faire une proposition.
Le processus se termine quand une majorité accepte une proposition de partage.

En supposant que tous sont très égoïstes (aucune collusion entre eux) mais d'excellents logiciens, quelle sera la proposition d'Albert qui arrachera l'approbation de la majorité ?

Solution Mathmuse champions déc 2016

Un employé dont c'est le tour de proposer un partage a tout intérêt à s'octroyer le maximum de diamants, en accordant aux autres le minimum requis pour rallier la majorité.
Pour rallier la majorité à moindre coût, il lui suffit de proposer à certains employés encore éligibles à voter, un diamant de plus que la part qu'ils pourraient escompter si le partage était refusé. Pour maximiser son propre gain, il choisira bien sur de rallier les suffrages des employés qui seront les plus lésés si l'on passe au tour suivant.
En partant du dernier tour (Etienne fait le partage), on peut donc reconstituer à rebours le partage que ferait chaque employé, son tour venu.
On considère tout d'abord qu'une "majorité stricte" est nécessaire (strictement plus d'approbations).

Partage d'ETIENNE :

A = B = C = D = 0, E = 12, majorité de 1 contre 0.

Partage de DAVID :

A = B = C = 0, D = 0, E = 12, majorité de 2 contre 0. David ne peut rien garder pour lui, car Etienne voterait contre pour passer au tour suivant.

Partage de CHARLES :

A = B = 0, C = 11, D = 1, E = 0, majorité de 2 contre 1. Inutile de chercher à contenter Etienne, car 2 contre 1 donne la majorité stricte. David se contentera d'un seul diamant, puisque le tour suivant ne lui en apporte aucun.

Partage de BERNARD :

A = 0, B = 9, C = 0, D = 2, E = 1, majorité de 3 contre 1. Inutile de chercher à contenter Charles. David se contentera de 2 diamants et Etienne d'un seul.

Partage d'ALBERT :

A = 9, B = 0, C = 1, D = 0, E = 2, majorité de 3 contre 2. Inutile de chercher à contenter Bernard et David. Etienne se contentera de 2 diamants et Charles d'un seul. Albert gardera donc 9 diamants.

Résultat

Proposition d'Albert : 9 diamants pour Albert, 0 pour Bernard, 1 pour Charles, 0 pour David et 2 pour Etienne.

12. Montée d'escalier

Enoncé

On peut gravir un escalier marche par marche ou sauter une marche une ou plusieurs fois (on autorise pas à sauter plus d’une marche à la fois).

Calculez le nombre de façons différentes de gravir un escalier de 6 marches identiques (pour ceux qui ont trouvé la solution, même question avec 10 marches et 12 marches).

Calcul

On peut avoir, 0 marche double (6 marche 1 à 1, une seule façon) ; on peut avoir une marche double une fois à répartir ; deux marches doubles à répartir ; 3 marches doubles (une seule façon).
Répartition d'une marche double 11112 ; 11121 ; 11211 ; 12111 ; 21111 5 façons
Répartition de deux marches doubles 1122 ; 1212 ; 1221 ; 2112 ; 2121 ; 2211 6 façons
Nombre total de façons 1 + 5 + 6 + 1 = 13
Formulation pour 6 marches ; n = 6 1 + (n - 1) + (n - 2)!/[2!(n - 4)!] + 1
Nombre de fçons avec n = 10 1 + (n - 1) + (n - 2)!/[2!(n - 4)!] + (n - 3)!/[3!(n - 6)!] + (n - 4)!/[4!(n - 8)!] + 1 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89
Nombre de façons avec n = 12 1 + (n - 1) + (n - 2)!/[2!(n - 4)!] + (n - 3)!/[3!(n - 6)!] + (n - 4)!/[4!(n - 8)!] + (n - 5)!/[5!(n - 10)!] + 1 1 + 11 + 45 + 84 + 70 +21 + 1 = 233

Résultat

Il y a 13 façons de monter une escalier de 6 marches, 89 façons pour 10 marches et 233 façons pour 12 marches.

Solution Mathmuse

Mathmuse démontre que les résultats sont dans la suite de Fibonacci, dans laquelle le terme n est la somme des termes (n - 2) et (n - 1).

Nombre de marches 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nombre de façons 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

13. Une affaire de rubans

Enoncé

Trois amis A, B et C, tous excellents logiciens, sont dans une pièce. On leur montre 7 rubans : deux rouges, deux jaunes et trois verts puis ont leur bande les yeux. Pendant qu’ils ont les yeux bandés, on fixe un ruban à leur chapeau de manière à ce qu’ils ne puissent pas le voir. Puis on leur enlève leur bandeau et on leur demande de dire une couleur qu’ils n’ont pas à leur chapeau. Le premier, A, dit qu’il ne peut pas répondre, le deuxième, B, ne peux pas répondre non plus.

Pouvez-vous trouver les couleurs des rubans de A, B et C.

Calcul

Il y a 25 configurations possibles des couleurs de rubans sur les chapeaux de chacun des trois amis A, B, C.
A voit B et C, puis B voit C et A, d'où l'ordre choisi B, C et A. Les couleurs sont symbolisées en r pour rouge, j pour jaune et v pour vert.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
B r r r r r r r r j j j j j j j j v v v v v v v v v
C r r j j j v v v r r r j j v v v r r r j j j v v v
A j v r j v r j v r j v r v r j v r j v r j v r j v

Si A voyait B = r et C = r, il pourrait répondre que son ruban n'est pas r. Idem si jj pour BC. Donc on élimine 1, 2, 12 et 13.
Si B voyait A = r et C = r, il pourrait répondre, de même si jj pour AC. Donc on élimine 9, 17, 4 et 21.
Dans un deuxième temps B réfléchit aux conséquences de ce qu'il voit pour A et C. Il y a plusieurs autres configurations qui lui permettraient de dire la couleur qui n'est pas celle de son ruban.

Suivant ce que C voit pour A et B, il peut donner la solution unique pour son propre ruban, qui est toujours vert.

Solution n° 6 7 8 14 15 16 23 24 25
Couleur du ruban de A r j v r j v r j v
Couleur du ruban de B r r r j j j v v v
Couleur du ruban de C v v v v v v v v v

Résultat

Dans tous les cas le ruban de C est vert et les 9 combinaisons pour A et B sont possibles.

14. Armée en colonnes

Enoncé

Un général voudrait ranger les hommes de son armée en colonnes, de telle sorte qu'en effectuant une inspection de gauche à droite, il y ait à chaque fois un homme de plus dans la colonne suivante.
Par exemple, s'il avait 15 hommes, il pourrait faire 3 colonnes et en placer 4 dans la 1ère colonne, 5 dans la 2ème et 6 dans la 3ème.
Le problème, c'est qu'il a beau envisager un nombre quelconque de colonnes (au moins 2), il ne parvient pas à placer ses hommes de cette façon car il lui reste toujours des hommes en plus ou en moins.

Combien y a t-il d'hommes dans son armée, sachant que ce nombre est compris entre 10000 et 20000 ?

Calcul

La solution a été trouvée grâce à Excel. Si on fait des colonnes avec p hommes dans la première et n hommes dans la dernière, le nombre d'hommes qu'on peut ranger est égal à :
n(n + 1)/2 - p(p - 1)/2. En faisant un balayage systématique avec n de 1 à 10 000 et p de 1 à n - 1, toutes les valeurs de 10 000 à 20 000 sont trouvées, excepté 16 384. Pourquoi 16 384 qui est une puissance de 2 ? 16384 = 214

Résultat

Une solution. Seule la valeur 16 384 ne permet pas de ranger les hommes en colonne en progression arithmétique de raison 1.

La solution du prof

Le prof démontre que seules les puisances de 2 ne peuvent pas se mettre en colonnes comme demandé (avec une croissance du nombre de soldats). Entre 10 000 et 20 000 il n'y a qu'une puissance de 2 : 16 384.