711 (07), Récréations géométriques, le 1er février 2021

01. Zoé assemble

Enoncé

Zoé a découpé quatre petits carrés de même grandeur. Elle les assemble pour former autant de figures que possible. Par exemple, elle a réussi les deux figures ci-contre.

Trouvez chacune des autres « figures » qui peuvent être obtenues en collant quatre carrés de même grandeur par les cotés. Combien de figures différentes (non superposables par déplacement, rotation ou symétrie) avez-vous trouvés ?

Calcul

Il n'y a qu'une façon d'ensembler deux carrés a
Il y a deux façons d'ajouter un 3ème carré ab
ac
Ajout du 4ème carré sur ab abd
abe
abf
Ajout du 4ème carré sur ac acg
ach

Résultat

Les formes abd et acg sont données par l'énoncé. Il y a trois nouvelles formes : abe, abf et ach.

02. Pièces de François

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Enoncé

François assemble quatre petits carrés de même grandeur pour former la première pièce. Les quatre autres pièces sont formées chacune de trois petits carrés de même grandeur.

. . .

Préparez les cinq pièces et assemblez-les pour former un carré, sans les retourner.

Remarque

Les quatre pièces de 3 carrés sont exactement les mêmes par rotation dans le plan, sans avoir besoin de retourner sur l'autre face.

Résultat

Voir l'ajustement de la forme à droite.

03. Minutes d'angles

Enoncé

Quel est la valeur (en degrés et minutes) de l’angle formé entre l’aiguille des minutes et l’aiguille des heures à 3h15 du matin ?

Calcul

La grande aiguille est sur le 3. La petite aiguille a avancé d'un quart d'heure : 360/12/4 = 7,5° = 7° et 30'.

Résultat

L'angle vaut 7 degrés et 30 minutes.

04. Voyage vers la lune

Enoncé

Superman s'envole pour la lune à 300 km/s afin de sauver une pauvre opprimée.
Au retour, étant plus chargé, il ne vole plus qu'à 200 km/s.

Quelle est la vitesse moyenne de Superman sur cet aller-retour ?

Calcul

Avec d La distance de la terre à la lune
Temps à l'aller d/300
Temps au retour d/200
Temps total pour parcourir la distance 2d d/300 + d/200 = 5d/600 = d/120
Vitesse moyenne 2d/(d/120) = 240

Résultat

La vitesse moyenne sur l'aller et le retour est : 240 km/s.

05. Intersection de deux carrés

Enoncé

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Le centre d'un carré de côté 2 cm coïncide avec le sommet d'un autre carré isométrique.

Quelle est en cm2 l'aire commune à ces deux carrés ?

Calcul

Les deux triangles OAB et ODE sont semblables. Si on déplace ODE en OAB la figure jaune devient le carré OACD de 1 cm de côté.

Résultat

L'aire commune aux deux carrés vaut 1 centimètre carré.

06. Sainte Adélaïde

Enoncé

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Voici la porte d’entrée de l’église Sainte Adélaïde, formée de deux arcs de cercle centrés sur chacune des extrémités de sa base de 4m de large.

Calculez la surface en m2 de cette porte et vous trouverez le nombre des commandements de Dieu.

Rappel : théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés adjacents à l’angle droit.

Calcul

Hauteur du triangle équilatéral de 4 m de côté 4 racine(3)/2 = 2 racine(3)
Surface du triangle équilatéral 4.2 racine(3)/2 = 4 racine(3)
Surface d'un sixième de cercle de rayon 4 m 16 pi/6 = 8 pi/3
Surface du segment de cercle 8 pi/3 - 4 racine(3) = 4(2 pi/3 - racine(3))
Surface de la porte Le triangle + 2 segments de cercle 4 racine(3) + 16 pi/3 - 8 racine(3) =
16 pi/3 - 4 racine(3) = 9,827

Résultat

La surface de la porte est : 9,827 m2.

07. Cubes colorés

Enoncé

On peint un grand cube sur toutes ses faces. Puis on opère 54 coupes à l'aide d'une scie, de manière à diviser (entièrement) le grand cube en petits cubes ayant tous la même dimension.
Evidemment, on ne déplace aucun morceau avant d'avoir achevé la découpe.
On obtient ainsi un grand nombre de petits cubes, dont certains sont colorés (au moins une face peinte) et d'autres sans trace de peinture.

Combien y a-t'il de petits cubes dont exactement une face est colorée? Dont trois faces sont colorées, dont deux faces sont colorées ?

Calcul

54 coupes de scie = 3 x 18 18 + 1 = 19
Le cube est découpé en 19 pour chacune des trois dimensions
Nombre total de cubles obtenus 193 = 6859 6859
Les cubes intérieurs non colorés sont au nombre de 173 = 4913 4913
Les 8 sommets ont des cubes peints sur les trois faces 8
Les 12 arêtes ont 17 cubes peints sur 2 faces 17 x 12 = 204 204
L'intérieur des 6 faces en comprend 172 peints sur une face 6 x 172 = 1734 1734
Vérification 4913 + 8 + 204 + 1734 = 6859 6859

Résultat

Peints sur 1 face : 1734 ; 2 faces : 204 ; 3 faces : 8.

08. Les parts de tarte, (niveau moyen)

Enoncé

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Armelle a fait une magnifique galette en forme de quadrilatère. Elle la coupe en 4, de deux coups de couteau en diagonale. La part A fait 120 grammes, la part B 60 grammes et la part C 220 grammes.

Combien pèse la tarte?

NB = surface du triangle = base * hauteur /2

Calcul

avec, les hauteurs AJ et CK sur la base commune DB
Surface de la part Pa = DOC DOC = DO.CK/2 = 120
Surface de la part Pb = OBC OBC = OB.CK/2 = 60
Surface de la part Pc = ADO ADO = DO.AJ/2 = 220
Surface de la part inconnue Px = AOB AOB = OB.AJ/2 = x
Pa = 120 = 60.2 = 2Pb DO.CK/2 = 2 OB.CK/2 DO = 2 OB
Pc = DO.AJ/2 = 2 OB.AJ/2 Pc = OB.AJ = 220
Px = OB.AJ/2 Px = 220/2 = 110
Pa + Pb + Pc + Px = 120 + 60 + 220 + 110 = 510

Résultat

La tarte complète pèse 510 grammes.

09. Trois cercles

Enoncé

. . .

Les trois cercles ont un rayon de 1 cm. Le cercle de centre E est tangent à la droite reliant G et K, les centres des deux autres cercles, en son milieu.

Combien mesure l’aire coloriée en vert ?

Calcul

Je peux faire glisser la surface verte DEJ en BCF et la surface verte JEF en DAB. J'obtiens le rectangle ACFD dont les dimensions sont : 1 x 2.

Résultat

L'aire de la surface verte est 2 cm2.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

Enoncé Calcul Résultat
a
. . .
Distribuez les chiffres 1, 3, 5, 7 et 9 dans les cercles pour que l’égalité soit vraie.
Il y a plusieurs solutions (5 + 7 - 9)/3 =1 ou (5 + 7 - 9)/1 = 3
(9 + 3 - 7)/5 ou ( . . . )
(9 + 3 - 5)/7
(7 + 5 - 3)/9
(9 + 7 - 1)/3
b Dans une salle de classe, on compte trois rangées de huit pupitres. Dans chaque rangée, deux pupitres sont inoccupés. Quel est le pourcentage des pupitres occupés ? 8 - 2 = 6 ; 6/8 = 3/4 Pupitres occupés : 75 %.
c Cinq garçons et quatre filles vont à une soirée de danse. Combien peut-on former de groupes différents tels que chaque groupe est composé d'un garçon et d'une fille ? 5 x 4 = 20 20 groupes différents.
d Des lettres sont écrites logiquement à la suite des unes des autres. Identifiez la lettre qui manque.
Z V R ? J F B
Prog Arithmétique, Raison : -3 La lettre qui manque est : N.

11. Bleu + jaune = vert

Enoncé

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Dessinez 2 cercles égaux, de telle sorte que le centre de chacun se trouve exactement sur le bord de l'autre. Remplissez ensuite à l'aquarelle l'un en bleu et l'autre en jaune. Si la surface ainsi devenue verte est de 11 cm2, quel est donc le rayon de chacun des 2 cercles ?

Calcul

Définition du secteur circulaire Voir la forme bleu foncé
Définition du segment circulaire Voir la forme rose
Avec x Le rayon des cercles
Le triangle ABC est équilatéral Hauteur = x√3/2 Surface = x2√3/4
Le secteur circulaire CBA est le 1/6 du cercle Surface du secteur = 𝜋x2/6
Surface du segment circulaire BA Secteur - Triangle 𝜋x2/6 - x2√3/4 = x2(𝜋/6 - √3/4)
Surface de la partie verte 2 triangles + 4 segments x2√3/2 + x2(2𝜋/3 - √3) =
x2(2𝜋/3 - √3/2) = 11
Rayon des cercles x = √(11/(2𝜋/3 - √3/2)) = 2,992

Résultat

Le rayon de chacun des cercles est : 2,992 cm2.

12. Echelles

Enoncé

. . .

Question: Un ouvrier pose une échelle d'une quelconque longueur entre 2 murs de façon que le bas de l'échelle soit dans l'angle mur-sol et que le haut de l'échelle s'appuie sur l'autre mur à 3 mètres du sol (échelle CG).
Puis il pose une seconde échelle (échelle AE) de façon que les 2 échelles se coupent à une hauteur DJ de 2,55 mètres.

Dites à quelle hauteur CA celle-ci s'appuie sur le mur.

Calcul

On connait EG = 3 DJ = 2,55
On a plusieurs séries de triangles homothétiques JFG et CDJ EDJ et ECA
FG = 3 - 2,55 = 0,45 JF/FG = DE/FG = CD/DJ DE/0,45 = CD/2,55 CD/DE = 2,55/0,45 = 17/3
CD = 17 DE/3 CD + DE = CE 17 DE/3 + 3 DE/3 = CE CE/DE = 20/3
DJ/CA = DE/CE = 3/20 CA = 20 DJ/3 = 2,55 x 20/3 = 17

Solution du prof plus séduisante

Avec CE = x et CD = y ; DE = x - y
y/x = h/3 ; h/a = x - y/x = 1 - y/x = 1 - h/3 ; a = 3h/(3 - h) = 2,55 x 3/0,45 = 17

Résultat

La deuxième échelle s'appuie à une hauteur de 17 mètres.

13. Relation particulière entre sommet et produit

Enoncé

Je choisis deux entiers strictement positifs. Leur somme vaut un certain pourcentage de leur produit, bon, OK. Mais, ô surprise, non seulement ce pourcentage est entier, mais c'est un des deux entiers du début...

Quels sont les entiers que j'ai choisis ? Montrer que la solution est unique.

Calcul

On a 100(a + b)/ab = a 100a + 100b = a2b
ba2 - 100a - 100b = 0 a = (100 ± √(10000 + 400b2))/2b
Racine positive a = (50 + 10√(25 + b2))/b = 10(5 + √(25 + b2))/b
Sous le radical, on a un carré parfait On doit donc avoir n2 = 25 + b2
A partir de là, c'est la solution du prof On doit avoir n2 - b2 = 25 (n + b)(n - b) = 25
25 = 1 x 25 = 5 x 5 Si n - b = 25 et n + b = 1 Alors b = -12 ; non
Si n - b = 5 et n + b = 5 Alors b = 0 ; non
Si n - b = 1 et n + b = 25 Alors n = 13 et b = 12
Vérifions 25 + 122 = 169 = 132 = b2
a = 10(5 + √(25 + 144))/12 = 15 100(12 + 15)/(12 x 15 ) = 15

Résultat

Les entiers sont 12 et 15.

14. Le triangle et l'hexagone

Enoncé

. . .

ABCDEF est un hexagone régulier. M est le milieu de AB, N, celui de CD et P celui de EF. Si le triangle MNP à une surface de 9 cm2,

Quelle est la surface de l’hexagone ?

Calcul

La surface MNP bleue de 9 cm2 est constituée de 9 triangles élémentaires OQR. Un triangle élémentaire a une surface de 1 cm2.
L'hexagone ABCDEF est constitué de 6 triangles secondaires AOF, dont chacun contient 4 triangles élémentaires OQR.
L'hexagone contient donc 4 x 6 = 24 triangles élémentaires OQR.
La surface de l'hexagone est donc 24 cm2.

Solution du prof

MNP, le triangle bleu est représenté 4 fois dans le grand triangle. Le grand triangle mesure 36 cm2.
L'hexagone ABCDEFG est les 6/9 ou les 2/3 du triangle = 36 x 2/3 = 24.

Résultat

L'hexagone a une surface de 24 cm2.

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15. La rocade

Enoncé

Pour améliorer la circulation, les maires de quatre villes voisines décident de construire une rocade circulaire desservant les quatre villes. L'ingénieur responsable du projet s'aperçoit tout de suite qu'il est impossible de construire un cercle passant par les 4 villes (elles ne sont pas cocycliques).
Les maires lui demandent alors de faire en sorte que la rocade (toujours circulaire) passe à égale distance de chaque ville afin qu'aucune ne soit avantagée.
L'ingénieur se remet au travail et rapporte un certain nombre de projets différents.

Quel est le nombre maximal de projets géographiquement différents ?

Solution du prof

Il s'agit de considérer les points d'intersection de certaines médiatrices. Voir :

La rocade



Résultat

Il y a sept solutions.