710 (06), Récréations numériques, le 18 janvier 2021

01. Problème de robinet, certificat d'étude 1955

Enoncé

Un appareil d'arrosage de jardin est mis en marche à 8 h 15 mn. Le compteur à eau marque alors 342,7 m³. A 9 h 30 mn, il marque 343,825 m³ :

1. Quel est le débit de cet appareil par minute? Par heure?
2. Sachant que le mètre cube d'eau de la ville coûte 9,50 F, à combien reviendrait l'arrosage si l'appareil fonctionnait de 8 h 15 mn à 11 h ?
3. Combien de temps faudrait-il pour répandre avec un arrosoir à main de 1,2 dal, la même quantité d'eau, si pour pomper l'eau du puits, la transporter et la répandre, il faut 8 mn par arrosoir ? Calculez la valeur de la main-d'œuvre à raison de 120 F l'heure.

Calcul

Résultat

Débit : 15 l/mn = 900 l/h ; Coût de l'eau : 23,51 F ; Durée à l'arrosoir : 27 h 36 mn ; Coût de la main-d'œuvre : 3 312 F.

02. Nouvel an

Enoncé

Nous étions 43 à célébrer le nouvel an, et le bar a fonctionné non-stop. Le bar servait du champagne, du whisky et du jus de fruit. En effet, 38 personnes ont bu du champagne, et 29 du whisky, et nous étions 25 à boire un peu des deux...

Combien d'entre nous n'ont bu que du jus de fruit ?

Calcul

38 - 25 = 13 personnes n'ont bu que du champagne.
29 - 25 = 4 personnes n'ont bu que du whisky.
Ensemble champagne + whisky : 13 + 4 + 25 = 42 personnes.
N'ont bu que du jus de fruit : 43 - 42 = 1 personne.

Résultat

Une personne n'a bu que du jus de fruit.

03. Pesée de billes

Enoncé

Vous avez 4 billes identiques à l’œil mais dont une a un poids différent des autres. A l’aide d’une balance à deux plateaux, comment trouver la bille différente des autres avec le minimum de pesées.

1. Vous savez que la bille est moins lourde que les trois autres.
2. Vous ne savez pas si elle est plus lourde ou moins lourde. Avec votre solution dans ce cas, pouvez-vous déterminer si la bille différente est plus lourde ou moins lourde ?
3. Combien de pesés sont nécessaire pour trouver si la bille différente est plus lourde ou moins lourde ?

Calcul

Résultat

a : 3 méthodes (méth 1 : 12/34 puis x/y), (méth 2 : 1/2 puis 3/4), (méth 3 : 1/2 puis 1/3)
b : non avec les méth 1 et 2. La méthode 3 donne une réponse partielle. Elle fonctionne pour les billes 1, 2, 3, mais pas pour la 4.

04. Cryptogramme ABC

Enoncé

On représente A, B & C par des chiffres. (Par exemple si A = 1 et B = 2, alors AB + A = 12 + 1 = 13).

Trouvez A, B & C pour former l’égalité suivante : AA + BB + CC = ABC.

Calcul

Résultat

11 + 99 + 88 = 198

05. Pékin Express

Enoncé

Calcul

Résultat

x, la somme C + FM = 16

06. La rentrée des classes

Enoncé

Un professeur de maths compte les élèves de sa classe le jour de la rentrée. Elle se fait la réflexion suivante : je suis sûre qu'au moins six élèves sont nés le même jour de la semaine, mais je ne suis pas certaine qu'il y en ait quatre qui soient nés le même mois.

Combien y a t-il d'élèves dans la classe?

Calcul

Copie de la solution du professeur (Mathmuse champion 2016) :
Avec 35 élèves, la professeur est sure qu'il y a au moins 5 élèves qui sont nés un même jour de la semaine : la réalité est entre 5 élèves nés chacun des 7 jours et 35 élèves nés le même jour ! Un 36^ème élève impliquera au moins 6 élèves nés le même jour. Mais cela est vrai pour tout nombre supérieur à 35. Cependant, comme elle n'est pas sure que 4 élèves soient nés le même mois, cela implique qu'il n'y a que 36 élèves : la distribution 3 élèves chacun des 12 mois étant possible. Un 37^éme élève lui donnerait la certitude d'au moins 4 élève un même mois.

Résultat

Il y a 36 élèves.

07. Numéro de porte

Enoncé

Le numéro de porte de la résidence de la famille Pâpire est un nombre de cinq chiffres qui peut être trouvé au moyen des indices suivants.

1. Le deuxième chiffre a trois unités de plus que le premier.
2. Le troisième chiffre a cinq unités de moins que le deuxième.
3. Le quatrième chiffre est la somme des deux précédents.
4. Le cinquième chiffre a trois unités de moins que le premier.
5. La somme des cinq chiffres est supérieure à 20.

Quel est le numéro de porte de la résidence de la famille Pâpire ?

Calcul

Il y a beaucoup plus simple avec a qui ne peut prendre que les valeurs 3 ou 4. 3 ne convient pas car il entraine a + b + c + d + e < 20. Avec a = 4, tout s'enchaine facilement.

Résultat

Le n° de la porte est : 47 291.

08. Inversion

Enoncé

Je suis un nombre de trois chiffres. Inversez mes deux chiffres de gauche et je diminue de 180. Inversez mes deux chiffres de droite et j’augmente de 18.

Et si vous inversez mes deux chiffres extrêmes ? Quel est le résultat ? Combien y-a-t-il de nombres solutions ?

Calcul

c et u étant égaux, leur inversion ne change rien. c et u varient ensemble de 0 à 7 et d de 2 à 9. Il y a 8 solutions.

Résultat

Après inversion des chiffres extrêmes la valeur ne change pas. Il y a 8 solutions.

09. Double progression

Enoncé

Trois entiers à trois chiffres, (x < y < z) sont en progression arithmétique (y - x = z - y)

Quels sont-ils sachant que x, y et z + 1000 sont en progression géométrique (y/x = (z + 1000)/y)

Calcul

x et y étant en progression arithmétique, on peut calculer z = f(x, y), avec la raison y - x : z = y + y - x = 2y - x
Pour la progression géométrique on a : y/x = (1000 + 2y - x)/y     y² = 1000x + 2xy - x²     x² - 2xy + y² = (x - y)² = 1000x
1000x ou 10x est un carré parfait. On peut faire x = 10 (10x = 100) ; x = 40 ; x = 90 ; x = 160 ; x = 250 ...
Connaissant x, y = f(x)     y² - 2xy + x² - 1000x = 0     y = x + 10racine(10x)

Résultat

Les nombres sont : x = 160 ; y = 560 ; z = 960.

10. Questions simples

Enoncé, Calculs et Résultats

N°	Enoncé	Calcul	Résultat
a	Combien y a-t-il de groupes de deux cercles voisins en tous les sens possibles dans cette figure ?		10 groupes.
b	Combien peut-on placer de dominos sur un échiquier 5 x 5 dont les quatre coins ont été coupés ?	25 - 4 = 21 ; 21 - 9.2 = 3 cellules vides	9 dominos.
c	Trouvez quatre nombres dont la somme est 264 et qui sont dans la position illustrée 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80	x + 2 x + 4 + x + 20 + x + 22 = 264 4x = 216 ; x = 54	Les nombres sont : 56, 58, 74, 76.
d	Chaque lettre a sa propre valeur et correspond à un chiffre. Trouvez la plus grande valeur de FC. CD + E = FC	58 + 7 = 65	FC = 65

11. Somme de nombres impairs

Enoncé

Soit 13579, 13597, 13759, ... 97531 les nombres de cinq chiffres que l'on peut composer en utilisant une fois et une seule tous les chiffres impairs.

Quelle est la somme de tous ces nombres ?

Calcul

La répartition des chiffres dans les nombres se fait suivant les arrangements de 5 parmi 5 = 5! = 120
Dans la liste des 120 (120/5 = 24), chacun des chiffres apparait 24 fois dans chacun des digits.
Donc à priori la somme de chacun des digits est 24(1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 24.25 = 600
Donc en tout on devrait avoir 600(10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) = 6 666 600
Par acquit de conscience, vérifions avec la distribution de 3 parmi 3 (3! = 6) :

Le 1 apparait bien 2 fois aux centaines, aux dizaines et aux unités. De même pour le 2 et le 3.

Résultat

La somme de tous ces nombres est 6 666 600.

12. Au lycée Sainte-Clotilde

Enoncé

Le lycée Sainte-Clotilde est depuis quelques années ouvert aux garçons qui forment déjà 35% de l'ensemble des élèves. Les filles sont encore 95% dans les sections littéraires, mais ne sont plus que 45% dans les sections scientifiques et techniques.

Cela fait-il donc plus d'élèves scientifiques que littéraires ou plus d'élèves littéraires que scientifiques ?

Calcul

Résultat

Il y a plus de scientifiques que de littéraires.

13. Racine carrée

Enoncé

Saurez-vous extraire la racine carrée de la somme des cubes des 7 premiers entiers, sans calculette ?

Calcul

On peut manuellement calculer les cubes et faire la somme, puis faire la décomposition en facteurs premiers
1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 323 = 784 = 2⁴.7² = 28².

Corrigé

Il y a une formule qui donne la somme des n premiers cubes : n²(n + 1)²/4     D'où la valeur de la racine carrée des n premiers cubes = n(n +1)/2     Avec n = 7 cette racine est 7*8/2 = 28.

Résultat

Le résultat est 28.

14. Rien ne sert de courir, il faut partir à point

Enoncé

On part de deux nombres entiers naturels A et B tels que A soit inférieur à B. Ce sont les deux premiers termes.
On écrit la suite de nombres, construite selon la règle suivante : chaque terme est égal à la somme des deux termes qui le précèdent dans la suite.
Exemple : la suite dite de Fibonacci : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Quels doivent être les deux premiers nombres de départ pour que le dixième terme de la suite soit égal à 2004 ?

Calcul

Calcul des 10 termes en fonction de A et B.

Exploration de quelques valeurs de A et B.

Résultat

Il n'y a qu'une solution : A = 8 ; B = 54.

15. 10 chiffres

Enoncé

Soit un nombre composé de dix chiffres, tous distincts, de telle sorte que le premier chiffre soit divisible par un, le nombre formé des deux premiers chiffres soit divisible par deux ... jusqu'au nombre formé par les dix chiffres divisible par dix.

Quel est ce nombre?

Calcul

Le chiffre 0 est réservé aux unités. Le chiffre 5 est réservé à la 5^ème position. La 2^ème position n'a que des chiffres pairs. Ensuite, il faut lister :
Pour la position 1 on a 8 possibilités, tout sauf le zéro et le cinq,
En position 2, il y a 28 possibilités,
Sur la position 3, on a 67 possibilités,
En position 4, on arrive à 73 solutions,
En 5, on ne fait qu'ajouter le chiffre 5, on a donc toujours 73 solutions,
En 6, on commence à éliminer des solutions pour lesquelles les chiffres qui conviendraient sont déjà pris. Il reste 23 solutions,
En 7, il en reste 9,
En 8, il n'y en a plus qu'une, à laquelle le dernier chiffre disponible, le 9, permet d'avoir la divisibilité par 9 et le 0 final assure la divisibilité par 10.

Résultat

Ce nombre est : 3 816 547 290.